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1 - Números Reais

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CAPÍTULO

1

Números Reais

O objetivo deste capítulo é a apresentação das principais propriedades dos números reais. Não nos preocuparemos aqui com a definição de número real, que é deixada para o Apêndice F. No que segue, admitiremos a familiaridade do leitor com as propriedades dos números naturais, inteiros e racionais. Mesmo admitindo tal familiaridade, gostaríamos de falar rapidamente sobre os números racionais. É o que faremos a seguir.

 1.1   Os Números Racionais

Os números racionais são os números da forma números racionais é indicado por Q, assim:

sendo a e b inteiros e b  0; o conjunto dos

no qual Z indica o conjunto dos números inteiros:

Z 5 {…, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, …}.

Indicamos, ainda, por N o conjunto dos números naturais:

N 5 {0, 1, 2, 3, …}.

Observamos que N é subconjunto de Z, que, por sua vez, é subconjunto de Q; isto é, todo número natural é também número inteiro, e todo inteiro é também número racional.

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14 - Equações Diferenciais de 1a Ordem de Variáveis Separáveis e Lineares

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CAPÍTULO

14

Equações Diferenciais de

1a Ordem de Variáveis

Separáveis e Lineares

 14.1   Equações Diferenciais: Alguns Exemplos

As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1   Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro da posição. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

Solução

Neste problema, o que nos interessa determinar é a função de posição x 5 x (t). De acordo com o enunciado do problema, o movimento é regido pela equação diferencial de 1a ordem

Conforme o Exercício 2 da Seção 10.1, as funções que satisfazem tal equação são da forma x 5 ke2t, k constante. Assim, a função de posição do movimento é da forma x 5 ke2t.

Exemplo 2   Uma partícula de massa m 5 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma única força, paralela ao deslocamento, com componente f (x) 5 2x. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

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Apêndices

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APÊNDICE

A

Propriedade do Supremo

 A.1  �Máximo, Mínimo, Supremo e Ínfimo de um Conjunto

O objetivo desta seção é introduzir os conceitos de que necessitaremos para enunciar a propriedade do supremo. Como veremos, é esta propriedade que diferencia R de Q; é, ainda, esta propriedade que torna o sistema dos números reais uma cópia perfeita da reta. O enunciado de tal propriedade será objeto da próxima seção.

Seja A um conjunto de números reais. O maior elemento de A, quando existe, denomina-se máximo de A e indica-se por máx A. O menor elemento de A, quando existe, denomina-se mínimo de A e indica-se por mín A.

Dizemos que um número m é uma cota superior de A se m for máximo de A ou se m for estritamente maior que todo número de A. Diremos que m é uma cota inferior de A se m for mínimo de A ou se m for estritamente menor que todo número de A.

Exemplo 1   Seja A 5 {1, 2, 3}. Temos: a) 1 é o mínimo de A, 1 5 mín A; 3 é o máximo de A, 3 5 máx A. b) 3, c) 1, 0,

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3 - Limite e Continuidade

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CAPÍTULO

3

Limite e Continuidade

  3.1   Introdução 

vídeos 5.1 e 5.2

Neste capítulo, vamos introduzir dois dos conceitos delicados do cálculo: os conceitos de continuidade e de limite.

Intuitivamente, uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta “salto” em p. y

y

g f

f (x) f (p)

g (p)

f (x)

0

x

p

x

x

0

p

x

O gráfico de f não apresenta “salto” em p: f é contínua em p. Observe que à medida que x se aproxima de p, quer pela direita ou pela esquerda, os valores f (x) se aproximam de f (p); e quanto mais próximo x estiver de p, mais próximo estará f (x) de f (p). O mesmo não acontece com a função g em p: em p o gráfico de g apresenta “salto”, g não é contínua em p.

Na próxima seção, tornaremos rigoroso o conceito de continuidade aqui introduzido de forma intuitiva.

Exemplo 1   Consideremos as funções f e g dadas por f (x) 5 x e g(x) 5

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5 - Teoremas do Anulamento, do Valor Intermediário e de Weierstrass

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CAPÍTULO

5

Teoremas do Anulamento, do Valor

Intermediário e de Weierstrass

Os teoremas do anulamento (ou de Bolzano), do valor intermediário e de Weierstrass são fundamentais para o desenvolvimento do curso. Neste capítulo, apresentaremos seus enunciados e faremos algumas aplicações; as demonstrações são deixadas para o Apêndice B.

