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Capítulo 14 Integração Complexa

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

O Capítulo 13 lançou as bases para o estudo de análise complexa, cobrindo números complexos no plano complexo, limites e derivação, e além disso, introduziu o conceito mais importante de analiticidade. Uma função complexa é analítica em algum domínio se ela for derivável naquele domínio. A análise complexa trata dessas funções e de suas aplicações. As equações de Cauchy-Riemann, na Seção 13.4, foram o centro do Capítulo 13 e proporcionaram um caminho para verificar se uma função é de fato analítica. Naquela seção, também vimos que funções analíticas satisfazem a equação de Laplace, a mais importante EDP na física.

Agora, iremos considerar a parte seguinte do cálculo complexo, isto é, discutir a primeira abordagem para a integração complexa. Este estudo é focado em torno do muito importante teorema integral de Cauchy (também denominado teorema de Cauchy-Goursat) na Seção 14.2. Este teorema é importante porque permite, a partir de sua indicada fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3, o cálculo de integrais cujo integrando é uma função analítica. Além disso, a fórmula integral de Cauchy mostra o resultado surpreendente de que funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens. Consequentemente, sob este aspecto, funções analíticas complexas comportam-se muito mais simplesmente que as funções reais de variáveis reais, que podem ter derivadas apenas até certa ordem.

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Capítulo 22 Otimização sem Restrições. Programação Linear

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Otimização é um termo geral utilizado para descrever tipos de problemas e técnicas de resolução que se referem à melhor (“ótima”) alocação de recursos limitados em projetos. Os problemas são denominados problemas de otimização e os métodos são denominados métodos de otimização. Problemas típicos referem-se a planejamento e tomada de decisões, tais como selecionar um plano de produção ótimo. Uma empresa precisa decidir quantas unidades de cada produto, a partir de uma escolha de produtos (distintos), ela deve produzir. O objetivo da empresa pode ser maximizar o lucro total, quando os diferentes produtos levam a lucros individuais diferentes. Além disso, a empresa é sujeita a certos limites (restrições). Ela pode ter um certo número de máquinas, ela leva um certo tempo e o uso destas máquinas para fazer um produto requer um certo número de trabalhadores para manipular as máquinas, e outros critérios possíveis. Para resolver este tipo de problema, você atribuirá a primeira variável ao número de unidades a serem produzidas do primeiro produto, a segunda variável ao segundo produto, até esgotar o número de produtos diferentes (distintos) que a empresa produz. Quando você multiplicar estas variáveis pelo preço, por exemplo, você obterá uma função linear, denominada a função objetivo. Você pode expressar as restrições em termos destas variáveis, obtendo, assim, várias desigualdades, denominadas as restrições. Como as variáveis envolvidas na função objetivo também ocorrem nas restrições, a função objetivo e as restrições são amarradas matematicamente entre si e você estabeleceu um problema de otimização linear, também denominado um problema de programação linear.

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Capítulo 19 Métodos Numéricos em Geral

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Análise numérica, ou abreviadamente numérico, tem um sabor distinto, diferentemente daquele do cálculo básico, ou daquele da resolução de EDOs algebricamente, ou ainda de outras áreas (não numéricas). Enquanto no Cálculo e em EDOs havia pouquíssimas escolhas sobre como resolver o problema, e sua resposta era uma resposta algébrica, você terá agora em numérico muito mais escolhas e suas respostas serão dadas como tabelas de valores (números) ou gráficos. Você precisa fazer criteriosas escolhas, quanto a qual método numérico ou algoritmo você quer usar, de quanta exatidão você necessita no seu resultado, a partir de qual valor (valor inicial) você quer iniciar seu cálculo, entre outras escolhas. Este capítulo é projetado para fornecer uma boa transição, a partir da matemática do tipo algébrico para a matemática do tipo numérico.

