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Medium 9788521622796

CAPÍTULO 4 - PROJEÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Theodore Shifrin, Malcom R. Adams Grupo Gen PDF Criptografado

C A P Í T U L O

4

PROJEÇÕES E

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

S

e um sistema linear Ax ϭ b for inconsistente, é claro que não tem solução. Mas poderíamos tentar fazer o melhor que estivesse ao nosso alcance resolvendo, em vez deste, o sistema

Ax ϭ p, em que p é o vetor mais próximo de b, situado no espaço coluna de A. Isso naturalmente envolverá a noção de projeção de vetores de Rn sobre subespaços, que é nosso exemplo fundamental de transformação linear. Neste capítulo, continuaremos a discussão, iniciada no

Capítulo 2, de transformações lineares – as funções subjacentes às matrizes. Veremos que uma mesma transformação linear dada pode ser representada por matrizes bastante diferentes, dependendo da base (ou do sistema de coordenadas) subjacente ao nosso espaço vetorial. Uma base adequadamente escolhida pode levar a uma representação matricial mais “conveniente” e

à melhor compreensão da própria transformação linear.

1 Sistemas Inconsistentes e Projeção

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Medium 9788582604595

Capítulo 8 - Mais aplicações da integral e polinômios de Taylor

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

8  M

� AIS APLICAÇÕES DA

INTEGRAL E POLINÔMIOS

DE TAYLOR

N

as três primeiras seções deste capítulo, desenvolvemos alguns usos adicionais da integração, incluindo duas importantes aplicações à Física. Na última seção, introduzimos os polinômios de Taylor, que são generalizações da aproximação linear para ordens mais elevadas. Os polinômios de Taylor ilustram maravilhosamente o poder do Cálculo para fornecer entendimento valioso de funções.

8.1  Comprimento de arco e área de superfície

Os engenheiros utilizam integrais no projeto de represas para garantir que as paredes da represa consigam suportar a força da água.

(Earl Roberg/Science Source)

Vimos que as integrais são utilizadas para calcular “quantidades totais” (tais como distância percorrida, massa total, custo total, etc.). Outra dessas quantidades é o comprimento de uma curva (também denominado comprimento de arco). Deduzimos uma fórmula para o comprimento de arco usando nosso procedimento padrão: aproximação seguida de passagem ao limite. Nesse caso, aproximamos a curva por um caminho poligonal constituído de segmentos de reta que conectam pontos da curva. É fácil encontrar o comprimento de uma coleção de segmentos de reta. Então podemos tomar o limite da soma de seus comprimentos fazendo o número de segmentos crescer.

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Medium 9788521618102

Capítulo 3 - Pensamento Recursivo

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 3

Pensamento Recursivo

Os galhos da árvore espruce azul (Figura 3.1) seguem um padrão interessante. O tronco da árvore é um enorme caule central, com galhos saindo por todos os lados.

Desses galhos também saem caules mais finos, e assim continua, até o nível das agulhas. Um galho parece uma cópia em menor escala de toda a árvore, e mesmo um raminho se parece com a miniatura de um galho. Este

é um exemplo de recursão.

O fenômeno natural da recursão permeia muitas

áreas da matemática. Neste capítulo, você aprenderá como trabalhar com estruturas recursivas. Você irá desenvolver a habilidade de enxergar padrões recursivos em objetos matemáticos. E irá estudar indução matemática, uma ferramenta poderosa para demonstrar teoremas sobre estruturas recursivas.

Figura 3.1

3.1 Relações de Recorrência

3.1.1 Definição e Exemplos

Na matemática, o tipo mais simples e mais concreto de objeto recursivo é uma relação de recorrência. Suponha que desejamos definir uma função

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Medium 9788540700789

Capítulo 1 - Especificação de tipos primitivos: tipo TRUTH-VALUES

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

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especificação de tipos primitivos tipo TRUTH-VALUES

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A computação usa de forma recorrente o conceito matemático de álgebra1 para formalizar sua ciência: máquinas, gramática, autômatos, métodos formais, processos, banco de dados, software, hardware, etc. Entretanto, em vez de definir, na formalização, uma

álgebra diretamente, pode-se fazer uso de uma linguagem que a descreve. Os “programas” dessa linguagem são chamados de especificações algébricas.

Essa linguagem pode ser usada, também, com grandes vantagens para especificar tipos de dados, como visto na introdução, pois existe uma relação quase direta entre tipo de dado e álgebra.

Mais recentemente, tem-se usado também a teoria das categorias na modelagem.

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Introdução à Abstração de Dados

A seguir, é visto o primeiro tipo de dado, o tipo TRUTH-VALUES2 (figura 1.1). A especificação algébrica começa pela palavra-chave3 fmod (módulo funcional), é seguida do nome do tipo que está sendo especificado, TRUTH-VALUES, e termina com a palavra chave endfm, sendo composta por duas partes: a primeira, chamada de assinatura, e a segunda, de sentenças4. Os conjuntos de valores5 são classificados em sortes e espécies6.

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Medium 9788582604984

Capítulo 8 - Análise de função discriminante

Bryan F. J. Manly, Jorge A. Navarro Alberto Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 8

Análise de função discriminante

8.1 O problema da separação de grupos

O problema ao qual se direciona a análise de função discriminante trata de avaliar o quanto é possível separar dois ou mais grupos de indivíduos, sendo dadas medidas para estes indivíduos em várias variáveis. Por exemplo, com os dados na Tabela 1.1 sobre cinco medidas do corpo de 21 pardais sobreviventes e

28 não sobreviventes, é interessante considerar se é possível usar as medidas do corpo para separar sobreviventes e não sobreviventes. Também, para os dados mostrados na Tabela 1.2 sobre quatro dimensões de crânios egípcios para amostras de cinco períodos de tempo, é razoável considerar se as medidas podem ser usadas para atribuir crânios a diferentes períodos de tempo.

No caso geral, haverá m amostras aleatórias de diferentes grupos com tamanhos n1, n2, ..., nm, e valores estarão disponíveis para p variáveis X1, X2, ...,

Xp para cada membro de amostra. Então os dados para uma análise de função discriminante tomam a forma mostrada na Tabela 8.1. Os dados para uma análise de função discriminante não necessitam ser padronizados para ter médias zero e variâncias unitárias antes de começar a análise. Isso porque o resultado de uma análise de função discriminante não é afetado de nenhuma forma importante pelo escalonamento de variáveis individuais.

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