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Medium 9788536314709

1 - Os jogos nas aulas de matemática do ensino médio

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Neide Pessoa, Cristiane Ishihara Grupo A PDF Criptografado

Ensino Médio – Jogos de Matemática

1

9

Os Jogos nas Aulas de

Matemática do Ensino Médio

A

utilização de jogos na escola não é algo novo, assim como é bastante conhecido o seu potencial para o ensino e a aprendizagem em muitas áreas do conhecimento.

Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, as quais são estreitamente relacionadas ao assim chamado raciocínio lógico.

As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática.

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Medium 9788577803811

2.2 tipos abstratos de dados

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 2

Conceitos Básicos

37

seqüências (para coleções ordenadas de componentes do mesmo tipo) e conjuntos (para definir, para um tipo básico, uma faixa de valores que seus componentes podem assumir), entre outros.

Existem ainda os tipos de dados definidos pelo usuário. São também tipos de dados estruturados, construídos hierarquicamente através de componentes, os quais são de fato tipos de dados primitivos e/ou estruturados.

Um tipo definido pelo usuário é constituído por um conjunto de componentes, que podem ser de tipos diferentes, agrupados sob um único nome.

Normalmente, os elementos desse tipo estruturado têm alguma relação semântica. Essa construção hierárquica de tipos é a maneira fornecida pelas linguagens de programação para estruturar os dados e manipulá-los de forma organizada.

Dentro desse contexto surgem as estruturas de dados que, por sua vez, especificam conceitualmente os dados, de forma a refletir um relacionamento lógico entre os dados e o domínio de problema considerado. Além disso, as estruturas de dados incluem operações para manipulação dos seus dados, que também desempenham o papel de caracterização do domínio de problema considerado. Cabe lembrar que esse nível conceitual de abstração não é fornecido diretamente pelas linguagens de programação, as quais fornecem os tipos de dados e os operadores que permitem a construção de uma estrutura de dados flexível para o problema que está sendo definido. A forma mais próxima de implementação de uma estrutura de dados é através dos tipos abstratos de dados, apresentados na próxima seção.

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Medium 9788577803811

3.6 listas lineares duplamente encadeadas

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

102

3.5.3

Estruturas de Dados

acesso a um nodo

A principal alteração introduzida pelo fato de a lista ser encadeada circular consiste na maneira como a lista é percorrida. Quando a lista não era circular, seu último nodo apresentava campo de elo nulo – ao encontrar este valor era identificado o final da lista. No caso de lista circular nunca será encontrado um campo de elo nulo. O processo de percurso da lista deve ser suspenso quando for alcançado novamente o seu primeiro nodo.

A título de ilustração é apresentado a seguir um algoritmo que percorre uma lista circular com o objetivo de realizar uma mesma operação em todos os nodos: exibir o conteúdo de seu campo de informação. É utilizado o mesmo tipo de nodo das listas encadeadas anteriormente apresentadas.

Algoritmo 3.28 - ImprimirLLEncCir

Entrada: PtLista (TipoPtNodo)

Saídas: Variável auxiliar: PtAux (TipoPtNodo) início se PtLista = nulo então escrever(´Lista vazia!´) senão início

PtAux ← PtLista repita escrever(PtAux↑.Info)

PtAux ← PtAux↑.Elo até que PtAux = PtLista fim fim

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Medium 9788577803811

1.2 estrutura do texto

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 1

1.1

Introdução

31

pré-requisitos

Para acompanhar este livro são necessários os seguintes conhecimentos prévios:

programação básica, utilizando alguma linguagem de programação procedimental (Pascal, C, Fortran, …); além da utilização de variáveis simples, o conhecimento de estruturas presentes nas linguagens de programação, como arranjos e registros; utilização de ponteiros e de alocação dinâmica de variáveis.

1.2

estrutura do texto

Os demais capítulos deste livro estão estruturados como segue.

