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8: Fórmulas da GeometriaAnalítica Plana

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

8

Fórmulas da Geometria

Analítica Plana

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.1

Fig. 8-1

Declividade m da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.2

Equação da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.3

8.4 onde

é o coeficiente linear da reta, isto é, a ordenada do ponto de in-

terseção com o eixo y.

Forma segmentária da equação da reta

8.5 onde a � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo x e b � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo y.

Fig. 8-2

34

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Forma normal da equação da reta

8.6 x cos � � y sen � � p onde p � distância perpendicular da origem O à reta e

� � ângulo de inclinação da perpendicular com o eixo x positivo.

Fig. 8-3

Equação geral da reta

8.7 Ax � By � C � 0

Distância do ponto (x1, y1) à reta Ax + By + C = 0

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19: Equações DiferenciaisBásicas e suas Soluções

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção V: Equações Diferenciais e Análise Vetorial

19

Equações Diferenciais

Básicas e suas Soluções

Equação diferencial

19.1

Equação de variáveis separáveis

19.2

Equação linear de primeira ordem

19.3

Equação de Bernoulli

Solução

onde ␷ ⫽ y1–n. Se n ⫽ 1, a solução é

19.4

Equação exata

onde indica que a integração é em relação a x, mantendo y constante.

19.5

Equação homogênea

onde ␷ ⫽ y/x. Se F(␷) ⫽ ␷, a solução é y ⫽ cx.

19.6

onde ␷ ⫽ xy. Se G(␷) ⫽ F(␷), a solução é xy ⫽ c.

CAPÍTULO 19 • EQUAÇÕES DIFERENCIAIS BÁSICAS E SUAS SOLUÇÕES

Equação diferencial

19.7

Equação linear homogênea de segunda ordem

125

Solução

Sejam m1 e m2 as raízes de m2 ⫹ am ⫹ b ⫽ 0. Então há três casos.

a, b são constantes reais.

19.8

Equação linear não homogênea de segunda ordem

Há três casos correspondentes aos casos do item 19.7.

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21: Séries deTermos Constantes

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção VI: Séries

21

Séries de

Termos Constantes

Séries aritméticas

21.1 onde l ⫽ a ⫹ (n – 1)d é o último termo.

Alguns casos especiais são

21.2

21.3

Séries geométricas

21.4 onde l ⫽ ar é o último termo e r ⫽ 1.

Se –1 ⬍ r ⬍ 1, então n–1

21.5

Séries aritmético-geométricas

21.6 onde r ⫽ 1.

Se –1 ⬍ r ⬍ 1, então

21.7

Somatórios de potências de inteiros positivos

21.8

2

onde a série termina em n ou n, conforme p é ímpar ou par, e Bk são os números de Bernoulli [ver

Capítulo 23].

CAPÍTULO 21 • SÉRIES DE TERMOS CONSTANTES

Alguns casos especiais são

21.9

21.10

21.11

21.12

Se

, onde k e n são inteiros positivos, então:

21.13

Séries envolvendo recíprocas de potências de inteiros positivos

21.14

21.15

21.16

21.17

21.18

21.19

21.20

21.21

21.22

21.23

21.24

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4: Números Complexos

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

4

Números Complexos

Definições envolvendo números complexos

Um número complexo z é, geralmente, escrito na forma

onde a e b são números reais e i, chamada unidade imaginária, tem a propriedade i ⫽ ⫺1. Os números reais a e b são chamados partes real e imaginária de z ⫽ a ⫹ bi, respectivamente.

O conjugado complexo de z é denotado por e é definido por

2

Assim, a ⫹ bi e a ⫺ bi são conjugados um do outro.

Igualdade de números complexos

4.1 a ⫹ bi ⫽ c ⫹ di

se, e somente se,

a⫽ceb⫽d

Aritmética de números complexos

Fórmulas para adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos são as seguintes:

4.2

4.3

4.4

4.5

Observe que as operações dadas são obtidas usando as regras normais da Álgebra e substituindo i2 por ⫺1, onde quer que isso ocorra.

Exemplo

Suponha que z ⫽ 2 ⫹ 3i e w ⫽ 5 ⫺2i. Então

CAPÍTULO 4 • NÚMEROS COMPLEXOS

21

Plano complexo

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28: Funções de Legendre ede Legendre Associadas

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

28

Funções de Legendre e de Legendre Associadas

Equação diferencial de Legendre

28.1

As soluções desta equação são denominadas funções de Legendre de ordem n.

Polinômios de Legendre

Se n � 0, 1, 2, ..., uma solução de 28.1 é o polinômio de Legendre Pn(x) dado pela fórmula de Rodrigues

28.2

Polinômios de Legendre especiais

28.3

28.7

28.4

28.8

28.5

28.9

28.6

28.10

Polinômios de Legendre em termos de θ, onde x = cos θ

28.11

28.12

28.13

28.14

28.15

28.16

28.17

28.18

CAPÍTULO 28 • FUNÇÕES DE LEGENDRE E DE LEGENDRE ASSOCIADAS

Função geradora para os polinômios de Legendre

28.19

Fórmulas de recorrência para os polinômios de Legendre

28.20

28.21

28.22

28.23

28.24

Ortogonalidade dos polinômios de Legendre

28.25

28.26

Devido a 28.25, Pm(x) e Pn(x) são chamados ortogonais em –1

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33: Transformadas de Laplace

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção VIII: Transformadas de Laplace e de Fourier

33

Transformadas de Laplace

Definição da transformada de Laplace de F(t )

33.1

Em geral, f(s) existirá para s > ␣, onde ␣ é constante. ᏸ é denominado operador transformada de

Laplace.

