1691 capítulos
Medium 9788563308047

Reações em Solução Aquosa

Chang, Raymond Grupo A PDF Criptografado

Reações em Solução Aquosa

4.1

Propriedades Gerais das Soluções Aquosas 94

Eletrólito versus Não-eletrólito

4.2

Reações de Precipitação 96

Solubilidade • Equações Completas e Equações Iônicas

4.3

Reações Ácido-Base 100

Propriedades Gerais dos Ácidos e Bases • Ácidos e Bases de Brønsted • Neutralização Ácido-Base • Reações Ácido-Base

Que Conduzem à Formação de Gases

4.4

Reações de Oxirredução 105

Número de Oxidação • Algumas Reações de Oxirredução Comuns

4.5

Concentração de Soluções 113

Diluição de Soluções

4.6

Estequiometria 117

Análise Gravimétrica • Titulações Ácido-Base

Conceitos Essenciais

Reações em Solução Aquosa Muitas reações químicas e quase todas as reações bioquímicas ocorrem em meio aquoso. As substâncias (solutos) que se dissolvem em água (solvente) podem ser divididas em duas categorias (eletrólitos e não-eletrólitos), dependendo de suas capacidades em conduzir a corrente elétrica.

Três Principais Tipos de Reações Em uma reação de precipitação, o produto, uma substância insolúvel, separa-se da solução. Uma reação

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Medium 9788577806959

33: Valor Presente de um Montante

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

33

Valor Presente de um Montante

(1 ⫹ r)

–n

O valor presente P que equivalerá a um montante A no final de n períodos, sendo aplicado a uma taxa de juros r (em decimais)

–n compostos a cada período, é P ⫽ A(1 ⫹ r) .

0,

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Medium 9788577806959

22: Séries de Taylor

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

22

Séries de Taylor

Séries de Taylor para funções de uma variável

22.1 onde Rn, o enésimo resto, é dado por qualquer uma das duas formas seguintes:

22.2 Forma de Lagrange:

22.3 Forma de Cauchy:

O valor ␰, o qual pode ser diferente nas duas formas, fica entre a e x. O resultado é válido se f(x) tem derivadas contínuas de ordem n, pelo menos.

Se a série infinita obtida é denominada série de Taylor para f(x) em x ⫽ a. Se a ⫽ 0, a série

é, frequentemente, denominada série de Maclaurin. Essas séries são denominadas séries de potências, que, em geral, convergem em todos os valores de x de algum intervalo, denominado intervalo de convergência e divergem em todos os x fora desse intervalo.

Algumas séries contêm os números de Bernoulli Bn e os números de Euler En definidos no Capítulo 23.

Séries binomiais

22.4

Casos especiais:

22.5

22.6

22.7

22.8

22.9

22.10

22.11

22.12

CAPÍTULO 22 • SÉRIES DE TAYLOR

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Medium 9788521625469

6 - Espaços Vetoriais Reais

KOLMAN, Bernard; HILL, David Ross Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

6.1 ESPAÇOS VETORIAIS

Já definimos o Rn e examinamos algumas de suas propriedades básicas no Teorema 4.2.

Devemos agora estudar a estrutura fundamental do Rn. Em várias aplicações matemáticas, nas ciências e na engenharia surge a noção de um espaço vetorial. Este conceito consiste simplesmente em uma generalização do Rn construída de maneira cuidadosa. Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial, podemos estudar não somente o Rn, mas vários outros espaços vetoriais importantes. Nesta seção, definimos a noção geral de um espaço vetorial e, nas seções seguintes, estudamos sua estrutura.

DEFINIÇÃO 1*

Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações � e ᭪ que satisfazem as seguintes propriedades:

(␣) Se u e v são quaisquer elementos de V, então u � v está em V (i. e., V é fechado em relação à operação �).

(a) u � v ϭ v � u, para u e v em V.

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Medium 9788577809264

35 multiplicação e inversa de matrizes

Safier, Fred Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 35

Multiplicação e Inversa de Matrizes

DEFINIÇÃO DE PRODUTO INTERNO

O produto interno de uma linha da matriz A por uma coluna da matriz B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B; o produto interno é o seguinte número real: multiplique cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B e some os resultados. Desse modo:

Exemplo 35.1

Encontre o produto interno da linha 1 de

pela coluna 2 de

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B; o produto AB é definido da seguinte maneira: assumindo que A seja uma matriz m ϫ p e B, uma matriz p ϫ n, então, C ϭ AB é uma matriz m ϫ n com o elemento na linha i e coluna j sendo o produto interno da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B.

Exemplo 35.2 Sejam

e

. Encontre AB.

Primeiro, observe que A é uma matriz 2 ϫ 2 e B é uma matriz 2 ϫ 3; logo, AB é definido e é uma matriz 2 ϫ 3. O elemento na linha 1, coluna 1 de AB é o produto interno da linha 1 de A com a coluna 1 de B, portanto:

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