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CAPÍTULO 10 - MATEMÁTICA COMPLEXA

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Capítulo 10

MATEMÁTICA COMPLEXA

DO QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

O nome deste capítulo é até um certo grau contraditório uma vez que em muitas situações, ao contrário do que possa parecer, a matemática com números complexos simplifica o cálculo em vez de torná-lo complexo. Inúmeras vezes os números complexos não são apenas convenientes, mas absolutamente essenciais. Os números reais não são suficientes para lidar com todas as situações e todos os problemas de ciência e de engenharia. Sem os núme-

ros complexos não teríamos como resolver uma equação tão simples como y2 ϩ1 ϭ 0.

Qual é a solução dessa equação? Naturalmente, y ϭ Ϯi, onde

Em outras palavras, i2 ϭ Ϫ1. (Algumas vezes você verá a unidade imaginária i designada por j.) O EXCEL possui 18 funções complexas para facilitar a sua vida ajudando nas tarefas mais difíceis e trabalhosas.

10.1 REVISÃO RÁPIDA SOBRE A ÁLGEBRA DE NÚMEROS

COMPLEXOS

Os chamados números complexos foram descobertos centenas de anos atrás. Podemos identificar um número imaginário pelo símbolo i, como em y ϭ i3. Pense neste número como um ponto do semi-eixo positivo y (habitualmente usado para os números imaginários) distante 3 unidades da origem. Veja a Fig. 10-1. Podemos combinar números reais (sobre o eixo dos x) com números imaginários (sobre o eixo dos y) para obter números complexos, como em: onde x ϭ 4 é a parte real (designada habitualmente por Re) e y ϭ 3 é a parte imaginária (usualmente designada por Im). Por exemplo, Re z ϭ 4 e Im z ϭ 3. (Observação: o EXCEL designa números complexos com as notações x ϩyi ou x ϩyj.).

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CAPÍTULO 9 - O EXCEL EM LABORATÓRIO

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Capítulo 9

O EXCEL EM LABORATÓRIO

DO QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

O EXCEL é a planilha escolhida pela maioria dos engenheiros e cientistas para realizar experiências em laboratório. O EXCEL pode importar dados e analisá-los; o Visual Basic for Applications

(VBA) permite que o EXCEL controle e execute experimentos.

O VBA pode ser instalado usando as opções [Ferramentas] [Suplementos] e clicando em [Ferramentas de Análise – VBA].

Contudo, um capítulo não seria suficiente para ensinar tudo sobre como automatizar experimentos com o VBA; o assunto poderia preencher um livro inteiro. Este capítulo é sobre o desenvolvimento de habilidades básicas necessárias para os iniciantes.

Neste capítulo você aprenderá como importar dados de:

• arquivos de dados produzidos por outros aplicativos;

• instrumentos de laboratório;

• placas de aquisição de dados.

Também aprenderá a criar macros para automatizar tarefas e filtrar dados de laboratório utilizando a técnica de extração de sinais médios (modos de varredura simples e varredura múltipla). Vamos comparar os resultados da extração do sinal médio com outros filtros.

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CAPÍTULO 6 - FUNÇÕES DE ENGENHARIA

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Capítulo 6

FUNÇÕES DE ENGENHARIA

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

O EXCEL tem uma coleção de funções de planilha muito útil denominada funções de Engenharia. Esta é a maneira como são designadas na Ajuda, mas essas funções são, na verdade, mais gerais do que o significado dos nomes. Elas compreendem quatro categorias:

• Funções matemáticas e estatísticas

• Funções para tarefas com números complexos

• Funções para converter valores entre sistemas numéricos diferentes como o decimal, o hexadecimal, o octal e os sistemas binários

• Funções para conversão de valores entre diferentes sistemas de medida.

