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2 - Sistemas lineares

CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira Grupo Gen PDF Criptografado

Capı́tulo 2

Sistemas lineares

A solução de sistema de equações algébricas lineares é provavelmente o processo numérico mais utilizado para simular situações do mundo real. É uma etapa fundamental na resolução de vários problemas que envolvam, por exemplo, equações diferenciais parciais, otimização, regressão linear e não linear e sistemas de equações não lineares. Geralmente, a solução do sistema linear é a fase que demanda a maior parte do tempo de processamento para resolver o problema. Portanto, é de extrema importância que se tenha uma implementação eficiente do método. Serão abordados os principais métodos diretos e alguns métodos iterativos usados na solução de sistemas. O Capı́tulo Sistemas lineares é composto pelas seções:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.1

Conceitos fundamentais

Sistemas triangulares

Eliminação de Gauss

Decomposição LU

Decomposição de Cholesky

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2 Noção Intuitiva de Limite

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da Grupo Gen PDF Criptografado

2

Noção Intuitiva de

Limite

O estudo das funções como passa a ser visto a partir deste ponto é conhecido como Cálculo.

O Cálculo aborda o estudo das funções apoiado na teoria dos limites. Essa teoria será tratada aqui de maneira intuitiva, pois sua abordagem não é simples. É sempre bom começar este assunto com um exemplo bem-humorado.

Um ponto está a 64 cm de uma reta e se desloca para ela percorrendo metade da distância que a separa da reta a cada segundo. Depois de quantos anos o ponto atinge a reta?

P0s

P1s

P2s

P3s

.....

64

32

16

8

.....

Depois de muita discussão, todos concordam que o ponto nunca atingirá a reta. A reta apenas limita o deslocamento do ponto. É o seu limite.

1  LIMITE DE FUNÇÃO EM UM PONTO

1.1  Limites finitos

Estamos interessados agora em verificar qual o comportamento dos valores y da função y = f(x) , quando x está próximo de um ponto p.

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5 Integral de Riemann

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da Grupo Gen PDF Criptografado

Integral de Riemann

5

O Cálculo Integral que passamos a estudar é motivado, em princípio, pelo problema de calcular a área de uma figura com pelo menos um lado curvo.

Área = ?

Entretanto, um resultado importante, o Teorema Fundamental do Cálculo Integral acaba ligando o problema do cálculo dessa área à derivada que estudamos anteriormente. Basicamente, o que vamos procurar aqui é uma antiderivada, isto é, uma função que tem como derivada a função que estamos estudando.

Função que temos (a derivada): F(x) = 2x

Função que procuramos (a antiderivada): G(x) = x2

Como já mencionamos anteriormente, ao procurar um modelo algébrico que se comporte como um sistema que queremos estudar, o que podemos observar e medir desse sistema é geralmente a sua variação. Desta forma, podemos obter não o modelo do sistema, mas a sua derivada

(a medida da sua variação). A partir dessa derivada é que encontramos o modelo que procuramos.

1_prova_Medeiros_Matematica_basica_para_cursos_superiores.indb 155

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4 Estudo da Variação de Funções

SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da Grupo Gen PDF Criptografado

Estudo da Variação de

Funções

4

Neste capítulo, o objetivo é construir um suporte teórico para que possamos entender como abordar problemas práticos que ocorrem em muitas atividades econômicas, de pesquisa etc., visando atingir metas que contribuem para o sucesso destas atividades. Os exemplos a seguir estão simplificados para manter o foco nos conhecimentos que estamos estudando.

1. Uma indústria de papel e celulose planta eucaliptos para suprir sua necessidade de matéria-prima. O volume de madeira é medido em campo a cada ano. O volume cresce devagar nos primeiros anos, depois acelera nos anos seguintes para posteriormente voltar a crescer mais devagar.

A meta é saber em que época devemos cortar os eucaliptos e substituí-los por novas mudas para que o volume de madeira obtido seja o maior possível no decorrer do tempo.

2. Em uma granja (de frangos, de porcos etc.) existe preocupação semelhante. Quando substituir os animais por novos filhotes para que o volume de carne obtido seja o maior possível ao longo do tempo. Os animais, como as plantas do exemplo anterior, apresentam ganho de peso mais lento no início, acelerando posteriormente para voltar a diminuir em seguida.

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Soluções dos exercícios propostos

Masakazu Hoji Grupo Gen PDF Criptografado

Soluções dos exercícios propostos

AVISO IMPORTANTE!

