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Medium 9788536300924

Capítulo 5 - Distribuição amostral das médias

Callegari-Jacques, Sidia Grupo A PDF Criptografado

5

Distribuição amostral das médias

A

s investigações sobre problemas biológicos sempre envolvem mais do que um indivíduo (com exceção dos relatos de casos clínicos). Assim se faz porque os fenômenos biológicos dão origem a resultados que variam, e, ao comparar resultados obtidos em situações diferentes, os pesquisadores desejam considerar a variabilidade entre observações. Para conhecer a variabilidade de uma característica, é necessário medir mais do que uma unidade experimental (ou observacional). Por isso, os trabalhos de pesquisa são realizados em grupos de indivíduos (as amostras); se as variáveis forem quantitativas, a média e o desvio padrão são estatísticas importantes na elaboração das conclusões.

Um problema típico pode ser o de avaliar se um determinado conjunto de dados difere de um padrão tomado como referência, conforme exemplificado a seguir.

Exemplo 1. Considere a alcalinidade média no rio Caí como sendo de

19,6 mg de CaCO3/L (Vargas, 1992). Se em uma amostra recente de 16 observações a média for 16,2 mg, estará ela indicando que a alcalinidade no rio se modificou?

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Medium 9788563308894

27. Aminoácidos, peptídeos e proteínas

Carey, Francis A. Grupo A PDF Criptografado

1134

cAPÍtULo VintE E SEtE

Aminoácidos, peptídeos e proteínas

c A P Í t U L o

27 r E S U m o

27.1

27.2

27.3

27.4

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27.9

27.10

27.11

27.12

27.13

Aminoácidos, peptídeos e proteínas d o

c A P Í t U L o

Classificação dos aminoácidos . . . . . . . . . . .

Estereoquímica dos aminoácidos . . . . . . . . . .

Comportamento ácido-base dos aminoácidos . .

Síntese de aminoácidos . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Eletroforese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Reações dos aminoácidos . . . . . . . . . . . . . . .

Algumas reações bioquímicas de aminoácidos

Peptídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Introdução à determinação da estrutura de peptídeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Análise de aminoácidos . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hidrólise parcial de peptídeos . . . . . . . . . . . .

Análise do grupo terminal . . . . . . . . . . . . . . .

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Medium 9788577806959

11: Momentos deInércia Especiais

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

11

Momentos de

Inércia Especiais

A tabela abaixo mostra os momentos de inércia de vários corpos rígidos de massa M. Em todos os casos, supõe-se que o corpo tem densidade uniforme, isto é, constante.

Tipo de corpo rígido

11.1

Vara delgada de comprimento a

(a)

em torno do eixo perpendicular à vara, através do centro da massa

(b)

em torno do eixo perpendicular à vara, através de uma extremidade

11.2

Paralelepípedo retangular de lados a, b e c

(a)

em torno do eixo paralelo a c e através do centro da face ab

(b)

em torno do eixo através do centro da face bc e paralelo a c

11.3

Placa retangular delgada de lados a, b

(a)

em torno do eixo perpendicular à placa, através do centro

(b)

em torno do eixo paralelo ao lado b, através do centro

11.4

Cilindro circular de raio a e altura h

(a)

em torno do eixo do cilindro

(b)

em torno do eixo através do centro da massa e perpendicular ao eixo cilíndrico

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Medium 9788582603208

Capítulo 8 - Trigonometria e Funções Trigonométricas

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

8

Trigonometria e Funções

Trigonométricas

A Trigonometria é uma área da Matemática bastante importante no Cálculo Diferencial e Integral. Os primeiros estudos sobre Trigonometria (do grego trigonon, triângulo, e metria, medição) tiveram origem nas relações entre lados e ângulos no triângulo e datam de muito tempo. Nosso objetivo principalneste capítulo é o estudo de funções trigonométricas. Podemos defini-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sanguínea em nosso sistema circulatório, a corrente elétrica alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical. Em todos esses fenômenos, uma grandeza oscila com regularidade e pode ser representada por funções trigonométricas. Neste capítulo, faremos primeiramente uma revisão de alguns conceitos básicos da Trigonometria necessários para o estudo das funções trigonométricas e suas inversas.

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Medium 9788565837156

Capítulo 13 - Lei da Média. Funções Crescentes e Decrescentes

Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 13

Lei da Média. Funções

Crescentes e Decrescentes

MÁXIMO E MÍNIMO RELATIVO

Uma função f é dita ter um máximo relativo em x0 se f(x0) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo x0

(e, para o qual, f(x) é definida). Em outras palavras, o valor de f em x0 é maior ou igual a todos os valores de f em pontos próximos. Analogamente, f é dita ter um mínimo relativo em x0 se f(x0) ≤ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo x0 (e, para o qual, f(x) é definida). Em outras palavras, o valor de f em x0 é menor ou igual a todos os valores de f em pontos próximos. Por extremo relativo de f, queremos dizer um máximo relativo ou um mínimo relativo de f.