Você descobrirá as funções de Engenharia em Ferramentas de Análise. Se uma função de engenharia não estiver disponível na planilha, execute o Programa de Instalação para instalar as

Ferramentas de Análise. Após instalá-las, você deve habilitá-las usando o comando Suplementos no menu Ferramentas. Para obter informações adicionais sobre como instalar o recurso Ferramentas de Análise, consulte a Ajuda ou pressione a Tecla de Função

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APÊNDICES

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Apêndice 1

PASTAS DE TRABALHO

PASTAS DE TRABALHO DO SITE DA LTC EDITORA

Este apêndice contém uma lista de pastas de trabalho e de arquivos de dados do site da LTC Editora. Algumas pastas são complementares às pastas de trabalho do texto principal e outras estão associadas aos problemas do final dos capítulos.

Algumas pastas de trabalho deste Apêndice não são citadas no texto. Elas devem ser usadas para “engenharia reversa” ou “engenharia forense” com o objetivo de aprender o que a pasta de trabalho faz e como isso é feito. Esse tipo de exercício reproduz uma situação da vida real. Talvez você necessite utilizar uma pasta de trabalho elaborada por outra pessoa e descubra que a pasta não dispõe de uma documentação adequada. Sua tarefa, nesse caso, é elaborar uma pasta de trabalho que os outros possam entender.

Utilize os comentários do EXCEL (veja as Seções 2.3 e 2.4 e escreva as instruções de forma narrativa em uma planilha separada da pasta de trabalho.

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CAPÍTULO 8 - FERRAMENTAS DE ANÁLISE

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Capítulo 8

FERRAMENTAS DE ANÁLISE

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

O recurso Ferramentas de Análise é um dos 15 Suplementos disponíveis no EXCEL. Esse recurso tem 19 ferramentas que podem facilitar sua vida. Essas ferramentas serão listadas aqui, para uma rápida referência. Para acessar Ferramentas de Análise, clique em [Ferramentas][Análise de Dados]. Na ordem em que aparecem na janela do recurso Análise de Dados, os conteúdos das

Ferramentas de Análise são:

Anova:1 Fator Único

Anova: Fator Duplo com Repetição

Anova: Fator Duplo sem Repetição

Correlação

Covariância

Estatística Descritiva

Ajuste Exponencial (Veja Seção 5.4)

Teste-F: Duas Amostras para Variâncias

Análise de Fourier (Veja Cap. 11)

Histograma

Média Móvel (Veja Seção 5.3)

Geração de Número Aleatório

Ordem e Percentil

Regressão

Amostragem

Teste-T: Duas Amostras em Par para Médias

Teste-T: Duas Amostras Presumindo Variâncias Equivalentes

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CAPÍTULO 2 - EXPLORANDO O EXCEL

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Capítulo 2

EXPLORANDO O EXCEL

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

O EXCEL é um aplicativo poderoso com muitas funções e opções de apresentação. Talvez você nunca precise usar algumas delas, mas, sem conhecer essas funções e opções, como saber as que você não vai precisar? Neste capítulo, não abordaremos a fundo a maioria desses recursos; apresentaremos apenas as noções básicas necessárias para começar a usá-los. Mais tarde, você conhecerá algumas operações mais avançadas.

Há nove menus instantâneos na parte superior (barra de menus) da planilha do EXCEL: Arquivo, Editar, Exibir, Inserir,

Formatar, Ferramentas, Dados, Janela e Ajuda. Se você conhecesse todos os submenus e caixas de diálogo disponíveis aqui, seria qualificado como Usuário Experiente. Não se preocupe agora com todos os detalhes; você deve abrir uma planilha vazia e explorar os menus à medida que for lendo este capítulo.