As soluções a seguir apresentadas podem ser obtidas com base em fundamentos e fórmulas apresentadas no livro. Apresentamos também as formas de resolução por meio de planilha Excel para os mesmos exercícios propostos, que estão disponibilizadas no site do Grupo GEN e no Portal ProfessorNews, na seção Biblioteca/Livros e

Manuais/Autor: Hoji.

Capítulo 1

Capítulo 3

1. b, d.

1.

2. Título A.

2. R$ 10.700,00.

3. 18% ou R$ 18.000,00.

3. R$ 3.853,56.

4. 4,95%.

5. R$ 38.066,25.

R$ 5.040,00.

4. R$ 22.301,35.

5. a. 60% a.a.;   b. 7,6% a.a.;  c. 8,8% a.a.

6. 1,25% a.m.

Capítulo 2

7. R$ 150,00.

1. R$ 11.500,00.

9. 1,8 mês.

2. R$ 1.750,00.

10. R$ 45,00.

3. 0,25 ou 25%.

8. 0,014 a.m. ou 1,4% a.m.

4. Taxa de juro exato.

Capítulo 4

5. R$ 280,00.

1. R$ 141.059,88.

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2. Conceitos básicos

Masakazu Hoji Grupo Gen PDF Criptografado

Conceitos básicos

2

Conteúdo do Capítulo

Terminologia e convenções

■■ Terminologia

■■ Porcentagem e taxa de juros

■■ Juro comercial e juro exato

■■ Taxa overnight, taxa Selic e taxa CDI

Conceitos fundamentais de matemática financeira

■■ Valor do dinheiro no tempo

■■ Fórmulas básicas de matemática financeira

■■ Fator de capitalização e fator de descapitalização

Regimes de capitalização

■■ Comportamento dos juros no regime de capitalização simples

■■ Comportamento dos juros no regime de capitalização composta

■■ Como os juros são calculados nos dois regimes de capitalização

Exercícios propostos

2.1 Terminologia e convenções

Quanto vale hoje um título que vence em dois anos? Quanto tempo preciso poupar para realizar o meu sonho? É melhor pagar a prazo ou à vista? São questões

13

HOJI.indb 13

5/30/16 2:19 PM

14  Capítulo 2 que aparecem no nosso dia a dia e as soluções são dadas com base em matemática financeira.

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13. Análises de investimentos

Masakazu Hoji Grupo Gen PDF Criptografado

Análises de investimentos

13

Conteúdo do Capítulo

Inflação

■■

Comportamento exponencial da taxa de inflação

■■

O efeito do juro real em relação à inflação

Avaliação de empresas (valuation)

■■

Perpetuidade sem crescimento

■■

Perpetuidade com crescimento

■■

Cálculo de valor da empresa

Exercícios propostos

13.1 Inflação

Pedro fez uma aplicação financeira no valor de R$ 1.000,00 e, nessa época, um aparelho de TV custava R$ 1.000,00. Um ano depois, Pedro resgatou o valor de R$ 1.100,00 e verificou-se que a inflação desse período foi de 10%. Enquanto isso, o preço do aparelho de TV foi reajustado de acordo com a inflação do período, passando a custar R$ 1.100,00.

Reajuste do aparelho de TV: 1.000,00,00 × (1 + 0,10) = R$ 1.100,00

Aplicação de Pedro: 1.000,00 × (1 + 0,10) = R$ 1.100,00

203

HOJI.indb 203

5/30/16 2:19 PM

204  Capítulo 13

De imediato, percebe-se que o valor da aplicação aumentou R$ 100,00, mas Pedro nada ganhou, pois o valor original da aplicação foi simplesmente atualizado pela inflação. Também nada perdeu, porque, em termos reais, possui o dinheiro com o mesmo poder aquisitivo. Com R$ 1.000,00 de um ano antes, ele conseguiria comprar o aparelho de TV. Agora, com o seu capital aumentado para R$ 1.100,00, ele continua podendo comprar o aparelho de TV. Nem mais nem menos.

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11. Avaliação de ativos financeiros

Masakazu Hoji Grupo Gen PDF Criptografado

Avaliação de ativos financeiros

11

Conteúdo do Capítulo

Valor presente líquido e taxa interna de retorno

■■

Valor presente líquido

■■

Taxa interna de retorno

■■

Comprovação da TIR calculada

Cálculo de VPL e TIR com a HP 12C

Avaliação de títulos

■■

Diferença entre a taxa de rendimento e a taxa de desconto do título

■■

Marcação na curva de juros e marcação a mercado

■■

Mecanismo da evolução do capital sob o ponto de vista de um investidor

Reciprocidade bancária

■■

Saldo médio remunerado

■■

Floating

Exercícios propostos

11.1  Valor presente líquido e taxa interna de retorno

O valor presente líquido e a taxa interna de retorno são duas ferramentas avançadas de avaliação de ativos.

