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3 Funções Exponenciais, Logaritmos e o Número e

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CAPÍTULO

3

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Noite Estrelada, pintado por

Vincent Van Gogh em 1889.

O brilho de uma estrela como visto da Terra é medido usando uma escala logarítmica.

Funções Exponenciais,

Logaritmos e o Número e

Neste capítulo, estudaremos potências e logaritmos, juntamente com as aplicações destes importantes conceitos.

Cada número b ≠ 1 e positivo leva a uma função exponencial b x. A inversa dessa função é o logaritmo na base b. Assim, logb y = x significa b x = y. Veremos que as importantes propriedades algébricas dos logaritmos decorrem diretamente das propriedades algébricas das potências.

Usaremos potências e logaritmos para modelar o decaimento radioativo, a intensidade de terremoto, a intensidade do som e o brilho de uma estrela. Também veremos como é que funções com crescimento exponencial descrevem o crescimento populacional e os juros compostos.

Nosso enfoque para o número mágico e e para o logaritmo natural levarão a várias importantes aproximações, que mostrarão as propriedades especiais do e. Essas aproximações demonstram por que o logaritmo natural faz jus a seu nome.

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1. Função dos juros na economia

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Função dos juros na economia

1

Conteúdo do Capítulo

Consumo e poupança

■■ Necessidade natural de poupar

■■ Consumo antecipado paga juro

Formação da taxa de juro

■■ Juro e inflação

■■ Composição da taxa de juro real

■■ Distinção entre juro, lucro e spread

Índices de preços e atualização monetária

■■ Principais índices de preços

■■ Atualização monetária

Exercícios propostos

1.1  Consumo e poupança

As pessoas têm propensão ao consumo, e uma das medidas para controlar essa vontade inata é o juro. Se uma pessoa tem dinheiro aplicado numa caderneta de poupança, por exemplo, é porque, além da necessidade de poupar para o futuro, o rendimento que ela produz está compensando a sua vontade de gastar.

Se uma pessoa tem uma aplicação financeira no valor de R$ 1.000,00 com expectativa de receber 10% de juro daqui a um ano é porque essa taxa de juro está sendo

1

HOJI.indb 1

5/30/16 2:19 PM

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Apêndice A: Área

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Apêndice A: Área

Você provavelmente já tem uma boa noção intuitiva sobre área. Neste apêndice, tentaremos reforçar essa intuição enquanto determinamos fórmulas para as áreas de algumas regiões.

Circunferência

Uma definição rigorosa da medida da circunferência de uma região requer Cálculo e, por isso, usaremos a seguinte definição intuitiva:

Circunferência

A circunferência de uma região pode ser determinada colocando-se uma corda sobre a curva que contorna a região e depois medindo o comprimento da corda quando ela é esticada, formando um segmento de reta.

Experimentos físicos mostram que a circunferência de um círculo é proporcional ao seu diâmetro. Por exemplo, suponha que você tenha uma régua bastante precisa que pode medir comprimentos com precisão de 0,01 polegada (0,25 mm). Se você colocar uma corda sobre um círculo com diâmetro de 1 polegada (25,4 mm) e em seguida esticá-­ la formando um segmento de reta, você verá que a corda tem comprimento de aproximadamente 3,14 polegadas (79,76 mm). Da mesma forma, se você colocar uma corda sobre um círculo com diâmetro de 2 polegadas (50,8 mm) e depois esticá-la formando um segmento de reta, você verá que a corda tem comprimento de aproximadamente 6,28 polegadas (159,51 mm). Portanto, a circunferência de um círculo com diâmetro de duas polegadas é o dobro da circunferência de um círculo com diâmetro de uma polegada.

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4 - Descontos e Operações de Curto Prazo

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4

Descontos e Operações de Curto Prazo

Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.

Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.

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Capítulo 03 - Atividades de Sistema de Numeração Decimal com materiais didáticos manipulativos

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Atividades de Sistema de Numeração Decimal com materiais didáticos manipulativos

Em todo o texto apresentado até aqui, duas perspectivas metodológicas formam a base do projeto dos materiais manipulativos para aprender matemática: a utilização dos recursos de comunicação e a proposição de situações-problema.

