508 capítulos
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Medium 9788521632146

Agradecimentos

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

Agradecimentos

Como é comum em livros-texto, poucos esforços foram feitos para prestar os créditos devidos aos criadores originais das ideias apresentadas neste livro. Quando possível, tentei melhorar as abordagens padrão para este material. No entanto, a ausência de uma referência não implica originalidade da minha parte. Agradeço aos vários matemáticos que criaram e refinaram nosso belo assunto.

Como a maioria dos matemáticos, devo um enorme agradecimento a Donald Knuth, que inventou o TEX, e a Leslie Lamport, que inventou o LATEX, que usei para editar este livro. Agradeço aos autores dos diversos pacotes LATEX de código aberto que usei para melhorar a aparência do livro, especialmente a Hàn Thê Thành, pelo pdfLATEX, a Robert

Schlicht, pelo microtype, e a Frank Mittelbach pelo multicol.

Muitos agradecimentos também à Wolfram Research por produzir o Mathematica, o software que usei para traçar os gráficos deste livro.

Os professores e estudantes que usaram a primeira edição deste livro forneceram um retorno maravilhosamente útil. Vários revisores me enviaram sugestões fantásticas enquanto esta segunda edição percorria suas diversas etapas de desenvolvimento. Agradeço a todos os revisores, cujos nomes estão listados na próxima página.

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14 - Equações Diferenciais de 1a Ordem de Variáveis Separáveis e Lineares

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

14

Equações Diferenciais de

1a Ordem de Variáveis

Separáveis e Lineares

 14.1   Equações Diferenciais: Alguns Exemplos

As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1   Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro da posição. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

Solução

Neste problema, o que nos interessa determinar é a função de posição x 5 x (t). De acordo com o enunciado do problema, o movimento é regido pela equação diferencial de 1a ordem

Conforme o Exercício 2 da Seção 10.1, as funções que satisfazem tal equação são da forma x 5 ke2t, k constante. Assim, a função de posição do movimento é da forma x 5 ke2t.

Exemplo 2   Uma partícula de massa m 5 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma única força, paralela ao deslocamento, com componente f (x) 5 2x. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

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4 - Extensões do Conceito de Limite

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

4

Extensões do Conceito de Limite

  4.1    Limites no Infinito

Nosso objetivo, nesta seção, é dar um significado para os símbolos

(leia: limite de f (x), para x tendendo a mais infinito, é igual a L) e

Definição 1. Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]a, 1∞[ , Df . Definimos

y f

L+ε

L

L−ε

0

a

δ

x

Definição 2. Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que ]–∞, a[ , Df . Definimos

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Capítulo 4

100

Exemplo 1 Calcule

e justifique.

Solução

Quanto maior o valor de x, mais próximo de zero estará

5 0.

Justificação

Dado ε . 0 e tomando-se δ 5

e, portanto,

Logo,

5 0.

y

0+ε y=

0

1 x x

1/ε

0−ε

Deixamos para o leitor as demonstrações dos seguintes teoremas:

Teorema 1. Sejam f e g duas funções tais que Im f , Dg e

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6 - Funções Exponencial e Logarítmica

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

Funções Exponencial e

Logarítmica

  6.1    Potência com Expoente Real

Na Seção 1.7 definimos potência com expoente racional

5 e estudamos suas principais propriedades. Nesta seção, vamos definir potência com expoente real.

Observamos, inicialmente, que, se f e g são duas funções definidas e contínuas em R tais que f (r) 5 g(r) para todo racional r, então f (x) 5 g(x) para todo real x, isto é, se duas funções contínuas em R coincidem nos racionais, então elas são iguais (veja Exercício 21, Seção 3.2).

Seja, agora, a . 0 e a  1 um real qualquer. Se existirem funções f e g definidas e contínuas em R e tais que para todo racional r f (r) 5 ar e g(r) 5 ar então f (x) 5 g(x) para todo x real. Isto significa que poderá existir no máximo uma função definida e contínua em R e que coincide com ar em todo racional r. O próximo teorema, cuja demonstração é deixada para o Apêndice C, garante-nos a existência de uma tal função.

Teorema. Seja a . 0 e a  1 um real qualquer. Existe uma única função f , definida e contínua em R, tal que f (r) 5 ar para todo racional r.

