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Capítulo 3 - Continuidade e Limite de Forma Intuitiva

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CAPÍTULO 3

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

3.1 IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO CONTÍNUA

Um dos conceitos fundamentais da Matemática é o conceito de função contínua. A maioria dos teoremas que aparecerão neste texto envolverá o conceito de função contínua. Bem, mas o que é uma função contínua? Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x ϭ p, com p pertencente ao domínio da função, se o seu gráfico não apresentar salto (na vertical) em x ϭ p. Consideremos, por exemplo, as funções

Ï3 se x Ͼ 1

f(x) ϭ x2 e g(x) ϭ Ì1 se x Յ 1

Ó cujos gráficos são, respectivamente,

Fig. 3.1

Fig. 3.2

O gráfico de f(x) ϭ x2 não apresenta salto em nenhum ponto: f(x) ϭ x2 é uma função contínua em todo ponto x ϭ p do seu domínio. Por outro lado, o gráfico de g(x) apresenta salto em x ϭ 1: a função g(x) não é contínua em x ϭ 1. Observe que o gráfico de g(x) somente apresenta salto em x ϭ 1, o que significa que nos demais pontos g(x) é contínua.

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Respostas ou Soluções

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RESPOSTAS OU SOLUÇÕES

CAPÍTULO 1

1.1

1.

a) 4

b) 1/4

c) Ϫ10/9

d) 3/4 e Ϫ1

e) 1

f) 0 e 2

g) 17/4

h) 12/7

i) Ϫ52

j) 288/7 (Х 41,1429)

k) 0, 1/2 e Ϫ2/3

l) 125,4505

a) x Ͻ

2.

10

3

b) x Ͼ Ϫ f) x Ն

e) x Ͻ 26

2

5

27

43

c) x Յ

15

2

d) x Յ Ϫ

39

12

g) x Յ

32

3

h) x Ն Ϫ 52

1.2

1.

a) x(x2 ϩ 5)

2.

a) x ϩ 1, x c)

b) xh(x ϩ h2)

0

b)

f)

0

( x ϩ h) 2 Ϫ x 2 x 2 ϩ 2 xh ϩ h2 Ϫ x 2 h(2 x ϩ h)

ϭ

ϭ

ϭ 2 x ϩ h, h h h h

d) 3x2 ϩ 3xh ϩ h2, h e)

3x ϩ h 2

,h

5

c) h(2x ϩ h)

y( x ϩ 1) y

ϭ ,x z( x ϩ 1) z

0

Ϫ1 e z

0

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ ( a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2 ) a2b2 a

0eb

0

ϭ

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ a 2 ϩ 2ab Ϫ b 2 a2b2

ϭ

4

, ab

0

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Capítulo 4 - Derivada

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CAPÍTULO 4

DERIVADA

DERIVADA

4.1 O QUE É A DERIVADA

Derivada

A derivada da função y ϭ f(x) é a função yЈ ϭ f Ј(x) dada por f Ј(x) ϭ lim

⌬x →0

f (x ϩ ⌬x ) Ϫ f (x )

.

⌬x

Observe que tanto yЈ (que se lê: y linha) quanto f Ј(x) (que se lê: f linha de x) são notações para representar a derivada dy de y ϭ f(x). Outra importante notação para a derivada de y ϭ f(x) é

(que se lê: derivada de y em relação a x). dx dy

A notação

é devida a Leibniz (veja Seção 3.8). Lembrando da fórmula ⌬y ϭ f(x ϩ ⌬x) Ϫ f(x), a derivada de dx y ϭ f(x) pode, também, ser escrita da seguinte forma:

dy

⌬y

ϭ lim

. dx

⌬x →0 ⌬x

Ou seja, a derivada de y ϭ f(x) é o limite, para ⌬x tendendo a zero, da razão incremental

⌬y

.

⌬x

Atenção

Com freqüência escreveremos, também, (f(x))Ј para indicar a derivada de f(x). Para futuras interpretações da

⌬y derivada, será muito bom pensar a derivada como o valor da razão incremental

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Capítulo 6 - Funções Financeiras. Capitalização Contínua

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CAPÍTULO 6

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

6.1 AS FUNÇÕES VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE

Como já mencionamos anteriormente, as duas funções básicas da Matemática Financeira, no regime de juros compostos, são as funções valor futuro e valor presente. Vamos relembrá-las aqui e falar alguma coisa mais sobre elas.

Funções valor futuro e valor presente

VF ϭ VP(1 ϩ i%)n e

VP ϭ

VF

.

