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Respostas ou Soluções

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RESPOSTAS OU SOLUÇÕES

CAPÍTULO 1

1.1

1.

a) 4

b) 1/4

c) Ϫ10/9

d) 3/4 e Ϫ1

e) 1

f) 0 e 2

g) 17/4

h) 12/7

i) Ϫ52

j) 288/7 (Х 41,1429)

k) 0, 1/2 e Ϫ2/3

l) 125,4505

a) x Ͻ

2.

10

3

b) x Ͼ Ϫ f) x Ն

e) x Ͻ 26

2

5

27

43

c) x Յ

15

2

d) x Յ Ϫ

39

12

g) x Յ

32

3

h) x Ն Ϫ 52

1.2

1.

a) x(x2 ϩ 5)

2.

a) x ϩ 1, x c)

b) xh(x ϩ h2)

0

b)

f)

0

( x ϩ h) 2 Ϫ x 2 x 2 ϩ 2 xh ϩ h2 Ϫ x 2 h(2 x ϩ h)

ϭ

ϭ

ϭ 2 x ϩ h, h h h h

d) 3x2 ϩ 3xh ϩ h2, h e)

3x ϩ h 2

,h

5

c) h(2x ϩ h)

y( x ϩ 1) y

ϭ ,x z( x ϩ 1) z

0

Ϫ1 e z

0

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ ( a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2 ) a2b2 a

0eb

0

ϭ

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ a 2 ϩ 2ab Ϫ b 2 a2b2

ϭ

4

, ab

0

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Capítulo 3 - Continuidade e Limite de Forma Intuitiva

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CAPÍTULO 3

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

3.1 IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO CONTÍNUA

Um dos conceitos fundamentais da Matemática é o conceito de função contínua. A maioria dos teoremas que aparecerão neste texto envolverá o conceito de função contínua. Bem, mas o que é uma função contínua? Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x ϭ p, com p pertencente ao domínio da função, se o seu gráfico não apresentar salto (na vertical) em x ϭ p. Consideremos, por exemplo, as funções

Ï3 se x Ͼ 1

f(x) ϭ x2 e g(x) ϭ Ì1 se x Յ 1

Ó cujos gráficos são, respectivamente,

Fig. 3.1

Fig. 3.2

O gráfico de f(x) ϭ x2 não apresenta salto em nenhum ponto: f(x) ϭ x2 é uma função contínua em todo ponto x ϭ p do seu domínio. Por outro lado, o gráfico de g(x) apresenta salto em x ϭ 1: a função g(x) não é contínua em x ϭ 1. Observe que o gráfico de g(x) somente apresenta salto em x ϭ 1, o que significa que nos demais pontos g(x) é contínua.

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Capítulo 6 - Funções Financeiras. Capitalização Contínua

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CAPÍTULO 6

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

6.1 AS FUNÇÕES VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE

Como já mencionamos anteriormente, as duas funções básicas da Matemática Financeira, no regime de juros compostos, são as funções valor futuro e valor presente. Vamos relembrá-las aqui e falar alguma coisa mais sobre elas.

Funções valor futuro e valor presente

VF ϭ VP(1 ϩ i%)n e

VP ϭ

VF

.

(1 ϩ i %) n

Nas fórmulas acima, i% é uma taxa de juros compostos, por um determinado período, e n é o número de períodos a que se refere a taxa. Este valor de n poderá ser inteiro ou fracionário. VP é o valor hoje de um investimento ou empréstimo e VF é o valor futuro, daqui a n períodos a que se refere a taxa, deste VP. (Podemos pensar, também, VP como o valor do empréstimo ou investimento em uma determinada época e VF como o valor deste VP n períodos na frente.) Quando aplicamos a fórmula do valor futuro estamos incorporando juros ao VP. Por outro lado, quando aplicamos a fórmula do valor presente estamos retirando juros do valor futuro.

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Capítulo 4 - Derivada

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CAPÍTULO 4

DERIVADA

DERIVADA

4.1 O QUE É A DERIVADA

Derivada

A derivada da função y ϭ f(x) é a função yЈ ϭ f Ј(x) dada por f Ј(x) ϭ lim

⌬x →0

f (x ϩ ⌬x ) Ϫ f (x )

.