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11 - Integral de Riemann

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

11

Integral de Riemann

vídeos 22.1 e 22.2

Neste capítulo introduziremos o conceito de integral de Riemann e estudaremos algumas de suas propriedades. A integral tem muitas aplicações tanto na geometria (cálculo de áreas, comprimento de arco etc.) como na física (cálculo de trabalho, de massa etc.), como veremos.

 11.1   Partição de um Intervalo

Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P 5 {x0, x1, x2, …, xn} em que a 5 x0 , x1 , x2 , … , xn 5 b.

Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos [xi 2 1, xi], i 5 1, 2, …, n.

... a = x0

x1

x2

... xi – 1

xi

xn – 1

xn = b

A amplitude do intervalo [xi 2 1, xi] será indicada por Dxi 5 xi 2 xi 2 1. Assim:

Dx1 5 x1 2 x0, Dx2 5 x2 2 x1 etc.

Os números Dx1, Dx2, …, Dxn não são necessariamente iguais; o maior deles denomina-se amplitude da partição P e indica-se por máx Dxi.

Uma partição P 5 {x0, x1, x2, …, xn} de [a, b] será indicada simplesmente por

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Medium 9788565837736

Capítulo 4 - Lógica e Cálculo Proposicional

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Lógica e Cálculo Proposicional

4.1

INTRODUÇÃO

Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:

“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”

Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber o “valor verdade” de tais expressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†

Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡

4.2

PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS

Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, por exemplo, os seis itens a seguir:

(i) Gelo flutua na água.

(ii) A China é na Europa.

(iii) 2 + 2 = 4

(iv) 2 + 2 = 5

(v) Aonde você está indo?

(vi) Faça seu tema de casa.

Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são falsas.

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Medium 9788547223052

Capítulo 1 - Noções sobre conjuntos e demonstrações

Gelson Iezzi, Hygino Domingues Editora Saraiva PDF Criptografado

Noções sobre conjuntos e demonstrações

Capítulo

1

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Álgebra moderna

2

1.1 SOBRE CONJUNTOS

1.1.1 Nota histórica

A teoria dos conjuntos foi criada por G. Cantor (1845-1918), com uma série de artigos publicados a partir de 1874. Embora russo de nascimento, Cantor fez carreira na Alemanha, para onde sua família se mudara quando ele era criança. Depois de doutorar-se na Universidade de Berlim, em 1867, com uma tese sobre teoria dos números, passou a trabalhar na

Universidade de Halle, onde ficaria até o fim de sua carreira acadêmica.

Por volta de 1870, quando estudava o problema da representação das funções reais por meio de séries trigonométricas, sua atenção se voltou para uma questão com a qual seu espírito tinha uma afinidade natural muito grande: a natureza do infinito. Esse foi o ponto de partida da criação da teoria dos conjuntos.

Além de tudo, os trabalhos de Cantor sobre teoria dos conjuntos exigiram uma boa dose de coragem científica. De fato, ao estender a ideia de “cardinal” para conjuntos infinitos,1

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Capítulo 7 - Anéis principais e fatoriais

Gelson Iezzi, Hygino Domingues Editora Saraiva PDF Criptografado

Anéis principais e fatoriais

Capítulo

7

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04/12/17 14:09

346

Álgebra moderna

7.1 NOTA HISTÓRICA

Não é possível falar da álgebra moderna, a álgebra do século XX, sem ressaltar o nome de Amalie Emy Noether (1882–1935), considerada com justa razão a mais importante matemática de sua época.

Emy Noether nasceu em Erlangen (Alemanha), em cuja universidade local seu pai era um respeitado professor. Embora ao final do curso secundário pendesse para o estudo de línguas, acabou estudando conjuntamente Matemática e Línguas na Universidade de Erlangen, onde era uma das duas mulheres entre os cerca de mil universitários. Esse fato põe em relevo as condições extremamente desfavoráveis que Emy Noether encontrou, no que se refere ao

Ensino Superior, devido à sua condição de mulher. Nessa época, as mulheres só podiam assistir a cursos extraoficialmente e com a aquiescência do professor, dada raramente. Não obstante, o fato de poder graduar-se, o que ocorreu em 1903, representou um avanço em relação a

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Capítulo 30 - Aplicações de Integração II: Volume

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 30

Aplicações de Integração II: Volume

Um sólido de revolução é obtido por meio da revolução de uma região em um plano em torno de uma reta que não intersecta a própria região. A reta sobre a qual a rotação toma lugar é chamada de eixo de revolução.