(1 ϩ i %) n

Nas fórmulas acima, i% é uma taxa de juros compostos, por um determinado período, e n é o número de períodos a que se refere a taxa. Este valor de n poderá ser inteiro ou fracionário. VP é o valor hoje de um investimento ou empréstimo e VF é o valor futuro, daqui a n períodos a que se refere a taxa, deste VP. (Podemos pensar, também, VP como o valor do empréstimo ou investimento em uma determinada época e VF como o valor deste VP n períodos na frente.) Quando aplicamos a fórmula do valor futuro estamos incorporando juros ao VP. Por outro lado, quando aplicamos a fórmula do valor presente estamos retirando juros do valor futuro.

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Capítulo 5 - Integral

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CAPÍTULO 5

INTEGRAL

INTEGRAL

5.1 SOMATÓRIA n

Nesta seção vamos aprender a trabalhar com o símbolo ⌺ xk que se lê: somatória de xk (leia: x índice k) para k ϭm

k variando de m a n, onde m e n são números inteiros com m Յ n. Este símbolo representa a soma n

⌺ x ϭ xm ϩ xmϩ1 ϩ xmϩ2 ϩ ... ϩ xn. k ϭm k

Exemplo 1

5

Calcule ⌺ k 2. k ϭ1

Solução

Aqui xk ϭ k2, que significa x1 ϭ 12, x2 ϭ 22 etc. Assim

5

⌺ xk ϭ x1 ϩ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5

k ϭ1

e, portanto,

5

⌺ k 2 ϭ 12 ϩ 22 ϩ 32 ϩ 42 ϩ 52 ϭ 55.

k ϭ1

Exemplo 2

10

Calcule ⌺ 2 k . k ϭ3

Solução

10

⌺ 2 k ϭ 23 ϩ 24 ϩ 25 ϩ 26 ϩ 27 ϩ 28 ϩ 29 ϩ 210 ϭ 2.040.

k ϭ3

(Observe: o número de parcelas é 10 Ϫ 3 ϩ 1 ϭ 8.)

Exemplo 3

8

Calcule ⌺ 5. k ϭ2

Solução

8

⌺ xk ϭ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5 ϩ x6 ϩ x7 ϩ x8.

k ϭ2

CAPÍTULO 5

169

INTEGRAL

Aqui xk ϭ 5 para k ϭ 2, 3, 4, ..., 8, ou seja, xk é constante e igual a 5. Como o número de parcelas é 7 (7 ϭ 8 Ϫ 2 ϩ 1), resulta

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Apêndice 1 - O Básico da 12C

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APÊNDICE 1

O BÁSICO DA 12C

O BÁSICO DA 12C

A1.1 OPERAÇÕES BÁSICAS. AS TECLAS STO E RCL

O exemplo a seguir mostra como calcular soma, diferença, produto e quociente de dois números.

Exemplo 1

Calcule a soma, a diferença, o produto e o quociente dos números 54 e 38.

Solução

Para calcular a soma, digite

54 ENTER 38 ϩ para obter 92. Digitando-se

54 ENTER 38Ϫ obtém-se a diferença 16. Digitando-se: 54 ENTER 38 ϫ, obtém-se o produto 2.052. Digitando-se: 54 ENTER 38

Ϭ, obtém-se o quociente 1,42 (valor aproximado com duas casas decimais exatas). Caso queira mais casas decimais, digamos 7, digite f (tecla amarela f) 7 para obter 1,4210526.

O próximo exemplo mostra como trabalhar com as funções yx, 1/x e com as funções azuis x (tecla yx), ex

(tecla 1/x) e LN (tecla %T). Lembramos que para ativar uma função azul, primeiro precisamos digitar a tecla da letra azul g e, em seguida, a função azul desejada.

Exemplo 2

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Apêndice 2 - Matemática no Excel

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APÊNDICE 2

MATEMÁTICA NO EXCEL

MATEMÁTICA NO EXCEL

A2.1 AS FUNÇÕES VP, VF, PGTO, TAXA E NPER

As funções NPER (número de períodos), TAXA, VP, PGTO (pagamento) e VF do EXCEL realizam as mesmas tarefas que as variáveis n, i, PV, PMT e FV da 12C.

Assim, por um fluxo de caixa padrão entenderemos um fluxo de caixa em que há uma entrada ou saída de caixa

VP na época 0, n parcelas (PMT na 12C e PGTO no EXCEL) iguais e sucessivas, a primeira ocorrendo na época 1

(tipo END na 12C e tipo 0 no EXCEL) ou na época 0 (tipo BEGIN na 12C e tipo 1 no EXCEL) e mais uma entrada ou saída de caixa VF na época n.

