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Medium 9788586804922

4.4 Posto

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap04_PORTUGUES.qxd

31.08.56

192

10:59 AM

CAPÍTULO 4

4.4

Page 192

O Espaço Vetorial Rn

POSTO

Nesta seção vamos completar alguns assuntos não finalizados da Seção 1.2 dando uma definição precisa de posto de uma matriz m × n e mostrando que o posto de A é igual ao posto de AT . Relacionaremos então o posto às dimensões da imagem e do espaço anulado por A.

4.4.1

O Espaço Linha e Coluna

Se A é uma matriz m × n , já discutimos os espaço anulado por A, anulA, e a imagem imA.

Vamos encontrar bases naturais para esses dois subespaços e então determinar suas dimensões. Para fazer isso, bem como por outras razões, é essencial considerar dois subespaços associados a A. Eles são definidos como a seguir:

O espaço coluna, colA, de uma matriz m × n A é o subespaço de Rm gerado pelas colunas de A.

O espaço linha, linA, de uma matriz m × n A é o subespaço de Rn gerado pelas linhas de de A.

Observe que na discussão de linA estamos considerando os elementos de Rn como linhas.

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Medium 9788586804922

1.5 Matrizes inversas

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd

31.08.56

36

11:20 AM

CAPÍTULO 1

1.5

Page 36

Equações Lineares e Matrizes

MATRIZES INVERSAS

Freqüentemente é importante “reverter” o efeito da multiplicação por uma matriz. Eis aqui um exemplo.

Exemplo 1

� � x

Um avião espião voa sobre território inimigo e transmite sua posição X =

y

para o

quartel-general (aqui x e y denotam a longitude e a latitude, respectivamente).

Essas transmissões provavelmente serão interceptadas, por isso elas devem ser codificadas para que a posição exata seja mantida em sigilo. O método escolhido é a multiplicação das coordenadas da posição pela matriz A =

x′ y′

3

−4

2

7

� � x

=A

y

obtendo assim coordenadas codificadas

=

3x − 4y

2x + 7y

que são enviadas para o quartel-general. Deduza um método para que o quartel-general possa decodificar essas coordenadas.

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Medium 9788586804922

5.6 Subespaços invariantes

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap05_PORTUGUES.qxd

31.08.56

11:09 AM

Page 321

5.6 Subespaços Invariantes

5.6

321

SUBESPAÇOS INVARIANTES

Como observado anteriormente, o problema central da Álgebra Linear é encontrar uma maneira de descobrir qual é a matriz “mais simples” de um operador linear T : V → V.

Freqüentemente o caminho para fazer isso é considerar T como um operador linear em subespaços de dimensões menores, e então encontrar um modo de construir a matriz de T em V a partir das matrizes menores. A noção de subespaço T-invariante de V é a ferramenta básica neste contexto.

Subespaços Invariantes

5.6.1

T

V

U

V

U

T(U)

Suponha que T : V → V é um operador linear. Um subespaço U de V é T-invariante (ou invariante sob T) se

T(u) está em U para todo u em U.

Se escrevermos T(U) = {T(u) | u em U}, essa condição pode ser expressa de forma compacta como

T(U) ⊆ U.

Isso é mostrado no diagrama.

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Medium 9788540700789

Capítulo 12 - Prova de teoremas

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

12

prova de teoremas

■ ■

Este capítulo não é absolutamente necessário para especificar tipos de dados, mas responde a muitas perguntas quanto ao aprofundamento dos capítulos anteriores.

Genericamente, uma equação t1 = t2 é uma relação de igualdade entre dois termos em Ts. É indiferente qual termo está no lado esquerdo ou direito.

Como visto, t ≡ t' é o enunciado de um teorema, ou seja, t ≡ t' = true, se o par 〈t, t'〉 está na relação de congruência.

220

Introdução à Abstração de Dados

Suponha uma especificação como TRUTH-VALUES, enriquecida com um conjunto de variáveis e sem nenhuma equação. Cada termo em Ts não possui qualquer relação com outro termo, exceto consigo mesmo (propriedade reflexiva). As classes de congruências (ver capítulo 11), neste caso, são formadas por cada termo em Ts.

Suponha que a especificação receba uma primeira equação not true = false

Seja t um termo em Ts com subtermos not true e false. Se t' é a reescrita de t, então t' está em Ts e tem false no lugar de um de seus subtermos not true ou not true no lugar de um de seus subtermos false. Tomando outros subtermos de t, pode-se obter, por reescrita, t", t'"... Conforme a definição da relação de congruência (ver capítulo 1), t ≡ t', t ≡ t", t ≡ t'"... O termo t' tem uma redução que, por hipótese, é o termo v, que está em Ts.

