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Medium 9788565837736

Capítulo 8 - Teoria dos Grafos

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 8

Teoria dos Grafos

8.1

INTRODUÇÃO, ESTRUTURAS DE DADOS

Grafos, grafos orientados, árvores e árvores binárias aparecem em muitas áeras da matemática e da ciência da computação. Este e os próximos dois capítulos cobrem tais tópicos. Contudo, para entender como esses objetos podem ser armazenados em memória e para compreender algoritmos sobre eles, precisamos conhecer um pouco sobre certas estruturas de dados. Assumimos que o leitor compreenda arrays lineares e bidimensionais;† logo, discutimos a seguir apenas listas ligadas e apontadores (ou ponteiros), bem como pilhas e filas.

Listas ligadas e apontadores

Listas ligadas e apontadores são introduzidos por meio de um exemplo. Suponha que uma empresa de corretores mantenha um arquivo no qual cada registro contém um nome de cliente e vendedor; digamos que o arquivo contenha os seguintes dados:

Cliente

Adams

Brown

Clark

Drew

Evans

Farmer

Geller

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Medium 9788540700789

Capítulo 9 - Implementação abstrata de tipos abstratos de dados

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

9

implementação abstrata de tipos abstratos de dados

A especificação de um tipo de dado abstrato

SPEC pode ser “implementada” usando a especificação de outro tipo de dado X-SPEC.

A especificação SPEC’ é a especificação X-SPEC, estendida com as operações de SPEC.

Deve-se estabelecer uma correspondência entre os valores de SPEC’ e os valores de SPEC. Esta relação é uma função de abstração.

Assim, é possível provar que SPEC’ é uma implementação correta de SPEC.

Supondo que X-SPEC tenha uma implementação em alguma linguagem de programação, a implementação de SPEC’, na mesma linguagem,

é trivial.

■ ■

172

Introdução à Abstração de Dados

A “implementação” de tipos de dados deve ser entendida como o processo de criar representações. Por exemplo, se QUEUE' é uma representação de QUEUE, então QUEUE' se comporta como QUEUE, ou QUEUE' é uma implementação de QUEUE. Um tipo de dado é representado pela extensão de algum outro tipo. Por exemplo, QUEUE' é uma extensão do tipo LISTS e tem todas as operações do tipo QUEUE.

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Medium 9788521635550

2 - Sistemas lineares

CAMPOS FILHO, Frederico Ferreira Grupo Gen PDF Criptografado

Capı́tulo 2

Sistemas lineares

A solução de sistema de equações algébricas lineares é provavelmente o processo numérico mais utilizado para simular situações do mundo real. É uma etapa fundamental na resolução de vários problemas que envolvam, por exemplo, equações diferenciais parciais, otimização, regressão linear e não linear e sistemas de equações não lineares. Geralmente, a solução do sistema linear é a fase que demanda a maior parte do tempo de processamento para resolver o problema. Portanto, é de extrema importância que se tenha uma implementação eficiente do método. Serão abordados os principais métodos diretos e alguns métodos iterativos usados na solução de sistemas. O Capı́tulo Sistemas lineares é composto pelas seções:

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.1

Conceitos fundamentais

Sistemas triangulares

Eliminação de Gauss

Decomposição LU

Decomposição de Cholesky

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Medium 9788577809264

45 limites, continuidade, derivadas

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

389

CAPÍTULO 45 • LIMITES, CONTINUIDADE, DERIVADAS

LIMITES INFINITOS

Se os valores assumidos por uma função f(x) se tornam arbitrariamente grandes e positivos, quando os valores de entrada x se tornam arbitrariamente próximos de a, então diz-se que o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito

(positivo), o que se escreve como

. Se os valores assumidos por uma função f(x) se tornam arbitrariamente grandes e negativos quando os valores de entrada x arbitrariamente se aproximam de a, então diz-se que o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito negativo, o que se escreve como

.

