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Capítulo 24 Análise de Dados. Teoria da Probabilidade

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Mostraremos como se manipula dados numericamente ou em termos de gráficos, e como a partir deles extrair informação (tamanho médio, dispersão dos dados etc.). Se estes dados forem influenciados pelo “acaso”, por fatores cujo efeito não podemos prever exatamente (por exemplo, dados climáticos, preços de ações, vida útil de pneus etc.), precisamos confiar na teoria da probabilidade. Esta teoria originou-se em jogos de azar, tais como lançar moedas, jogar dados ou cartas de baralho. Atualmente, ela fornece modelos matemáticos para processos de acaso denominados experimentos aleatórios ou, simplesmente, experimentos. Nesses experimentos, observamos uma variável aleatória X, uma função cujos valores em uma tentativa (uma performance de um experimento) ocorrem “por acaso” (Seção 24.3) de acordo com uma distribuição de probabilidade, que fornece as probabilidades individuais com as quais possíveis valores de X podem ocorrer no longo prazo. (Por exemplo, cada uma das seis faces de um dado deve ocorrer com a mesma probabilidade, 1/6.) Ou podemos, simultaneamente, observar mais de uma variável aleatória, por exemplo, altura e peso de pessoas, ou dureza e tensão de ruptura do aço. Isso será discutido na Seção 24.9, na qual também vamos apresentar a base para a justificativa matemática dos modelos estatísticos do Capítulo 25.

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Capítulo 17 Mapeamento Conforme

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Mapeamentos conformes, além de inestimáveis para o engenheiro e para o físico, auxiliam na resolução de problemas em teoria do potencial. Eles constituem um método-padrão para resolver problemas de contorno em teoria do potencial bidimensional e fornecem ricas aplicações em eletrostática, fluxo do calor, escoamento de fluidos, como veremos no Capítulo 18.

A principal característica dos mapeamentos conformes é que eles preservam os ângulos (exceto em alguns pontos críticos) e permitem uma abordagem geométrica para a análise complexa. Mais detalhes a seguir.

Considere uma função complexa w = f(z) definida em um domínio D do plano z; então, a cada ponto em D corresponde um ponto no plano w. Desta forma, obtemos um mapeamento de D sobre a distribuição de valores de f(z) no plano w. Na Seção 17.1, iremos mostrar que, se f(z) for uma função analítica, então o mapeamento dado por w = f(z) é um mapeamento conforme, isto é, preserva ângulos, exceto em pontos nos quais a derivada f'(z) é zero. (Estes pontos são denominados pontos críticos.)

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Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

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TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

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Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9. Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10.

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A1 Funções de Bessel

Para tabelas mais extensivas, veja a Ref. [GenRef1] no Apêndice 1.

Tabela A2 Função Gamma

[veja (24) no Apêndice A3.1]

Tabela A3 Função Fatorial e Seus Logaritmos com Base 10

Tabela A4 Função Erro, Integrais Seno e Cosseno

[veja (35), (40), (42) no Apêndice A3.1]

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8 Métodos Numéricos

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Até agora, discutimos métodos para resolver equações diferenciais usando técnicas analíticas como integração ou expansão em séries. Em geral, a ênfase era em encontrar uma expressão exata para a solução. Infelizmente, existem muitos problemas importantes em Engenharia e ciência, especialmente problemas não lineares, nos quais esses métodos ou não se aplicam, ou seu uso é muito complicado. Neste capítulo, adotaremos uma abordagem alternativa, a utilização de métodos numéricos aproximados para obtermos uma aproximação precisa da solução de um problema de valor inicial. Vamos apresentar esses métodos no contexto o mais simples possível, ou seja, uma única equação escalar de primeira ordem. No entanto, eles podem ser estendidos diretamente para sistemas de equações de primeira ordem, e isso está esquematizado brevemente na Seção 8.5. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados facilmente em uma ampla variedade de dispositivos computacionais, desde celulares a supercomputadores.

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11 Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Depois de separar as variáveis em uma equação diferencial parcial no Capítulo 10, encontramos diversas vezes a equação diferencial

com as condições de contorno

Este problema de valores de contorno é o protótipo de uma classe grande de problemas importantes em Matemática aplicada, conhecidos como problemas de valores de contorno de Sturm-Liouville. Neste capítulo, vamos discutir as propriedades mais importantes dos problemas de Sturm-Liouville, inclusive existência e unicidade de soluções; no processo, seremos capazes de generalizar um pouco o método de separação de variáveis para equações diferenciais parciais.