Se f tem um extremo relativo em um ponto x0 no qual f ′(x0) é definida, então f ′(x0) = 0.

Logo, se f é diferenciável em um ponto no qual ela tem um extremo relativo, então o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal naquele ponto. Na Fig. 13-1, existem retas tangentes horizontais nos pontos A e B em que f adquire um valor máximo relativo e um mínimo relativo, respectivamente. Ver o Problema 5 para uma demonstração do Teorema 13.1.

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Medium 9788577806959

25: Funções de Bessel Kei (x)

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

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Funções de Bessel Ker (x)

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25

Funções de Bessel Kei (x)

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Medium 9788536307039

1. Os Jogos nas Aulas de Matemática

Stocco Smole, Kátia Cristina Grupo A PDF Criptografado

1

Os Jogos nas Aulas de Matemática

A

utilização de jogos na escola não é algo novo, assim como é bastante conhecido o seu potencial para o ensino e a aprendizagem em muitas áreas do conhecimento.

Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem, que permite alterar o modelo tradicional de ensino, o qual muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, que estão estreitamente relacionadas ao chamado raciocínio lógico.

As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática.

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Medium 9788577806959

21: Funções de Bessel K1(x)

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

20

Funções de Bessel K0(x)

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21

Funções de Bessel K1(x)

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Medium 9788577806218

Capítulo 8. Teoremas Limites

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

Teoremas Limites

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8

INTRODUÇÃO

DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV E A LEI FRACA DOS GRANDES NÚMEROS

O TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

A LEI FORTE DOS GRANDES NÚMEROS

OUTRAS DESIGUALDADES

LIMITANDO A PROBABILIDADE DE ERRO QUANDO APROXIMAMOS UMA SOMA

DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DE BERNOULLI INDEPENDENTES POR UMA VARIÁVEL

ALEATÓRIA DE POISSON

8.1 INTRODUÇÃO

Os mais importantes resultados teóricos na teoria da probabilidade são os teoremas limites. Destes, os mais importantes são as leis dos grandes números e os teoremas do limite central. Usualmente, teoremas são considerados leis de grandes números se estiverem interessados em enunciar condições nas quais a média de uma sequência de variáveis aleatórias converge (de alguma forma) para a média esperada. Por outro lado, teoremas do limite central estão interessados em determinar condições nas quais a soma de um grande número de variáveis aleatórias possui uma distribuição de probabilidade que é aproximadamente normal.

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Medium 9788577808335

APÊNDICE A Produtos Multilineares

Lipschutz, Seymour Grupo A PDF Criptografado

Apêndice A

Produtos Multilineares

A.1 INTRODUÇÃO

O material deste apêndice é muito mais abstrato do que o apresentado até aqui. Em vista disso, omitimos muitas demonstrações. Também motivamos este material com a observação seguinte.

Seja S uma base de um espaço vetorial V. O Teorema 5.2 pode ser reescrito como segue.

Teorema 5.2

quer aplicação

Seja

a aplicação inclusão de S em V. Então, dado qualquer espaço vetorial U e dada qual, existe uma única transformação linear tal que

Uma outra maneira de enunciar o fato de que

é dizer que o diagrama na Figura A-1(a) é comutativo.

Figura A-1

A.2 APLICAÇÕES BILINEARES E PRODUTOS TENSORIAIS

Sejam U, V, W espaços vetoriais sobre um corpo K. Dizemos que uma aplicação

é bilinear se, para cada

, a aplicação

, definida por

, é linear e se, para cada

, a aplicação

, definida por

, também é linear.

Assim, f é linear em cada uma de suas duas variáveis. Observe que f é análoga a uma forma bilinear, exceto que os valores da aplicação f estão num espaço vetorial U em vez do corpo K.

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Medium 9788563308047

Polímeros Orgânicos — Sintéticos e Naturais

Chang, Raymond Grupo A PDF Criptografado

Polímeros Orgânicos – Sintéticos e Naturais

22.1 Propriedades dos Polímeros 717

22.2 Polímeros Orgânicos Sintéticos 717

Reações de Adição • Reações de Condensação

22.3 Proteínas 721

Aminoácidos • Estrutura da Proteína

22.4 Ácidos Nucleicos 729

A força de um tipo de polímero chamado de Lexano é tão grande que

é utilizado para fazer vidros à prova de balas.

Conceitos Essenciais

Polímeros Orgânicos Sintéticos Muitos polímeros orgânicos têm sido sintetizados por diversos processos químicos. Eles imitam e às vezes superam as propriedades dos polímeros naturais. O náilon é o mais conhecido de todos os polímeros orgânicos sintéticos.

Proteínas São polímeros naturais, formados por aminoácidos, que realizam várias funções: catálise, transporte e armazenagem de substâncias vitais, movimento coordenado e proteção contra doenças. As estruturas complexas das proteínas têm sido analisadas em termos de suas estruturas primária, secundária, terciária e quaternária. A integridade tridimensional das moléculas de proteínas é mantida por várias forças intermoleculares e pelas ligações de hidrogênio.

