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Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

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25. Experimento com SAC. A escolha de ω necessita de experimentação, inspeção das curvas obtidas, e depois, variações numa base de tentativa e erro. É interessante ver como, no caso de batimentos, o período fica cada vez mais longo e a amplitude máxima cada vez maior na medida em que ω/(2π) se aproxima da frequência de ressonância.

  9. Linearmente independentes

11. Linearmente independentes

13. Linearmente independentes

15. Linearmente dependentes

1. Hipérboles

3. Retas paralelas (planos paralelos no espaço)

5. Circunferências, centros sobre o eixo y

7. Elipses

9. Planos paralelos

11. Cilindros elípticos

13. Paraboloides

  

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Capítulo 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial

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No Capítulo 17, desenvolvemos a abordagem geométrica do mapeamento conforme. Isso significa que, para uma função analítica complexa w = f(z), definida em um domínio D do plano z, associamos a cada ponto em D um ponto correspondente no plano w. Isso nos forneceu um mapeamento conforme (que preserva ângulos), exceto em pontos críticos em que f'(z) = 0.

Neste capítulo, vamos aplicar mapeamentos conformes a problemas do potencial. Isso nos levará a problemas de contorno e várias aplicações da Engenharia em eletrostática, fluxo de calor e escoamento de fluidos. Mais detalhes são como se segue.

Lembre-se de que a equação de Laplace ∇2Φ = 0 é uma das mais importantes EDPs em Matemática Aplicada à Engenharia, porque ela ocorre em gravitação (Seções 9.7, 12.11), eletrostática (Seção 9.7), condução do calor em estado estacionário (Seção 12.5), escoamento de fluido incompressível, entre outras áreas. A teoria desta equação é denominada teoria do potencial (embora “potencial” também seja usado, em um sentido mais geral, em conexão com gradientes [veja a Seção 9.7]). Considerando que queremos tratar esta equação com métodos de análise complexa, iremos restringir nossa discussão ao “caso bidimensional”. Assim, Φ depende apenas de duas coordenadas cartesianas x e y, e a equação de Laplace torna-se

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Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

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TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

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Capítulo 1 EDOs de Primeira Ordem

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O Capítulo 1 introduz o estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), obtendo-as a partir de problemas físicos ou de outra natureza (modelagem), resolvendo-as por meio de métodos matemáticos convencionais e interpretando soluções e seus gráficos em termos de algum dado problema. As EDOs mais simples a serem discutidas são EDOs de primeira ordem, porque envolvem apenas a derivada de primeira ordem da função incógnita e nenhuma derivada de ordem mais alta. Essas funções incógnitas serão usualmente representadas por y(x) ou y(t) quando a variável independente representar o tempo t. Na Seção 1.7, o capítulo termina com um estudo da existência e unicidade de soluções de EDOs.

Para entender os conteúdos básicos das EDOs, é necessário resolver problemas a mão (lápis e papel, ou digitando em seu computador, inicialmente sem a ajuda de um SAC). Fazendo isso, você ganhará uma importante compreensão conceitual e entenderá os termos básicos, tais como EDOs, campo de direções e problema de valor inicial. Se desejar, poderá usar seu Sistema de Álgebra Computacional (SAC) para verificar soluções.

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Capítulo 24 Análise de Dados. Teoria da Probabilidade

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Mostraremos como se manipula dados numericamente ou em termos de gráficos, e como a partir deles extrair informação (tamanho médio, dispersão dos dados etc.). Se estes dados forem influenciados pelo “acaso”, por fatores cujo efeito não podemos prever exatamente (por exemplo, dados climáticos, preços de ações, vida útil de pneus etc.), precisamos confiar na teoria da probabilidade. Esta teoria originou-se em jogos de azar, tais como lançar moedas, jogar dados ou cartas de baralho. Atualmente, ela fornece modelos matemáticos para processos de acaso denominados experimentos aleatórios ou, simplesmente, experimentos. Nesses experimentos, observamos uma variável aleatória X, uma função cujos valores em uma tentativa (uma performance de um experimento) ocorrem “por acaso” (Seção 24.3) de acordo com uma distribuição de probabilidade, que fornece as probabilidades individuais com as quais possíveis valores de X podem ocorrer no longo prazo. (Por exemplo, cada uma das seis faces de um dado deve ocorrer com a mesma probabilidade, 1/6.) Ou podemos, simultaneamente, observar mais de uma variável aleatória, por exemplo, altura e peso de pessoas, ou dureza e tensão de ruptura do aço. Isso será discutido na Seção 24.9, na qual também vamos apresentar a base para a justificativa matemática dos modelos estatísticos do Capítulo 25.

