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Capítulo 4 - Funções Elementares

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Funções Elementares

131

CAPÍTULO

4

Funções

Elementares

Índice do Capítulo

y

2

1,5

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Funções Exponencial e Logarítmica

4.1.1 Função Exponencial Complexa

4.1.2 Função Logarítmica Complexa

Potências Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

4.3.1 Funções Trigonométricas Complexas

4.3.2 Funções Hiperbólicas Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 4

1

0,5

–π

2

–π

3

π

6

–0,5

π

6

π

3

π

2

2

3

x

–1

–1,5

–2

w = sen z

Introdução No capítulo anterior, definimos a classe de funções de maior interesse na análise complexa: a das funções analíticas. Neste capítulo definiremos e estudaremos algumas funções analíticas complexas elementares. Em particular, investigaremos as funções exponencial, logarítmica, potência, trigonométricas, hiperbólicas, trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas complexas. Mostraremos que todas estas funções são analíticas em um domínio apropriado e que suas derivadas têm formas semelhantes às de suas análogas reais. Também examinaremos a atuação dessas funções como transformações do plano complexo. O conjunto de funções elementares será uma fértil fonte de exemplos a serem considerados no restante do texto.

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Capítulo 7 - Transformações Conformes

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Transformações Conformes

293

Capítulo

7

Transformações

Conformes

Índice do Capítulo

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

Transformação Conforme

Transformações Fracionárias Lineares

Transformações de Schwarz-Christoffel

Fórmulas Integrais de Poisson

Aplicações

7.5.1 Problemas de Valores de Contorno

7.5.2 Fluxo Fluido

Questionário de Revisão do Capítulo 7

Fluxo bidimensional de um fluido ideal (Figura 7.5.12).

Introdução Na Seção 4.5 vimos que transformações analíticas podem ser usadas para resolver certos tipos de problemas de valores de contorno. Neste capítulo apresentaremos o conceito fundamental de transformação conforme e veremos como transformações conformes podem ser usadas para resolver uma gama maior de problemas de valores de contorno. Os métodos que apresentaremos serão aplicados a problemas de fluxo de calor, eletromagnetismo e fluxo fluido.

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Capítulo 1 - Números Complexos e o Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Números Complexos e o Plano Complexo

1

CAPÍTULO

1

Números Complexos e o Plano Complexo

Índice do Capítulo

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Números Complexos e Suas Propriedades

Plano Complexo

Forma Polar de Números Complexos

Potências e Raízes

Conjuntos de Pontos no Plano Complexo

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 1

π

0

–π

–2π

–3π

Introdução Em cursos básicos, o aluno toma conhecimento da existência de números complexos e de algumas de suas propriedades. Contudo, nos cursos de cálculo é muito provável que nada veja de números complexos. Neste texto estudamos apenas números complexos e o cálculo de funções de uma variável complexa.

Iniciamos com uma análise abrangente da aritmética e da álgebra de números complexos.

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1

–1

0

0

1 –1

Superfície de Riemann para arg(z). Veja

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Capítulo 3 - Funções Analíticas

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Funções Analíticas

105

CAPÍTULO

3

Funções

Analíticas

Índice do Capítulo

3.1

3.2

3.3

3.4

Diferenciabilidade e Analiticidade

Equações de Cauchy-Riemann

Funções Harmônicas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 3

Introdução No capítulo anterior apresentamos o conceito de função complexa. Como no cálculo de funções reais, podemos desenvolver as noções de derivadas e integrais de funções complexas com base no conceito fundamental de limite. Neste capítulo o foco principal será voltado à definição e às propriedades de derivadas de uma função complexa.

Curvas de nível para f (z) = 1/z

(Problema 3 do Conjunto de

Exercícios 3.4)

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13.01.11 22:33:35

106

Capítulo Três

3.1 Diferenciabilidade e Analiticidade

O cálculo de funções complexas envolve os conceitos usuais de derivadas e integrais destas funções.