Exemplo 45.6

, uma vez que

pode ser arbitrariamente grande quando os valores de x

ficam arbitrariamente próximos de 3, como sugerido na tabela a seguir: x

2,5

2,9

2,99

2,999

3,5

3,1

3,01

3,001

4

100

10.000

1.000.000

4

100

10.000

1.000.000

LIMITES INFINITOS UNILATERAIS

1. Se os valores assumidos por uma função f(x) se tornam arbitrariamente grandes e positivos quando os valores de entrada x ficam arbitrariamente próximos de a (mas maiores), diz-se que o limite de f(x) quando x tende a a pela direita, é infinito (positivo), o que se escreve como

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Medium 9788521633693

7 - Sistemas de Equações na Engenharia

Kuldip S. Rattan, Nathan W. Klingbeil Grupo Gen PDF Criptografado

Sistemas de Equações na Engenharia

CAPÍTULO

7

7.1 INTRODUÇÃO

A solução de um sistema de equações lineares é um assunto importante em todos os ramos da engenharia. Neste capítulo, resolveremos sistemas de equações 2 × 2 usando quatro métodos distintos: método da substituição, método gráfico, método da álgebra matricial e regra de Cramer.

Assumimos que o aluno tenha familiaridade com os métodos da substituição e gráfico, do curso de álgebra do ensino médio. Explicaremos o método da álgebra matricial e a regra de Cramer em detalhe. Neste capítulo, nosso objetivo é capacitar os alunos a resolverem sistemas de equações encontrados em cursos iniciais do currículo de engenharia, como física, estática, dinâmica e análise de circuitos DC. Embora os exemplos apresentados sejam limitados a sistemas de equações 2 ×

2, a abordagem da álgebra matricial é aplicável a sistemas lineares com um número qualquer de incógnitas e é adequado a implementação imediata em MATLAB.

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Medium 9788521631279

Capítulo 2. Juros Simples

Jarbas Thaunahy Santos de Almeida Grupo Gen PDF Criptografado

Juros Simples

2

Por juros entende-se toda e qualquer remuneração de um capital. Pode ser entendido também como o pagamento de um indivíduo pelo uso do capital de outro.

O uso do capital pode ser realizado por intermédio de um investimento em uma instituição financeira (caderneta de poupança, ações, renda fixa, entre outros), de um empréstimo realizado por intermediação de uma financiadora ou de empréstimos pessoais.

2.1 Introdução

Nas operações que envolvem os juros, há sempre dois ‘agentes’: o tomador de recursos (que paga os juros) e o emprestador de recursos (que recebe os juros). Ambos podem ser pessoas físicas (PF) ou jurídicas (PJ).

Vale lembrar que o agente (PF ou PJ) que em uma operação é o tomador em outra operação pode ser o emprestador.

O emprestador do capital, ao calcular o valor dos juros do empréstimo, deve considerar vários fatores, dentre os quais se destacam:

  o risco do empréstimo, isto é, a probabilidade de receber ou não o capital emprestado;

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Medium 9788560031474

Capítulo 16. Análise de Séries Temporais e Projeção de Resultados

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 16

Análise de Séries Temporais e

Projeção de Resultados

16.1 O MODELO CLÁSSICO DE ANÁLISE DE SÉRIES TEMPORAIS

Uma série temporal é um conjunto de valores observados, tais como dados de vendas ou produção, para uma série seqüencialmente ordenada de períodos de tempo. Exemplos desses dados são as vendas de um produto particular para uma série de meses e o número de trabalhadores empregados em uma determinada indústria para uma série de anos. Uma série temporal é graficamente ilustrada por um gráfico de linha (ver Seção 2.11), com os períodos de tempo representados no eixo horizontal e os valores da série temporal representados no eixo vertical.

Exemplo 1 A Fig. 16-1 é um gráfico de linha que ilustra as vendas anuais em dólares de uma empresa de programas gráficos (fictícia) que foi incorporada em 1990. Como pode ser observado, um pico nas vendas anuais foi obtido em 1995, seguido por dois anos de vendas em declive que terminaram na depressão em 1997, a qual foi seguida pelo crescimento dos níveis de vendas durante os últimos três anos dos valores divulgados da série temporal.

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Medium 9788521634249

7 - Estimativas e Tamanhos Amostrais

Mario F. Triola Grupo Gen PDF Criptografado

problema do capítulo

Pesquisa: Você sabe o que é o Twitter?

