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Volume II - Capítulo 35. Paramagnetismo e Ressonância Magnética

Richard Feynman; Robert Leighton; Matthew Sands Grupo A PDF Criptografado

35

Paramagnetismo e Ressonância Magnética

35–1  Estados magnéticos quantizados

No capítulo anterior, vimos por que, em mecânica quântica, o momento angular de um objeto não pode ter uma direção arbitrária, mas suas componentes, ao longo de um dado eixo, podem apenas assumir valores igualmente espaçados, discretos. É algo de peculiar e espantoso. Você pode pensar que, talvez, não devêssemos enveredar por tais caminhos até que sua mente estivesse mais avançada e pronta para aceitar esse tipo de ideia. De fato, sua mente nunca estará mais avançada – no sentido de ser capaz de aceitar tal ideia facilmente. Não há outra maneira de descrevê-la a não ser de forma avançada e sutil, o que seria muito complicado. O comportamento da matéria em pequena escala é diferente de qualquer coisa com a qual você esteja acostumado, sendo, de fato, muito estranho – conforme dissemos várias vezes. Conforme prosseguimos com a física clássica, é uma boa ideia tentar conhecer cada vez mais o comportamento das coisas em pequena escala, primeiramente, como um tipo de experiência sem qualquer compreensão profunda. A compreensão de tais questões é muito vagarosa, se é que a teremos. É claro que teremos uma ideia melhor do que acontecerá em situações quânticas – se é que isso constitui uma compreensão – mas jamais nos sentiremos confortáveis para dizer que estas regras quânticas são “naturais”. É claro que elas são, mas não para as nossas experiências rotineiras. Deveríamos explicar que a atitude que tomaremos com respeito a essa regra sobre o momento angular é muito diferente das outras coisas sobre as quais temos falado. Não vamos “explicá-las”, mas devemos, pelo menos, dizer-lhes o que ocorre; seria desonesto descrever as propriedades magnéticas dos materiais sem mencionar o fato de a descrição clássica do magnetismo – do momento angular e dos momentos magnéticos – ser incorreta.

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Volume II - Capítulo 15. O Potencial Vetor

Richard Feynman; Robert Leighton; Matthew Sands Grupo A PDF Criptografado

15

O Potencial Vetor

15–1  Forças em uma espira; energia de um dipolo

No capítulo anterior, estudamos o campo magnético produzido por uma espira retangular pequena. Verificamos que este é um campo de dipolo, com o momento de dipolo dado por

�(15.1)

onde I é a corrente e A é a área da espira. A direção do momento é normal ao plano da espira, de modo que também podemos escrever

onde n é a normal de módulo unitário à área A.

Uma espira – ou dipolo magnético – não apenas produz campos magnéticos, mas também sofre a ação de forças quando colocada no campo magnético de outras correntes.

Vamos estudar primeiramente as forças em uma espira retangular em um campo magnético uniforme. Tomemos o eixo z na direção do campo, e o plano da espira cruzando o eixo y, fazendo um ângulo θ com o plano xy como na Figura 15–1. Desse modo, o momento magnético da espira – que é normal a este plano – fará um ângulo θ com o campo magnético.

Como as correntes são opostas em lados opostos da espira, as forças também são opostas, logo não há força resultante na espira (quando o campo é uniforme). No entanto, devido às forças nos dois lados marcados como 1 e 2 na figura, existe um torque que tende a girar a espira ao redor do eixo y. A magnitude destas forças, F1 e F2, é

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Volume II - Capítulo 20. Soluções das Equações de Maxwell no Vácuo

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Soluções das Equações de Maxwell no Vácuo

20–1  Ondas no vácuo; ondas planas

No Capítulo 18, atingimos o ponto no qual tínhamos as equações de Maxwell na forma completa. Tudo o que existe na teoria clássica dos campos elétricos e magnéticos pode ser encontrado nas quatro equações:

20–1 Ondas no vácuo; ondas planas

20–2 Ondas tridimensionais

20–3 Imaginação científica

(20.1)

Quando reunimos todas essas equações, ocorre um novo fenômeno extraordinário: os campos gerados pelas cargas em movimento podem deixar as fontes e viajar sozinhos pelo espaço.

Consideramos o caso especial em que uma folha de corrente infinita é ligada subitamente.

