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Capítulo 24 Análise de Dados. Teoria da Probabilidade

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Mostraremos como se manipula dados numericamente ou em termos de gráficos, e como a partir deles extrair informação (tamanho médio, dispersão dos dados etc.). Se estes dados forem influenciados pelo “acaso”, por fatores cujo efeito não podemos prever exatamente (por exemplo, dados climáticos, preços de ações, vida útil de pneus etc.), precisamos confiar na teoria da probabilidade. Esta teoria originou-se em jogos de azar, tais como lançar moedas, jogar dados ou cartas de baralho. Atualmente, ela fornece modelos matemáticos para processos de acaso denominados experimentos aleatórios ou, simplesmente, experimentos. Nesses experimentos, observamos uma variável aleatória X, uma função cujos valores em uma tentativa (uma performance de um experimento) ocorrem “por acaso” (Seção 24.3) de acordo com uma distribuição de probabilidade, que fornece as probabilidades individuais com as quais possíveis valores de X podem ocorrer no longo prazo. (Por exemplo, cada uma das seis faces de um dado deve ocorrer com a mesma probabilidade, 1/6.) Ou podemos, simultaneamente, observar mais de uma variável aleatória, por exemplo, altura e peso de pessoas, ou dureza e tensão de ruptura do aço. Isso será discutido na Seção 24.9, na qual também vamos apresentar a base para a justificativa matemática dos modelos estatísticos do Capítulo 25.

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Capítulo 17 Mapeamento Conforme

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Mapeamentos conformes, além de inestimáveis para o engenheiro e para o físico, auxiliam na resolução de problemas em teoria do potencial. Eles constituem um método-padrão para resolver problemas de contorno em teoria do potencial bidimensional e fornecem ricas aplicações em eletrostática, fluxo do calor, escoamento de fluidos, como veremos no Capítulo 18.

A principal característica dos mapeamentos conformes é que eles preservam os ângulos (exceto em alguns pontos críticos) e permitem uma abordagem geométrica para a análise complexa. Mais detalhes a seguir.

Considere uma função complexa w = f(z) definida em um domínio D do plano z; então, a cada ponto em D corresponde um ponto no plano w. Desta forma, obtemos um mapeamento de D sobre a distribuição de valores de f(z) no plano w. Na Seção 17.1, iremos mostrar que, se f(z) for uma função analítica, então o mapeamento dado por w = f(z) é um mapeamento conforme, isto é, preserva ângulos, exceto em pontos nos quais a derivada f'(z) é zero. (Estes pontos são denominados pontos críticos.)

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Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

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Apêndice 5 Tabelas

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9. Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10.

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A1 Funções de Bessel

Para tabelas mais extensivas, veja a Ref. [GenRef1] no Apêndice 1.

Tabela A2 Função Gamma

[veja (24) no Apêndice A3.1]

Tabela A3 Função Fatorial e Seus Logaritmos com Base 10

Tabela A4 Função Erro, Integrais Seno e Cosseno

[veja (35), (40), (42) no Apêndice A3.1]

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8 Métodos Numéricos

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Até agora, discutimos métodos para resolver equações diferenciais usando técnicas analíticas como integração ou expansão em séries. Em geral, a ênfase era em encontrar uma expressão exata para a solução. Infelizmente, existem muitos problemas importantes em Engenharia e ciência, especialmente problemas não lineares, nos quais esses métodos ou não se aplicam, ou seu uso é muito complicado. Neste capítulo, adotaremos uma abordagem alternativa, a utilização de métodos numéricos aproximados para obtermos uma aproximação precisa da solução de um problema de valor inicial. Vamos apresentar esses métodos no contexto o mais simples possível, ou seja, uma única equação escalar de primeira ordem. No entanto, eles podem ser estendidos diretamente para sistemas de equações de primeira ordem, e isso está esquematizado brevemente na Seção 8.5. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados facilmente em uma ampla variedade de dispositivos computacionais, desde celulares a supercomputadores.

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