O Pew Research Center realizou recentemente

7

uma pesquisa com 1.007 adultos nos Estados Unidos e concluiu que 85% dos

entrevistados sabem o que é o Twitter. Com base nos resultados dessa pesquisa,

reportagens dos meios de comunicação sugeriram que 85% da população adulta

sabem o que é o Twitter. Como eles sabem isso? Eles obtiveram, de alguma maneira, resultados de pesquisa com a população de todos os adultos nos Estados Unidos?

Não. Essas reportagens da mídia são estimativas baseadas nos resultados da pesquisa.

Atualmente, há 241.472.385 adultos nos Estados Unidos. Como a pesquisa sobre o Twitter envolveu apenas 1.007 respondentes, vemos que apenas 0,0004% da população foram entrevistados. É natural questionar-se a precisão dos resultados com base em uma amostra que é tão pequena, quando comparada com o tamanho gigantesco da população. Estatística para o socorro! Usando métodos apresentados neste capítulo, podemos responder a questões como as seguintes:

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Medium 9788577809264

33 sistemas de equações não lineares

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 33

Sistemas de Equações Não Lineares

DEFINIÇÃO DE SISTEMAS NÃO LINEARES DE EQUAÇÕES

Um sistema de equações no qual qualquer uma das equações é não linear é um sistema não linear. Um sistema não linear pode não ter soluções, ter um conjunto infinito de soluções ou qualquer número de soluções reais ou complexas.

SOLUÇÕES DE SISTEMAS NÃO LINEARES COM DUAS VARIÁVEIS

Soluções de sistemas não lineares com duas variáveis podem ser encontradas por meio de três métodos:

1. Método gráfico. Desenhe no gráfico cada equação. As coordenadas de quaisquer pontos de interseção podem ser lidas do gráfico. Após verificar cada equação por substituição, essas coordenadas são soluções reais do sistema. Normalmente, apenas aproximações de soluções reais podem ser encontradas por esse método, mas quando os métodos algébricos abaixo falham, esse método ainda pode ser usado.

2. Método da substituição. Em uma equação, isole uma variável em termos das outras. Substitua essa expressão nas outras equações para determinar o valor da primeira variável (se possível). Então, substitua esse valor para determinar a outra variável.

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Medium 9788597014020

5 - Medidas de Dispersão

SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; GONÇALVES, Valter; MUROLO, Afrânio Carlos Grupo Gen PDF Criptografado

5

MEDIDAS DE

DISPERSÃO

A representação da série estatística pela medida de tendência central é mais eficiente conforme seja maior a concentração dos elementos em torno dessa medida. Para medir essa eficiência devemos quantificar essa concentração.

Os objetivos deste capítulo são:

1. Calcular cada uma das medidas de concentração propostas.

2. Interpretar corretamente a medida calculada, no contexto do fenômeno estudado.

O estudante deverá dar ênfase especial ao desvio-padrão e testar seus conhecimentos resolvendo os exercícios do capítulo.

5.1 INTRODUÇÃO

Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não são suficientes para caracterizar totalmente uma sequência numérica.

Se observarmos as sequências:

X: 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10.

Y: 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13.

Z: 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13. concluiremos que todas possuem a mesma média 13.

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Medium 9788577806959

4: tg x (x em graus e minutos)

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

4

tg x (x em graus e minutos)

0,

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Medium 9788586804922

4.5 Ortogonalidade

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap04_PORTUGUES.qxd

31.08.56

10:59 AM

Page 199

199

4.5 Ortogonalidade

18. Seja A uma matriz m × n . a) Se postoA = m, mostre que AB = Im para alguma matriz

c) Prove que im(AT) = im(ATA). [Sugestão: Mostre que

im(ATA) ⊆ im(AT) e aplique o Teorema 4 da Seção 4.3.]

n × m B. [Sugestão: Teorema 4 (4).] b) Se AB = Im para alguma matriz n × m B , mostre que postoA = m. [Sugestão: Exercício 14 b).]