Função VP (Valor Presente). Esta função retorna o valor presente de um fluxo de caixa padrão. Para calcular VP proceda da seguinte forma: marque uma célula, pressione fx na barra de ferramentas para abrir a caixa de diálogo de escolha de funções. Em categoria da função escolha a opção financeira. Em nome da função, escolha a opção VP. Pressione então OK. Na caixa que se abre, entre com os valores solicitados: taxa, nper (é o n da

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Capítulo 1 - Operando com Números Reais

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CAPÍTULO 1

OPERANDO

COM

NÚMEROS REAIS

OPERANDO COM NÚMEROS REAIS

1.1 NÚMEROS REAIS

Os números com os quais estaremos trabalhando o tempo todo são os números reais. Dentre eles destacamos os números inteiros

…Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3… em que 1, 2, 3, … são os inteiros positivos e …Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, os inteiros negativos. Na prática, os números reais são sempre representados na forma decimal, por exemplo: 2,3 (dois inteiros e três décimos); 0,001 (um milésimo); 0,33333… (dízima periódica com período 3, o que significa que o 3 se repete indefinidamente);

54,0035353535… (dízima periódica com período 35). O resultado da divisão de um número inteiro por outro inteiro ou é uma decimal exata, ou seja, uma decimal com um número finito de casas decimais, ou é uma dízima periódica. Por exemplo,

5

ϭ 1,25 é uma decimal exata;

4

2

ϭ 0, 66666º é uma dízima periódica com período 6.

3

As decimais exatas e as dízimas periódicas são denominadas números racionais. Número irracional é o número real que não é decimal exata e nem dízima periódica. Desta forma, um número real ou é racional ou é irracional. Os números 2 ϭ 1, 41421356º , ␲ ϭ 3,141592653…, e ϭ 2,718281828… são exemplos de números irracionais.

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Apêndice 3 - Explorando a Calculadora HP48G

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APÊNDICE 3

EXPLORANDO A CALCULADORA HP48G

EXPLORANDO A CALCULADORA HP48G

A3.1 CALCULANDO NO MODO RPN

A HP48G opera em dois modos: modo RPN (o mesmo da 12C) e modo ALGÉBRICO. Nesta seção, vamos trabalhar no modo RPN. A maneira de se trabalhar no modo RPN é exatamente como na 12C. Vimos que na 12C podemos trabalhar no máximo com 4 números ao mesmo tempo: um no visor e os outros três ocupando os níveis 1,

2 e 3. Na 48G podemos trabalhar ao mesmo tempo com quantos números quisermos. Cálculos numéricos são realizados no ambiente HOME.

{HOME}

4:

3:

2:

1:

Ligando a calculadora (tecla ON) você já deverá estar nesse ambiente, se não estiver, é só ir pressionando a tecla

ON que acabará chegando a ele. Os números 1, 2, 3 e 4, que aparecem no ambiente HOME, estão indicando os 4 primeiros níveis de uma pilha com infinitos níveis.

As quatro teclas, com triângulos brancos, logo acima das teclas x , yx e 1/x são utilizadas para movimentar o cursor que aparecerá piscando quando estivermos digitando números, expressões numéricas ou algébricas.

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Capítulo 2 - Funções

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CAPÍTULO 2

FUNÇÕES

FUNÇÕES

2.1 ESTABELECENDO FÓRMULAS

O objetivo desta seção é, por meio de exemplos, abordar a montagem de fórmulas. Tendo em vista futuras implementações em computador, observamos que todas as restrições envolvendo as variáveis que aparecem nas fórmulas deverão ser explicitadas.

Exemplo 1

Estabeleça uma fórmula que forneça a soma de um número, diferente de zero, com o seu inverso.

Solução

Vamos chamar o número de x e a soma de S. O valor da soma S vai depender do valor da variável x. Pois bem, a fórmula que queremos é

Sϭxϩ

1

, com x x

0,

1 em que

é o inverso do número x, e a restrição x 0 é para tornar possível esta operação. Muitas vezes, para x destacar o fato de que S depende da variável x, escreveremos

S(x) ϭ x ϩ

1

,x x

0.

1

Em verdade, nesta última notação, S(x) está sendo usada para representar a expressão x ϩ . Freqüentemente x escreveremos

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Capítulo 6 - Estimadores do tipo regressão

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Capítulo 2 - Definições e notações básicas

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Capítulo 4 - Amostragem estratificada

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Capítulo 7 - Amostragem por conglomerados em um estágio

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Capítulo 8 - Amostragem em dois estágios

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