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Medium 9788577807659

Capítulo 9 - Hierarquia de classes de linguagens e conclusões

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

9

hierarquia de classes de linguagens e conclusões

As classes das linguagens regulares, livres do contexto, sensíveis ao contexto e recursivamente enumeráveis e suas inclusões próprias constituem a hierarquia de Chomsky, assunto discutido neste capítulo.

O texto também apresenta uma série de problemas em aberto, e, na forma de leitura complementar, as gramáticas de grafos, mostrando que a generalização das gramáticas de Chomsky tem um grande potencial de aplicações na computação e informática.

■ ■

238

9.1

Linguagens Formais e Autômatos

hierarquia de Chomsky

As seguintes classes de linguagens estudadas:

Regulares ou tipo 3;

Livres do contexto ou tipo 2;

Sensíveis ao contexto ou tipo 1;

Recursivamente enumeráveis ou tipo 0;

e as suas inclusões próprias, como ilustrado na figura 9.1, constituem o que normalmente é conhecido como a hierarquia de Chomsky. Noam Chomsky definiu estas classes como (potenciais) modelos para linguagens naturais.

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Medium 9788582600245

Capítulo 6 - Endorrelações, ordenação e equivalência

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

6

endorrelações, ordenação e equivalência

Endorrelações são especialmente importantes, razão pela qual uma série de estudos é desenvolvida especificamente para este tipo de relações. Em particular, são estudadas: principais propriedades, fecho (extensão de uma endorrelação de forma a satisfazer determinadas propriedades), ordem (endorrelações que refletem uma noção intuitiva de ordem) e equivalência

(endorrelações que refletem uma noção de igualdade semântica). Duas importantes aplicações são apresentadas: classificação de dados, ou seja, a aplicação de uma endorrelação de ordem a um conjunto e semântica de sistemas concorrentes, fornecendo uma visão clara, simples e intuitiva de concorrência.

■ ■

150

Matemática Discreta para Computação e Informática

Como já introduzido, as endorrelações são especialmente importantes, razão pela qual uma série de estudos é desenvolvida especificamente para este tipo de relações. Neste capítulo, os seguintes estudos são desenvolvidos:

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Medium 9788582603840

Capítulo 3 - Zeros de funções

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Zeros de funções

3

3.1 Definição do problema

Seja f : R → R. Um número z é dito zero de f se, e somente se, f(z) = 0.

O problema que estudaremos consiste em encontrar os zeros de uma função, isto é, determinar os valores de z, se existirem, tais que z seja zero de f.

EXEMPLO 3.1 Verifique que z1 = 1, z2 = 1,465571231876768 e z3 =

0,588532743981861 são, respectivamente, zeros de f(x) = x3 – x2,

SOLUÇÃO

g(x) = x3 – x2 – 1

e

h(x) = e–x – sen(x).

Inicialmente, verifiquemos que, trivialmente,

f(1) = 13 – 12 = 1 – 1 = 0.

Já para g e h a verificação requer um pouco mais de trabalho. No

MATLAB:

>> z2 = 1.465571231876768; g = z2^3 - z2^2 - 1 g = -4.4409e-16

>> z3 = 0.588532743981861; h = exp(-z3) - sin(z3) h = 1.1102e-16

Observe que os valores calculados de g(z2) e h(z3) não são exatamente zero, mas estão muito próximos de zero, isto é, muito próximos da precisão da máquina. Para efeitos computacionais, podem ser considerados efetivamente zeros.

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Medium 9788582604571

Capítulo 12 - Geometria vetorial

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

12  �GEOMETRIA VETORIAL

O

s vetores desempenham um papel em quase todas as áreas da Matemática e suas aplicações. Nas áreas da Física, eles são usados para representar quantidades que têm direção e sentido além da magnitude, como velocidade e força. A mecânica newtoniana, a física quântica e as relatividades especial e geral, todas elas dependem fundamentalmente de vetores. Não seríamos capazes de entender a eletricidade e o magnetismo sem os vetores, que são utilizados para construir o embasamento teórico.

Os vetores também desempenham um papel crítico na computação gráfica, descrevendo como deveria ser representada a luz e fornecendo um meio para variar o ponto de vista da tela apropriadamente. Em áreas como a Economia e a Estatística, os vetores são usados para encapsular informação de uma maneira que permita sua manipulação eficiente. Eles são uma ferramenta indispensável numa variada gama de disciplinas.