Vamos começar com os conceitos gerais, tais como ponto flutuante, erros de arredondamento e erros numéricos gerais e sua propagação. Isso é seguido na Seção 19.2 pelo importante tópico de resolver equações do tipo f(x) = 0 por vários métodos numéricos, inclusive o famoso método de Newton. A Seção 19.3 apresenta métodos de interpolação. Estes são métodos que constroem valores para uma nova (incógnita) função, a partir de valores de uma função conhecida. O conhecimento ganho na Seção 19.3 é aplicado na interpolação por spline (Seção 19.4) e é útil para compreender a integração e a derivação numéricas estudadas na última seção.

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1 Introdução

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Neste primeiro capítulo, forneceremos os fundamentos para seu estudo de equações diferenciais de diversas maneiras diferentes. Primeiro, vamos usar dois problemas para ilustrar algumas das ideias básicas a que retornaremos com frequência e que serão aprofundadas ao longo deste livro. Com o objetivo de fornecer uma estrutura organizacional para o livro, indicamos, mais adiante, diversos modos de classificar equações.

O estudo das equações diferenciais atraiu a atenção dos maiores matemáticos do mundo durante os três últimos séculos. Por outro lado, é importante reconhecer que equações diferenciais continuam sendo uma área de pesquisa dinâmica hoje em dia, com muitas questões interessantes em aberto. Esboçamos algumas das tendências mais importantes no desenvolvimento histórico deste assunto e mencionamos alguns dos matemáticos brilhantes que contribuíram para a área. Informações bibliográficas adicionais sobre alguns deles serão mencionadas nos lugares apropriados nos capítulos a seguir.

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Capítulo 23 Grafos. Otimização Combinatória

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Muitos problemas em Engenharia Elétrica, Engenharia Civil, Pesquisa Operacional, Engenharia Industrial, Administração, Logística, Marketing e Economia podem ser modelados por meio de grafos e grafos orientados, denominados digrafos. Isto não é surpreendente, visto que eles permitem modelar redes, tais como estradas e cabos, cujos nós podem ser cidades ou computadores. A tarefa então é determinar o caminho mais curto pela rede, ou a melhor forma de conectar computadores. De fato, muitos pesquisadores que contribuíram para a otimização combinatória e grafos, e que deram seus nomes a algoritmos fundamentais neste capítulo, tais como Fulkerson, Kruskal, Moore e Prim, trabalharam todos na Bell Laboratories em New Jersey, as principais instalações de Pesquisa e Desenvolvimento da grande empresa de telefonia e telecomunicações AT&T. Assim, eles estavam interessados em métodos para otimizar a construção de redes de computadores e de telefonia. O campo tem progredido na busca de algoritmos cada vez mais eficientes para problemas de grande dimensão.

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Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9.

Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A5 Distribuição Binomial

Função probabilidade f(x) [veja (2), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A6 Distribuição de Poisson

Função probabilidade f(x) [veja (5), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A7 Distribuição Normal

Valores da função distribuição Φ(z) [veja (3), Seção 24.8]. Φ(−z) = 1 − Φ(z)

Tabela A8 Distribuição Normal

Valores de z para valores dados de Φ(z) [veja (3), Seção 24.8] e D(z) = Φ(z) − Φ(−z)

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7 Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Existem muitos problemas físicos que envolvem diversos elementos separados, mas associados de alguma forma. Por exemplo, a corrente e a voltagem em um circuito elétrico, cada massa em um sistema mecânico, cada elemento (ou composto) em um sistema químico ou cada espécie em um sistema biológico têm essa característica. Nesses e em casos semelhantes, o problema matemático correspondente consiste em um sistema de duas ou mais equações diferenciais, que sempre podem ser escritas como equações diferenciais de primeira ordem. Vamos estudar, neste capítulo, sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, em particular equações diferenciais com coeficientes constantes, utilizando alguns aspectos elementares da álgebra linear para unificar a apresentação. Em muitos aspectos, este capítulo segue a mesma linha que o tratamento dado às equações lineares de segunda ordem no Capítulo 3.

Sistemas de equações diferenciais ordinárias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma delas sendo função da mesma variável independente única. Vamos denotar a variável independente por t e as variáveis dependentes, que são funções de t, por x1, x2, x3, … A diferenciação1 em relação a t será denotada por uma linha; por exemplo, ou x1.

