1574 capítulos
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Medium 9788521632146

0 Os Números Reais

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

0

Goodshot/SuperStock

O Pártenon, construído em

Atenas há mais de 2400 anos. Os antigos gregos desenvolveram e fizeram uso de uma matemática notavelmente sofisticada.

Os Números Reais

Para ter sucesso neste curso, você precisa ter uma boa compreensão das propriedades básicas do sistema de números reais. Por isso, este livro se inicia com uma revisão dos números reais. Este capítulo foi identificado como Capítulo 0 para enfatizar que se trata de uma revisão.

A primeira seção deste capítulo inicia-se com a construção da reta real. Esta seção contém como destaque opcional a demonstração dos antigos gregos de que nenhum número racional tem um quadrado igual a 2. Esse bonito resultado aparece aqui porque ele deveria ter sido visto por todos no mínimo uma vez.

Embora este capítulo seja em sua maior parte uma revisão, uma base sólida no que se refere ao sistema de números reais vai ser importante para você ao longo de todo este curso. Você precisará ter boas habilidades de manipulação algébrica, por isso a segunda seção deste capítulo revisa a álgebra fundamental dos números reais. Também é necessário que você se sinta confortável ao trabalhar com desigualdades e valores absolutos, que são revisados na última seção deste capítulo.

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Medium 9788521633853

0 - Pré-requisitos e Revisão

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

0

Pré-requisitos e

Revisão

Garry Wade/Taxi/Getty Images

Getty Images/Blend Images/Getty Images

V

ocê conseguiria caminhar como um equilibrista em cima de uma corda bamba? A maioria das pessoas provavelmente diria não, pois a base de apoio é instável. Você conseguiria caminhar como um equilibrista ao longo de uma viga (com

10 cm de largura)? A maioria das pessoas provavelmente diria sim — embora para alguns de nós isso ainda seja um desafio. Pense neste capítulo como uma base para sua caminhada. Quanto mais sólida for sua base agora, mais exitosa será sua caminhada pela Álgebra na Universidade.

A finalidade deste capítulo é rever conceitos e habilidades que você já aprendeu em um curso anterior. A matemática é um assunto cumulativo que requer uma fundação sólida para prosseguir no próximo nível. Use este capítulo para reafirmar sua base de conhecimento atual antes de mergulhar no curso.

Pré-requisitos e Revisão  3

NESTE CAPÍTULO serão discutidos números reais, expoentes inteiros e notação científica, seguidos por expoentes racionais e radicais.

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Medium 9788521632481

10 - A Média Amostral

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

10

A Média Amostral

Capítulos anteriores deste livro apresentam as propriedades dos modelos de probabilidade. Em referência a aplicações de teoria da probabilidade, consideramos o conhecimento prévio do modelo de probabilidade que controla os resultados de um experimento. Na prática, porém, encontramos muitas situações nas quais o modelo de probabilidade não é conhecido antecipadamente e os experimentos coletam dados a fim de aprender sobre o modelo. Ao fazer isso, eles aplicam princípios de inferência estatística, um corpo de conhecimento que controla o uso de medições para descobrir as propriedades de um modelo de probabilidade.

Este capítulo focaliza as propriedades da média amostral de um conjunto de dados. Referimo-nos a tentativas independentes de um experimento, com cada tentativa produzindo um valor amostral de uma variável aleatória. A média amostral é simplesmente a soma dos valores amostrais dividida pelo número de tentativas. Começamos descrevendo o relacionamento da média amostral dos dados com o valor esperado da variável aleatória. Depois, descrevemos métodos de uso da média amostral para estimar o valor esperado.

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Medium 9788577808243

10. conclusões

Tiarajú Asmuz Diverio, Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 10

Conclusões

277

formalismo equivalente às máquinas universais. Por fim, o livro trata da computabilidade e do estudo da solucionabilidade de problemas. Os problemas podem ser divididos em problemas solucionáveis (existe um algoritmo que resolva o problema, para qualquer entrada) e os não solucionáveis (não existe um algoritmo que sempre resolva o problema). Ou, alternativamente, podem ser divididos em problemas parcialmente solucionáveis (computáveis) e problemas completamente insolúveis (não computáveis).

10.1

resumo dos principais conceitos

O principal conceito estudado é o de computabilidade, o qual é construído usando noções de programas, máquinas e computações. São três conceitos distintos, mas diretamente relacionados, pois um programa para uma máquina pode induzir uma computação. Se ela for finita, então se define ainda a função computada por esse programa nessa máquina: ela descreve o que o programa faz.