Nesta seção definiremos a derivada de uma função complexa f (z) com base na noção de limite. Embora muitos dos conceitos nesta seção pareçam familiares, como regras para diferenciação de produtos, quocientes e da cadeia, há importantes diferenças entre este material e o associado ao cálculo de funções reais f (x). Capítulos posteriores deixam claro que, exceto pela familiaridade de nomes e definições, há pouca similaridade entre as interpretações de grandezas como f ⬘(x) e f ⬘(z).

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Apêndices

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Apêndices

339

Apêndices

Apêndice I Prova do Teorema 2.6.1

O seguinte teorema foi apresentado na Seção 2.6 como um método prático para o cálculo de limites complexos. Neste apêndice damos a prova épsilon-delta desse teorema.

Teorema A.1 Partes Real e Imaginária de um Limite

Sejam f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy0 e L = u0 + iv0. Então,

se e somente se

e

Prova O Teorema A.1 afirma que

(1) se e somente se e

(2)

Como o Teorema A.1 envolve uma asserção “se e somente se”, devemos provar duas coisas:

(i) que (1) implica (2), e

(ii) que (2) implica (1).

Iniciamos com a primeira.

(i) Se assumirmos que

, segundo a Definição 2.6.1 da Seção 2.6:

Para todo ε > 0, existe algum δ > 0 tal que |f(z) – L| < ε sempre que 0 < |z – z0| < δ.

(3)

Escrevendo f(z) = u(x, y) + iv(x, y) e L = u0 + iv0, obtemos

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13.01.11 23:24:42

340

Apêndices

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Capítulo 6 - Séries e Resíduos

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

226

Capítulo Seis

CAPÍTULO

6

Séries e

Resíduos

Índice do Capítulo

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

Sequências e Séries

Série de Taylor

Série de Laurent

Zeros e Polos

Resíduos e Teorema de Resíduos

Algumas Consequências do Teorema de Resíduos

6.6.1 Cálculo de Integrais Trigonométricas Reais

6.6.2 Cálculo de Integrais Impróprias Reais

6.6.3 Integração ao Longo de um Corte de Ramo

6.6.4 Princípio do Argumento e Teorema de Rouché

6.6.5 Soma de Séries Infinitas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 6

Contorno especial usado no cálculo de uma integral real (Veja

Figura 6.6.5)

Introdução A fórmula integral de Cauchy para derivadas indica que uma função f analítica em um ponto z0 possui derivadas de todas as ordens no ponto. Como uma consequência desse resultado, veremos que f sempre pode ser expandida em uma série de potências centrada nesse ponto. Se, no entanto, f não for analítica em z0, ainda pode ser possível expandi-la em um tipo diferente de série conhecida como série de Laurent. A noção da série de Laurent leva ao conceito de um resíduo, que, por sua vez, leva a uma outra forma de calcular integrais complexas e, em alguns casos, reais.

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Capítulo 3 - Pensamento Recursivo

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 3

Pensamento Recursivo

Os galhos da árvore espruce azul (Figura 3.1) seguem um padrão interessante. O tronco da árvore é um enorme caule central, com galhos saindo por todos os lados.

Desses galhos também saem caules mais finos, e assim continua, até o nível das agulhas. Um galho parece uma cópia em menor escala de toda a árvore, e mesmo um raminho se parece com a miniatura de um galho. Este

é um exemplo de recursão.

O fenômeno natural da recursão permeia muitas

áreas da matemática. Neste capítulo, você aprenderá como trabalhar com estruturas recursivas. Você irá desenvolver a habilidade de enxergar padrões recursivos em objetos matemáticos. E irá estudar indução matemática, uma ferramenta poderosa para demonstrar teoremas sobre estruturas recursivas.

Figura 3.1

3.1 Relações de Recorrência

3.1.1 Definição e Exemplos

Na matemática, o tipo mais simples e mais concreto de objeto recursivo é uma relação de recorrência. Suponha que desejamos definir uma função

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Capítulo 2 - Funções Complexas e Transformações

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

38

Capítulo Dois

CAPÍTULO

2

Funções Complexas e Transformações

Índice do Capítulo

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

Funções Complexas

Funções Complexas como Transformações

Transformações Lineares

Funções Potências Especiais

2.4.1 Função Potência zn

2.4.2 Função Potência z1/n

Função Recíproca

Limites e Continuidade

2.6.1 Limites

2.6.2 Continuidade

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 2

3i

2i

S i

S′

1

2

3

Imagem de um quadrado sob translação. Veja Exemplo 1,

Figura 2.3.2.