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Capítulo 25 Estatística Matemática

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Em teoria da probabilidade, estabelecemos modelos matemáticos de processos que são influenciados pelo “acaso”. Em estatística matemática, ou simplesmente estatística, verificaremos estes modelos em comparação com a realidade observável. A esse procedimento denomina-se inferência estatística. Isso é feito por amostragem, isto é, coletando amostras aleatórias, denominadas amostras. Estes são conjuntos de valores coletados a partir de um conjunto muito maior de valores que poderiam ser estudados, denominado a população. Um exemplo é dez diâmetros de parafusos coletados a partir de um grande lote de parafusos. A amostragem é realizada para ver se um modelo da população é suficientemente preciso para propósitos práticos. Em caso afirmativo, o modelo poderá ser utilizado para previsões, decisões e ações, por exemplo, no planejamento de produção, na compra de equipamentos, nos investimentos em projetos de negócios, e assim por diante.

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Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9. Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10.

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A1 Funções de Bessel

Para tabelas mais extensivas, veja a Ref. [GenRef1] no Apêndice 1.

Tabela A2 Função Gamma

[veja (24) no Apêndice A3.1]

Tabela A3 Função Fatorial e Seus Logaritmos com Base 10

Tabela A4 Função Erro, Integrais Seno e Cosseno

[veja (35), (40), (42) no Apêndice A3.1]

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Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

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TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

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2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Este capítulo trata de equações diferenciais de primeira ordem,

em que f é uma função dada de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y = ϕ (t) que satisfaz essa equação para todo t em algum intervalo é chamada de uma solução. Nosso objetivo é determinar se tal função existe e, nesse caso, desenvolver métodos para encontrá-la. Infelizmente, não existe método geral para resolver a equação em termos de funções elementares para uma função arbitrária f. Em vez disso, descreveremos diversos métodos, cada um deles aplicável a determinada subclasse de equações de primeira ordem.

As mais importantes dessas são as equações lineares (Seção 2.1), as equações separáveis (Seção 2.2) e as equações exatas (Seção 2.6). Outras seções deste capítulo descrevem algumas das aplicações importantes de equações diferenciais de primeira ordem, introduzem a ideia de aproximar uma solução por cálculos numéricos e discutem algumas questões teóricas relacionadas com a existência e a unicidade de soluções. A última seção inclui um exemplo de soluções caóticas no contexto de equações de diferenças finitas de primeira ordem, que têm alguns pontos importantes de semelhança com equações diferenciais e são mais simples de investigar.

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3 Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Equações lineares de segunda ordem têm uma importância crucial no estudo de equações diferenciais, por duas razões principais. A primeira é que equações lineares têm uma estrutura teórica rica, subjacente a diversos métodos sistemáticos de resolução. Além disso, uma parte substancial dessa estrutura e desses métodos é compreensível em um nível matemático relativamente elementar. Para apresentar as ideias fundamentais em um contexto o mais simples possível, vamos descrevê-las neste capítulo para equações de segunda ordem. A segunda razão para estudar equações lineares de segunda ordem é que elas são essenciais para qualquer investigação séria das áreas clássicas da Física-Matemática. Não se pode progredir muito no estudo de mecânica dos fluidos, condução de calor, movimento ondulatório ou fenômenos eletromagnéticos sem esbarrar na necessidade de resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos ilustrar isso no final deste capítulo com uma discussão de oscilações de alguns sistemas mecânicos e elétricos básicos.

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Capítulo 24 Análise de Dados. Teoria da Probabilidade