Definição da transformada de Laplace inversa de f(s)

Se ᏸ {F(t)} ⫽ f(s), então dizemos que F(t) ⫽ ᏸ–1{f(s)} é a transformada de Laplace inversa de f(s).

ᏸ–1 é denominado operador transformada de Laplace inverso.

Fórmula complexa da inversão

A transformada de Laplace inversa de f(s) pode ser encontrada diretamente pelos métodos da teoria de

Variáveis Complexas. O resultado é

33.2 onde c é escolhido de tal modo que todos os pontos singulares de f(s) encontram-se à esquerda da reta

Re{s} ⫽ c no plano da variável complexa s.

CAPÍTULO 33 • TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Tabela das propriedades gerais de transformadas de Laplace

33.3

33.4

33.5

33.6

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2: sen x (x em graus e minutos)

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

2

sen x (x em graus e minutos)

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22: Funções de Bessel Ber (x)

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

22

Funções de Bessel Ber (x)

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23

Funções de Bessel Bei (x)

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11: Fatorial de n

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção II: Fatorial, Função Gama e Coeficientes Binomiais

11

Fatorial de n n! ⫽ 1 • 2 • 3 • … • n

(por definição)

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17: Tabelas de IntegraisIndefinidas Especiais

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

17

Tabelas de Integrais

Indefinidas Especiais

Aqui fornecemos tabelas de integrais indefinidas especiais. Como enunciamos nas observações acima da regra 16.1, também nestas tabelas a, b, p, q e n são constantes, com restrições quando indicado; e �

2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas. Supomos em todos os casos que a divisão por zero está excluída.

Nossas integrais estão divididas em tipos que envolvem as seguintes funções e expressões algébricas:

Algumas integrais contêm os números de Bernouilli, Bn, e os números de Euler, En, definidos no Capítulo 23.

1 Integrais envolvendo ax + b

17.1.1

17.1.2

17.1.3

17.1.4

17.1.5

CAPÍTULO 17 • TABELAS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS ESPECIAIS

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44: Solução de EquaçõesNão Lineares

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

44

Solução de Equações

Não Lineares

Aqui apresentamos métodos de resolver equações não lineares, que aparecem de duas maneiras:

44.1 Equação não linear: f (x) ⫽ 0

44.2 Equação não linear de ponto fixo: x ⫽ g(x)

Podemos alternar de 44.1 para 44.2 ou de 44.2 para 44.1 tomando

Como os métodos são iterativos, existem dois tipos de estimativa de erro.

44.3 para algum

predeterminado.

Método da bisseção

Utilizamos o seguinte teorema.

Teorema do valor intermediário Suponha que f é contínua num intervalo [a, b] e que f (a)f(b) < 0.

Então existe uma raiz x* de f(x) ⫽ 0 em (a, b).

O método de bisseção aproxima uma tal solução x*.

44.4 Método de bisseção:

Passo inicial: Tome a0 ⫽ a e b0 ⫽ b.

Passo de iteração:

(a) Tome cn ⫽ (an ⫹ bn)/2.

(b) Se f(an) f(cn) < 0, tome an ⫹ 1 ⫽ an e bn ⫹ 1 ⫽ cn; caso contrário, tome an ⫹ 1 ⫽ cn e bn ⫹ 1 ⫽ bn.

Método de Newton

Método de Newton

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20: Funções de Bessel K0(x)

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

20

Funções de Bessel K0(x)

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21

Funções de Bessel K1(x)

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29: Polinômios de Hermite

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Polinômios de Hermite

29

Equação diferencial de Hermite

29.1

Polinômios de Hermite

Se n � 0, 1, 2, …, então uma solução da equação de Hermite é o polinômio de Hermite Hn(x) dado pela fórmula de Rodrigues

29.2

Polinômios de Hermite especiais

29.3

29.7

29.4

29.8

29.5

29.9

29.6

29.10

Função geradora

29.11

Fórmulas de recorrência

29.12

29.13

Ortogonalidade dos polinômios de Hermite

29.14

29.15

178

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Séries ortogonais

29.16 onde

29.17

Resultados especiais

29.18

29.19

29.20

29.21

29.22

29.23

29.24

29.25

29.26

Esta é chamada a fórmula de adição para polinômios de Hermite.

29.27

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2: Produtos e FatoresEspeciais

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Produtos e Fatores

Especiais

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

Os resultados de 2.1 a 2.10 são casos especiais da fórmula binomial [ver 3.3].

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

Algumas generalizações das fórmulas acima são dadas pelos seguintes resultados, onde n é um inteiro positivo.

2.20

16

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

2.21

2.22

2.23

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34: Montante de uma Anuidade

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

34

Montante de uma Anuidade

Se um mesmo capital P é aplicado a cada final de período a uma mesma taxa de juros r (em decimais) compostos periodicamente, então no final de n períodos o montante acumulado é A ⫽

O processo é chamado de anuidade.

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