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Medium 9788521636090

Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

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Medium 9788540700789

Capítulo 12 - Prova de teoremas

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

12

prova de teoremas

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Este capítulo não é absolutamente necessário para especificar tipos de dados, mas responde a muitas perguntas quanto ao aprofundamento dos capítulos anteriores.

Genericamente, uma equação t1 = t2 é uma relação de igualdade entre dois termos em Ts. É indiferente qual termo está no lado esquerdo ou direito.

Como visto, t ≡ t' é o enunciado de um teorema, ou seja, t ≡ t' = true, se o par 〈t, t'〉 está na relação de congruência.

220

Introdução à Abstração de Dados

Suponha uma especificação como TRUTH-VALUES, enriquecida com um conjunto de variáveis e sem nenhuma equação. Cada termo em Ts não possui qualquer relação com outro termo, exceto consigo mesmo (propriedade reflexiva). As classes de congruências (ver capítulo 11), neste caso, são formadas por cada termo em Ts.

Suponha que a especificação receba uma primeira equação not true = false

Seja t um termo em Ts com subtermos not true e false. Se t' é a reescrita de t, então t' está em Ts e tem false no lugar de um de seus subtermos not true ou not true no lugar de um de seus subtermos false. Tomando outros subtermos de t, pode-se obter, por reescrita, t", t'"... Conforme a definição da relação de congruência (ver capítulo 1), t ≡ t', t ≡ t", t ≡ t'"... O termo t' tem uma redução que, por hipótese, é o termo v, que está em Ts.

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Medium 9788577807659

Capítulo 4 - Propriedades das linguagens regulares

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

4

propriedades das linguagens regulares

Linguagens regulares são representadas por formalismos muito simples, sendo possível desenvolver algoritmos de pouca complexidade, de grande eficiência e de fácil implementação.

Entretanto, possuem fortes limitações de expressividade.

É por isso que o estudo de algumas das principais propriedades das linguagens regulares, assunto tratado nesse capítulo,

é muito importante.

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114

Linguagens Formais e Autômatos

Uma das principais características das linguagens regulares é o fato de serem representadas por formalismos de pouca complexidade, grande eficiência e fácil implementação. Entretanto, por ser uma classe relativamente simples, é restrita e limitada, sendo fácil definir linguagens não regulares. Assim, algumas questões sobre linguagens regulares necessitam ser analisadas: a Como determinar se uma linguagem é regular? b A Classe das Linguagens Regulares é fechada para operações de união, concatenação e intersecção (ou seja, a operação de duas linguagens regulares resulta em uma linguagem regular)? c Como verificar se uma linguagem regular é infinita ou finita (ou até mesmo vazia)? d É possível analisar duas linguagens regulares quaisquer e concluir se são iguais ou diferentes?

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Medium 9788565837156

Capítulo 51 - Superfícies e Curvas no Espaço

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 51

Superfícies e Curvas no Espaço

PLANOS

Já sabemos (fórmula (50.22)) que a equação de um plano tem a forma Ax + By + Cz + D = 0, onde Ai + Bj + Ck é um vetor não nulo perpendicular ao plano. O plano passa pela origem (0, 0, 0) se, e somente se, D = 0.

ESFERAS

A partir da fórmula de distância (50.3), vemos que uma equação da esfera com raio r e centro (a, b, c) é

Então, uma esfera com centro na origem, (0, 0, 0) e raio r tem a equação

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

Uma equação F(x, y) normalmente define uma curva � no plano xy. Agora, se um ponto (x, y) satisfaz essa equação, então para qualquer z, o ponto (x, y, z) no espaço também satisfaz a equação. Logo, a equação F(x, y) = 0 determina a superfície cilíndrica obtida quando movemos a curva � paralelamente ao eixo z. Por exemplo, a equação x2 + y2 = 4 determina um círculo no plano xy com raio 2 e centro na origem. Se movemos esse círculo paralelamente ao eixo z, obtemos um cilindro circular reto. Logo, o que normalmente chamamos de cilindro é um caso especial de uma superfície cilíndrica.

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Medium 9788521635437

2 - Funções

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

2

Funções

 2.1  �Funções de uma Variável Real a Valores Reais

vídeo 1.1

Entendemos por uma função f uma terna

(A, B, a A b) em que A e B são dois conjuntos e a A b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A 5 Df . O conjunto B é o contradomínio de f . O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f (a)

(leia: f de a); diremos que f (a) é o valor que f assume em a ou que f (a) é o valor que f associa a a.

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A → B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A → B, em que A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A → B uma função. O conjunto

denomina-se gráfico de f ; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto

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