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15 - Tipos Especiais de Equações

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

15

Tipos Especiais de Equações

O objetivo deste capítulo é destacar alguns tipos de equações, de 1a e 2a ordens, e as técnicas usualmente utilizadas para obter suas soluções. Sugerimos ao leitor ver, também, referência bibliográfica 23.

  15.1    Equação Diferencial de 1 a Ordem e de Variáveis Separáveis

vídeo 2.1

dy

= f (x)g( y). dx

Soluções constantes

Seja a uma constante real. y  a é solução ⇔ a é raiz de g(y)  0.

Soluções não constantes

Separam-se as variáveis e integra-se. dy

= f (x) dx; g( y) dy

∫ g( y) = ∫ f (x) dx.

(Veja Vol. 1.)

Cap15-Guidorizzi.indd 380

11/8/18 4:27 PM

Tipos Especiais de Equações

381

Exemplo 1 

Solução

dy

 x2 + 1. dx

A equação não admite solução constante. Para obter as soluções não constantes, separam-se as variáveis e integra-se. dy  (x2 + 1) dx;

2

∫ dy = ∫ (x + 1) dx;

y=

3

x

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Medium 9788521632535

Apêndices

Douglas C. Montgomery, George C. Runge Grupo Gen PDF Criptografado

Apêndices

Apêndice A. Tabelas e Gráficos Estatísticos

569

Tabela I

Sumário de Distribuições Comuns de Probabilidade

570

Tabela II

Probabilidades Cumulativas Binomiais P(X ≤ x) 571

Tabela III

Distribuição Cumulativa Normal Padrão

574

Tabela IV

Pontos Percentuais x2a,v da Distribuição Qui-Quadrado

576

Tabela V

Pontos Percentuais ta,v da Distribuição t

577

Tabela VI

Pontos Percentuais fa,v1,v2 da Distribuição F

578

Gráfico VII

Curvas Características Operacionais

583

Tabela VIII

Valores Críticos para o Teste do Sinal

592

Tabela IX

Valores Críticos para o Teste de Wilcoxon do Posto Sinalizado

592

Tabela X

Valores Críticos para o Teste de Wilcoxon da Soma dos Postos Sinalizados

593

Tabela XI

Fatores para Construção de Gráficos de Controle para Variáveis

594

Tabela XII

Fatores para Intervalos de Tolerância

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Medium 9788521636946

11 Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Depois de separar as variáveis em uma equação diferencial parcial no Capítulo 10, encontramos diversas vezes a equação diferencial

com as condições de contorno

Este problema de valores de contorno é o protótipo de uma classe grande de problemas importantes em Matemática aplicada, conhecidos como problemas de valores de contorno de Sturm-Liouville. Neste capítulo, vamos discutir as propriedades mais importantes dos problemas de Sturm-Liouville, inclusive existência e unicidade de soluções; no processo, seremos capazes de generalizar um pouco o método de separação de variáveis para equações diferenciais parciais.

No Capítulo 10, descrevemos o método de separação de variáveis como um modo de resolver alguns problemas envolvendo equações diferenciais parciais. O problema de condução de calor, consistindo na equação diferencial parcial

sujeita às condições de contorno

e à condição inicial

é um exemplo típico dos problemas considerados aqui. Uma parte crucial no processo de resolução de tais problemas é encontrar os autovalores e autofunções da equação diferencial

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Medium 9788521625469

7 - Aplicações de Espaços Vetoriais Reais (Opcional)

Kolman, Hill Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

7

APLICAÇÕES DE ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

(OPCIONAL)

7.1 FATORAÇÃO QR

Pré-requisito. Seção 6.8, Bases Ortonormais em Rn.

Na Seção 1.8, discutimos sobre a fatoração LU de uma matriz e mostramos como ela conduz a um método muito eficiente para a resolução de um sistema linear. Discutimos agora outro tipo de fatoração de uma matriz A, chamada fatoração QR de A. Esse tipo de fatoração

é muito utilizado em programas de computador para encontrar os autovalores de uma matriz (Capítulo 8), para resolver sistemas lineares e para encontrar as aproximações por mínimos quadrados (veja Seção 7.2 para ler a respeito de mínimos quadrados).

TEOREMA 7.1

Se A é uma matriz m ϫ n com colunas linearmente independentes, então A pode ser fatorada como A ϭ QR, onde Q é uma matriz m ϫ n cujas colunas formam uma base ortonormal para o espaço coluna de A e R é uma matriz n ϫ n triangular superior invertível.

Demonstração

Representamos por u1, u2, …, un as colunas linearmente independentes de A que formam uma base para o espaço coluna de A. Utilizando o processo de Gram–Schmidt (veja Teorema 6.18 da Seção 6.8), podemos obter uma base ortonormal w1, w2, …, wn para o espaço coluna de A. Lembre-se de como esta base ortonormal foi obtida. Primeiro, construímos uma base ortogonal v1, v2, …, vn como a seguir: v1 ϭ u1 e, então, para i ϭ 2, 3, …, n temos

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Medium 9788521632146

2 Funções Lineares, Quadráticas, Polinomiais e Racionais

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

2

Estátua do matemático e poeta persa Omar Khayyam, cujo livro de álgebra, escrito em 1070, conteve o primeiro estudo sério sobre polinômios cúbicos.

Funções Lineares, Quadráticas,

Polinomiais e Racionais

Neste capítulo nos concentraremos em quatro importantes classes especiais de funções.

Funções lineares constituem nossa primeira classe especial de funções. Embora retas e suas inclinações sejam conceito simples, são de uma importância imensa.

A seguir, estudaremos funções quadráticas, nossa segunda classe especial de funções. Veremos como completar quadrados e como resolver equações quadráticas.

Expressões quadráticas vão levar às seções cônicas: parábolas, elipses e hipérboles.

Aprenderemos como determinar o vértice de uma parábola e veremos as propriedades geométricas de elipses e hipérboles.

Depois, vamos fazer um pequeno desvio para estudar potências. Veremos por que x° é definido como igual a 1, x –m é definido como igual a número cuja m-ésima potência é igual a x.

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