Decorrido um tempo t do instante em que a corrente foi ligada, existem campos elétricos e magnéticos uniformes até uma distância ct da fonte. Suponha que a folha de corrente esteja sobre o plano yz com uma densidade superficial de corrente J na direção de y positivo. O campo elétrico terá apenas a componente y, e o campo magnético, a componente z. As componentes dos campos são dadas por

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Volume II - Capítulo 21. Soluções das Equações de Maxwell com Cargas e Correntes

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Soluções das Equações de Maxwell com

Cargas e Correntes

21–1  Luz e ondas eletromagnéticas

Vimos no capítulo anterior que as ondas de eletricidade e magnetismo fazem parte das soluções das equações de Maxwell. Estas ondas correspondem aos fenômenos de rádio, luz, raios X e assim por diante, dependendo do comprimento de onda. Já estudamos a luz em detalhe no Vol. I. Neste capítulo, queremos ligar os dois assuntos – queremos mostrar que as equações de Maxwell podem realmente formar a base do nosso tratamento anterior dos fenômenos luminosos.

Quando estudamos a luz, começamos escrevendo uma equação para o campo elétrico produzido por uma carga movendo-se de maneira arbitrária. A equação era

e

�(21.1)

[Ver Eqs. (28.3) e (28.4), Vol. I. Conforme explicado a seguir, os sinais aqui são os opostos dos anteriores.]

Se uma carga se move de maneira arbitrária, o campo elétrico que medimos agora em um determinado ponto depende apenas da posição e do movimento da carga não agora, mas em um tempo anterior – em um instante anterior o suficiente para que a luz tenha tempo de viajar a distância r′ entre a carga e o ponto de teste, com velocidade c. Em outras palavras, se queremos o campo elétrico no ponto (1) no tempo t, precisamos calcular a localização (2′) da carga e o seu movimento no tempo (t – r′/c), onde r′ é a distância entre a posição (2′) da carga no instante (t – r′/c) e o ponto (1). A linha é para lembrá-lo de que r′ é a chamada “distância retardada” entre o ponto (2′) e o ponto (1), e não a distância real entre o ponto (2), a posição da carga no tempo t e o ponto de teste (1) (ver a Figura 21–1).

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Volume II - Capítulo 29. O Movimento de Cargas em Campos Elétricos e Magnéticos

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O Movimento de Cargas em Campos

Elétricos e Magnéticos

29–1  Movimento em um campo elétrico ou magnético uniforme

Queremos agora descrever – principalmente do ponto de vista qualitativo – os movimentos de cargas em diversas circunstâncias. A maioria dos fenômenos interessantes em que cargas movem-se em campos ocorre em situações bem complicadas com muitas, muitas cargas, todas interagindo entre si. Por exemplo, quando uma onda eletromagnética passa através de um bloco de material ou de um plasma, bilhões e bilhões de cargas estão interagindo com a onda e entre si. Voltaremos a esse problema mais tarde, mas agora queremos apenas discutir o problema mais simples de movimento de uma carga única em um dado campo. Podemos, então, desprezar todas as outras cargas com exceção,

é claro, das cargas e correntes que existem em algum lugar para produzir o campo do qual tratamos.

Devemos perguntar primeiro pelo movimento de uma partícula em um campo elétrico uniforme. A velocidades baixas, o movimento não é particularmente interessante – é apenas uma aceleração uniforme na direção do campo. Entretanto, se a partícula agregar suficiente energia para se tornar relativística, então o movimento torna-se mais complicado. Vamos deixar a solução desse caso para você se divertir com ela.

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Volume II - Capítulo 38. Elasticidade

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38

Elasticidade

38–1  Lei de Hooke

Elasticidade trata do comportamento daquelas substâncias que têm a propriedade de recuperar seu tamanho e forma originais assim que retiramos as forças que produzem deformação. Essa propriedade elástica é, de alguma maneira, comum a todos os corpos sólidos. Se tivéssemos tempo de tratar esse assunto em sua totalidade, seria desejável examinar várias questões: o comportamento dos materiais, as leis gerais da elasticidade, a teoria geral da elasticidade, as propriedades atômicas que determinam as propriedades elásticas e, finalmente, as limitações das leis elásticas quando as forças forem tão grandes a ponto de termos fraturas e deformações plásticas permanentes. Como precisaríamos de tempo demasiado para cobrir todos esses assuntos em detalhes, vamos abandonar certos aspectos. Por exemplo, não vamos discutir plasticidade ou limitações das leis elásticas.