No capítulo 2 são brevemente apresentados alguns conceitos básicos, necessários para o desenvolvimento do restante do texto. Inicialmente é visto o conceito de Tipos Abstratos de Dados, utilizado em linguagens de programação e como uma das bases para as estruturas estudadas a seguir. Todos os algoritmos apresentados utilizam este conceito, o que facilita a sua implementação. Em seguida são analisadas duas formas para armazenar fisicamente as estruturas vistas a seguir. Em cada uma delas serão analisadas estas duas formas de armazenamento físico.

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Medium 9788584291137

Capítulo 2. O poder dos erros e das dificuldades

Jo Boaler Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 2

O PODER DOS

ERROS E DAS

DIFICULDADES

Comecei a ministrar oficinas sobre como ensinar matemática para uma mentalidade de crescimento com meus alunos de pós-graduação de

Stanford (Sarah Kate Selling, Kathy Sun e Holly

Pope) depois que diretores de escolas na Califórnia relataram que seus professores tinham l­ ido os livros de Dweck e estavam “totalmente de acordo” com as ideias, mas não sabiam o que isso significava para o ensino de matemática. A primeira oficina aconteceu no campus de Stanford, no iluminado e arejado centro Li Ka Shing. Para mim, um dos destaques daquela primeira oficina foi quando Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: “Toda vez que um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse”. Houve um audível suspiro na sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração.

Uma razão pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, embora os estudantes sempre pensem que cometer um erro significa não ser uma “pessoa de matemática”, ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências sobre o cérebro e os erros revelam algo muito mais significativo.

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Medium 9788584290727

Capítulo 01 - Materiais didáticos manipulativos

Ayni Shih, Carla Cristina Crispim, Heliete Meira C. A. Aragão, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

Materiais didáticos manipulativos

Introdução

A proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas aulas de matemática não é recente. Desde que Comenius

(1592-1670) publicou sua Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, Comenius chega mesmo a recomendar que nas salas de aula sejam pintados fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para ensinar geometria.

Nos séculos seguintes, educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852) propuseram que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação ativa”. Assim, na concepção destes dois educadores, as descrições deveriam preceder as definições e os conceitos nasceriam da experiência direta e das operações que o aprendiz realizava sobre as coisas que observasse ou manipulasse.

São os reformistas do século XX, principalmente Claparède,

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Medium 9788577803811

4.2 filas

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Pilhas e Filas

137

filas

4.2

Filas são listas nas quais somente podem ser acessados os dois nodos que estão nas duas extremidades da lista. As inclusões de novos nodos são sempre efetuadas no final da lista, e as operações de consulta, alteração de informações e de remoção, no seu início. Esta disciplina de acesso recebe o nome de

FIFO – First In First Out – primeiro nodo a ser retirado deve ser o primeiro que foi incluído (Figura 4.4).

Existem várias aplicações na área de computação para as estruturas de dados do tipo fila. Por exemplo, a estrutura apropriada para o gerenciamento de impressões em sistemas multiusuários, onde somente uma requisição pode ser atendida de cada vez, é uma fila, na qual as primeiras requisições para impressão são também as primeiras a serem executadas.

As operações que podem ser realizadas sobre uma fila são:

criar a fila vazia; inserir um novo nodo no final da fila; excluir o nodo que está no início da fila; consultar e/ou modificar o nodo que está no início da fila; destruir a fila, ou seja, liberar o espaço que estava reservado para a fila.

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Medium 9788577803811

5.4 exercícios

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

182

Estruturas de Dados

cada vez que se vai acessar um filho, guardar o endereço do pai para, posteriormente, poder acessar seus outros filhos; destruição da árvore – a árvore é percorrida a partir de sua raiz, sendo todos os nodos liberados.

5.3.2

vantagens e desvantagens da implementação por encadeamento

Constata-se que a implementação de árvores por encadeamento é bastante intuitiva. Por este motivo, no restante deste texto somente será considerada esta forma de implementação para árvores.

Árvores cujos nodos têm grau variado apresentam geralmente muitos campos de elo ociosos. Este problema pode ser significativo caso algum nodo apresente grau bem mais elevado que os demais.

O acesso às informações na árvore pode ser dificultado devido à necessidade de acessar qualquer nodo sempre através da raiz. Este problema é minimizado pela definição de disciplinas adequadas para percorrer os nodos da árvore.

