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1.6 Funções

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

1.6  Funções

1.6.1  Introdução

Nesta seção vamos apresentar um resumo do estudo das principais funções utilizadas neste livro.

Suponha a seguinte situação: certa variável, a qual vamos chamar genericamente de “x”, pode assumir qualquer um dos valores de um conjunto não vazio denominado “A”, enquanto outra variável, chamada de “y”, pode assumir valores de um conjunto não vazio denominado “B”.

Se para cada elemento do conjunto A houver uma, e apenas uma, equivalência no conjunto B, dizemos que y é uma FUNÇÃO de x, ou seja, y varia de forma dependente de x, ou ainda: y = f(x) em que x será chamada de variável independente e y de variável dependente.

Assim, podemos dizer que FUNÇÃO é a associação entre os conjuntos A e B, não vazios, desde que todo elemento do conjunto A tenha sempre uma, e somente uma, correspondência no conjunto B, de forma que o conjunto A será chamado de domínio e o conjunto B, de imagem.

Para determinar o domínio, precisamos verificar se existe alguma restrição para a variável x, ou seja, se existem valores que x não pode assumir. Vejamos algumas situações de restrição: a) Variável no denominador: o denominador deve ser diferente de zero. b) Variável sob raiz de ordem par: o termo sob raiz deve ser positivo. c) Variável no logaritmo: o termo dentro do logaritmo deve ser positivo e diferente de zero.

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1.1 Conjuntos

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1

Matemática

Geral

Para começar

O ponto de partida é uma revisão de certos conceitos básicos da matemática, de forma a auxiliar o estudante a compreender melhor os assuntos estudados neste livro e sanar suas dúvidas.

Desta forma, começamos com a teoria dos conjuntos e as operações, passando pela álgebra e chegando ao conceito de funções.

1.1  Conjuntos

1.1.1  Conjunto dos números naturais

Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não surge como uma ciência organizada por pensadores, mas sim da necessidade do dia a dia. Foram os problemas do cotidiano que compeliram a humanidade a desenvolver técnicas que permitissem a contagem e manipulação dos números, evoluindo para situações em que fosse possível efetuar previsões acerca do resultado antecipado de determinadas ações.

A própria “criação” dos algarismos baseou-se na operação da soma, ou seja, partindo da unidade (01), a simples soma desta com outra unidade implica em novo algarismo (02) e assim por diante. A soma seria a operação primitiva, a partir da qual surgiram os números e as demais operações.

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2.5 Juros, capitalizações compostos e equivalência de capitais

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k

∑ C ji j

Taxa média ( ):

j=1 k

i=

=

∑C j

C1i1 + C 2i2 + ... + C k i k

.

C1 + C 2 + ... + C k

j=1

k

∑ij

Para capitais iguais:

j=1

i=

k

=

i1 + i2 + ... + i k k

2.5  Juros, capitalizações compostos e

    equivalência de capitais

2.5.1  Definições

Ao contrário do que aprendemos em juros simples, o montante é calculado sobre o capital do período anterior (Cn-1) e não sobre o capital inicial (C1), de forma que o montante vai se comportar como a soma de termos de uma progressão geométrica. Podemos esquematizar da seguinte forma:

»»

Capital inicial: C1;

»»

Montante do primeiro período: M1;

»»

Capital do segundo período: C2;

»»

Montante do segundo período: M2;

»»

Capital do enésimo período: Cn;

»»

Montante do enésimo período: Mn.

Temos então que:

M1 = C1(1 + i)

O montante do primeiro período será identicamente igual ao capital do segundo período:

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3.6 Modelos de distribuições de probabilidade

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Resolução

Sejam H = {ser homem}, M = {ser mulher}, A = {ser adulto} e I = {menor de idade} a) a probabilidade de ser homem é o total de homens pelo total de pessoas:

10

P (H) =

≅ 0, 6667 = 66, 67%

15 b) a probabilidade de ser adulto é o total de adultos pelo total de pessoas:

7

P (A) =

≅ 0, 4667 = 46, 67%

15 c) a probabilidade de ter-se escolhido um adulto e de ser homem é a probabilidade condicionada de homem e adulto:

P ( H Ç A ) 515 5

P (H | A) =

=

= ≅ 0, 7143 = 71, 43%

7

7

P (A)

15 d) a probabilidade de ter-se escolhido uma mulher e de ser menor de idade é a probabilidade condicionada de menor de idade e mulher:

P (I Ç M) 35 3

P (I | M) =

=

= = 0, 600 = 60, 00%

5

5

P (M)

15

3.6  Modelos de distribuições de probabilidade

3.6.1  Distribuições discretas de probabilidade

Os valores possíveis de uma variável aleatória e suas respectivas probabilidades determinam a distribuição de probabilidade da variável aleatória. Para variáveis aleatórias discretas, os modelos estudados serão binomial e Poisson.