Seja f uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b. Considere a região ᏾ sob o gráfico de f, acima do eixo x e entre x = a e x = b. (Ver Fig. 30-1.) Se ᏾ é rotacionada em torno do eixo x, o objeto resultante é um sólido de revolução. As regiões ᏾ que geram alguns sólidos familiares são mostradas na Fig. 30-2.

Figura 30-1

FÓRMULA DO DISCO

O volume V do sólido de revolução obtido girando a região ᏾ da Fig. 30-1 em torno do eixo x é dado por

(Fórmula do disco)

(a) Cone

(b) Cilindro

(c) Esfera

Figura 30-2

_Livro_Ayres.indb 244

17/10/12 12:53

CAPÍTULO 30 • APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO II: VOLUME

245

Veja o Problema 9 para um esboço da demonstração dessa fórmula.

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Capítulo 39 - Vetores Planos

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 39

Vetores Planos

ESCALARES E VETORES

Quantidades como tempo, temperatura e valor absoluto de velocidade, que têm apenas magnitude, são chamadas de escalares. Quantidades como força, velocidade e aceleração, que têm tanto magnitude quanto direção, são chamadas de vetores. Vetores são representados geometricamente por segmentos de retas com direção (setas). A direção da seta (o ângulo que ela forma com alguma reta fixa do plano) é a direção do vetor, e o comprimento da seta representa a magnitude dele.†

Escalares são denotados por letras a, b, c,... na notação comum; vetores são denotados por letras em negrito a, b, c,... ou por qualquer expressão da forma OP (onde é assumido que o vetor vai de O a P. Ver Fig. 39-1(a).) A magnitude (comprimento) de um vetor a ou OP é denotada como ⱍaⱍ ou ⱍOPⱍ.

Figura 39-1

Dois vetores a e b são considerados iguais (e escrevemos a = b) se possuem a mesma direção e magnitude. Um vetor cuja magnitude seja a mesma de a, mas que tem direção oposta a esse vetor, é chamado de negativo de a, e é denotado como −a. (Ver Fig. 39-1(a).)

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Capítulo 18 - Funções Trigonométricas Inversas

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 18

Funções Trigonométricas Inversas

Seno e cosseno, bem como as demais funções trigonométricas, não são injetoras e, portanto, não admitem inversas.

Contudo, é possível restringir o domínio de funções trigonométricas de tal forma que elas se tornem injetoras.

Observando o gráfico de y = sen x (ver Fig. 17-2), notamos que, no intervalo –π/2 ≤ x ≤ π/2, a restrição de sen x é injetora. Então, definimos sen–1 x como sendo a função inversa correspondente. O domínio dessa função é [–1,

1], que é a imagem de sen x. Logo,

–1

1. sen (x) = y se, e somente se, sen y = x.

–1

2. O domínio de sen x é [–1, 1].

–1

3. A imagem de sen x é [–π/2, π/2].

–1

O gráfico de sen x é obtido a partir do gráfico de sen x via reflexão na reta y = x. Ver Fig. 18-1.

y = sen–1 x

Figura 18-1

Exemplo 18.1 Em geral, sen x = número y em [–π/2, π/2] tal que y = x. Em particular, sen 0 = 0, sen 1 = π/2,

–1

–1

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Capítulo 10 - Regras para Diferenciação de Funções

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 10

Regras para Diferenciação de Funções

DIFERENCIAÇÃO

Lembre-se de que uma função f é dita diferenciável em x0 se a derivada f ′(x0) existe. Uma função é dita diferenciável em um conjunto se ela é diferenciável em todos os pontos do conjunto. Se dissermos que uma função é diferenciável, isso significa que ela é diferenciável em cada número real.† O processo de encontrar a derivada de uma função se chama diferenciação.††

Nas fórmulas a seguir, é considerado que u, v e w são funções diferenciáveis em x; c e m são assumidas como constantes.

