543 capítulos
Medium 9788521636946

10 Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Em muitos problemas físicos importantes, existem duas ou mais variáveis independentes, de modo que o modelo matemático correspondente envolve equações diferenciais parciais, em vez de ordinárias. Este capítulo trata de um método importante para resolver equações diferenciais parciais, conhecido como método de separação de variáveis. Sua característica essencial é a substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que têm que ser resolvidas sujeitas a condições iniciais ou de contorno. A primeira seção deste capítulo trata de algumas propriedades básicas de problemas de valores de contorno para equações diferenciais ordinárias. A solução desejada da equação diferencial parcial é expressa, então, como uma soma, em geral uma série infinita, formada por soluções das equações diferenciais ordinárias. Em muitos casos, acabaremos tendo que lidar com uma série em senos e/ou cossenos, de modo que parte deste capítulo é dedicada a uma discussão de tais séries, conhecidas como séries de Fourier. Após o estudo da base matemática necessária, ilustramos o uso do método de separação de variáveis em diversos problemas ligados à condução de calor, à propagação de ondas e à teoria do potencial.

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Medium 9788577806959

10: Fórmulas da GeometriaAnalítica Espacial

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Fórmulas da Geometria

Analítica Espacial

10

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.1

Fig. 10-1

Cossenos diretores de uma reta ligando os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.2 onde �, �, � são os ângulos que a linha P1 P2 faz com os eixos x, y e z, respectivamente, e d é dado por 10.1 [ver Fig. 10-1].

Relação entre os cossenos diretores

10.3

Números diretores

Os números L, M e N, os quais são proporcionais aos cossenos diretores l, m e n, são chamados de números diretores. A relação entre eles é dada por

10.4

46

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma padrão

10.5

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma paramétrica

10.6 x � x1 � lt, y � y1 � mt, z � z1 � nt

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

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Medium 9788577806959

10: Integrais Exponencial,Seno e Cosseno

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

10

Integrais Exponencial,

Seno e Cosseno

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Medium 9788577804825

10. Retas e Planos

Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira Grupo A PDF Criptografado

178  Geometria Analítica

Reescrevendo a Equação 10.1 em termos das coordenadas dos pontos P e

Q e do vetor v, temos:

e, pela igualdade dos vetores, obtemos:

(10.2) denominadas equações paramétricas da reta r, que passam pelo ponto

Q(x0, y0, z0) e tem direção dada pelo vetor v = (a, b, c). São denominadas equações paramétricas porque as coordenadas (x, y, z) de cada ponto da reta são dadas em função da variável t, denominada parâmetro.

Exemplo 10.1 Determine as equações paramétricas da reta r que passa por

Q(1, −3, 2) e tem direção dada pelo vetor v = (−4, 3, 2).

Substituindo as coordenadas do ponto e do vetor na Equação 10.2 obtemos:

Dadas as equações paramétricas de uma reta, para cada valor do parâmetro t obtemos um ponto da reta, e, reciprocamente, cada ponto da reta corresponde a um valor do parâmetro t. Assim, quando o parâmetro t varia no intervalo real −ϱ < t < ϱ, as equações paramétricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da reta. Deste ponto em diante, omitiremos o intervalo de variação do parâmetro ao escrevermos a equação de uma reta*.

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Medium 9788521635437

10 - rimitivas

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Primitivas

 10.1   Relação entre Funções com Derivadas Iguais

Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Entretanto, uma função pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domínio e não ser constante; por exemplo

é tal que f 9(x) 5 0 em todo x no seu domínio, mas f não é constante. O próximo teorema, que

é uma consequência do TVM, conta-nos que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo, então f será constante neste intervalo.

Teorema. Seja f contínua no intervalo I. Se f 9(x) 5 0 em todo x interior a I, então existirá uma constante k tal que f (x) 5 k para todo x em I.

Demonstração

Seja x0 um ponto fixo em I. Vamos provar que, para todo x em I, f (x) 5 f (x0), o que significará que f é constante em I. Para todo x em I, x  x0, existe, pelo TVM, um pertencente ao intervalo aberto de extremos x e x0 tal que f (x) 2 f (x0) 5

(x 2 x0).

(Observe que de acordo com a hipótese, f é contínua no intervalo fechado de extremos x e x0 e derivável no intervalo aberto de mesmos extremos.)

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