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2.11 Operações financeiras (CDC e arrendamento mercantil)

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Parcela

Juros SFA

Juros SAC

Juros SAA

3

R$ 386,85

R$ 383,33

R$� 400,00

4

R$ 373,44

R$ 366,67

R$� 400,00

5

R$ 359,76

R$ 350,00

R$� 400,00

6

R$ 345,81

R$ 333,33

R$� 400,00

7

R$ 331,58

R$ 316,67

R$� 400,00

8

R$ 317,06

R$ 300,00

R$� 400,00

9

R$ 302,25

R$ 283,33

R$� 400,00

10

R$ 287,15

R$ 266,67

R$� 400,00

11

R$ 271,74

R$ 250,00

R$� 400,00

12

R$ 256,03

R$ 233,33

R$� 400,00

13

R$ 240,00

R$ 216,67

R$� 400,00

14

R$ 223,65

R$ 200,00

R$� 400,00

15

R$ 206,98

R$ 183,33

R$� 400,00

16

R$ 189,97

R$ 166,67

R$� 400,00

17

R$ 172,62

R$ 150,00

R$� 400,00

18

R$ 154,92

R$ 133,33

R$� 400,00

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3.2 Distribuição de frequências

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Sua metodologia parte da coleta dos dados e, após a organização, são feitas a análise e a interpretação dos resultados. Desta forma, separamos em estatística descritiva, que envolve a coleta dos dados, assim como sua descrição e organização, e a estatística inferencial que analisa e interpreta os dados.

3.1.2  Definições

Universo estatístico (ou população) é o grupo (ou conjunto) de elementos, com características bem definidas, que será considerado na coleta dos dados.

A estatística é responsável pela contagem de pontos em esportes, coleta de dados sobre nascimentos e mortes, avaliação de eficiência de produtos comerciais, até a previsão do tempo.

Amostra é uma parcela de um universo estatístico.

Ocorre quando fica inviável a utilização de todo o universo.

Por exemplo, o grupo de estudantes brasileiros que cursam engenharia é um universo estatístico, cujas características são ser brasileiro e estar cursando engenharia. Porém, se esse universo for considerado demasiadamente grande para certa coleta de dados, podemos tomar como base os estudantes brasileiros que cursam engenharia num determinado ano, sendo esse subgrupo considerado uma amostra do universo estatístico.

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Agora é com você!

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»»

O segundo é a análise que fizemos do ponto de vista conceitual, isto é, mostrar as diferenças entre as formas de apresentar as taxas, as formas de parcelamento e financiamento, objetivando esclarecer os modos como muitas vezes os financiamentos são apresentados aos clientes.

Assim, apesar de o primeiro grupo de conteúdos ser extremamente importante, o segundo é que permite um estudo um pouco mais detalhado do que realmente está sendo oferecido ao escolher um financiamento.

Agora é com você!

Atividade de conclusão

1) Faça uma pesquisa em alguma loja, instituição bancária ou financiadora sobre alguma proposta de financiamento, destacando os seguintes dados:

»»

prazo;

»»

valor da prestação;

»»

taxa de administração;

»»

taxa de juros nominal;

»»

taxa de juros efetiva.

Analise esses dados com base no que foi estudado neste capítulo.

Razão, proporção e porcentagem

1) Numa sala de aula temos 24 meninas e 16 meninos. Determine a razão de meninas e meninos em relação ao total.

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Agora é com você!

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c) y = f(x) = 2 . 3–0,5x

A = 2

a = 3

 b = −0, 5

Imagem: A > 0 I = {y Î R / y ³ 0}

Gráfico:

Vamos recapitular?

Podemos, de forma sucinta, dizer que temos três conjuntos de operações: soma/subtração; multiplicação/divisão; e potenciação/radiciação, em que a prioridade de execução é da última para a primeira, exceto nos casos em que temos parênteses, chaves e/ou colchetes.