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Medium 9788536314709

3 - Jogos envolvendo geometria

Smole, Kátia Stocco Grupo A PDF Criptografado

3

Jogos Envolvendo Geometria

O

ensino de geometria no ensino médio está associado ao estudo das propriedades relacionadas à posição das formas e às medidas. Esses dois focos possibilitam duas maneiras diferentes de pensar a geometria: uma marcada pela identificação de propriedades e outra marcada pela quantificação de volumes, áreas e comprimentos.

Se, por um lado, podemos identificar o ensino da geometria na escola com o estudo de objetos geométricos, suas relações e propriedades, as quais podem ser formalizadas em um sistema axiomático construído para representar essas mesmas relações e propriedades, por outro lado, é possível compreendermos esse ensino como o desenvolvimento do chamado raciocínio espacial. Este consiste no conjunto de processos que permitem construir representações mentais dos objetos geométricos e suas propriedades.

A geometria e o raciocínio espacial estão fortemente inter-relacionados. Nesse sentido, diferentes estudos sobre o ensino e a aprendizagem da matemática

(Clements e Battista, 1987; Usiskin 1994; Hoffer 1981) têm afirmado sua importância no desenvolvimento do pensamento geométrico. Os mesmos estudos levam-nos a perceber que esse desenvolvimento não ocorre de forma rápida, e nem somente ao longo do ensino fundamental, cabendo ao ensino médio uma parte considerável dessa tarefa.

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Medium 9788565837156

Capítulo 21 - Diferenciais. Método de Newton

Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 21

Diferenciais. Método de Newton onde Δy = f(x + Δx) − f(x). Logo, para valores de

Se uma função f é diferenciável em x, então

Δx próximos a 0, Δy/Δx estará próximo de f ′(x). Isso é comumente denotado como Δy/Δx ∼ f ′, ou seja,

(21.1)

Isso implica em

(21.2)

A fórmula (21.2) pode ser usada para aproximar valores de uma função.

Exemplo 21.1

Estimemos

Como

e Δx = 0,2. Então x + Δx = 16,2, f(x Δx) = a fórmula (21.2) se torna

. Sejam

ef

(Essa aproximação acaba se mostrando correta com três casas decimais. Para quatro casas decimais, o valor correto é 4,0249, o que pode ser verificado em uma calculadora gráfica.)

Estimemos sen (0,1). Aqui, f(x) = sen x, x = 0 e Δx = 0,1. Então x = Δx = 0,1, f(x + Δx) = sen (0,1) e f(x) = sen 0 = 0. Como f ′(x) = cos x = cos 0 = 1, a fórmula (21.2) implica em

Exemplo 21.2

sen

O verdadeiro valor acaba sendo 0,0998, correto com quatro casas decimais. Note que o método usado para esse problema mostra que sen u pode ser aproximado como sendo u para valores próximos de 0.

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Medium 9788586804922

1.7 Fatoração LU

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd

31.08.56

52

11:21 AM

CAPÍTULO 1

Page 52

Equações Lineares e Matrizes

16. Se B = UA e U é inversível, mostre que A → B por

11. Seja E uma matriz elementar. Mostre que ET é também uma

operações com as linhas.

matriz elementar, do mesmo tipo que E.

17. a) Mostre que toda matriz A de tamanho m × n pode ser

12. Em cada caso, ou mostre que a afirmação é verdadeira

fatorada como A = UR onde U é inversível e R está na forma escalonada reduzida. b) Mostre que a matriz R na fatoração em a) é única, isto é, se A = U1R1 como em a), então R1 = R. c) Mostre que a fatoração em a) pode não ser única em geral.

ou dê um exemplo mostrando que ela é falsa. a) Se B = EA onde E é elementar, então A = FB para alguma matriz elementar F. b) O produto de duas matrizes elementares é também elementar. c) A transposta de uma matriz elementar é também elementar. d) Se A → R e B → R onde R é uma matriz escalonada reduzida, então A = B.

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Medium 9788577806959

7: Fórmulas Geométricas

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção II: Geometria

7

Fórmulas Geométricas

Retângulo de comprimento b e largura a

7.1 Área � ab

7.2 Perímetro � 2a � 2b

Fig. 7-1

Paralelogramo de altura h e base b

7.3 Área � bh � ab sen �

7.4 Perímetro � 2a � 2b

Fig. 7-2

Triângulo de altura h e base b

7.5 Área

onde

semiperímetro

7.6 Perímetro � a � b � c

Fig. 7-3

Trapezoide de altura h e lados paralelos a e b

7.7 Área

7.8 Perímetro

Fig. 7-4

28

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Polígono regular de n lados de comprimento b

7.9 Área

7.10 Perímetro � nb

Fig. 7-5

Círculo de raio r

7.11 Área � �r

2

7.12 Perímetro � 2�r

Fig. 7-6

Setor do círculo de raio r

7.13 Área

7.14 Comprimento do arco s � r�

[com � em radianos]

Fig. 7-7

Raio de um círculo inscrito em um triângulo de lados a, b, c

7.15 onde

semiperímetro.

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