Introdução No último capítulo apresentamos os números complexos e examinamos algumas de suas propriedades algébricas e geométricas. Neste capítulo focaremos o estudo de funções de um conjunto de números complexos a outro conjunto de números complexos. Veremos que, ao contrário das funções estudadas em cálculo elementar, não é possível desenhar um gráfico de uma função complexa. Por conseguinte, introduziremos a noção de uma transformação ou mapeamento como uma forma alternativa para a representação gráfica de uma função complexa. Os conceitos de um limite da continuidade de uma função complexa também são apresentados neste capítulo.

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Respostas a Problemas Selecionados de Ordem Ímpar

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

352

Respostas a Problemas Selecionados de Ordem Ímpar

Respostas a Problemas

Selecionados de

Ordem Ímpar

Capítulo 1

Conjunto de Exercícios 1.1

ou

Conjunto de Exercícios 1.2 triângulo direito

reta reta

hipérbole

circunferência centrada em (1, 0), de raio 1

Zill Respostas novo.indd 352

13.01.11 23:25:05

Respostas a Problemas Selecionados de Ordem Ímpar

353

parábola

Conjunto de Exercícios 1.3 sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen sen ,

,

,

sen

,

sen ,

,

,

,

sen sen

sen sen

sen

sen

Conjunto de Exercícios 1.4

Nas respostas 1–13, a raiz principal n-ésima é dada primeiro.

,

,

,

Zill Respostas novo.indd 353

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

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Capítulo 4 - Pensamento Quantitativo

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 4

Pensamento Quantitativo

Contar é importante. Muitos problemas em matemática, ciência da computação e outras áreas técnicas envolvem contar os elementos de algum conjunto de objetos. Mas essa contagem nem sempre é fácil. Neste capítulo iremos investigar ferramentas para contagem de determinados tipos de conjuntos e aprenderemos como pensar os problemas sob um ponto de vista quantitativo.

O objetivo deste capítulo é ver como o pensamento quantitativo é útil para analisar problemas discretos, especialmente em ciência da computação. Um curso em análise combinatória ensinará a você mais sobre técnicas específicas de contagem; nossa intenção aqui será aprender algumas dessas técnicas, mas também ver por que essas técnicas são importantes no estudo de processos discretos.

mais difícil é saber quando somar e quando multiplicar.

Começaremos com alguns exemplos bem simples.

4.1.1 Adição

Na Seção 2.2, introduzimos o princípio da inclusãoexclusão. Ele afirma que se A e B são conjuntos finitos, então o tamanho da união entre A e B é dado por

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Capítulo 5 - Integração no Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

176

Capítulo Cinco

CAPÍTULO

5

Integração no Plano

Complexo

Índice do Capítulo

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

Integrais Reais

Integrais Complexas

Teorema de Cauchy-Goursat

Independência de Percurso

Fórmulas Integrais de Cauchy e Suas Consequências

5.5.1 Duas Fórmulas Integrais de Cauchy

5.5.2 Algumas Consequências de Fórmulas Integrais

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 5

Introdução Para definir a integral de uma função complexa f iniciamos com uma função complexa f definida ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo. Veremos, nesta seção, que a definição de uma integral complexa, suas propriedades e os métodos de cálculo de valores são muito semelhantes aos usados no caso de uma integral de linha real no plano cartesiano.

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Campo vetorial normalizado de velocidade para f(z) = (1 + i)z. Veja Seção 5.6,

Exemplo 6.

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Dicas, Respostas e Soluções para Exercícios Selecionados

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Dicas, Respostas e Soluções para

Exercícios Selecionados

1.1 Lógica Formal

(c) Dica: Observe a sexta linha da tabela verdade.

1. (a) (q∧p) R ¬r

(b) Se o carro vai pegar, então a junta do cabeçote não está vazando, nem há água nos cilindros.

(Ou: Se o carro vai pegar, então não é o caso que a junta do cabeçote está vazando ou há água nos cilindros.)