A introdução da álgebra (uso de incógnitas, como o “x”) é uma ferramenta valiosíssima para diversos ramos do conhecimento, em particular nas ciências exatas.

As funções permitem a correlação entre duas ou mais variáveis, e sua utilização na forma gráfica facilita a visualização dessa interação.

Agora é com você!

Divisão e operações com frações

1) Calcule o resultado das seguintes somas/subtrações: a) b) c)

42

1 9 5

+ +

4 4 4

3 1

5 6

4 5 1

+ −

5 6 3

d) e)

8 15

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1.2 Propriedade distributiva

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1.2  Propriedade distributiva

Dentre as diversas propriedades na matemática, a propriedade distributiva aparece frequentemente nas operações, porém sua aplicação extrapola a manipulação matemática e pode ser aplicada em várias situações como facilitadora de cálculos aritméticos.

De maneira geral, podemos entender essa propriedade da seguinte forma: suponha três números quaisquer a, b e c, dos quais b e c devem, em princípio, ser somados/subtraídos antes de multiplicarmos por a; usando a propriedade distributiva, podemos multiplicar b e c por a e depois efetuar a soma/subtração que o resultado é o mesmo, ou seja, a . (b ± c) = a . b ± a . c

Vejamos a seguinte situação: como obter rapidamente o resultado da multiplicação 23 . 4? Se tentarmos resolver mentalmente, a melhor forma de calcular é usando o fato de que o número 23 pode ser descrito como a soma 20 + 3, de forma que a multiplicação pelo número 4 fornece, com base na propriedade distributiva, 4 . 20 + 4 . 3 = 80 + 12, cujo resultado é 92.

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2.7 Descontos simples e composto

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2.7  Descontos simples e composto

2.7.1  Definições

Em algumas situações não queremos calcular o montante após certo prazo, porém queremos saber, com base no valor nominal que vai ser recebido ou pago em uma data futura, qual seria este valor na data presente. Logicamente o valor a ser pago na data atual será menor do que o da data futura, visto que ele vai sofrer um desconto.

Da mesma forma que o cálculo do montante, o desconto pode ser determinado da forma simples ou composta.

Chamamos de valor nominal (N) a quantia a ser paga/recebida numa data futura. No caso de o valor ser resgatado antes da data prevista, ele sofrerá um desconto (D), que nada mais é do que a dedução devido à antecipação do compromisso. O valor recebido antecipadamente

é chamado de valor atual (A), de forma que este é o resultado da diferença dos termos anteriores, isto é, A = N – D.

2.7.2  Desconto racional simples

O desconto racional simples (DRS) é calculado pela relação entre o valor atual (A) e o valor nominal (N), usando como base a relação do montante de juros simples, M = C(1 + i . n), em que substituímos o montante (M) pelo valor nominal (N) e o capital (C) pelo valor atual (A):

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2.10 Amortizações

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Para 9% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0, 09 )

+

6000

2

(1 + 0, 09 )

+

5000

(1 + 0, 09 )3

= 16250, 45

VPL1 = 16250,45 – 16000 = 250,45

Para 11% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0,11)

+

6000

2

(1 + 0,11)

+

5000

(1 + 0,11)3

= 15732, 90

VPL2 = 15732,90 – 16000 = 267,10

Interpolação linear

A TIR deve estar entre 9% e 11%, visto que tivemos resultados do VPL com sinais opostos. Logo,

VPL1

VPL2

250, 45 −267,10

=

=

⇒ 250, 45 ( TIR − 11) = −267,10 ( TIR − 9 ) ⇒

TIR − i1 TIR − i2

TIR − 9 TIR − 11

⇒ 250, 45 TIR − 2754, 95 = −267,10 TIR + 2403, 90 ⇒ 517, 55 TIR = 5158, 85 ⇒

⇒ TIR = 9, 97% a.a.

Como a TIR (9,97% a.a.) é menor que a taxa de atratividade (10% a.a.), o investimento não é atrativo.

2.10  Amortizações

2.10.1  Definições

Após o estudo da capitalização, seja simples ou composta, e da série de pagamentos, passamos agora às amortizações, que nada mais são do que formas de parcelar uma dívida por meio de processos práticos. O termo amortização refere-se ao pagamento efetivo do valor emprestado.