A distinção entre programa e máquina é importante na ciência da computação, uma vez que o programa (ou algoritmo) independe da máquina e possui uma complexidade estrutural e computacional (quantidade de trabalho necessário para resolver o problema).

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Medium 9788580550733

10. Controle estatístico da qualidade

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

10

Controle estatístico da qualidade

Introdução

Como o mercado para bens industriais tem se tornado mais global, os fabricantes já perceberam que a qualidade e a confiabilidade dos produtos deverão ser as mais altas possíveis para que sejam competitivos. Sabe-se geralmente que a melhor relação entre custo e benefício para manter alta qualidade é através do monitoramento constante do processo de produção. Esse monitoramento é feito geralmente por amostragem de unidades produzidas e medindo uma característica de qualidade. Como as unidades são amostradas de alguma população grande, esses métodos são inerentemente de natureza estatística.

Um dos pioneiros na área de controle estatístico da qualidade foi o Dr. Walter A.

Shewart do Bell Telephone Laboratories. Em 1924, ele desenvolveu o gráfico de controle moderno, que continua sendo uma das ferramentas mais utilizadas para controle de qualidade atualmente. Após a II Guerra Mundial, W. Edwards Deming foi fundamental para estimular o interesse em controle de qualidade, primeiro no Japão e depois nos Estados

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Medium 9788521634249

10 - Correlação e Regressão

TRIOLA, Mario F. Grupo Gen PDF Criptografado

problema do capítulo

10

Estatística CSI: Podemos usar a evidência da pegada para estimar a altura do suspeito?

Às vezes, a polícia usa a evidência de pegada

para estimar a altura de um suspeito e a altura é incluída em uma descrição que se

torna parte dos “procurados”. Por volta de 1877, o antropólogo Paul Topinard coletou

medidas de pé/altura e as usou para desenvolver a seguinte regra: Estime a altura de uma pessoa dividindo o comprimento de seu pé por 0,15. (Um cálculo equivalente é estimar-se a altura multiplicando-se o comprimento do pé por 6,67.) Tente isso você mesmo – meça o comprimento de seu pé e, então, divida-o por 0,15 (ou multiplique-o por 6,67) para obter sua altura estimada. O resultado é razoavelmente preciso?

A Tabela 10-1 inclui algumas medidas tiradas do Conjunto de Dados 2 no

Apêndice B. Nesta tabela, há medidas do comprimento do sapato e da altura de cinco homens, mas o Conjunto de Dados 2 inclui mais medidas de amostras maiores de homens e de mulheres. (Os dados são de “Estimation of Stature from Foot and

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Medium 9788521635444

10 - Derivadas Parciais

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Derivadas Parciais  

vídeo 4.1

 10.1 Derivadas Parciais

Seja z = f  (x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja ( x0 , y0 ) ∈ D f . Fixado y0, podemos considerar a função g de uma variável dada por g ( x) = f ( x, y0 ).

A derivada desta função no ponto x = x0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f, em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se com uma das notações:

∂f

∂z x = x0

( x0 , y0 ) ou

.

∂x

∂x y = y0

Assim,

∂f

( x0 , y0 ) = g ′( x0 ). De acordo com a definição de derivada temos:

∂x g ( x) − g ( x0 )

∂f

( x0 , y0 ) = g ′( x0 ) = lim x → x0

∂x x − x0

ou seja, f ( x, y0 ) − f ( x0 , y0 )

∂f

( x0 , y0 ) = lim x → x0

∂x x − x0 ou, ainda, f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 )

∂f

( x0 , y0 ) = lim

∆x →0

∆x

∂x

∂f

( x, y ) existe; fica

Seja A o subconjunto de Df formado por todos os pontos (x, y) tais que

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Medium 9788521622451

10 - Derivadas parciais

Hamilton Luiz Guidorizzi Grupo Gen PDF Criptografado

10

DERIVADAS PARCIAIS

10.1. DERIVADAS PARCIAIS

Seja z ϭ f (x, y) uma função real de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ʦ Df. Fixado y0, podemos considerar a função g de uma variável dada por g (x) ϭ f (x, y0).