⌬x

Observe que tanto yЈ (que se lê: y linha) quanto f Ј(x) (que se lê: f linha de x) são notações para representar a derivada dy de y ϭ f(x). Outra importante notação para a derivada de y ϭ f(x) é

(que se lê: derivada de y em relação a x). dx dy

A notação

é devida a Leibniz (veja Seção 3.8). Lembrando da fórmula ⌬y ϭ f(x ϩ ⌬x) Ϫ f(x), a derivada de dx y ϭ f(x) pode, também, ser escrita da seguinte forma:

dy

⌬y

ϭ lim

. dx

⌬x →0 ⌬x

Ou seja, a derivada de y ϭ f(x) é o limite, para ⌬x tendendo a zero, da razão incremental

⌬y

.

⌬x

Atenção

Com freqüência escreveremos, também, (f(x))Ј para indicar a derivada de f(x). Para futuras interpretações da

⌬y derivada, será muito bom pensar a derivada como o valor da razão incremental

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Apêndice 1 - O Básico da 12C

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APÊNDICE 1

O BÁSICO DA 12C

O BÁSICO DA 12C

A1.1 OPERAÇÕES BÁSICAS. AS TECLAS STO E RCL

O exemplo a seguir mostra como calcular soma, diferença, produto e quociente de dois números.

Exemplo 1

Calcule a soma, a diferença, o produto e o quociente dos números 54 e 38.

Solução

Para calcular a soma, digite

54 ENTER 38 ϩ para obter 92. Digitando-se

54 ENTER 38Ϫ obtém-se a diferença 16. Digitando-se: 54 ENTER 38 ϫ, obtém-se o produto 2.052. Digitando-se: 54 ENTER 38

Ϭ, obtém-se o quociente 1,42 (valor aproximado com duas casas decimais exatas). Caso queira mais casas decimais, digamos 7, digite f (tecla amarela f) 7 para obter 1,4210526.

O próximo exemplo mostra como trabalhar com as funções yx, 1/x e com as funções azuis x (tecla yx), ex

(tecla 1/x) e LN (tecla %T). Lembramos que para ativar uma função azul, primeiro precisamos digitar a tecla da letra azul g e, em seguida, a função azul desejada.

Exemplo 2

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Capítulo 5 - Integral

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CAPÍTULO 5

INTEGRAL

INTEGRAL

5.1 SOMATÓRIA n

Nesta seção vamos aprender a trabalhar com o símbolo ⌺ xk que se lê: somatória de xk (leia: x índice k) para k ϭm

k variando de m a n, onde m e n são números inteiros com m Յ n. Este símbolo representa a soma n

⌺ x ϭ xm ϩ xmϩ1 ϩ xmϩ2 ϩ ... ϩ xn. k ϭm k

Exemplo 1

5

Calcule ⌺ k 2. k ϭ1

Solução

Aqui xk ϭ k2, que significa x1 ϭ 12, x2 ϭ 22 etc. Assim

5

⌺ xk ϭ x1 ϩ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5

k ϭ1

e, portanto,

5

⌺ k 2 ϭ 12 ϩ 22 ϩ 32 ϩ 42 ϩ 52 ϭ 55.

k ϭ1

Exemplo 2

10

Calcule ⌺ 2 k . k ϭ3

Solução

10

⌺ 2 k ϭ 23 ϩ 24 ϩ 25 ϩ 26 ϩ 27 ϩ 28 ϩ 29 ϩ 210 ϭ 2.040.

k ϭ3

(Observe: o número de parcelas é 10 Ϫ 3 ϩ 1 ϭ 8.)

Exemplo 3

8

Calcule ⌺ 5. k ϭ2

Solução

8

⌺ xk ϭ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5 ϩ x6 ϩ x7 ϩ x8.

k ϭ2

CAPÍTULO 5

169

INTEGRAL

Aqui xk ϭ 5 para k ϭ 2, 3, 4, ..., 8, ou seja, xk é constante e igual a 5. Como o número de parcelas é 7 (7 ϭ 8 Ϫ 2 ϩ 1), resulta

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Capítulo 1 - Operando com Números Reais

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CAPÍTULO 1

OPERANDO

COM

NÚMEROS REAIS

OPERANDO COM NÚMEROS REAIS

1.1 NÚMEROS REAIS

Os números com os quais estaremos trabalhando o tempo todo são os números reais. Dentre eles destacamos os números inteiros

…Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3… em que 1, 2, 3, … são os inteiros positivos e …Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, os inteiros negativos. Na prática, os números reais são sempre representados na forma decimal, por exemplo: 2,3 (dois inteiros e três décimos); 0,001 (um milésimo); 0,33333… (dízima periódica com período 3, o que significa que o 3 se repete indefinidamente);

54,0035353535… (dízima periódica com período 35). O resultado da divisão de um número inteiro por outro inteiro ou é uma decimal exata, ou seja, uma decimal com um número finito de casas decimais, ou é uma dízima periódica. Por exemplo,

5

ϭ 1,25 é uma decimal exata;

4

2

ϭ 0, 66666º é uma dízima periódica com período 6.