16. (b)

4. (a) Se você está ficando acordado até tarde da noite, então você está estudando muito.

(b) Se você não está ficando acordado até tarde da noite, então você não está estudando muito.

19. A sentença (b) é mais forte, já que qualquer número que é divisível por 12 será também divisível por 3, mas não vice-versa.

22. P  Q

7. (a) Sim, os primeiros componentes de pares ordenados iguais devem ser iguais.

(b) Se a 5 c, então (a, b) 5 (c, d).

(c) Não. Por exemplo, 1 5 1, mas (1, 2) Þ (1, 5).

23. (b) A sentença ¬p é logicamente equivalente a S.

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Capítulo 2 - Pensamento Relacional

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 2

Pensamento Relacional

A maioria dos problemas quantitativos envolve vários objetos diferentes inter-relacionados: as forças do mercado determinam o preço de uma mercadoria, etapas de um processo de fabricação dependem de outras etapas, computadores infectados por vírus podem deixar mais lento o tráfego de uma rede. Pensar matematicamente a respeito dessas relações nos ajuda a analisá-las.

Neste capítulo, iremos explorar diferentes maneiras pelas quais os elementos de um conjunto podem se relacionar entre si ou com elementos de outro conjunto.

Esses relacionamentos podem ser descritos por objetos matemáticos tais como funções, relações e grafos. Nosso objetivo é desenvolver a habilidade de enxergar relacionamentos matemáticos entre objetos, o que por sua vez nos capacitará para aplicar as ferramentas de matemática discreta.

iremos explorar algumas maneiras de usar os grafos para modelar relações matemáticas. Aqui, nossa abordagem será informal; mais adiante neste capítulo veremos grafos de um ponto de vista mais rigoroso.

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Capítulo 5 - Pensamento Analítico

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 5

Pensamento Analítico

As formas de pensar que estudamos até agora — lógica, relacional, recursiva e quantitativa — destacaram diferentes aspectos dos problemas discretos em matemática.

Neste capítulo, analisaremos algoritmos fazendo proveito de diversos dos tópicos vistos antes. Além de entendermos o que um algoritmo faz, estudaremos maneiras matemáticas de determinar a precisão e a eficiência de algoritmos. Esse tipo de análise é de importância fundamental para cientistas da computação. E, como a computação é cada vez mais importante em outros campos, estudiosos de muitas disciplinas precisarão ser capazes de pensar dessa forma.

5.1.1 Mais Pseudocódigos

Um algoritmo é basicamente uma lista de instruções

(comandos) que precisam ser executadas em sequência.

Algumas vezes precisamos ser capazes de pular instruções, ou repetir uma instrução por muitas vezes. As definições a seguir nos darão maneiras para fazermos isso.

Definição 5.1 Seja p uma sentença lógica que é ou verdadeira ou falsa. Então a instrução se … então … senão se p então instrução1 senão instrução2

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Capítulo 6 - Pensando Através de Aplicação

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 6

Pensando Através de Aplicações dígitos binários — 0s e 1s. Um CD player é basicamente um computador capaz de ler esse código e de criar os sinais eletrônicos apropriados para enviar às caixas de som. Consequentemente, a mecânica de armazenamento e reprodução são, agora, processos discretos.

A transformação da tecnologia de gravação de som ilustra a mudança moderna do contínuo para o discreto.

O domínio da matemática contínua — principalmente o cálculo — lida com coisas que medimos: velocidade, distância, volume e temperatura. A matemática discreta, em contraste, é aplicada a coisas que podemos contar: cadeias binárias, sequências de operações, listas de dados e conexões entre objetos. Como os computadores se tornaram melhores e mais comuns, o ponto de vista discreto se tornou mais aplicável a problemas na ciência e na indústria.

Este capítulo final tem um caráter diferente dos demais. Nos Capítulos 1 a 5, estudamos os princípios essenciais da matemática discreta. A nossa perspectiva tem sido essencialmente matemática; os capítulos são organizados em torno de diferentes tipos de pensamento matemático. Neste capítulo, consideramos uma seleção de aplicações da matemática discreta para uma gama de

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