8 capítulos
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14 - Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis e lineares

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14

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE

1.a ORDEM DE VARIÁVEIS

SEPARÁVEIS E LINEARES

14.1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS: ALGUNS EXEMPLOS

As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos.

EXEMPLO 1. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro da posição. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

Solução

Neste problema, o que nos interessa determinar é a função de posição x ϭ x (t). De acordo com o enunciado do problema, o movimento é regido pela equação diferencial de 1.ª ordem dx

ϭ 2 x. dt

Conforme o Exercício 2 da Seção 10.1, as funções que satisfazem tal equação são da forma x ϭ ke2t, k constante. Assim, a função de posição do movimento é da forma x ϭ ke2t. ᭿

EXEMPLO 2. Uma partícula de massa m ϭ 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma

única força, paralela ao deslocamento, com componente f (x) ϭ Ϫx. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

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14 - Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais de 1ª e 2ª Ordens

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CAPÍTULO

14

Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações

Diferenciais de 1a e 2a Ordens vídeo 3.30

  14.1    Teoremas de Existência e Unicidade de Soluções para Equações Diferenciais de 1 a e 2 a Ordens

Teorema (de existência e unicidade para equação diferencial de 1a ordem do tipo y9  f(x, y)). Seja W um subconjunto aberto do R2 e seja f(x, y) definida em W. Suponhamos

∂f que f e sejam contínuas em W. Seja (x0, y0) um ponto qualquer de W.

∂y

Nestas condições, a equação a

y9  f(x, y)

admite uma solução y y(x), x ∈ I, que satisfaz a condição inicial y(x0)  y0, em que I é um intervalo aberto contendo x0.

Além disso, se y  j1(x) e y  j2(x) forem soluções de a, definidas em intervalos abertos

I1 e I2 contendo x0, tais que

j1(x0)  j2(x0), então, para todo x ∈ I1 ∩ I2,

j1(x)  j2(x).

O teorema acima, cuja demonstração se encontra no Apêndice A, conta-nos que se f e ∂ f

∂y forem contínuas em W, então, para cada (x0, y0) ∈ W, a equação a admitirá uma solução cujo gráfico passa por (x0, y0). O teorema conta-nos, ainda, se os gráficos de duas soluções j1 e j2, definidas em intervalos abertos I1 e I2, interceptam-se em algum ponto, então j1(x)  j2(x) em I1 ∩ I2.

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12 - Sistemas de Duas e Três Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem e com Coeficientes Constantes

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CAPÍTULO

12

Sistemas de Duas e Três Equações

Diferenciais Lineares de 1a Ordem e com Coeficientes Constantes vídeos 7.1,

7.2 e 7.3

 12.1   Sistema Homogêneo de Duas Equações

Diferenciais Lineares de 1 a Ordem, com

Coeficientes Constantes

Um sistema de duas equações diferenciais lineares de 1a ordem, homogêneo, com coeficientes constantes, é um sistema do tipo a

⎧⎪ x 5 a11x 1 a12 y

⎩⎪ y 5 a21x 1 a22 y

em que os aij são reais dados. Uma solução de a é um par de funções

⎧ x 5 x (t)

⎩⎪ y 5 y (t)

t ∈ I (I intervalo)

tal que, para todo t ∈ I,

⎧⎪ x (t) 5 a11x (t) 1 a12 y (t)

⎩⎪ y (t) 5 a21x (t) 1 a22 y (t).

Exemplo 1  O par de funções x 5 cos t e y 5 sen t, t ∈ R, é uma solução do sistema

⎧ x 52 y

⎩ y 5 x, pois, para todo t ∈ R,

⎧(cos t)952sen t

⎪⎩(sen t)95 cos t.

Cap12-Guidorizzi.indd 278

11/8/18 4:25 PM

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5 - Equações diferenciais lineares de 1ª e 2ª ordens, com coeficientes constantes

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5

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

LINEARES DE 1.ª E 2.ª ORDENS,

COM COEFICIENTES CONSTANTES

5.1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR, DE 1.ª ORDEM,

COM COEFICIENTE CONSTANTE

Sejam dados um número a e uma função f definida e contínua num intervalo I. Uma equação diferencial linear, de 1.ª ordem, com coeficiente constante, é uma equação da forma dx

ϩ ax ϭ f (t ). dt

Multiplicando ambos os membros de ቢ pelo fator integrante eat (veja Cap. 14, Seção

14.6, do Vol. 1) obtemos e at

dx

ϩ axe at ϭ e at f (t ) dt

ou d

[ xe at ] ϭ e at f (t ) dt

pois,

CAP005-GUII-V2

d dx at

[ xe at ] ϭ e ϩ axe at . dt dt

71

18.03.13, 14:23

72

Um Curso de Cálculo — Vol. 2

Como f é contínua em I, eat f (t) admite primitiva em I. De ባ segue que xeat é da forma xeat ϭ k ϩ

at

∫e

f (t) dt

ou x ϭ keϪat ϩ eϪat

at

∫e

f (t) dt

com k constante. Por outro lado, é fácil verificar que as funções da forma ቤ são soluções de

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Capítulo 8 - Introdução à Estatística e à Descrição de Dados

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

8

Introdução à Estatística e à Descrição de Dados

8-1 O CAMPO DA ESTATÍSTICA

A estatística trabalha com a coleta, apresentação, análise e uso de dados para a resolução de problemas, tomada de decisões, desenvolvimento de estimativas e planejamento e desenvolvimento tanto de produtos quanto de procedimentos. Uma compreensão da estatística básica e dos métodos estatísticos

é de utilidade para qualquer pessoa nessa era da informação; no entanto, como engenheiros, cientistas e os que trabalham com a ciência do gerenciamento estão rotineiramente ocupados com dados, o conhecimento de estatística e dos métodos estatísticos básicos é, para eles, de vital importância. Nesta economia mundial intensamente competitiva e de alta tecnologia da primeira década do século XXI, as expectativas dos consumidores em relação à qualidade, ao desempenho e à confiabilidade de produtos cresceram significativamente em relação às expectativas do passado recente. Além disso, passamos a esperar altos níveis de desempenho de sistemas logísticos em todos os níveis, e a operação e o refinamento desses sistemas são, em grande parte, dependentes da coleta e do uso de dados. Enquanto aqueles que trabalham em várias “indústrias de serviços” lidam com problemas de alguma forma, diferentes em um nível básico eles também estão coletando dados a serem usados na resolução de problemas e na melhora do “serviço”, de modo a se tornarem mais competitivos na conquista de sua fatia do mercado.

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