Neste capítulo, desenvolvemos as propriedades geométricas e algébricas básicas de vetores. Embora neste capítulo não utilizemos o Cálculo, os conceitos desenvolvidos aqui serão utilizados em todo o resto do texto.

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Medium 9788582604595

Capítulo 4 - Aplicações da derivada

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

4  APLICAÇÕES DA DERIVADA

N

este capítulo, colocamos a derivada a trabalhar. Usamos as derivadas primeira e segunda para analisar funções e seus gráficos e resolvemos problemas de otimização (encontrar o valor mínimo e máximo de uma função). O método de Newton, na Seção 4.8, utiliza a derivada para aproximar soluções de equações.

4.1  Aproximação linear e aplicações

Em algumas situações, estamos interessados em determinar o “efeito de uma pequena variação”. Por exemplo:

•• Como é que uma pequena variação do ângulo afeta a distância do lançamento de um jogador de basquete? (Exercício 39)

•• Como é afetada a bilheteria de um espetáculo por uma pequena variação do preço do ingresso? (Exercício 29)

•• A raiz cúbica de 27 é 3. Quanto maior é a raiz cúbica de 27,2? (Exercício 7)

Espelhos que acompanham o Sol, conhecidos como helióstatos, no deserto de Tabernas, na Espanha, utilizam o princípio da distância mínima (ver Seção 4.7) para concentrar a luz do Sol e gerar energia. (Thomas

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Medium 9788565837156

Capítulo 54 - Integrais Duplas e Iteradas

Frank Ayres Jr.; Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 54

Integrais Duplas e Iteradas

A INTEGRAL DUPLA

Considere uma função z = f(x, y) que é contínua em uma região cotada R do plano xy. Defina uma partição � de R esboçando uma grade com linhas horizontais e verticais. Isso divide a região em n sub-regiões R1, R2,…, Rn de

áreas Δ1A, Δ2A,…, ΔnA, respectivamente. (Ver Fig. 54-1.) Em cada sub-região, Rk, escolha um ponto Pk(xk, yk) e forme a soma

(54.1)

Defina o diâmetro de uma sub-região como a maior distância entre dois pontos quaisquer no interior ou na fronteira, e denote por d� o diâmetro máximo das sub-regiões. Suponha que selecionamos partições tais que que d� → 0 e n → +∞. (Em outras palavras, escolhemos cada vez mais sub-regiões e fazemos seus diâmetros cada vez menores.) Então a integral dupla de f(x, y) sobre R é definida como

(54.2)

Figura 54-1

Essa não é uma definição de limite genuína. O que (54.2) realmente diz é que

é um número tal que,

para qualquer ⑀ > 0, existe um inteiro positivo n0 tal que, para todo n ≥ n0 e para toda partição com d� < 1/n0, e qualquer soma aproximada

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Medium 9788560031474

Capítulo 10. Teste de Hipóteses Voltadas para o Valor da Média da População

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 10

Teste de Hipóteses Voltadas para o Valor da Média da População

10.1 INTRODUÇÃO

O propósito do teste de hipóteses é determinar se um valor suposto (hipotético) para um parâmetro da população, como a média da população, deve ser aceitável como sendo plausível, baseado no indício da amostra. Lembre-se da

Seção 8.2 sobre distribuições de amostragem, que uma média de amostra geralmente se difere em valor da média da população. Se o valor observado da amostra da estatística, tal qual a média da amostra, é próximo do suposto valor do parâmetro e difere somente por uma quantidade esperada devido à amostragem aleatória, então o valor hipotético não é rejeitado. Se a amostra da medida estatística se difere do suposto valor por uma quantidade improvável de ocorrer, então a hipótese é rejeitada como não sendo plausível.