A derivada desta função no ponto x ϭ x0 (caso exista) denomina-se derivada parcial de f, em relação a x, no ponto (x0, y0) e indica-se com uma das notações:

Ѩf

( x 0 , y0 ) ou

Ѩx

Assim,

Ѩz

Ѩx

x ϭ x0 y ϭ y0

Ѩf

(x , y ) ϭ gЈ (x0). De acordo com a definição de derivada temos:

Ѩx 0 0

Ѩf

(x , y ) ϭ gЈ (x0) ϭ

Ѩx 0 0

g ( x ) Ϫ g ( x0 ) x Ϫ x0 x → x0 lim

ou seja,

Ѩf

(x , y ) ϭ

Ѩx 0 0

lim

x → x0

f ( x, y0 ) Ϫ f ( x 0 , y0 ) x Ϫ x0

ou, ainda,

Ѩf

(x , y ) ϭ

Ѩx 0 0

CAP010-GUII-V2

173

lim

⌬x → 0

f ( x 0 ϩ ⌬x, y0 ) Ϫ f ( x0 , y0 )

⌬x

18.03.13, 15:47

174

Um Curso de Cálculo — Vol. 2

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Medium 9788521635468

10 - Equações Diferenciais de 1ª Ordem

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Equações Diferenciais de 1a Ordem vídeos 2.1,

2.2 e 2.3

  10.1    Equação Diferencial de 1 a Ordem

Por uma equação diferencial de 1a ordem entendemos uma equação do tipo dy

5 F(x, y) dx

(ou y9 5 F(x, y))

em que F(x, y) é uma função definida em um aberto Ω do R2 . Uma função y 5 y(x) definida em um intervalo aberto I é uma solução dessa equação se, para todo x em I, ocorrer y9(x) 5 F(x, y(x)).

2 dy

5

Exemplo 1  Verifique que y 5 e x , x ∈ R, é uma solução da equação diferencial dx

2

2xy. (Aqui F(x, y) 5 2xy e Ω 5 R .)

Solução

2 dy

  Precisamos verificar que sendo y 5 e x , a igualdade

5 2xy se verifica para todo x. Para dx todo x, temos

2

2 dy

= (e x )9 = 2xe x = 2xy. dx

2

Assim, y 5 e x , x em R, é uma solução da equação dada. dy

5 3x + 5 que satisfaça a

Exemplo 2  Determine uma solução y 5 y(x) da equação dx condição inicial y(0) 5 2. (Aqui F(x, y) 5 3x + 5.)

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Medium 9788577801831

10 Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes

Richard Bronson, Gabriel B. Costa Grupo A PDF Criptografado

104

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A SOLUÇÃO GERAL

As raízes da equação característica determinam a solução de (10.1). Se as raízes λ1, λ2,..., λn forem todas reais e distintas, a solução é

(10.3)

Se as raízes forem distintas, mas se algumas delas forem complexas, a solução é ainda dada por (10.3). Assim como no Capítulo 9, aqueles termos envolvendo exponenciais complexas podem ser combinados de modo a origip nar termos em senos e co-senos. Se λk for uma raiz de multiplicidade p [isto é, se (λ – λk) é um fator da equação p+1 característica, mas (λ – λk) não o é], então existirão p soluções linearmente independentes associadas a λk dadas por

. Essas soluções são combinadas de maneira usual com as soluções associadas às outras raízes, para formar a solução completa.

Teoricamente, sempre é possível fatorar a equação característica, mas, na prática, isto pode tornar-se extremamente difícil, especialmente no caso de equações diferenciais de ordem elevada. Em tais casos, devemos utilizar técnicas numéricas para obter soluções aproximadas. Veja os Capítulos 18, 19 e 20.

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Medium 9788521633693

10 - Equações Diferenciais na Engenharia

RATTAN, Kuldip S.; KLINGBEIL, Nathan W. Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Equações Diferenciais na Engenharia

O objetivo desse capítulo é familiarizar estudantes de engenharia com a solução de equações diferenciais (ED), como exigido por disciplinas básicas dos dois primeiros anos dos cursos de engenharia, tais como física, circuitos e dinâmica. Uma equação diferencial relaciona uma variável de saída e suas derivadas a uma variável de entrada ou função de excitação. Há diferentes tipos de equações diferenciais. Neste capítulo, discutiremos equações diferenciais lineares de primeira e de segunda ordens com coeficientes constantes. Esses são os tipos mais comuns de equação diferencial encontrados em cursos de graduação em engenharia.