Teorema (do anulamento ou de Bolzano). Se f for contínua no intervalo fechado [a, b] e se f (a) e f (b) tiverem sinais contrários, então existirá pelo menos um c em [a, b] tal que f (c) 5 0. y

f

a

0

c

b

x

Exemplo 1  Mostre que a equação x3 2 4x 1 8 5 0 admite pelo menos uma raiz real.

Solução

Consideremos a função f (x) 5 x3 2 4x 1 8; temos f (0) 5 8, f (23) 5 27 e f é contínua em

[23, 0] (os números 0 e 23 foram determinados por inspeção), segue do teorema do anulamento que existe pelo menos um c em [23, 0] tal que f (c) 5 0, isto é, a equação x3 2 4x 1 8 5 0 admite pelo menos uma raiz real entre 23 e 0.

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8 - Funções Inversas

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CAPÍTULO

8

Funções Inversas

 8.1   Função Inversa

Dizemos que uma função f é injetora se, quaisquer que sejam s e t no seu domínio, s  t ⇒ f (s)  f (t).

Observamos que se f for estritamente crescente ou estritamente decrescente, então f será injetora.

Suponhamos, agora, que f seja injetora e que B 5 Im f . Assim, para cada x ∈ B existe um

único y ∈ Df tal que f (y) 5 x. f

Df

B = Im f x

y g

Podemos, então, considerar a função g, definida em B, e dada por g(x) 5 y ⇔ f (y) 5 x.

Tal função g denomina-se função inversa de f .

Observe que a função inversa y 5 g(x) é dada implicitamente pela equação f (y) 5 x.

Se f for uma função que admite função inversa, então diremos que f é uma função inversível.

Observe que se f for uma função inversível, com inversa g, então g também será inversível, e sua inversa será f .

Exemplo 1   A função f (x) 5 x2, x  0, é estritamente crescente em [0, 1∞[, logo, f é inversível. A sua inversa é a função g, definida em [0, 1∞[ 5 Im f , e dada por g(x) 5 y ⇔ f (y) 5 x.

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9 - Estudo da Variação das Funções

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CAPÍTULO

9

Estudo da Variação das Funções

  9.1    Teorema do Valor Médio (TVM)

O objetivo desta seção é apresentar o enunciado de um dos teoremas mais importantes do cálculo: o teorema do valor médio (TVM). A demonstração é deixada para o Cap. 15.

Teorema do valor médio (TVM). Se f for contínua em [a, b] e derivável em ]a, b[, então existirá pelo menos um c em ]a, b[ tal que

5 f 9(c) ou

a

f (b) 2 f (a) 5 f 9(c)(b 2 a).

Geometricamente, este teorema conta-nos que se s é uma reta passando pelos pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), então existirá pelo menos um ponto (c, f (c)), com a , c , b, tal que a reta tangente ao gráfico de f , neste ponto, é paralela à reta s. Como e f 9(c) o de T,

é o coeficiente angular de s

5 f 9(c).

y

T f

s

f(b)

f(a)

0

009GuidorizziV1.indd 222

a

c

b

x

09/05/18quarta-feira 10:23

Estudo da Variação das Funções

223

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10 - rimitivas

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CAPÍTULO

10

Primitivas

 10.1   Relação entre Funções com Derivadas Iguais

Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Entretanto, uma função pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domínio e não ser constante; por exemplo

é tal que f 9(x) 5 0 em todo x no seu domínio, mas f não é constante. O próximo teorema, que

é uma consequência do TVM, conta-nos que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo, então f será constante neste intervalo.

Teorema. Seja f contínua no intervalo I. Se f 9(x) 5 0 em todo x interior a I, então existirá uma constante k tal que f (x) 5 k para todo x em I.

Demonstração

Seja x0 um ponto fixo em I. Vamos provar que, para todo x em I, f (x) 5 f (x0), o que significará que f é constante em I. Para todo x em I, x  x0, existe, pelo TVM, um pertencente ao intervalo aberto de extremos x e x0 tal que f (x) 2 f (x0) 5

(x 2 x0).