Teorema 10.1 (fórmulas de diferenciação)

(1)

(A derivada de uma função constante é zero.)

(2)

(A derivada da função identidade é 1.)

(3)

(4)

(Regra da soma)

(5)

(Regra da diferença)

(6)

(Regra do produto)

(7)

desde que

(8)

desde que

(9)

(Regra da potência)

(Regra do quociente)

Note que a fórmula (8) é um caso especial da fórmula (9) quando m = −1. Para demonstrações, ver Problemas 1-4.

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Capítulo 22 - Antiderivadas

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 22

Antiderivadas

Se F′(x) = f(x), então F é chamada de antiderivada de f. x3 é uma antiderivada de 3x2, uma vez que Dx(x3) = 3x2. Mas x3 + 5 também é uma antiderivada de

3x , já que Dx(5) = 0.

Exemplo 22.1

2

(I) No caso geral, se F(x) é uma antiderivada de f(x), então F(x) + C também o é, onde C é uma constante qualquer.

(II) Por outro lado, se F(x) é uma antiderivada de f(x), e se G(x) é qualquer outra antiderivada de f(x), então G(x)

= F(x) + C, para alguma constante C.

A propriedade (II) segue do Problema 13 do Capítulo 18, uma vez que F′(x) = f(x) = G′(x).

A partir das propriedades (I) e (II), vemos que, se F(x) é uma antiderivada de f(x), então as antiderivadas de f(x) são precisamente as funções da forma F(x) + C, para uma constante C arbitrária.

Notação

f (x) dx denotará qualquer antiderivada de f(x). Nessa notação, f(x) é chamada de integrando.

Terminologia: Uma antiderivada

f (x) dx também é chamada de integral indefinida.

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Capítulo 54 - Integrais Duplas e Iteradas

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 54

Integrais Duplas e Iteradas

A INTEGRAL DUPLA

Considere uma função z = f(x, y) que é contínua em uma região cotada R do plano xy. Defina uma partição � de R esboçando uma grade com linhas horizontais e verticais. Isso divide a região em n sub-regiões R1, R2,…, Rn de

áreas Δ1A, Δ2A,…, ΔnA, respectivamente. (Ver Fig. 54-1.) Em cada sub-região, Rk, escolha um ponto Pk(xk, yk) e forme a soma

(54.1)

Defina o diâmetro de uma sub-região como a maior distância entre dois pontos quaisquer no interior ou na fronteira, e denote por d� o diâmetro máximo das sub-regiões. Suponha que selecionamos partições tais que que d� → 0 e n → +∞. (Em outras palavras, escolhemos cada vez mais sub-regiões e fazemos seus diâmetros cada vez menores.) Então a integral dupla de f(x, y) sobre R é definida como

(54.2)

Figura 54-1

Essa não é uma definição de limite genuína. O que (54.2) realmente diz é que

é um número tal que,

para qualquer ⑀ > 0, existe um inteiro positivo n0 tal que, para todo n ≥ n0 e para toda partição com d� < 1/n0, e qualquer soma aproximada

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Capítulo 55 - Centroides e Momentos de Inércia de Áreas Planas

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 55

Centroides e Momentos de

Inércia de Áreas Planas

ÁREA PLANA POR DUPLA INTEGRAÇÃO

Se f(x, y) = 1, a integral dupla do Capítulo 54 torna-se

Em unidades cúbicas, isso mede o volume de um ci-

lindro de altura unitária; em unidades quadradas, isso mede a área A da região R.

Em coordenadas polares

onde θ = α, θ = β, ρ = ρ1(θ) e ρ = ρ2(θ) são escolhidos como fronteira da região R.

CENTROIDES

A centroide de uma região plana R é intuitivamente definido da seguinte maneira. Se R tem uma densidade unitária uniforme e se R é apoiada em baixo pelo ponto então R se equilibra (isto é, R não rotaciona). considere antes a reta vertical

Se dividimos R em sub-regiões R1,…, Rn, de áreas

Para localizar

Δ1A,…, ΔnA, como no Capítulo 54, e se selecionamos pontos (xk, yk) em cada Rk, então o momento (força rotacional) de Rk sobre a reta

é aproximadamente

Logo, o momento de R em torno de

é, aproxiFazendo a partição de R cada vez mais fina, temos

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