Por outro lado, as operações de inserção e remoção de nodos são muito simplificadas, consistindo basicamente na atualização de endereços nos campos de elo de alguns nodos.

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Medium 9788577803811

6.5 árvores balanceadas

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 6

6.5

Árvores Binárias

225

árvores balanceadas

Considerando somente a operação de busca de informações, o tempo de execução para encontrar uma informação depende diretamente da distância do nodo que contém esta informação até a raiz da árvore. Árvores balanceadas têm por objetivo otimizar as operações de consulta, diminuindo o número médio de comparações efetuadas até que um determinado nodo seja encontrado. Duas formas de balanceamento podem ser utilizadas: balanceamento por altura, também denominado balanceamento uniforme, no qual todas as folhas ficam à mesma distância da raiz, ou a uma distância muito semelhante. A ABP mostrada na Figura 6.11 é completamente balanceada por altura; balanceamento por freqüência, também denominado balanceamento não uniforme, no qual a distribuição dos nodos leva em conta a freqüência de acessos feitos a cada nodo, sendo aqueles mais acessados dispostos mais próximos à raiz da árvore.

Estes dois tipos de balanceamento serão analisados a seguir para árvores binárias.

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Medium 9788577803811

3.3 listas lineares com ocupação circular do arranjo

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

80

Estruturas de Dados

listas lineares com ocupação circular do arranjo

3.3

Quando uma lista linear é implementada sobre um arranjo, a sucessiva inclusão e remoção de nodos pode levar a uma situação em que o final da lista esteja na última posição do arranjo, restando ainda espaço livre no seu início.

Uma nova inclusão no final da lista não seria possível, a menos que todos os nodos fossem deslocados para baixo, de modo a disponibilizar espaço no final da lista. Uma forma de simplificar este gerenciamento é fazendo uma ocupação circular do arranjo: o novo nodo, no final da lista, seria incluído na primeira posição do arranjo, sinalizando através do indicador de final de lista (FL) o índice desta posição.

No caso de ocupação circular de um arranjo, o índice de final da lista poderá ser menor do que o índice de início da lista. A Figura 3.16 ilustra este tipo de ocupação do arranjo LL, representando uma lista de 6 nodos, que inicia no

índice 9 (primeiro nodo da lista) e termina no índice 4 (último nodo da lista).

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Medium 9788577804825

8. Vetores

Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 8 – Vetores  137

Geralmente a notação com flecha sobrescrita é utilizada em textos manuscritos e a notação em negrito em textos impressos.

Ainda do ponto de vista geométrico, a direção de um vetor é dada pela reta suporte do segmento orientado que o representa, e seu sentido é indicado por uma

flecha. Sua magnitude é indicada pelo comprimento do segmento orientado.

Dado um vetor v, denotaremos sua magnitude (comprimento ou módulo) por |v|. Em particular, se |v| = 1 dizemos que v é um vetor unitário e se

|v| = 0 dizemos que v é o vetor nulo, denotado v = 0.

Segmentos orientados com o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos equivalentes. Segmentos equivalentes representam o mesmo vetor, independente de sua localização espacial, uma vez que todos eles representam a mesma magnitude, a mesma direção e o mesmo sentido. A

Figura 8.1(b) apresenta vários segmentos orientados equivalentes, todos representando o mesmo vetor.

8.2 Operações com vetores geométricos

Duas operações definidas para os vetores geométricos são a multiplicação de um vetor por um escalar (número real) e a adição de vetores.

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Medium 9788577803828

6 engenharia reversa de arquivos e normalização

Carlos Alberto Heuser Grupo A PDF Criptografado

184

6.1

Projeto de Banco de Dados

introdução

Muitos dos sistemas de informação hoje usados foram desenvolvidos ao longo dos últimos 20 anos e não utilizam bancos de dados relacionais, sendo chamados de sistemas legados (legacy systems). Os dados desses sistemas estão armazenados em arquivos de linguagens de terceira geração, como COBOL ou Basic, ou então em bancos de dados da era pré-relacional, como IMS ou ADABAS. Raramente, os arquivos destes sistemas estão documentados através de modelos conceituais.