3

As decimais exatas e as dízimas periódicas são denominadas números racionais. Número irracional é o número real que não é decimal exata e nem dízima periódica. Desta forma, um número real ou é racional ou é irracional. Os números 2 ϭ 1, 41421356º , ␲ ϭ 3,141592653…, e ϭ 2,718281828… são exemplos de números irracionais.

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Apêndice 2 - Matemática no Excel

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APÊNDICE 2

MATEMÁTICA NO EXCEL

MATEMÁTICA NO EXCEL

A2.1 AS FUNÇÕES VP, VF, PGTO, TAXA E NPER

As funções NPER (número de períodos), TAXA, VP, PGTO (pagamento) e VF do EXCEL realizam as mesmas tarefas que as variáveis n, i, PV, PMT e FV da 12C.

Assim, por um fluxo de caixa padrão entenderemos um fluxo de caixa em que há uma entrada ou saída de caixa

VP na época 0, n parcelas (PMT na 12C e PGTO no EXCEL) iguais e sucessivas, a primeira ocorrendo na época 1

(tipo END na 12C e tipo 0 no EXCEL) ou na época 0 (tipo BEGIN na 12C e tipo 1 no EXCEL) e mais uma entrada ou saída de caixa VF na época n.

Função VP (Valor Presente). Esta função retorna o valor presente de um fluxo de caixa padrão. Para calcular VP proceda da seguinte forma: marque uma célula, pressione fx na barra de ferramentas para abrir a caixa de diálogo de escolha de funções. Em categoria da função escolha a opção financeira. Em nome da função, escolha a opção VP. Pressione então OK. Na caixa que se abre, entre com os valores solicitados: taxa, nper (é o n da

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Apêndice 3 - Explorando a Calculadora HP48G

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APÊNDICE 3

EXPLORANDO A CALCULADORA HP48G

EXPLORANDO A CALCULADORA HP48G

A3.1 CALCULANDO NO MODO RPN

A HP48G opera em dois modos: modo RPN (o mesmo da 12C) e modo ALGÉBRICO. Nesta seção, vamos trabalhar no modo RPN. A maneira de se trabalhar no modo RPN é exatamente como na 12C. Vimos que na 12C podemos trabalhar no máximo com 4 números ao mesmo tempo: um no visor e os outros três ocupando os níveis 1,

2 e 3. Na 48G podemos trabalhar ao mesmo tempo com quantos números quisermos. Cálculos numéricos são realizados no ambiente HOME.

{HOME}

4:

3:

2:

1:

Ligando a calculadora (tecla ON) você já deverá estar nesse ambiente, se não estiver, é só ir pressionando a tecla

ON que acabará chegando a ele. Os números 1, 2, 3 e 4, que aparecem no ambiente HOME, estão indicando os 4 primeiros níveis de uma pilha com infinitos níveis.

As quatro teclas, com triângulos brancos, logo acima das teclas x , yx e 1/x são utilizadas para movimentar o cursor que aparecerá piscando quando estivermos digitando números, expressões numéricas ou algébricas.

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Capítulo 2 - Funções

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CAPÍTULO 2

FUNÇÕES

FUNÇÕES

2.1 ESTABELECENDO FÓRMULAS

O objetivo desta seção é, por meio de exemplos, abordar a montagem de fórmulas. Tendo em vista futuras implementações em computador, observamos que todas as restrições envolvendo as variáveis que aparecem nas fórmulas deverão ser explicitadas.

Exemplo 1

Estabeleça uma fórmula que forneça a soma de um número, diferente de zero, com o seu inverso.

Solução

Vamos chamar o número de x e a soma de S. O valor da soma S vai depender do valor da variável x. Pois bem, a fórmula que queremos é

Sϭxϩ

1

, com x x

0,

1 em que

é o inverso do número x, e a restrição x 0 é para tornar possível esta operação. Muitas vezes, para x destacar o fato de que S depende da variável x, escreveremos

S(x) ϭ x ϩ

1

,x x

0.