Elas se aliam e se revelam, neste texto, na descrição das etapas de cada atividade ou jogo. São sugeridos os encaminhamentos da atividade na forma de questões a serem propostas aos alunos antes, durante e após a atividade propriamente dita, assim como a melhor forma de apresentação do material a ser utilizado.

Para começar, é importante que os alunos tenham a oportunidade de manusear o material livremente para que algumas noções comecem a emergir da exploração inicial, para que depois, na condução da atividade, as relações percebidas possam ser sistematizadas.

De modo geral, cada sequência de atividades apresenta as seguintes partes:

• Conteúdo

• Objetivos

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Capítulo 01 - Materiais didáticosmanipulativos

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Materiais didáticos manipulativos

Introdução

A proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas de matemática não é recente. Desde que Comenius

(1592-1670) publicou sua Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, Comenius chega mesmo a recomendar que nas salas de aula sejam pintados fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para ensinar geometria.

Nos séculos seguintes, educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852) propuseram que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação ativa”. Assim, na concepção destes dois educadores, as descrições deveriam preceder as definições e os conceitos nasceriam da experiência direta e das operações que o aprendiz realizava sobre as coisas que observasse ou manipulasse.

São os reformistas do século XX, principalmente Claparède,

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Capítulo 8 - Trigonometria e Funções Trigonométricas

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Capítulo

8

Trigonometria e Funções

Trigonométricas

A Trigonometria é uma área da Matemática bastante importante no Cálculo Diferencial e Integral. Os primeiros estudos sobre Trigonometria (do grego trigonon, triângulo, e metria, medição) tiveram origem nas relações entre lados e ângulos no triângulo e datam de muito tempo. Nosso objetivo principalneste capítulo é o estudo de funções trigonométricas. Podemos defini-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sanguínea em nosso sistema circulatório, a corrente elétrica alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical. Em todos esses fenômenos, uma grandeza oscila com regularidade e pode ser representada por funções trigonométricas. Neste capítulo, faremos primeiramente uma revisão de alguns conceitos básicos da Trigonometria necessários para o estudo das funções trigonométricas e suas inversas.

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Capítulo 1 - Fundamentos de comunicação de informação

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capítulo

1

fundamentos de comunicação de informação

Em 1948, C. E. Shannon publicou a sua Mathematical Theory of Communication, que estabeleceu os modernos fundamentos matemáticos da área de comunicação de dados. Neste capítulo são introduzidos os conceitos básicos dessa teoria como: fonte de informação, codificação de fonte, alfabeto de símbolos e entropia de um alfabeto. Shannon mostrou que o processo de geração de informação pode ser avaliado a partir das eficiências da fonte de informação e do codificador dessa fonte.

Além disso, introduziu o conceito de canal de comunicação de informação e estabeleceu as condições de máxima transferência de informação por esse canal, levando em conta suas imperfeições e seus ruídos.

■ ■

2

Comunicação de Dados

1.1

introdução

Comunicação de dados pode ser considerada a função básica inerente a um sistema de comunicação de informação. Os dados neste contexto são essencialmente os dígitos binários, zero e um, e, portanto, podem ser considerados como uma forma de representação da informação.

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Capítulo 51 - Superfícies e Curvas no Espaço

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Capítulo 51

Superfícies e Curvas no Espaço

PLANOS

Já sabemos (fórmula (50.22)) que a equação de um plano tem a forma Ax + By + Cz + D = 0, onde Ai + Bj + Ck é um vetor não nulo perpendicular ao plano. O plano passa pela origem (0, 0, 0) se, e somente se, D = 0.

ESFERAS

A partir da fórmula de distância (50.3), vemos que uma equação da esfera com raio r e centro (a, b, c) é

Então, uma esfera com centro na origem, (0, 0, 0) e raio r tem a equação

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

Uma equação F(x, y) normalmente define uma curva � no plano xy. Agora, se um ponto (x, y) satisfaz essa equação, então para qualquer z, o ponto (x, y, z) no espaço também satisfaz a equação. Logo, a equação F(x, y) = 0 determina a superfície cilíndrica obtida quando movemos a curva � paralelamente ao eixo z. Por exemplo, a equação x2 + y2 = 4 determina um círculo no plano xy com raio 2 e centro na origem. Se movemos esse círculo paralelamente ao eixo z, obtemos um cilindro circular reto. Logo, o que normalmente chamamos de cilindro é um caso especial de uma superfície cilíndrica.

