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Capítulo 29 - Aplicações de Integração I: Área e Comprimento de Arco

Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 29

Aplicações de Integração I:

Área e Comprimento de Arco

ÁREA ENTRE UMA CURVA E O EIXO y

Já sabemos como encontrar a área de uma região como aquela mostrada na Fig. 29-1, delimitada abaixo pelo eixo x, acima por uma curva y = f(x), e entre x = a e x = b. A área é a integral definida

Figura 29-1

Agora considere uma região como aquela mostrada na Fig. 29-2, delimitada à esquerda pelo eixo y, à direita por uma curva x = g(y), e entre y = c e y = d. Então, com um argumento similar àquele mostrado para a Fig. 29-1, a

área da região é a integral definida

Figura 29-2

_Livro_Ayres.indb 235

17/10/12 12:53

236

CÁLCULO

Considere a região delimitada à direita pela parábola x = 4 − y2, à esquerda pelo eixo y, e acima

Pelo Teorema Fundamental do e abaixo por y = 2 e y = −1. Ver Fig. 29-3. Então a área dessa região é

Exemplo 29.1

Cálculo, isso é

Figura 29-3

ÁREAS ENTRE CURVAS

Assuma que f e g são funções contínuas tais que g(x) ≤ f(x) para a ≤ x ≤ b. Então a curva y = f(x) está acima da curva y = g(x) entre x = a e x = b. A área A da região entre as duas curvas e que está entre x = a e x = b é dada pela fórmula

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Capítulo 31 - Técnicas de Integração I: Integração por Partes

Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 31

Técnicas de Integração I:

Integração por Partes

Se u e v são funções, a regra do produto implica em

o que pode ser reescrito em termos de antiderivadas como se segue:

Agora,

pode ser escrita como

e

, como

Logo,

e, portanto,

(integração por partes)

O propósito da integração por partes é substituir uma integração

“difícil de resolver” por uma integração

que seja “fácil”.

Exemplo 31.1

Encontre

Para usar a fórmula de integração por partes, devemos dividir o integrando forma que possamos encontrar facilmente v por uma integração e também

= x dx. Então, podemos estabelecer

e fazer

em duas “partes” u e dv de

Neste exemplo, faça u = ln x e dv

Logo, a fórmula de integração por partes implica em

A integração por partes pode ser aplicada de forma mais simples montando uma tabela, como a que se segue do Exemplo 1.

† onde, depois da integração à direita, a variável v é substituída pela função correspondente de x. De fato, pela

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