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Capítulo 17 Mapeamento Conforme

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Mapeamentos conformes, além de inestimáveis para o engenheiro e para o físico, auxiliam na resolução de problemas em teoria do potencial. Eles constituem um método-padrão para resolver problemas de contorno em teoria do potencial bidimensional e fornecem ricas aplicações em eletrostática, fluxo do calor, escoamento de fluidos, como veremos no Capítulo 18.

A principal característica dos mapeamentos conformes é que eles preservam os ângulos (exceto em alguns pontos críticos) e permitem uma abordagem geométrica para a análise complexa. Mais detalhes a seguir.

Considere uma função complexa w = f(z) definida em um domínio D do plano z; então, a cada ponto em D corresponde um ponto no plano w. Desta forma, obtemos um mapeamento de D sobre a distribuição de valores de f(z) no plano w. Na Seção 17.1, iremos mostrar que, se f(z) for uma função analítica, então o mapeamento dado por w = f(z) é um mapeamento conforme, isto é, preserva ângulos, exceto em pontos nos quais a derivada f'(z) é zero. (Estes pontos são denominados pontos críticos.)

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Capítulo 6 Transformadas de Laplace

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Transformadas de Laplace constituem ferramentas matemáticas de grande valor para qualquer engenheiro que queira tornar muito mais fácil a tarefa de resolver EDOs lineares e problemas de valor inicial relacionados com essas equações, bem como sistemas de EDOs lineares. São inúmeras as suas aplicações: circuitos elétricos, molas, problemas de mistura, processamento de sinais, e outras áreas de Engenharia e de Física.

O processo de resolver uma EDO usando o método da transformada de Laplace consiste em três etapas, apresentadas esquematicamente na Figura 113.

Etapa 1. A EDO dada é transformada em uma equação algébrica, denominada a equação subsidiária.

Etapa 2. A equação subsidiária é resolvida por meio de manipulações puramente algébricas.

Etapa 3. A solução da Etapa 2 é transformada de volta, resultando na solução do problema dado.

Figura 113 Resolução de um PVI por transformadas de Laplace.

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Apêndice 1 Referências

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[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of

Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

[GenRef9] Kreyszig, E. Introduction to Differential Geometry and Riemannian Geometry. Toronto: University of Toronto Press, 1975.

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Capítulo 4 Sistemas de EDOs. Plano de Fase. Métodos Qualitativos

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Compondo com o Capítulo 3, iremos apresentar na Seção 4.1 outro método para resolver EDOs de ordem superior. A partir deste método, iremos converter uma EDO de ordem n em um sistema de n EDOs de primeira ordem. Vamos mostrar também algumas aplicações. Além disso, na mesma seção, iremos resolver sistemas de EDOs de primeira ordem que ocorrem diretamente em aplicações, isto é, que não decorreram de uma EDO de ordem n, mas sim da própria aplicação, como, por exemplo, dois tanques em problemas de mistura e dois circuitos em redes elétricas. (Na Seção 4.0, revisaremos os aspectos elementares de vetores e matrizes, necessários neste capítulo, provavelmente familiares à maioria dos estudantes.)