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Capítulo 4. Materiais

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Materiais

Se sua escola não dispõe de materiais manipulativos (cubos coloridos e sólidos geométricos) em quantidade suficiente, você pode disponibilizar para os alunos uma cópia dos moldes que se encontram a seguir. Os moldes devem ser colados em cartolina e recortados.

Para os cubos coloridos, há apenas um molde de cada peça.

O kit por aluno, no entanto, deve conter:

• 2 cubos azuis;

• 2 cubos amarelos;

• 2 cubos vermelhos;

• 2 cubos de 3 cores (em faces opostas).

Para os sólidos geométricos, o kit por 4 alunos deve conter:

• 1 paralelepípedo;

• 1 cubo;

• 4 pirâmides de bases quadrada, triangular, pentagonal e hexagonal;

• 3 prismas de bases triangular, pentagonal e hexagonal;

• 1 cilindro;

• 1 cone;

• 1 esfera (que não tem molde e deve ser representada por uma bola de tamanho pequeno).

Também se encontra disponibilizada uma folha de malha pontilhada, que pode ser copiada e distribuída aos alunos. Para baixar todos os materiais, em www.grupoa.com.br, acesse a página do livro por meio do campo de busca e clique em Área do Professor.

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Capítulo 5 - Interpolação

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CAPÍTULO

Interpolação

5.1

5

Definição do problema

Seja f : R → R uma função conhecida “apenas” por um conjunto finito de valores, isto é, y1 = f(x1),

y2 = f(x2),

yn = f(xn),

…,

onde x1 < x2 < … < xn. O problema da interpolação consiste em determinar a expressão algébrica de uma função de interpolação g tal que g(x1) = f(x1),

g(x2) = f(x2),

…,

g(xn) = f(xn).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de v = f(u) ≈ g(u) quando u ∉ {x1, x2, …, xn} e x1 < u < xn. A Figura 5.1 mostra os pontos

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ditos nodos de interpolação, uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado.

4 nodos

3,5

curva de interpolação ponto interpolado

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 5.1 A curva de interpolação passa sobre os nodos de interpolação.

7

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Capítulo 9 - Recursão

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capítulo

9

recursão

Recursão é um conceito próximo ao de indução e é de fundamental em ciência da computação. Neste capítulo,

é discutida a recursão e sua aplicação em linguagens de programação. Neste capítulo, são introduzidos dois formalismos funcionais recursivos: funções recursivas parciais e cálculo lambda.

■ ■

216

Matemática Discreta para Computação e Informática

9.1

introdução

Um conceito próximo ao de indução e presente na grande maioria das linguagens de programação é o de recursão. De fato, o conceito de recursão é inspirado nos formalismos funções recursivas de Kleene e cálculo lambda, os quais são equivalentes ao da máquina de Turing e ao da gramática de Chomsky no que se refere ao poder computacional. Portanto, segundo a hipótese de Church, qualquer função computável pode ser especificada por uma função recursiva. Ou seja, qualquer algoritmo pode ser expresso usando recursividade.

De fato, toda definição indutiva pode ser simulada por uma recursão (se a linguagem de programação possui essa facilidade). Entretanto, nem toda recursão possui uma correspondente definição indutiva, pois não necessariamente a recursão respeita a boa-ordem da indução.

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Capítulo 14 - Planejamento de Experimentos com Vários Fatores

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14

Planejamento de

Experimentos com

Vários Fatores

Sumário do Capítulo

14-1 Introdução

14-2 Experimentos Fatoriais

14-3 Experimentos Fatoriais com Dois Fatores

14-3.1 Análise Estatística do Modelo de Efeitos Fixos

14-3.2 Verificação da Adequação do Modelo

14-3.3 Uma Observação por Célula

14-4 Experimentos Fatoriais em Geral

14-5 Planejamentos Fatoriais 2k

14-5.1 Planejamento 22

Carotenoides são pigmentos solúveis em gordura que existem naturalmente em frutas e em vegetais e são recomendados em dietas saudáveis.