(Observe que de acordo com a hipótese, f é contínua no intervalo fechado de extremos x e x0 e derivável no intervalo aberto de mesmos extremos.)

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2 - Funções

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CAPÍTULO

2

Funções

 2.1  �Funções de uma Variável Real a Valores Reais

vídeo 1.1

Entendemos por uma função f uma terna

(A, B, a A b) em que A e B são dois conjuntos e a A b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A 5 Df . O conjunto B é o contradomínio de f . O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f (a)

(leia: f de a); diremos que f (a) é o valor que f assume em a ou que f (a) é o valor que f associa a a.

Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A → B (leia: f de A em B).

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A → B, em que A e B são subconjuntos de R. Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

Seja f : A → B uma função. O conjunto

denomina-se gráfico de f ; assim, o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x, y) de números reais. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto

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12 - Técnicas de Primitivação

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CAPÍTULO

12

Técnicas de Primitivação

 12.1   Primitivas Imediatas

Sejam a  0 e c e k constantes reais. Das fórmulas de derivação já vistas seguem as seguintes de primitivação: a)

5 cx 1 k

b)

c)

5 ex 1 k

d)

5 ln x 1 k (x . 0)

e)

5 ln (2x) 1 k (x , 0)

f )

5

g)

5 sen x 1 k

h)

i)

5 tg x 1 k

j)

l)

1 k

5

n)

m)

5 arctg x 1 k

1 k (a  21)

5

1k

5 2cos x 1 k

5 sec x 1 k

5

o)

1k

5 arcsen x 1 k

Exemplo 1   Calcule. a)

b)

c)

b)

5 x 1 k.

c)

Solução a)

5

012GuidorizziV1-junto1e2.indd 330

1 k.

5 sen x 1 k.

22/04/18domingo 11:42

Técnicas de Primitivação

331

Antes de passarmos ao próximo exemplo, lembramos que o domínio da função que ocorre no integrando de e f (x) dx deve ser sempre um intervalo; quando nada for mencionado a respeito do domínio de f , ficará implícito que se trata de um intervalo.

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Respostas, Sugestões ou Soluções

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Respostas, Sugestões ou Soluções

Abaixo as respostas da maioria dos exercícios numerados.

CAPÍTULO 1

  1.2 1. a) x ,   b)  x , 22  c)  x 

2. a) 3x 2 1 . 0 para x .

  d)  x  1   e)  x ,

3x 2 1 , 0 para x ,

  f )  x  1

3x 2 1 5 0 para x 5

b) 3 2 x . 0 para x , 3; 3 2 x , 0 para x . 3; 3 2 x 5 0 para x 5 3 c) 2 2 3x . 0 para x , d) 5x 1 1 . 0 para x . e)

2 2 3x , 0 para x .

2 2 3x 5 0 para x 5

5x 1 1 , 0 para x ,

5x 1 1 5 0 para x 5

. 0 para x , 1 ou x . 2;

, 0 para 1 , x , 2;

� x 5 1. A expressão não está definida para x 5 2

f ) �(2x 1 1)(x 2 2) . 0 para x ,

ou x . 2; (2x 1 1)(x 2 2) , 0 para ou x 5 2

, x , 2; (2x 1 1)(x 2 2) 5 0 para x 5

g)

. 0 para 22 , x ,

� para x 5

, 0 para x , 22 ou x .

50

A expressão não está definida para x 5 22

h)

. 0 para x , 2 ou x . 3;

, 0 para 2 , x , 3;

� x 5 2. A expressão não está definida para x 5 3

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11 - Integral de Riemann

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CAPÍTULO

11

Integral de Riemann

vídeos 22.1 e 22.2

Neste capítulo introduziremos o conceito de integral de Riemann e estudaremos algumas de suas propriedades. A integral tem muitas aplicações tanto na geometria (cálculo de áreas, comprimento de arco etc.) como na física (cálculo de trabalho, de massa etc.), como veremos.

 11.1   Partição de um Intervalo

Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P 5 {x0, x1, x2, …, xn} em que a 5 x0 , x1 , x2 , … , xn 5 b.

Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos [xi 2 1, xi], i 5 1, 2, …, n.