No Capítulo 10, descrevemos o método de separação de variáveis como um modo de resolver alguns problemas envolvendo equações diferenciais parciais. O problema de condução de calor, consistindo na equação diferencial parcial

sujeita às condições de contorno

e à condição inicial

é um exemplo típico dos problemas considerados aqui. Uma parte crucial no processo de resolução de tais problemas é encontrar os autovalores e autofunções da equação diferencial

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Capítulo 14 Integração Complexa

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O Capítulo 13 lançou as bases para o estudo de análise complexa, cobrindo números complexos no plano complexo, limites e derivação, e além disso, introduziu o conceito mais importante de analiticidade. Uma função complexa é analítica em algum domínio se ela for derivável naquele domínio. A análise complexa trata dessas funções e de suas aplicações. As equações de Cauchy-Riemann, na Seção 13.4, foram o centro do Capítulo 13 e proporcionaram um caminho para verificar se uma função é de fato analítica. Naquela seção, também vimos que funções analíticas satisfazem a equação de Laplace, a mais importante EDP na física.

Agora, iremos considerar a parte seguinte do cálculo complexo, isto é, discutir a primeira abordagem para a integração complexa. Este estudo é focado em torno do muito importante teorema integral de Cauchy (também denominado teorema de Cauchy-Goursat) na Seção 14.2. Este teorema é importante porque permite, a partir de sua indicada fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3, o cálculo de integrais cujo integrando é uma função analítica. Além disso, a fórmula integral de Cauchy mostra o resultado surpreendente de que funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens. Consequentemente, sob este aspecto, funções analíticas complexas comportam-se muito mais simplesmente que as funções reais de variáveis reais, que podem ter derivadas apenas até certa ordem.

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Capítulo 25 Estatística Matemática

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Em teoria da probabilidade, estabelecemos modelos matemáticos de processos que são influenciados pelo “acaso”. Em estatística matemática, ou simplesmente estatística, verificaremos estes modelos em comparação com a realidade observável. A esse procedimento denomina-se inferência estatística. Isso é feito por amostragem, isto é, coletando amostras aleatórias, denominadas amostras. Estes são conjuntos de valores coletados a partir de um conjunto muito maior de valores que poderiam ser estudados, denominado a população. Um exemplo é dez diâmetros de parafusos coletados a partir de um grande lote de parafusos. A amostragem é realizada para ver se um modelo da população é suficientemente preciso para propósitos práticos. Em caso afirmativo, o modelo poderá ser utilizado para previsões, decisões e ações, por exemplo, no planejamento de produção, na compra de equipamentos, nos investimentos em projetos de negócios, e assim por diante.

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Apêndice 1 Referências

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Referências Gerais

[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

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Capítulo 12 Equaç es Diferenciais Parciais (EDPs)

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Uma EDP é uma equação que contém uma ou mais derivadas parciais de uma função desconhecida que depende, no mínimo, de duas variáveis. Usualmente uma destas é o tempo t e as demais referem-se ao espaço (variável(is) espacial(is)). As EDPs mais importantes são as equações da onda, que podem modelar a corda vibrante (Seções 12.2, 12.3, 12.4, 12.12) e a membrana vibrante (Seções 12.8, 12.9, 12.10), a equação do calor para a temperatura em uma barra ou em um fio (Seções 12.5, 12.6) e a equação de Laplace para potenciais eletrostáticos (Seções 12.6, 12.10, 12.11). As EDPs são muito importantes em dinâmica, elasticidade, transferência do calor, teoria eletromagnética e mecânica quântica. Suas aplicações possuem uma extensão muito maior do que as EDOs, que podem modelar apenas os sistemas físicos mais simples. As EDPs constituem, portanto, assunto de muitas pesquisas e projetos de desenvolvimento em andamento.

Considerando que a modelagem com EDPs é mais abrangente que a modelagem com EDOs, iremos seguir uma abordagem gradual e bem planejada para a modelagem com EDPs. Para isso, vamos deduzir cuidadosamente a EDP que modela o fenômeno, tal como a equação da onda unidimensional para uma corda elástica vibrante (uma corda de violino, digamos) na Seção 12.2, e depois resolver a EDP em uma seção separada, isto é, na Seção 12.3. Na mesma linha, deduzimos a equação do calor na Seção 12.5 para, depois, resolvê-la e generalizá-la na Seção 12.6.

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Apêndice 1 Referências

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[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

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4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Mais Alta

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

A estrutura teórica e os métodos de resolução desenvolvidos no capítulo precedente para equações lineares de segunda ordem podem ser estendidos, diretamente, para equações lineares de terceira ordem e de ordem mais alta. Neste capítulo, vamos rever rapidamente essa generalização, apontando, em especial, os casos particulares em que aparecem fenômenos novos, em razão da grande variedade de situações que podem ocorrer para equações de ordem mais alta.

Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma

Supomos que as funções P0, …, Pn e G são funções reais e contínuas definidas em algum intervalo I: α < t < β, e que P0 nunca se anula nesse intervalo. Então, dividindo a Eq. (1) por P0(t), obtemos

O operador diferencial linear L de ordem n definido pela Eq. (2) é semelhante ao operador de segunda ordem definido no Capítulo 3. A teoria matemática associada à Eq. (2) é inteiramente análoga à teoria para equações lineares de segunda ordem; por essa razão, apenas enunciaremos os resultados para o problema de ordem n. As demonstrações da maioria dos resultados também são semelhantes às das equações de segunda ordem e, em geral, deixadas como exercício.

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6 A Transformada de Laplace

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Muitos problemas práticos de Engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sob a ação de forças externas descontínuas ou de impulsos. Os métodos descritos no Capítulo 3 são, muitas vezes, complicados de usar em tais problemas. Outro método particularmente adequado para esses problemas, embora possa ser usado de maneira mais geral, baseia-se na transformada de Laplace. Vamos descrever, neste capítulo, como este importante método funciona, enfatizando problemas típicos que aparecem nas aplicações de Engenharia.

Integrais Impróprias. Como a transformada de Laplace envolve uma integral de zero a infinito, é necessário conhecimento sobre integrais impróprias desse tipo para apreciar o desenvolvimento subsequente das propriedades da transformada. Vamos fornecer aqui uma revisão rápida de tais integrais impróprias. Se você já estiver familiarizado com integrais impróprias, pode querer pular essa revisão. Por outro lado, se uma integral imprópria é novidade para você, então deveria, provavelmente, consultar um livro de Cálculo, no qual encontrará muito mais detalhes e exemplos.

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Capítulo 19 Métodos Numéricos em Geral

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Análise numérica, ou abreviadamente numérico, tem um sabor distinto, diferentemente daquele do cálculo básico, ou daquele da resolução de EDOs algebricamente, ou ainda de outras áreas (não numéricas). Enquanto no Cálculo e em EDOs havia pouquíssimas escolhas sobre como resolver o problema, e sua resposta era uma resposta algébrica, você terá agora em numérico muito mais escolhas e suas respostas serão dadas como tabelas de valores (números) ou gráficos. Você precisa fazer criteriosas escolhas, quanto a qual método numérico ou algoritmo você quer usar, de quanta exatidão você necessita no seu resultado, a partir de qual valor (valor inicial) você quer iniciar seu cálculo, entre outras escolhas. Este capítulo é projetado para fornecer uma boa transição, a partir da matemática do tipo algébrico para a matemática do tipo numérico.

Vamos começar com os conceitos gerais, tais como ponto flutuante, erros de arredondamento e erros numéricos gerais e sua propagação. Isso é seguido na Seção 19.2 pelo importante tópico de resolver equações do tipo f(x) = 0 por vários métodos numéricos, inclusive o famoso método de Newton. A Seção 19.3 apresenta métodos de interpolação. Estes são métodos que constroem valores para uma nova (incógnita) função, a partir de valores de uma função conhecida. O conhecimento ganho na Seção 19.3 é aplicado na interpolação por spline (Seção 19.4) e é útil para compreender a integração e a derivação numéricas estudadas na última seção.

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Capítulo 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial

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No Capítulo 17, desenvolvemos a abordagem geométrica do mapeamento conforme. Isso significa que, para uma função analítica complexa w = f(z), definida em um domínio D do plano z, associamos a cada ponto em D um ponto correspondente no plano w. Isso nos forneceu um mapeamento conforme (que preserva ângulos), exceto em pontos críticos em que f'(z) = 0.

Neste capítulo, vamos aplicar mapeamentos conformes a problemas do potencial. Isso nos levará a problemas de contorno e várias aplicações da Engenharia em eletrostática, fluxo de calor e escoamento de fluidos. Mais detalhes são como se segue.

Lembre-se de que a equação de Laplace ∇2Φ = 0 é uma das mais importantes EDPs em Matemática Aplicada à Engenharia, porque ela ocorre em gravitação (Seções 9.7, 12.11), eletrostática (Seção 9.7), condução do calor em estado estacionário (Seção 12.5), escoamento de fluido incompressível, entre outras áreas. A teoria desta equação é denominada teoria do potencial (embora “potencial” também seja usado, em um sentido mais geral, em conexão com gradientes [veja a Seção 9.7]). Considerando que queremos tratar esta equação com métodos de análise complexa, iremos restringir nossa discussão ao “caso bidimensional”. Assim, Φ depende apenas de duas coordenadas cartesianas x e y, e a equação de Laplace torna-se

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