1

Em verdade, nesta última notação, S(x) está sendo usada para representar a expressão x ϩ . Freqüentemente x escreveremos

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Apêndice

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF Criptografado

Apêndice

apendice A

Tabela I

Distribuição de Poisson Acumulada

Tabela II

Distribuição Normal-Padrão Acumulada

Tabela III

Pontos Percentuais da Distribuição c2

Tabela IV

Pontos Percentuais da Distribuição t

Tabela V

Pontos Percentuais da Distribuição F

Gráfico VI

Curvas Características de Operação

Gráfico VII

Curvas Características de Operação para a Análise de

Variância do Modelo de Efeitos Fixos

Gráfico VIII

Curvas Características de Operação para a Análise de

Variância do Modelo de Efeitos Aleatórios

Tabela IX

Valores Críticos para o Teste de Wilcoxon de Duas Amostras

Tabela X

Valores Críticos para o Teste dos Sinais

Tabela XI

Valores Críticos para o Teste dos Postos com Sinais de

Wilcoxon

Tabela XII

Pontos Percentuais da Estatística da Amplitude Studentizada

Tabela XIII

Fatores para Gráficos de Controle da Qualidade

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Capítulo 12 - Planejamento e Análise de Experimentos de Fatorúnico: A Análise de Variância

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

12

Planejamento e Análise de Experimentos de Fator

Único: A Análise de Variância

Experimentos são uma parte natural do processo de tomada de decisão na engenharia e no gerenciamento. Por exemplo, suponha que um engenheiro civil esteja estudando o efeito de métodos de cura sobre a força média de compressão do concreto. O experimento consistiria na confecção de vários espécimes de teste de concreto, usando cada um dos métodos de cura propostos e testando-se, então, a força de compressão de cada espécime. Os dados desse experimento poderiam ser usados para se determinar qual método de cura deve ser usado para se obter a máxima força de compressão.

Se há apenas dois métodos de cura de interesse, o experimento poderia ser planejado e analisado utilizando-se os métodos do Capítulo 11. Isto é, o experimento tem um único fator de interesse – métodos de cura – e há apenas dois níveis do fator. Se o interesse do experimento for a determinação de qual método de cura produz a força de compressão máxima, então o número de espécimes a serem testados pode ser determinado com o uso das curvas características de operação do Gráfico VI (Apêndice), e o teste t pode ser usado para se determinar se as duas médias diferem.

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Capítulo 6 - Algumas Distribuições Contínuas Importantes

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

6

Algumas Distribuições Contínuas Importantes

6-1 INTRODUÇÃO

Estudaremos, agora, várias distribuições de probabilidade contínuas importantes. Elas são as distribuições uniforme, exponencial, gama e de Weibull. No Capítulo 7 serão apresentadas a distribuição normal e várias outras distribuições de probabilidade relacionadas a ela. A distribuição normal é, talvez, a mais importante de todas as distribuições contínuas. A razão para retardarmos seu estudo é que a distribuição normal é importante o bastante para merecer um capítulo separado.

Já foi dito que o espaço imagem para uma variável aleatória contínua, X, consiste em um intervalo ou um conjunto de intervalos. Isso foi ilustrado em um capítulo anterior, e observou-se que uma idealização está envolvida. Por exemplo, se estamos medindo o tempo de falha de um componente eletrônico ou o tempo de processamento de um pedido através de um sistema de informação, os mecanismos de medição usados são tais que há apenas um número finito de resultados possíveis; no entanto, idealizaremos e assumiremos que o tempo pode ser qualquer valor em algum intervalo. Novamente simplificamos a notação onde não houver ambigüidade, e fazemos f(x) ϭ fX(x) e F(x) ϭ FX(x).

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Capítulo 11 - Testes de Hipóteses

HINES, William W.; MONTGOMERY, Douglas C.; GOLDSMAN, Dave; BORROR, Connie M. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

11

Testes de Hipóteses

Muitos problemas exigem uma decisão entre aceitar ou rejeitar uma afirmativa sobre algum parâmetro. A afirmativa é, em geral, chamada de hipótese, e o procedimento de tomada de decisão em relação

à hipótese é chamado teste de hipótese. Este é um dos aspectos mais úteis da inferência estatística, uma vez que muitos tipos de problemas de tomada de decisão podem ser formulados como problemas de teste de hipótese. Este capítulo apresentará procedimentos de teste de hipótese para várias situações importantes.

11-1 INTRODUÇÃO

11-1.1 Hipóteses Estatísticas

Uma hipótese estatística é uma afirmativa sobre a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Hipóteses estatísticas envolvem, em geral, um ou mais parâmetros dessa distribuição. Por exemplo, suponha que estejamos interessados na força média de compressão de um tipo particular de concreto. Especificamente, estamos interessados em decidir se a força média de compressão (digamos, ␮)

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Respostas de Exercícios Selecionados

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