Já tocamos previamente nesses assuntos quando falamos de deslocamentos em metais.

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Volume III - Capítulo 1. Comportamento Quântico

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Comportamento Quântico

1­–1 

Mecânica atômica

Mecânica quântica é a descrição do comportamento da matéria e da luz em todos os seus detalhes e, em particular, do que ocorre na escala atômica. As coisas em uma escala muito pequena não se comportam como nada que você conheça. Elas não se comportam como ondas, nem como partículas, não se comportam como nuvens, bolas de bilhar, pesos em molas ou como qualquer coisa que você já tenha visto.

Newton pensava que a luz fosse composta de partículas, mas descobrimos que ela se comporta como uma onda. Depois, entretanto (no começo do século XX), descobrimos que a luz às vezes se comporta como uma partícula. Historicamente, pensávamos que o elétron, por exemplo, se comportasse como uma partícula, então descobrimos que em muitos aspectos ele se comporta como uma onda. Na verdade ele não se comporta nem como partícula, nem como onda, e simplesmente desistimos: “É como nenhum dos dois”.

Entretanto, temos um pouco de sorte – elétrons se comportam como a luz. O comportamento quântico dos objetos atômicos (elétrons, prótons, nêutrons, fótons e assim por diante) é o mesmo para todos, todos são “ondas de partículas”, ou como quer que você queira chamá-los. Então o que aprendermos sobre as propriedades dos elétrons (que usaremos para nossos exemplos) também se aplicará a todas as “partículas”, incluindo fótons de luz.

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Volume II - Capítulo 42. Espaço Curvo

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Espaço Curvo

42–1  Espaços curvos com duas dimensões

De acordo com Newton, todos os objetos se atraem com uma força inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos. Os objetos respondem com acelerações proporcionais às forças. Como você sabe, tais forças explicam os movimentos de bolas, planetas, satélites, galáxias e assim por diante.

Einstein tinha uma interpretação diferente das leis da gravitação. De acordo com ele, tempo e espaço – que devem estar em conjunção no jargão espaço‑tempo – são curvos perto de grandes massas. Além disto, os objetos tendem a seguir “linhas retas” neste espaço‑tempo curvo, o que faz com que eles se movam da maneira como se movem.

Essa é uma ideia complexa, realmente muito complexa, e é essa ideia que queremos explicar neste capítulo.

Nosso objeto de estudo tem três partes. Uma envolve a teoria da gravitação. Outra envolve as ideias de espaço‑tempo que já estudamos. A terceira envolve a ideia de espaço curvo. Vamos simplificar nosso assunto, no início, ao não nos preocuparmos com a gravitação e deixando de lado o tempo, ou seja, estudando apenas o espaço curvo.

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Volume III - Capítulo 4. Partículas Idênticas

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Partículas Idênticas

4–1  Partículas de Bose e partículas de Fermi

No capítulo anterior, começamos a considerar as regras especiais para a interferência que ocorre nos processos com duas partículas idênticas. Por partículas idênticas, consideramos coisas como elétrons que não podem de maneira alguma ser distinguidos uns dos outros. Se um processo envolve duas partículas que são idênticas, inverter a que chega a um conta­dor é uma alternativa que não pode ser distinguida e, ­como em todos os casos de alternativas que não podem ser distinguidas, i­nterfere com a original sem a troca. A amplitude para um evento é, então, a soma das duas amplitudes interferindo; mas, e isso é interessante, a interferência em alguns casos é com a mesma fase e em outros casos com fases opostas.