10.1

INTRODUÇÃO: BALDE COM VAZAMENTO

Consideremos um balde de seção reta A que é enchido com água a uma taxa de volume Qentrada, como ilustrado na Fig. 10.1. Sejam h(t) e V = Ah(t) a altura e o volume, respectivamente, da água no balde; a taxa de variação do volume é dada por: dh(t) dV

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Medium 9788577806959

10: Fórmulas da GeometriaAnalítica Espacial

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

Fórmulas da Geometria

Analítica Espacial

10

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.1

Fig. 10-1

Cossenos diretores de uma reta ligando os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.2 onde �, �, � são os ângulos que a linha P1 P2 faz com os eixos x, y e z, respectivamente, e d é dado por 10.1 [ver Fig. 10-1].

Relação entre os cossenos diretores

10.3

Números diretores

Os números L, M e N, os quais são proporcionais aos cossenos diretores l, m e n, são chamados de números diretores. A relação entre eles é dada por

10.4

46

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma padrão

10.5

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma paramétrica

10.6 x � x1 � lt, y � y1 � mt, z � z1 � nt

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

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Medium 9788521622468

10 - Fluxo de um campo vetorial. Teorema da divergência ou de Gauss

Hamilton Luiz Guidorizzi Grupo Gen PDF Criptografado

10

FLUXO DE UM CAMPO

VETORIAL. TEOREMA DA

DIVERGÊNCIA OU DE GAUSS

10.1. FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL

Seja ␴ : K ʚ ޒ2 Ǟ ޒ3 de classe C1, onde K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Suponhamos que ␴ seja injetora e regular no interior de K. Pode→ → mos, então, considerar os campos vetoriais n1 e n2 dados por

Ѩ␴

(u, v) ٙ n1 (␴ (u, v)) ϭ Ѩ u

Ѩ␴

(u, v) ٙ

Ѩu

Ѩ␴

(u, v)

Ѩv

, (u, v) ∈ K ,

Ѩ␴

(u, v)

Ѩv

e

n2 (␴ (u, v)) ϭ Ϫ n1 (␴ (u, v)).

O campo n1 associa a cada ponto ␴ (u, v) da imagem de ␴, com (u, v) ʦ K, um vetor

→ unitário e normal a ␴. Observe que o domínio de n1 é o conjunto

{X ʦ Im ␴ | X ϭ ␴ (u, v) com (u, v) ʦ K, }.

Como ␴ é injetora no interior de K, o campo n1 está bem definido.

009-guii-Vol3

221

07.08.13, 16:07

222

Um Curso de Cálculo — Vol. 3

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Medium 9788521635451

10 - Fluxo de um Campo Vetorial. Teorema da Divergência ou de Gauss

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Fluxo de um Campo Vetorial.

Teorema da Divergência ou de Gauss   vídeo 17.1

 10.1 Fluxo de um Campo Vetorial

Seja σ : K ⊂ 2 → 3 de classe C1, em que K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Suponhamos que σ seja injetora e regular no interior de K. Podemos, então,

 considerar os campos vetoriais n1 e n2 dados por

 n1 (σ (u , v)) = e

∂σ

(u, v) Ù

∂u

∂σ

(u, v) Ù

∂u

∂σ

(u, v)

∂v

, (u, v) ∈ K ,

∂σ

(u, v)

∂v

 n2 (σ (u , v)) = − n1 (σ (u , v)).

O campo n1 associa a cada ponto σ (u, v) da imagem de σ, com (u, v) ∈ K , um vetor unitário

 e normal a σ. Observe que o domínio de n1 é o conjunto

{X ∈ Im σ | X = σ (u, v) com (u, v) ∈ K }.

Como σ é injetora no interior de K, o campo n1 está bem definido. n1 (σ (u, v))

∂σ (u, v)

∂v

∂σ (u, v)

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Medium 9788577808335

10 Formas Canônicas

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 10

Formas Canônicas

10.1 INTRODUÇÃO

Seja T um operador linear de um espaço vetorial de dimensão finita. Vimos no Capítulo 6 que T pode não ter uma representação matricial diagonal. Mesmo assim, ainda é possível “simplificar” a representação matricial de T de várias maneiras. É esse o principal assunto deste capítulo. Em particular, obteremos o teorema da decomposição primária e as formas canônicas triangulares, de Jordan e racional.

Observamos que as formas canônicas triangulares e de Jordan existem para um operador T se, e só se, o polinômio característico de T possuir todas as suas raízes no corpo base K. Isso sempre ocorre se K for o corpo dos complexos , mas pode não ser verdade se K for o corpo dos reais

Neste capítulo também introduzimos a ideia de espaço quociente, uma ferramenta muito poderosa que será utilizada na demonstração da existência das formas canônicas triangular e racional.

10.2 FORMA TRIANGULAR

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão n. Suponha que T possa ser representado pela matriz triangular

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