165

HOJI.indb 165

5/30/16 2:19 PM

166  Capítulo 11

11.1.1  Valor presente líquido

Valor Presente Líquido (VPL) é um método de avaliação de investimentos em que os valores dos fluxos de caixa (FC) representados por entradas e saídas de caixa futuros são descontados para o instante inicial e somados com o investimento inicial.

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7. Fluxo de caixa

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Fluxo de caixa

7

Conteúdo do Capítulo

Conceitos

■■

Diagrama de fluxo de caixa

■■

Juros sobre o saldo de caixa

■■

Fluxo de caixa com uma saída e uma entrada e vice-versa

Equivalência de capitais

■■

Data focal

■■

Valor presente de um conjunto de capitais

■■

Comparação de capitais de diferentes datas

Exercícios propostos

7.1 Conceitos

O fluxo de caixa representa a movimentação de recursos em dinheiro (caixa) de uma empresa, de um projeto de investimento ou de uma transação financeira, como financiamento, empréstimo ou compra de um ativo financeiro. É uma ferramenta que ajuda na tomada de decisões em Finanças e Engenharia Econômica, pois permite visualizar o movimento de recursos financeiros ao longo do tempo (passado ou futuro).

Existem dois tipos de fluxo de caixa: a) entradas de caixa, que representam ingressos de recursos; e

89

HOJI.indb 89

5/30/16 2:19 PM

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9. Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos

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Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos

9

Conteúdo do Capítulo

Características comuns a todos os sistemas de amortização

Sistema Francês de Amortização (SFA)

■■

Tabela Price

Sistema de Amortização Constante (SAC)

Sistema de Amortização Americano (SAA)

Sistema de Amortização Crescente (Sacre)

Exercícios propostos

9.1  Características comuns a todos os sistemas de amortização

O sistema de amortização é um fluxo de caixa em que o valor do empréstimo ou financiamento é concedido no início do prazo da operação financeira, e esse valor, acrescido de juros (e “atualização monetária”, em algumas modalidades), é amortizado até o (ou no) vencimento da operação.

Quando se fala em empréstimo e em financiamento, a diferença entre eles é que no financiamento, o valor liberado tem uma finalidade específica, por exemplo, para a compra de imóvel, automóvel ou importação. Já o empréstimo é um recurso

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10. Soluções com a calculadora financeira HP 12C

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Soluções com a calculadora financeira

HP 12C

10

Conteúdo do Capítulo

Funções financeiras básicas da HP 12C

■■ Funções C, End e Begin

■■ Cálculos de VF, VP, i e n

■■ Operações com número de dias e datas

■■ Período da taxa de juros diferente do período de capitalização

Tecla PMT da HP 12C

■■ Série uniforme de pagamentos “postecipados”

■■ Série uniforme de pagamentos antecipados

Função Fluxo de Caixa da HP 12C

■■ Soluções da série uniforme “postecipada” de pagamentos

■■ Soluções da série uniforme antecipada de pagamentos

■■ Soluções da série uniforme diferida de pagamentos

■■ Soluções da série não uniforme de pagamentos

Cálculos de VFL por meio de VPL

Exercícios propostos

10.1  Funções financeiras básicas da HP 12C

Para a análise do fluxo de caixa, o raciocínio deve ser feito sempre no ambiente de juros compostos, pois, de qualquer forma que se calcule, o resultado sempre será o mesmo.

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12. Títulos públicos

Masakazu Hoji Grupo Gen PDF Criptografado

Títulos públicos

12

Conteúdo do Capítulo

Títulos da dívida interna

■■ Características dos títulos públicos

■■ Tesouro Direto

Metodologias de cálculo de preços de títulos públicos

■■ Fórmulas para precificação de títulos prefixados

■■ Fórmulas para precificação de títulos pós-fixados

■■ Regras de arredondamento e truncamento

Precificação de títulos públicos

■■ LTN

■■ NTN-F

■■ LFT

■■ NTN-B

Exercícios propostos

12.1 Títulos da dívida interna

Os principais títulos emitidos pelo Tesouro Nacional para financiamento da dívida interna são: a) Letras do Tesouro Nacional (LTN);

189

HOJI.indb 189

5/30/16 2:19 PM

190  Capítulo 12 b) Letras Financeiras do Tesouro (LFT); e c) Notas do Tesouro Nacional (NTN).

12.1.1  Características dos títulos públicos

Todos os títulos têm valor nominal de R$ 1.000,00 e são prefixados ou pós-fixados, além de serem escriturais, nominativos e negociáveis.