... a = x0

x1

x2

... xi – 1

xi

xn – 1

xn = b

A amplitude do intervalo [xi 2 1, xi] será indicada por Dxi 5 xi 2 xi 2 1. Assim:

Dx1 5 x1 2 x0, Dx2 5 x2 2 x1 etc.

Os números Dx1, Dx2, …, Dxn não são necessariamente iguais; o maior deles denomina-se amplitude da partição P e indica-se por máx Dxi.

Uma partição P 5 {x0, x1, x2, …, xn} de [a, b] será indicada simplesmente por

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13 - Mais Algumas Aplicações da Integral. Coordenadas Polares

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CAPÍTULO

13

Mais Algumas Aplicações da

Integral. Coordenadas Polares

 13.1  �Volume de Sólido Obtido pela Rotação, em Torno do Eixo x, de um Conjunto A 

vídeo 28.1

Seja f contínua em [a, b], com f (x) > 0 em [a, b]; seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A do plano limitado pelas retas x 5 a e x 5 b, pelo eixo x e pelo gráfico de y 5 f (x). Estamos interessados em definir o volume V de B. y

f

f

y

0

0

a

xi − 1

b

xi

x

x

y f

0

013GuidorizziV1.indd 392

x

14/05/18segunda-feira 16:16

Mais Algumas Aplicações da Integral. Coordenadas Polares

393

Seja P: a 5 x0 , x1 , x2 , … , xi 2 1 , xi , ... , xn 5 b uma partição de [a, b] e, respectivamente,

e

5 xi 2 1 e

pontos de mínimo e de máximo de f em [xi 2 1, xi]. Na figura da página anterior,

5 xi. Temos:

5 volume do cilindro de altura Dxi e base de raio

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15 - Teoremas de Rolle, do Valor Médio e de Cauchy

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CAPÍTULO

15

Teoremas de Rolle, do

Valor Médio e de Cauchy

 15.1   Teorema de Rolle

Teorema (de Rolle). Se f for contínua em [a, b], derivável em ]a, b[ e f (a) 5 f (b), então existirá pelo menos um c em ]a, b[ tal que f 9(c) 5 0.

y

a

0

c

b

x

Demonstração

Se f for constante em [a, b], então f 9(x) 5 0 em ]a, b[; logo, existirá c em ]a, b[ tal que f 9(c) 5 0.

Suponhamos, então, que f não seja constante em [a, b]. Como f é contínua no intervalo fechado

[a, b], pelo teorema de Weierstrass, existem x1 e x2 em [a, b], tais que f (x1) e f (x2) são, respectivamente, os valores máximo e mínimo de f em [a, b]. Como f (x1)  f (x2), pois estamos supondo f não constante em [a, b], segue que x1 ou x2 pertence a ]a, b[ (estamos usando aqui a hipótese f (a) 5 f (b)), daí f 9(x1) 5 0 ou f 9(x2) 5 0. Portanto, existe c em ]a, b[ tal que f 9(c) 5 0.� j

Exercícios 15.1

1. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial  f existe pelo menos uma raiz de f 9.

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17 - Arquimedes, Pascal, Fermat e o Cálculo de Áreas

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CAPÍTULO

17

Arquimedes, Pascal, Fermat e o Cálculo de Áreas

 17.1   Quadratura da Parábola: Método de Arquimedes

Um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral foi o grande matemático grego Arquimedes, que viveu no século 3 a.C. em Siracusa. Uma de suas inúmeras descobertas foi a fórmula para o cálculo da área de um segmento de parábola. Nosso objetivo aqui é obter tal fórmula seguindo o raciocínio rigoroso de Arquimedes. Vamos então considerar o segmento de parábola limitado pela parábola y 5 x2 e pela corda AB.

y = x2

B

(a+2m)2

M

N

[(a+2m)2 + a2]/2

A a2 a

a+m

a+2m

Lembrando que em um trapézio o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos

é a semissoma das bases, resulta que a ordenada de M é

Pela figura,

017GuidorizziV1.indd 480

15/06/18sexta-feira 10:22

Arquimedes, Pascal, Fermat e o Cálculo de Áreas

481

Ou seja,

MN 5 m2

(OK?)

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