4 capítulos
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10 - Equações Diferenciais de 1ª Ordem

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Equações Diferenciais de 1a Ordem vídeos 2.1,

2.2 e 2.3

  10.1    Equação Diferencial de 1 a Ordem

Por uma equação diferencial de 1a ordem entendemos uma equação do tipo dy

5 F(x, y) dx

(ou y9 5 F(x, y))

em que F(x, y) é uma função definida em um aberto Ω do R2 . Uma função y 5 y(x) definida em um intervalo aberto I é uma solução dessa equação se, para todo x em I, ocorrer y9(x) 5 F(x, y(x)).

2 dy

5

Exemplo 1  Verifique que y 5 e x , x ∈ R, é uma solução da equação diferencial dx

2

2xy. (Aqui F(x, y) 5 2xy e Ω 5 R .)

Solução

2 dy

  Precisamos verificar que sendo y 5 e x , a igualdade

5 2xy se verifica para todo x. Para dx todo x, temos

2

2 dy

= (e x )9 = 2xe x = 2xy. dx

2

Assim, y 5 e x , x em R, é uma solução da equação dada. dy

5 3x + 5 que satisfaça a

Exemplo 2  Determine uma solução y 5 y(x) da equação dx condição inicial y(0) 5 2. (Aqui F(x, y) 5 3x + 5.)

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14 - Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais de 1ª e 2ª Ordens

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CAPÍTULO

14

Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações

Diferenciais de 1a e 2a Ordens vídeo 3.30

  14.1    Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais de 1 a e 2 a Ordens

Teorema (de existência e unicidade para equação diferencial de 1a ordem do tipo y9  f(x, y)). Seja W um subconjunto aberto do R2 e seja f(x, y) definida em W. Suponhamos

∂f que f e sejam contínuas em W. Seja (x0, y0) um ponto qualquer de W.

∂y

Nestas condições, a equação a

y9  f(x, y)

admite uma solução y y(x), x ∈ I, que satisfaz a condição inicial y(x0)  y0, em que I é um intervalo aberto contendo x0.

Além disso, se y  j1(x) e y  j2(x) forem soluções de a, definidas em intervalos abertos

I1 e I2 contendo x0, tais que

j1(x0)  j2(x0), então, para todo x ∈ I1 ∩ I2,

j1(x)  j2(x).

O teorema acima, cuja demonstração se encontra no Apêndice A, conta-nos que se f e ∂ f

∂y forem contínuas em W, então, para cada (x0, y0) ∈ W, a equação a admitirá uma solução cujo gráfico passa por (x0, y0). O teorema conta-nos, ainda, se os gráficos de duas soluções j1 e j2, definidas em intervalos abertos I1 e I2, interceptam-se em algum ponto, então j1(x)  j2(x) em I1 ∩ I2.

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12 - Sistemas de Duas e Três Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem e com Coeficientes Constantes

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CAPÍTULO

12

Sistemas de Duas e Três Equações

Diferenciais Lineares de 1a Ordem e com Coeficientes Constantes vídeos 7.1,

7.2 e 7.3

 12.1   Sistema Homogêneo de Duas Equações

Diferenciais Lineares de 1 a Ordem, com

Coeficientes Constantes

Um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1a ordem, homogêneo, com coeficientes constantes, é um sistema do tipo a

⎧⎪ x 5 a11x 1 a12 y

⎩⎪ y 5 a21x 1 a22 y

em que os aij são reais dados. Uma solução de a é um par de funções

⎧ x 5 x (t)

⎩⎪ y 5 y (t)

t ∈ I (I intervalo)

tal que, para todo t ∈ I,

⎧⎪ x (t) 5 a11x (t) 1 a12 y (t)

⎩⎪ y (t) 5 a21x (t) 1 a22 y (t).

Exemplo 1  O par de funções x 5 cos t e y 5 sen t, t ∈ R, é uma solução do sistema

⎧ x 52 y

⎩ y 5 x, pois, para todo t ∈ R,

⎧(cos t)952sen t

⎪⎩(sen t)95 cos t.

Cap12-Guidorizzi.indd 278

11/8/18 4:25 PM

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Apêndice A - Teorema de Existência e Unicidade para Equação Diferencial de 1ª Ordem do Tipo y = f(x, y)

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APÊNDICE

A

Teorema de Existência e Unicidade para Equação Diferencial de

1a Ordem do Tipo y9 = f(x, y)

 A.1    Preliminares

Lema 1. Seja a equação y9 = f (x, y)

a

em que f : Ω ⊂ R2 → R é contínua no aberto Ω. Seja (x0, y0) ∈ Ω. Nestas condições, y  y(x), x ∈ I, será uma solução satisfazendo a condição inicial y (x0)  y0, com x0 no intervalo I, se e somente se y(x) = y0 +

x

∫x

0

f (s, y(s)) ds

para todo x ∈ I.

Demonstração

Se y  y(x), x ∈ I, é solução de a, então y9(x)  f (x, y(x)) para todo x em I. Como estamos supondo y(x0)  y0, vem y(x) = y0 +

x

∫x

0

f (s, y(s)) ds

para todo x em I. Reciprocamente, se y(x) = y0 +

x

∫x

0

f (s, y(s)) ds, x ∈ I,

então teremos y(x0)  y0

CapApenA-Guidorizzi.indd 403

8/24/18 4:00 PM

Apêndice A

404 e, pelo teorema fundamental do cálculo, y9(x)  f (x, y(x)), x ∈ I.

j

∂f seja, também,

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