Um carotenoide bem conhecido é o betacaroteno. Astaxantina é outro carotenoide que é um forte antioxidante comercialmente produzido.

Um exercício mais adiante, neste capítulo, descreve um experimento na revista Biotechnology Progress, para promover a produção de astaxantina. Sete variáveis foram consideradas importantes na produção: densidade do fluxo de fótons e concentrações de nitrogênio, de fósforo, de magnésio, de acetato, de ferro e de NaCl. Foi importante estudar não só os efeitos desses fatores, mas também os efeitos de combinações, sobre

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Capítulo 10. Teste de Hipóteses Voltadas para o Valor da Média da População

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Capítulo 10

Teste de Hipóteses Voltadas para o Valor da Média da População

10.1 INTRODUÇÃO

O propósito do teste de hipóteses é determinar se um valor suposto (hipotético) para um parâmetro da população, como a média da população, deve ser aceitável como sendo plausível, baseado no indício da amostra. Lembre-se da

Seção 8.2 sobre distribuições de amostragem, que uma média de amostra geralmente se difere em valor da média da população. Se o valor observado da amostra da estatística, tal qual a média da amostra, é próximo do suposto valor do parâmetro e difere somente por uma quantidade esperada devido à amostragem aleatória, então o valor hipotético não é rejeitado. Se a amostra da medida estatística se difere do suposto valor por uma quantidade improvável de ocorrer, então a hipótese é rejeitada como não sendo plausível.

Três diferentes procedimentos foram desenvolvidos para o teste de hipóteses, com todos eles levando à mesma decisão, quando os mesmos padrões de probabilidade (e risco) são usados. Neste capítulo descreveremos primeiro a abordagem do valor crítico para o teste de hipóteses. Através dessa abordagem, os assim chamados valores críticos do teste estatístico, que acarretarão na rejeição de uma hipótese, são determinados, em seguida o teste estatístico observado é comparado aos valores críticos. Esta é a primeira abordagem que foi desenvolvida, e dessa forma, a maioria das linguagens dos testes de hipóteses tem origem nela. Mais recentemente, a abordagem do valor P tem se tornado popular devido a ser mais facilmente aplicada a programas de computador. Essa abordagem é baseada na determinação da probabilidade condicional de que o valor observado de uma amostra estatística possa ocorrer, dado que um suposto valor para o parâmetro associado à população seja de fato verdadeiro. A abordagem do valor

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2.3 Diagonalização e autovalores

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Algebra_Chap02_PORTUGUES.qxd

31.08.56

84

10:20 AM

CAPÍTULO 2

Page 84

Determinantes e Autovalores

18. Se A é n × n, utilize o Teorema 1 para mostrar que

20. Se A é n × n e inversível, mostre que

det(adjA) = (detA)n − 1 .

det(kA) = kn detA para todos os escalares k (isso é o

Teorema 3 da Seção 2.1). [Sugestão: Mostre, primeiro, que kA = (kI)A.]

19. a) Se A =

0

1

−1

0

21. Se A é 3 × 3 e detA = 2, calcule det[−A2(adjA)−1].

22. Se A é n × n e detA = 2, calcule det[A−1 + adjA].

, mostre que A2 = −I.

23. a) Se A = UB onde detU = 1, mostre que detA = detB. b) Se A e B são inversíveis e detA = detB, mostre

b) Mostre que não existe uma matriz A 3 × 3 tal

que A2 = −I.

que A = UB para alguma matriz inversível U tal que detU = 1.

2.3

DIAGONALIZAÇÃO E AUTOVALORES

Um problema central em aplicações da álgebra linear é descrever sistemas que se alteram com o tempo. O Exemplo 1 a seguir mostrará que isso, freqüentemente, passa a ser encontrar uma forma de se calcular eficientemente as potências A, A2, A3, · · · de uma matriz quadrada

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