20. Para uma matriz A de tamanho m × n , pode ser provado que

existe uma única matriz n × m A# tal que AA#A = A,

A#AA# = A# com ambas AA# e A#A simétricas. A matriz A# é chamada inversa de Moore-Penrose de A. a) Se A é quadrada e inversível, mostre que A# = A−1 . b) Se postoA = m, mostre que A# = AT (AAT )−1. c) Se postoA = n, mostre que A# = (AT A)−1AT .

19. Seja A uma matriz m × n . a) Mostre que anul(ATA) = anul(A).[Sugestão: Use a

demonstração de (3)⇒(4) do Teorema 3.] b) Conclua que posto(ATA) = postoA.

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Medium 9788565837736

Apêndice B - Sistemas Algébricos

Seymour Lipschutz; Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Apêndice B

Sistemas Algébricos

B.1

INTRODUÇÃO

Este apêndice investiga alguns dos mais importantes sistemas algébricos na matemática: semigrupos, grupos, anéis e corpos. Definimos também as noções de homomorfismo e de estrutura quociente. Começamos com a definição formal de uma operação e discutimos vários tipos de operações.

B.2

OPERAÇÕES

O leitor está familiarizado com as operações de adição e multiplicação de números, união e interseção de conjuntos, e a composição de funções. Essas operações são denotadas como se segue: a + b = c,

a · b = c,

A ∪ B = C, A ∩ B = C,

g o f = h.

Em cada situação, um elemento (c, C ou h) é associado a um par original de elementos. Desenvolvemos maior precisão a essa noção.

Definição B.1: Seja S um conjunto não vazio. Uma operação em S é uma função ∗ de S × S em S. Em tal caso, em

vez de ∗ (a, b), escrevemos normalmente

a ∗ b ou, às vezes, ab

O conjunto S e uma operação ∗ em S é denotada por (S, ∗), ou apenas S, quando a operação é entendida.

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Medium 9788521625292

CAPÍTULO 2 - TAXAS DE VARIAÇÃO E FUNÇÕES LINEARES

Linda Almgren Kime, Judith Clark, Beverly K. Michael Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO 2

TAXAS DE VARIAÇÃO e FUNÇÕES LINEARES

VISÃO GERAL

Como a população dos Estados Unidos varia ao longo do tempo? Como a altura das crianças se altera

à medida que elas crescem? Taxas médias de variação fornecem uma ferramenta para medir como a mudança de uma variável afeta uma segunda variável. Quando as taxas médias de variação são constantes, a relação é linear.

Após a leitura deste capítulo, você deverá ser capaz de

• calcular e interpretar taxas médias de variação

• entender como representações de dados podem ser tendenciosas

• reconhecer que uma taxa constante de variação indica uma relação linear

• representar funções lineares com equações, tabelas, gráficos ou palavras

• deduzir, à mão, um modelo linear para um conjunto de dados

• usar retas de regressão para resumir tendências lineares a partir de gráficos de dispersão

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60   Capítulo 2

2.1  Taxas Médias* de Variação

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Medium 9788582603321

Capítulo 3 - Juros simples

Manuela Longoni de Castro, Wili Dal Zot Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

3

JUROS SIMPLES

3.1 Introdução

CONCEITO 3.1 Se o cálculo do juro é feito com base apenas no principal original, mas é pago ao final do empréstimo, o denominamos juros simples. (GUTHRIE; LEMON, 2004, p. 5) Assim, no regime de juros simples, não há cálculo de juros a partir de juros. Além disso, os juros são pagos ao final do período.

Diz-se que os juros não são capitalizados1 ou, segundo alguns autores, são capitalizados apenas na liquidação final do empréstimo, de modo a não gerarem novos juros no período considerado (DAL ZOT, 2008, p. 31).

Os juros simples são conhecidos também como lineares ou ordinários.

3.2 Fórmulas principais

Considere o financiamento de R$ 10.000,00, a uma taxa de juros simples de 30% ao ano, a ser pago ao final de 4 anos. Uma forma de demonstrar a evolução da dívida é apresentar todas as datas em que possa ocorrer uma alteração de valor nos saldos. Essa forma de apresentação tem diversas denominações: plano financeiro, conta gráfica ou memória de cálculo.

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