Suponha que tenhamos uma colisão de duas partículas a e b, em que a partícula a é es­palhada na direção 1 e a partícula b é espalhada na direção 2, como esquematizado na

Fig. 4-1(a). Vamos chamar a amplitude para esse processo de f (θ); então a probabilidade

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Volume III - Capítulo 14. Semicondutores

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Semicondutores

14–1  Elétrons e buracos em semicondutores

Um dos desenvolvimentos notáveis e significativos nos últimos anos foi a aplicação da ciência do estado sólido em desenvolvimentos técnicos de dispositivos elétricos, como transistores. O estudo de semicondutores levou à descoberta das suas propriedades

úteis e a um grande número de aplicações. O campo está se modificando tão rapidamente que o que afirmamos hoje pode ser incorreto no próximo ano. Será certamente incompleto. E é perfeitamente claro que, com o estudo continuado desses materiais, muitas coisas novas e maravilhosas serão possíveis com o passar do tempo. Você não precisa entender este capítulo para acompanhar o conteúdo dos próximos, mas pode achar interessante ver que pelo menos algo do que você está aprendendo tem relação com o mundo prático.

Há um grande número de semicondutores conhecidos, mas vamos nos concentrar naqueles que no momento têm a maior aplicação técnica. Eles também são aqueles que entendemos melhor e, compreendendo esses, vamos compreender muitos outros. As substâncias semicondutoras de uso mais comum hoje são o silício e o germânio. Esses elementos cristalizam-se na rede do diamante, uma espécie de estrutura cúbica na qual os átomos fazem ligações tetraédricas com os seus quatro vizinhos mais próximos. Eles são isolantes em temperaturas muito baixas – perto do zero absoluto –, embora conduzam um pouco de eletricidade à temperatura ambiente. Eles não são metais; são chamados de semicondutores.

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Volume III - Capítulo 17. Simetria e Leis de Conservação

Richard Feynman; Robert Leighton; Matthew Sands Grupo A PDF Criptografado

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Simetria e Leis de Conservação

17–1 Simetria

Na física clássica, algumas quantidades são conservadas – como momento, energia e momento angular. Teoremas de conservação das grandezas correspondentes também existem na mecânica quântica. A coisa mais bonita da mecânica quântica é que os teoremas de conservação podem, de certo modo, ser derivados de outra coisa, ao passo que na mecânica clássica eles praticamente são os pontos de partida das leis.

(Na mecânica clássica há maneiras de se fazer algo parecido com o que faremos na mecânica quântica, mas somente em um nível muito avançado.) Contudo, na mecânica quântica, as leis de conservação estão muito profundamente relacionadas ao princípio da superposição de amplitudes e à simetria de sistemas físicos sob várias modificações. Esse é o assunto deste capítulo. Vamos aplicar essas ideias na maior parte das vezes à conservação do momento angular, mas o ponto essencial é que os teoremas sobre a conservação de todos os tipos de grandezas estão – na mecânica quântica – relacionados à simetria do sistema.

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Volume III - Capítulo 19. O Átomo de Hidrogênio e a Tabela Periódica

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O Átomo de Hidrogênio e a Tabela Periódica

19–1  Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio

O sucesso mais dramático na história da mecânica quântica foi o entendimento dos detalhes do espectro de alguns átomos simples e a compreensão das periodicidades que são encontradas na tabela dos elementos químicos. Neste capítulo, iremos finalmente trazer nossa mecânica quântica até o ponto dessas importantes realizações, especificamente a compreensão do espectro do átomo de hidrogênio. Ao mesmo tempo, obteremos uma explicação qualitativa das propriedades misteriosas dos elementos químicos. Faremos isso estudando detalhadamente o comportamento do elétron em um átomo de hidrogênio

– pela primeira vez, calculando em detalhe a distribuição no espaço de acordo com as ideias desenvolvidas no Capítulo 16.

Para uma descrição completa do átomo de hidrogênio, devemos descrever os movimentos do próton e do elétron. É possível fazer isso na mecânica quântica de uma maneira análoga à ideia clássica da descrição do movimento de cada partícula relativamente ao centro de gravidade, porém não faremos desse modo. Discutiremos apenas uma aproximação na qual consideramos o próton como sendo muito pesado, tal que podemos pensá-lo como estando fixo no centro do átomo.

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Volume II - Capítulo 32. Índices de Refração de Materiais Densos

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Índices de Refração de Materiais Densos

32–1  Polarização de matéria

Queremos agora discutir o fenômeno da refração da luz – e também, é claro, a absorção da luz – em materiais densos. No Capítulo 31 do Volume I, discutimos a teoria do índice de refração, mas, por causa de nossas limitadas habilidades matemáticas naquele momento, tivemos de nos restringir a achar apenas os índices para materiais de baixa densidade, como os gases. No entanto, os princípios físicos que produzem o índice ficaram claros.