Adicionalmente, há bancos de dados relacionais que não possuem documentação na forma de um modelo conceitual.

No entanto, há situações no ciclo de vida de um sistema nas quais um modelo conceitual é de grande valia.

Um exemplo é a manutenção rotineira do software de um sistema de informações. Neste caso, o modelo conceitual pode ser usado como documentação abstrata dos dados, durante discussões entre usuários, analistas e programadores. A existência de um modelo conceitual permite que pessoas que não conheçam o sistema possam aprender mais rapidamente o seu funcionamento.

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Medium 9788582604571

Capítulo 12 - Geometria vetorial

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

12  �GEOMETRIA VETORIAL

O

s vetores desempenham um papel em quase todas as áreas da Matemática e suas aplicações. Nas áreas da Física, eles são usados para representar quantidades que têm direção e sentido além da magnitude, como velocidade e força. A mecânica newtoniana, a física quântica e as relatividades especial e geral, todas elas dependem fundamentalmente de vetores. Não seríamos capazes de entender a eletricidade e o magnetismo sem os vetores, que são utilizados para construir o embasamento teórico.

Os vetores também desempenham um papel crítico na computação gráfica, descrevendo como deveria ser representada a luz e fornecendo um meio para variar o ponto de vista da tela apropriadamente. Em áreas como a Economia e a Estatística, os vetores são usados para encapsular informação de uma maneira que permita sua manipulação eficiente. Eles são uma ferramenta indispensável numa variada gama de disciplinas.

Neste capítulo, desenvolvemos as propriedades geométricas e algébricas básicas de vetores. Embora neste capítulo não utilizemos o Cálculo, os conceitos desenvolvidos aqui serão utilizados em todo o resto do texto.

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Medium 9788582604571

Capítulo 15 - Integração múltipla

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

15  �INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

A

s integrais de funções de várias variáveis, denominadas integrais múltiplas, são uma extensão natural das integrais de uma variável estudadas na primeira parte do texto. Elas são utilizadas para calcular muitas quantidades que surgem nas aplicações, como volumes, áreas de superfície, centros de massa, probabilidades e valores médios.

15.1  Integração em duas variáveis

A integral de uma função f(x, y) de duas variáveis, denominada integral dupla, é denotada por

Ela representa o volume com sinal da região sólida entre o gráfico de f(x, y) e o domínio no plano xy (Figura 1), sendo que o volume é positivo com regiões acima do plano xy e negativo com regiões abaixo.

Há muitas semelhanças entre integrais duplas e integrais simples:

Estas plantações em terraços ilustram como o volume abaixo de um gráfico pode ser calculado usando integração iterada.

(© bbbar/age fotostock)

• Integrais duplas são definidas como limites de somas.

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Medium 9788584290789

Capítulo 4. Materiais

Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz Grupo A PDF Criptografado

Materiais

Se sua escola não dispõe de materiais manipulativos (cubos coloridos e sólidos geométricos) em quantidade suficiente, você pode disponibilizar para os alunos uma cópia dos moldes que se encontram a seguir. Os moldes devem ser colados em cartolina e recortados.

Para os cubos coloridos, há apenas um molde de cada peça.

O kit por aluno, no entanto, deve conter:

• 2 cubos azuis;

• 2 cubos amarelos;

• 2 cubos vermelhos;

• 2 cubos de 3 cores (em faces opostas).

Para os sólidos geométricos, o kit por 4 alunos deve conter:

• 1 paralelepípedo;

• 1 cubo;

• 4 pirâmides de bases quadrada, triangular, pentagonal e hexagonal;

• 3 prismas de bases triangular, pentagonal e hexagonal;

• 1 cilindro;

• 1 cone;

• 1 esfera (que não tem molde e deve ser representada por uma bola de tamanho pequeno).

Também se encontra disponibilizada uma folha de malha pontilhada, que pode ser copiada e distribuída aos alunos. Para baixar todos os materiais, em www.grupoa.com.br, acesse a página do livro por meio do campo de busca e clique em Área do Professor.

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