Três diferentes procedimentos foram desenvolvidos para o teste de hipóteses, com todos eles levando à mesma decisão, quando os mesmos padrões de probabilidade (e risco) são usados. Neste capítulo descreveremos primeiro a abordagem do valor crítico para o teste de hipóteses. Através dessa abordagem, os assim chamados valores críticos do teste estatístico, que acarretarão na rejeição de uma hipótese, são determinados, em seguida o teste estatístico observado é comparado aos valores críticos. Esta é a primeira abordagem que foi desenvolvida, e dessa forma, a maioria das linguagens dos testes de hipóteses tem origem nela. Mais recentemente, a abordagem do valor P tem se tornado popular devido a ser mais facilmente aplicada a programas de computador. Essa abordagem é baseada na determinação da probabilidade condicional de que o valor observado de uma amostra estatística possa ocorrer, dado que um suposto valor para o parâmetro associado à população seja de fato verdadeiro. A abordagem do valor

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Medium 9788582600245

Capítulo 9 - Recursão

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

9

recursão

Recursão é um conceito próximo ao de indução e é de fundamental em ciência da computação. Neste capítulo,

é discutida a recursão e sua aplicação em linguagens de programação. Neste capítulo, são introduzidos dois formalismos funcionais recursivos: funções recursivas parciais e cálculo lambda.

■ ■

216

Matemática Discreta para Computação e Informática

9.1

introdução

Um conceito próximo ao de indução e presente na grande maioria das linguagens de programação é o de recursão. De fato, o conceito de recursão é inspirado nos formalismos funções recursivas de Kleene e cálculo lambda, os quais são equivalentes ao da máquina de Turing e ao da gramática de Chomsky no que se refere ao poder computacional. Portanto, segundo a hipótese de Church, qualquer função computável pode ser especificada por uma função recursiva. Ou seja, qualquer algoritmo pode ser expresso usando recursividade.

De fato, toda definição indutiva pode ser simulada por uma recursão (se a linguagem de programação possui essa facilidade). Entretanto, nem toda recursão possui uma correspondente definição indutiva, pois não necessariamente a recursão respeita a boa-ordem da indução.

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Medium 9788582604571

Capítulo 15 - Integração múltipla

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

15  �INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

A

s integrais de funções de várias variáveis, denominadas integrais múltiplas, são uma extensão natural das integrais de uma variável estudadas na primeira parte do texto. Elas são utilizadas para calcular muitas quantidades que surgem nas aplicações, como volumes, áreas de superfície, centros de massa, probabilidades e valores médios.

15.1  Integração em duas variáveis

A integral de uma função f(x, y) de duas variáveis, denominada integral dupla, é denotada por

Ela representa o volume com sinal da região sólida entre o gráfico de f(x, y) e o domínio no plano xy (Figura 1), sendo que o volume é positivo com regiões acima do plano xy e negativo com regiões abaixo.

Há muitas semelhanças entre integrais duplas e integrais simples:

Estas plantações em terraços ilustram como o volume abaixo de um gráfico pode ser calculado usando integração iterada.

(© bbbar/age fotostock)

• Integrais duplas são definidas como limites de somas.

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Medium 9788582604595

Apêndice A - A linguagem da matemática

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

A  �A LINGUAGEM DA

MATEMÁTICA

Um dos desafios no aprendizado do Cálculo é se acostumar com sua terminologia e linguagem precisas, especialmente no enunciado de teoremas. Nesta seção, analisamos alguns detalhes de Lógica que são úteis e, na verdade, essenciais, no entendimento de teoremas e sua utilização correta.

Muitos teoremas da Matemática envolvem uma implicação. Se A e B são afirmações, então a implicação significa que A implica B:

  Se A for verdadeira, então B é verdadeira.

A afirmação A é denominada a hipótese (ou premissa) e a afirmação B é a conclusão (ou tese) da implicação. Vejamos um exemplo: Se m e n forem inteiros pares, então m + n será um inteiro par. Essa afirmação pode ser dividida em uma hipótese e uma conclusão: m + n é um inteiro par

m e n são inteiros pares

Na linguagem do dia a dia, as implicações costumam ser utilizadas de uma maneira menos precisa. Um exemplo: Se você trabalhar duro, então você terá sucesso. Além disso, algumas afirmações que sequer tem o formato podem ser reformuladas como implicações.

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Medium 9788584290727

Capítulo 01 - Materiais didáticos manipulativos

Ayni Shih, Carla Cristina Crispim, Heliete Meira C. A. Aragão, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

Materiais didáticos manipulativos

Introdução

A proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas de matemática não é recente. Desde que Comenius

(1592-1670) publicou sua Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, Comenius chega mesmo a recomendar que nas salas de aula sejam pintados fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para ensinar geometria.

Nos séculos seguintes, educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852) propuseram que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação ativa”. Assim, na concepção destes dois educadores, as descrições deveriam preceder as definições e os conceitos nasceriam da experiência direta e das operações que o aprendiz realizava sobre as coisas que observasse ou manipulasse.

São os reformistas do século XX, principalmente Claparède,

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