2.1 O ASSISTENTE DO OFFICE

Vejamos primeiro o Assistente do Office que é um elemento comum a todos os programas Microsoft Office. Clique no botão com um ponto de interrogação, situado na barra de ferramentas, na parte superior da tela, à direita. Você verá a imagem de uma

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CAPÍTULO 1 - INICIANDO O EXCEL

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Capítulo 1

INICIANDO O EXCEL

A planilha eletrônica teve como origem as planilhas de contabilidade programadas em computador, projetadas para efetuar cálculos matemáticos e estatísticos, bem como classificar listas de informações. Ela evoluiu rapidamente para um programa matemático poderoso que despertou a atenção de engenheiros e cientistas — o EXCEL — que, em particular, tornou-se a ferramenta computacional favorita desses profissionais. Além de realizar cálculos, as planilhas são fáceis de usar para criar gráficos com excelente qualidade de apresentação, e para efetuar operações em banco de dados. O recurso gráfico é extremamente importante

para a visualização de relações numéricas. É impressionante como um simples gráfico pode ajudar na compreensão de relações; e o EXCEL se destaca nisso.

Neste capítulo apresentaremos as noções básicas sobre o software, de modo que você possa começar e progredir rapidamente. Mais tarde, abordaremos tópicos mais avançados.

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CAPÍTULO 12 - FERRAMENTAS DE ANÁLISE: APLICAÇÕES DA FFT

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Capítulo 12

FERRAMENTAS DE ANÁLISE:

APLICAÇÕES DA FFT

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

Agora que você sabe como usar a ferramenta Análise de Fourier do EXCEL, vejamos como aplicá-la a cinco operações úteis com dados do mundo real. Este capítulo irá capacitá-lo a executar proezas de análise no computador com as quais poderia apenas sonhar antes da invenção da Transformada Rápida de Fourier

(FFT).

Em primeiro lugar, vamos revisar de forma resumida alguns conceitos analíticos por trás dos métodos numéricos. As principais operações que iremos realizar com a FFT são:

• convolução (filtragem linear de dados);

• deconvolução (remoção de distorções de sistemas e restauração de um conjunto de dados para sua forma original, aproximadamente);

• correlação (medida de similaridade e de atraso no tempo, detecção da presença de sinais conhecidos no ruído);

• identificação de sistemas (medição de propriedades de um sistema desconhecido, como a quebra de códigos de segurança);

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CAPÍTULO 4 - REVISÃO RÁPIDA DE MATEMÁTICA

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Capítulo 4

REVISÃO RÁPIDA DE MATEMÁTICA

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

Neste capítulo vamos rever operações elementares de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, funções trigonométricas e funções logarítmicas. Parece simples, mas o procedimento é diferente daquele em que as operações são feitas manualmente com papel e caneta. Vamos mostrar que realmente é fácil realizar tarefas, aparentemente complicadas, usando adição, subtração, multiplicação e divisão. Mostraremos também algumas funções trigonométricas do EXCEL. No Cap. 5 você aprenderá algumas técnicas numéricas baseadas nessas operações simples que são úteis ao manusear dados no mundo real. Neste capítulo você vai aprender:

• operadores do EXCEL e suas ordens de precedência,

• como usar os cálculos do EXCEL e operadores de comparação nas fórmulas,

• como usar textos do EXCEL e operadores de referência nas fórmulas,

• dez funções trigonométricas do EXCEL.

Abordaremos detalhadamente duas aplicações simples usando as funções trigonométricas:

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CAPÍTULO 3 - GRÁFICOS DO EXCEL

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Capítulo 3

GRÁFICOS DO EXCEL

DE QUÊ TRATA ESTE CAPÍTULO

Inicie o EXCEL agora e utilize-o à medida que for lendo este capítulo. O EXCEL é constituído de um conjunto poderoso de ferramentas gráficas. Há 14 tipos de gráficos padrão e mais 20 tipos personalizados, que permitem visualizar e apresentar dados de modo que você e outras pessoas possam entendê-los. Vamos fazer uma introdução antecipada sobre os gráficos, pois isto o ajudará a visualizar melhor o que está sendo feito. Um gráfico dá a você uma visão geral e rápida dos dados que não pode ser obtida utilizando a planilha numérica em si.