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Mostraremos como se manipula dados numericamente ou em termos de gráficos, e como a partir deles extrair informação (tamanho médio, dispersão dos dados etc.). Se estes dados forem influenciados pelo “acaso”, por fatores cujo efeito não podemos prever exatamente (por exemplo, dados climáticos, preços de ações, vida útil de pneus etc.), precisamos confiar na teoria da probabilidade. Esta teoria originou-se em jogos de azar, tais como lançar moedas, jogar dados ou cartas de baralho. Atualmente, ela fornece modelos matemáticos para processos de acaso denominados experimentos aleatórios ou, simplesmente, experimentos. Nesses experimentos, observamos uma variável aleatória X, uma função cujos valores em uma tentativa (uma performance de um experimento) ocorrem “por acaso” (Seção 24.3) de acordo com uma distribuição de probabilidade, que fornece as probabilidades individuais com as quais possíveis valores de X podem ocorrer no longo prazo. (Por exemplo, cada uma das seis faces de um dado deve ocorrer com a mesma probabilidade, 1/6.) Ou podemos, simultaneamente, observar mais de uma variável aleatória, por exemplo, altura e peso de pessoas, ou dureza e tensão de ruptura do aço. Isso será discutido na Seção 24.9, na qual também vamos apresentar a base para a justificativa matemática dos modelos estatísticos do Capítulo 25.

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Capítulo 21 Métodos Numéricos para EDOs e EDPs

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Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e equações diferenciais parciais (EDPs) desempenham um papel central na modelagem de problemas de Engenharia, Matemática, Física, Aeronáutica, Astronomia, dinâmica, elasticidade, Biologia, Medicina, Química, ciências ambientais, Economia e várias outras áreas. Os Capítulos 1−6 e 12 apresentaram as abordagens principais para resolver EDOs e EDPs analiticamente. Na sua carreira, entretanto, seja como engenheiro, ou matemático aplicado ou físico, você encontrará EDOs e EDPs que não podem ser resolvidas por aqueles métodos analíticos, ou cujas resoluções são tão difíceis que outras abordagens são necessárias. É precisamente nesses projetos do mundo real que os métodos numéricos para EDOs e EDPs são utilizados, frequentemente como parte de um pacote de software. De fato, software numérico tem-se tornado uma ferramenta indispensável para o engenheiro.

Este capítulo é igualmente dividido entre métodos numéricos para EDOs e métodos numéricos para EDPs. Iremos começar com EDOs e discutir, na Seção 21.1, métodos para EDOs de primeira ordem. A ideia inicial principal é a de que podemos obter aproximações para a solução de uma EDO em pontos que distam h entre si, utilizando os dois primeiros termos da fórmula de Taylor do cálculo. Com estas aproximações, vamos construir a fórmula de iteração para um método conhecido como método de Euler. Enquanto este método é bastante instável e de pouca utilidade prática, ele serve como uma ferramenta pedagógica e um ponto de partida para compreender métodos mais sofisticados, tais como Runge-Kutta e sua variante, o método de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF), que são populares e úteis na prática. Como é usual em Matemática, tendemos a generalizar ideias matemáticas. Os métodos da Seção 21.1 são métodos de passo único, isto é, a aproximação atual utiliza apenas a aproximação do passo anterior. Métodos de passos múltiplos, como os de Adams-Bashforth e Adams-Moulton, utilizam valores calculados em vários passos anteriores. Concluiremos os métodos numéricos para EDOs aplicando métodos de Runge-Kutta-Nyström e outros métodos a EDOs de ordem mais alta e a sistemas de EDOs.

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Capítulo 16 Séries de Laurent. Integração por Resíduos

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O propósito principal deste capítulo é aprender a respeito de outro método poderoso para calcular o valor de integrais complexas e algumas integrais reais. Este é o denominado integração por resíduos. Lembre-se de que o primeiro método para avaliar integrais complexas consistiu em aplicar diretamente a fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3. Depois, aprendemos a respeito de série de Taylor (Capítulo 15) e agora iremos generalizar a série de Taylor. A beleza da integração por resíduos, que vem a ser o segundo método de integração, é que ele reúne muito do material anterior.

A série de Laurent generaliza a série de Taylor. De fato, enquanto os termos de uma série de Taylor são potências inteiras positivas (e um termo constante) e convergem em um disco, uma série de Laurent (Seção 16.1) é uma série de potências inteiras positivas e negativas de zz0 e convergem em um anel (um anel circular) com centro em z0. Consequentemente, podemos representar, por uma série de Laurent, uma dada função f(z) analítica em um anel e que pode ter singularidades do lado de fora do anel, bem como no “orifício” do anel.

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