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3.1 Introdução à estatística

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3

Estatística

Aplicada

Para começar

A estatística tem enorme importância no dia a dia, seja pelas pesquisas de opinião ou pelas análises dos dados referentes a determinado assunto.

Em qualquer área das ciências, cedo ou tarde vamos nos deparar com dados, os quais devem ter um tratamento estatístico.

Este capítulo apresenta a base da estatística e algumas aplicações, iniciando com suas definições, medidas de dispersão, regressão linear, probabilidades e distribuições, as quais aparecem, sempre que possível, com aplicações.

3.1  Introdução à estatística

3.1.1  Histórico e conceitos

Segundo alguns autores, a estatística tem seu início com os controles censitários que ocorrem desde a Antiguidade. No Império Romano surgiu a Estadística, a qual utilizava os dados dos censos como base para sua administração e que é a base da estatística de hoje.

Na atualidade ela aparece como uma forma de permitir análises em situações que apresentam diversas variáveis que podem influenciar no resultado, de forma a proporcionar que se analisem as contribuições de cada uma delas.

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2.8 Séries de pagamentos e rendas iguais

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Exemplo

Calcular o valor atual e o desconto, na forma composta racional e comercial, de um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00, com antecipação de dez meses, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4% a.m.

Resolução

Temos 10000 como valor nominal, taxa de 0,04 e antecipação de dez meses (n). Desta forma, o valor atual será:

A RC =

N

(1 + i )

n

=

10000

10

(1 + 0, 04 )

= 6755, 64

ACC = N(1 – i)n = 10000(1 – 0,04)10 = 6648,33

Já os descontos:

DRC = 10000 – 6755,64 = 3244,36

DCC = 10000 – 6648,33 = 3351,67

2.8  Séries de pagamentos e rendas iguais

2.8.1  Definições

Um dos estudos mais importantes na matemática financeira é o caso do capital que pode ser recebido ou pago em várias parcelas. Podemos dividir em duas possibilidades:

1º Capitalização: ocorre quando se quer constituir um capital em data futura, como o caso de uma poupança.

2º Amortização: ocorre quando existe uma dívida a ser paga, como o caso típico de uma compra parcelada.

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3.3 Medidas de dispersão

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Empresa D: calculamos as frequências acumuladas numa nova coluna:

Tempo de Serviço (Anos)

Frequência

Frequência Acumulada

0a2

4

4

2a4

9

13

4a6

7

20

6a8

11

31

8 a 10

4

35

2

37

10

12

Total

37

O elemento central está na 19ª posição, a qual se encontra dentro da frequência acumulada 20, ou seja, no intervalo entre 4 e 6 anos. O deslocamento será: deslocamento =

37 / 2 − 13

≅ 0, 79

7

Logo:

Mediana = 4 + 0,79 = 4,79 anos

3.3  Medidas de dispersão

3.3.1  Introdução

Dentre as medidas de posição que estudamos na seção anterior, a média é a mais representativa e utilizada. A média de uma série de dados pode ser um número muito próximo destes ou não, por exemplo, a média da série {1, 3, 7, 9} é igual a 5, mesmo valor da média das séries {0, 0, 10, 10} e

{5, 5, 5, 5}, em que séries com valores distanciados de formas distintas podem gerar mesma média.

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1.3 Produtos notáveis

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1.2  Propriedade distributiva

Dentre as diversas propriedades na matemática, a propriedade distributiva aparece frequentemente nas operações, porém sua aplicação extrapola a manipulação matemática e pode ser aplicada em várias situações como facilitadora de cálculos aritméticos.

De maneira geral, podemos entender essa propriedade da seguinte forma: suponha três números quaisquer a, b e c, dos quais b e c devem, em princípio, ser somados/subtraídos antes de multiplicarmos por a; usando a propriedade distributiva, podemos multiplicar b e c por a e depois efetuar a soma/subtração que o resultado é o mesmo, ou seja, a . (b ± c) = a . b ± a . c

Vejamos a seguinte situação: como obter rapidamente o resultado da multiplicação 23 . 4? Se tentarmos resolver mentalmente, a melhor forma de calcular é usando o fato de que o número 23 pode ser descrito como a soma 20 + 3, de forma que a multiplicação pelo número 4 fornece, com base na propriedade distributiva, 4 . 20 + 4 . 3 = 80 + 12, cujo resultado é 92.

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