No EXCEL e em outros programas da Microsoft, as representações visuais dos dados são chamadas genericamente de gráficos e os gráficos polares são chamados de gráficos do tipo ra-

dar.1 Neste capítulo você aprenderá os fundamentos para construir:

• gráficos xy (de dispersão), incluindo dois eixos y logarítmicos e em dB,

• gráficos de colunas e de barras,

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CAPÍTULO 11 - FERRAMENTAS DE ANÁLISE: ANÁLISE DE FOURIER

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Capítulo 11

FERRAMENTAS DE ANÁLISE:

ANÁLISE DE FOURIER

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

A transformada de Fourier é uma das ferramentas mais importantes nas aplicações práticas de ciência e de engenharia. Apresentaremos agora um de seus algoritmos discretos de importância industrial e a ferramenta mais poderosa do EXCEL, a Transformada Rápida de Fourier (FFT — Fast Fourier Transform). É fácil usar uma planilha para realizar tarefas freqüentemente tidas como complicadas e sofisticadas. Prepare-se. Este capítulo mostrará como usar a FFT das Ferramentas de Análise do EXCEL.

Você aprenderá também alguns truques que não são abordados na Ajuda. Neste capítulo você aprenderá:

• como usar a caixa de diálogo FFT do EXCEL,

• quando aplicar a defasagem de Nyquist (mais-um-menos-um),

• uso (e abuso) do preenchimento de zeros de um conjunto de dados,

• limitações devidas à amostragem (freqüência de Nyquist e ambigüidade de freqüência [aliasing]), da FFT e da FFT inversa,

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CAPÍTULO 5 - DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO

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Capítulo 5

DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

No EXCEL, é possível aproximar numericamente as operações fundamentais de cálculo diferencial e integral. Vamos conhecer melhor os diversos métodos das duas operações e observar seus aspectos positivos e negativos. A integração relaciona-se com o ajuste. Veremos como utilizar duas ferramentas do EXCEL (a

Média Móvel e o Ajuste Exponencial) que executam tipos especiais de integração.

Será mostrado como usar as funções Savitsky-Golay, que combinam derivação e integração por meio da estimativa de mínimos quadrados de dados com ruído. Essas funções têm origem na química, mas são de utilidade universal e é necessário

conhecê-las. Finalmente, você verá como usar a ferramenta Linha de tendência do EXCEL em dados com ruído e aprenderá a calcular centros de massa e momentos de inércia.

A Internet disponibiliza um integrador: você digita uma função e obtém imediatamente a integral produzida pelo MATHEMATICA. Acesse o site da Web http://integrals.wolfram.com/ index.em.cgi. Veja o exemplo na Fig. 5-7.

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CAPÍTULO 7 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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Capítulo 7

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

DE QUE TRATA ESTE CAPÍTULO

As equações diferenciais são importantes em engenharia e em ciência porque as utilizamos para descrever como os sistemas mudam. Neste capítulo vamos discutir e comparar dois métodos numéricos para a solução de equações diferenciais lineares ordinárias. Vamos utilizar exemplos simples para que possamos obter soluções analíticas exatas e comparar os erros dos métodos numéricos.

Construiremos também exemplos interativos simples do poderoso método de elementos finitos aplicado à solução da equação de Laplace, uma equação diferencial parcial ubíqua que apa-

rece ao longo de todos os campos da tecnologia e da ciência. Este método mostrará como e quando usar referências circulares no

EXCEL, o que normalmente você deveria evitar. Os resultados serão exibidos em um gráfico em 3-D.

Neste capítulo discutiremos duas categorias gerais:

• Valor inicial.

Exemplo: x(t) ϭ 22 e dx/dt ϭ 6, quando t ϭ 0.

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Capítulo 9 - Mapas auto-organizáveis

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Capítulo 8 - Análise componentes principais

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