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7 - Classificação das Taxas de Juros

SOBRINHO, José Dutra Vieira Grupo Gen PDF Criptografado

7

CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS

7.1 INTRODUÇÃO

Nos mercados financeiros, brasileiro e mundial, mesmo entre os professores, técnicos e executivos, reina muita confusão quanto ao conceito e à classificação das taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. Para endossar esse fato, vou citar uma experiência marcante que vivi ao participar de dois encontros com a presença de aproximadamente 14 professores de matemática financeira em cada um, realizados na Editora Atlas nos meses de março e maio de 2002; a maioria dos professores, além de atuantes em várias universidades, eram também autores de livros. O objetivo do encontro era discutir alguns conceitos básicos da matemática financeira, cujo entendimento entre nós, infelizmente, não era unânime. Embora nossas reuniões tenham sido extremamente proveitosas, não conseguimos chegar a um mesmo entendimento em relação a todas as questões apresentadas e discutidas. E para surpresa de muitos dos nossos leitores, não conseguimos entrar num acordo quanto aos conceitos de taxa nominal e taxa efetiva. E uma das razões para isso era, e ainda é, a insistência em se classificar as taxas de juros como nominal ou efetiva nos casos em que o período de capitalização dos juros não coincide com o período a que se refere a taxa. Exemplo: taxa de juros de 12% ao ano com capitalização mensal dos juros. Nesse caso se dividiria a taxa anual por 12 e a taxa mensal obtida de

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4 - Descontos

SOBRINHO, José Dutra Vieira Grupo Gen PDF Criptografado

4

DESCONTOS

4.1

CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CONCEITOS E CLASSIFICAÇÃO DOS

CRITÉRIOS TRADICIONAIS DE DESCONTO

Nesta edição estamos propondo uma reformulação radical dos critérios que tratam do assunto descontos. Com base na minha experiência adquirida ao longo de 41 anos em que venho ministrando cursos de matemática financeira para estudantes e profissionais ligados ao mercado financeiro e de capitais, estou absolutamente convicto de que a classificação tradicional do desconto simples em “por fora” (também conhecido por bancário ou comercial) e desconto “por dentro” (ou racional) não tem o menor sentido, nem teórico, nem prático; essa mesma afirmação, e até com maiores razões, também se aplica ao chamado desconto composto, tanto o “por fora” quanto o “por dentro”. Trata-se, no meu entendimento, de uma lamentável confusão histórica envolvendo conceitos de taxa de juros, taxa de desconto, capital inicial (valor presente) e montante (valor futuro). Em resumo, queremos demonstrar que o capítulo tradicionalmente chamado de “desconto”, costumeiramente apresentado somente para os casos de pagamento único, pode e deve ser extinto. Como consequência, nos exemplos envolvendo as variáveis capital inicial, montante e prazo, tanto para os regimes de capitalização simples quanto composta, deve-se falar apenas em taxa de juros, não mais em taxa de desconto. Para maior clareza, vamos primeiramente apresentar exemplos de operações de desconto feitas de acordo com a conceituação e classificação tradicionais, as quais são normalmente apresentadas e explicadas nos livros de matemática financeira da maioria dos autores nacionais, e também estrangeiros.

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12 - Apropriação de Receitas e Despesas Financeiras Diferidas

SOBRINHO, José Dutra Vieira Grupo Gen PDF Criptografado

12

APROPRIAÇÃO DE RECEITAS E

DESPESAS FINANCEIRAS DIFERIDAS

Vamos tratar neste capítulo dos critérios mais utilizados pelas empresas para apropriação das receitas e despesas financeiras diferidas, oriundas de operações de empréstimos, financiamentos e aplicação de recursos. Rigorosamente existem apenas dois critérios: o exponencial e o linear. Ambos, como veremos, possibilitam o diferimento das receitas ou despesas, quaisquer que sejam os prazos e as condições de pagamentos ou recebimentos explícitos na operação financeira. No caso das instituições financeiras, o critério exponencial é obrigatório, como estabelece o Plano Contábil das Instituições do Sistema Financeiro

Nacional – Cosif – de 29/12/1987. Embora o referido critério seja o mais aconselhável do ponto de vista gerencial, o critério linear, que é pouco conhecido da forma como será exposto, pode também ser utilizado. Este tem a vantagem de ser mais prático, mas o inconveniente de apresentar distorções em relação ao exponencial, que é um critério perfeito.

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