O campo elétrico da onda de luz polariza as moléculas do gás, produzindo momentos de dipolos oscilatórios. A aceleração das cargas oscilatórias irradia novas ondas pelo campo. Esse novo campo interfere com o campo antigo, produzindo um campo alterado equivalente a uma mudança de fase da onda original. Por ser essa mudança de fase proporcional à espessura do material, o efeito equivale a ter uma velocidade de fase diferente no material. Olhando para o assunto anterior, vemos que desprezamos as complicações decorridas de tais eventos, como a mudança provocada pela nova onda nos campos em dipolos oscilatórios. Admitimos que as forças das cargas nos átomos derivam de ondas aferentes, enquanto que, de fato, as oscilações são dirigidas não apenas pela onda aferente, mas também pelas ondas irradiadas por todos os outros átomos. Seria difícil para nós, então, incluirmos esse efeito, assim estudamos apenas o gás rarefeito, no qual tais efeitos não são importantes.

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Volume II - Capítulo 11. No Interior dos Dielétricos

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No Interior dos Dielétricos

11–1  Dipolos moleculares

11–1 Dipolos moleculares

Neste capítulo, discutiremos por que certos materiais são dielétricos. No capítulo anterior, afirmamos que poderíamos entender as propriedades dos sistemas elétricos com dielétricos, desde que compreendêssemos que quando um campo elétrico é aplicado a um dielétrico, esse campo induz um momento de dipolo nos átomos. Especificamente, se o campo elétrico E induz um momento de dipolo médio P, por unidade de volume, então κ, a constante dielétrica, é dada por

11–2 Polarização eletrônica

11–3 Moléculas polares; orientação de polarização

11–4 Campos elétricos nas cavidades de um dielétrico

11–5 A constante dielétrica dos líquidos; a equação de

Clausius-Mossotti

�(11.1)

11–6 Dielétricos sólidos

Já discutimos como essa equação é aplicada; agora, temos de discutir o mecanismo com o qual surge a polarização quando existe um campo elétrico dentro do material. Começaremos com o exemplo mais simples possível – a polarização dos gases, mas mesmo os gases já possuem complicações: existem dois tipos. As moléculas de alguns gases, como o oxigênio, que contém um par simétrico de átomos em cada molécula, não tem nenhum momento de dipolo inerente. Já as moléculas de outros gases, como o vapor d’água (que tem um arranjo assimétrico de átomos de hidrogênio e oxigênio), carregam um momento de dipolo permanente. Como indicamos no Capítulo 6, nas moléculas de vapor d’água existe em média um excesso de carga positiva nos átomos de hidrogênio e um de carga negativa nos de oxigênio.

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Volume II - Capítulo 17. As Leis de Indução

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17

As Leis de Indução

17–1  A física da indução

No capítulo anterior, descrevemos muitos fenômenos que mostram que os efeitos da indução são bastante complexos e interessantes. Agora queremos discutir os princípios fundamentais que governam esses efeitos. Já definimos a fem em um circuito condutor como a força total acumulada nas cargas em todo o comprimento do circuito. Mais especificamente, ela é a componente tangencial da força por unidade de carga, integrada ao longo do fio, uma vez, ao redor do circuito. Portanto, essa quantidade é igual ao trabalho realizado sobre uma única carga que viaja uma vez ao redor do circuito.

Também já enunciamos a “regra do fluxo”, que diz que a fem é igual à taxa na qual o fluxo do campo magnético através de um circuito condutor está variando. Vamos ver se podemos entender por que isso é assim. Vamos considerar primeiro um caso no qual o fluxo varia porque o circuito se move em um campo estacionário.

Na Figura 17–1, mostramos um circuito simples de um fio cujas dimensões podem ser modificadas. O circuito possui duas partes, uma parte fixa em forma de U (a) e uma barra transversal móvel (b) que pode deslizar ao longo das duas pernas do U. Sempre temos um circuito completo, mas a sua área é variável. Suponha agora que o circuito seja colocado em um campo magnético uniforme tal que o plano do U seja perpendicular ao campo. De acordo com a regra, quando a barra transversal for movida haverá no circuito uma fem proporcional

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