Na Seção 4.3, vamos apresentar uma maneira totalmente diferente de interpretar sistemas de EDOs. O método consiste em examinar o comportamento geral de famílias inteiras de soluções de EDOs no plano de fase e, por isso, denominado método do plano de fase. Este método fornece informação a respeito da estabilidade de soluções. (A estabilidade de um sistema físico é desejável e, grosso modo, significa que uma pequena alteração em algum instante causa apenas uma pequena alteração no comportamento do sistema em tempos posteriores.) Essa abordagem para sistemas de EDOs é um método qualitativo porque depende apenas da natureza das EDOs e não exige que conheçamos as suas soluções. Isso pode ser muito útil, porque, com frequência, é difícil ou até mesmo impossível resolver sistemas de EDOs. Em contraste, a abordagem de realmente resolver um sistema é conhecida como um método quantitativo.

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Apêndice 1 Referências

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[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

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Capítulo 16 Séries de Laurent. Integração por Resíduos

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O propósito principal deste capítulo é aprender a respeito de outro método poderoso para calcular o valor de integrais complexas e algumas integrais reais. Este é o denominado integração por resíduos. Lembre-se de que o primeiro método para avaliar integrais complexas consistiu em aplicar diretamente a fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3. Depois, aprendemos a respeito de série de Taylor (Capítulo 15) e agora iremos generalizar a série de Taylor. A beleza da integração por resíduos, que vem a ser o segundo método de integração, é que ele reúne muito do material anterior.

A série de Laurent generaliza a série de Taylor. De fato, enquanto os termos de uma série de Taylor são potências inteiras positivas (e um termo constante) e convergem em um disco, uma série de Laurent (Seção 16.1) é uma série de potências inteiras positivas e negativas de zz0 e convergem em um anel (um anel circular) com centro em z0. Consequentemente, podemos representar, por uma série de Laurent, uma dada função f(z) analítica em um anel e que pode ter singularidades do lado de fora do anel, bem como no “orifício” do anel.

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Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9.

Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A5 Distribuição Binomial

Função probabilidade f(x) [veja (2), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A6 Distribuição de Poisson

Função probabilidade f(x) [veja (5), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A7 Distribuição Normal

Valores da função distribuição Φ(z) [veja (3), Seção 24.8]. Φ(−z) = 1 − Φ(z)

Tabela A8 Distribuição Normal

Valores de z para valores dados de Φ(z) [veja (3), Seção 24.8] e D(z) = Φ(z) − Φ(−z)

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Capítulo 23 Grafos. Otimização Combinatória

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Muitos problemas em Engenharia Elétrica, Engenharia Civil, Pesquisa Operacional, Engenharia Industrial, Administração, Logística, Marketing e Economia podem ser modelados por meio de grafos e grafos orientados, denominados digrafos. Isto não é surpreendente, visto que eles permitem modelar redes, tais como estradas e cabos, cujos nós podem ser cidades ou computadores. A tarefa então é determinar o caminho mais curto pela rede, ou a melhor forma de conectar computadores. De fato, muitos pesquisadores que contribuíram para a otimização combinatória e grafos, e que deram seus nomes a algoritmos fundamentais neste capítulo, tais como Fulkerson, Kruskal, Moore e Prim, trabalharam todos na Bell Laboratories em New Jersey, as principais instalações de Pesquisa e Desenvolvimento da grande empresa de telefonia e telecomunicações AT&T. Assim, eles estavam interessados em métodos para otimizar a construção de redes de computadores e de telefonia. O campo tem progredido na busca de algoritmos cada vez mais eficientes para problemas de grande dimensão.

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Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

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Problemas Propostos 19.1, página 9

23. O algoritmo do Problema 22 repete 0011 infinitas vezes.

25. n = 26. O início é em 0,09375 (n = 1).

Problemas Propostos 19.2, página 18

 3. g = 0,5 cos x, x = 0,450184 (x10, acurácia 6S)

 5. Para todos os valores iniciais, ocorre convergência para 4,7.

 7. x = x/(ex sen x); 0,5; 0,63256; … converge para 0,58853 (acurácia 5S) em 14 passos.

 9. x = x4 − 0,12; x0 = 0, x3 = −0,119794 (acurácia 6S)

11. g = 4/x + x3/16 − x5/576; x0 = 2, xn = 2,39165 (n ≧ 6); 2,405 com acurácia 4S

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Apêndice 1 Referências

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Referências Gerais

[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

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