543 capítulos
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Medium 9788521636946

10 Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Em muitos problemas físicos importantes, existem duas ou mais variáveis independentes, de modo que o modelo matemático correspondente envolve equações diferenciais parciais, em vez de ordinárias. Este capítulo trata de um método importante para resolver equações diferenciais parciais, conhecido como método de separação de variáveis. Sua característica essencial é a substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que têm que ser resolvidas sujeitas a condições iniciais ou de contorno. A primeira seção deste capítulo trata de algumas propriedades básicas de problemas de valores de contorno para equações diferenciais ordinárias. A solução desejada da equação diferencial parcial é expressa, então, como uma soma, em geral uma série infinita, formada por soluções das equações diferenciais ordinárias. Em muitos casos, acabaremos tendo que lidar com uma série em senos e/ou cossenos, de modo que parte deste capítulo é dedicada a uma discussão de tais séries, conhecidas como séries de Fourier. Após o estudo da base matemática necessária, ilustramos o uso do método de separação de variáveis em diversos problemas ligados à condução de calor, à propagação de ondas e à teoria do potencial.

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Medium 9788577806959

10: Fórmulas da GeometriaAnalítica Espacial

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Fórmulas da Geometria

Analítica Espacial

10

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.1

Fig. 10-1

Cossenos diretores de uma reta ligando os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2)

10.2 onde �, �, � são os ângulos que a linha P1 P2 faz com os eixos x, y e z, respectivamente, e d é dado por 10.1 [ver Fig. 10-1].

Relação entre os cossenos diretores

10.3

Números diretores

Os números L, M e N, os quais são proporcionais aos cossenos diretores l, m e n, são chamados de números diretores. A relação entre eles é dada por

10.4

46

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma padrão

10.5

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

Equações da reta ligando P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) na forma paramétrica

10.6 x � x1 � lt, y � y1 � mt, z � z1 � nt

Estas também são válidas se l, m e n forem substituídos por L, M e N, respectivamente.

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Medium 9788577806959

10: Integrais Exponencial,Seno e Cosseno

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

10

Integrais Exponencial,

Seno e Cosseno

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Medium 9788577804825

10. Retas e Planos

Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira Grupo A PDF Criptografado

178  Geometria Analítica

Reescrevendo a Equação 10.1 em termos das coordenadas dos pontos P e

Q e do vetor v, temos:

e, pela igualdade dos vetores, obtemos:

(10.2) denominadas equações paramétricas da reta r, que passam pelo ponto

Q(x0, y0, z0) e tem direção dada pelo vetor v = (a, b, c). São denominadas equações paramétricas porque as coordenadas (x, y, z) de cada ponto da reta são dadas em função da variável t, denominada parâmetro.

Exemplo 10.1 Determine as equações paramétricas da reta r que passa por

Q(1, −3, 2) e tem direção dada pelo vetor v = (−4, 3, 2).

Substituindo as coordenadas do ponto e do vetor na Equação 10.2 obtemos:

Dadas as equações paramétricas de uma reta, para cada valor do parâmetro t obtemos um ponto da reta, e, reciprocamente, cada ponto da reta corresponde a um valor do parâmetro t. Assim, quando o parâmetro t varia no intervalo real −ϱ < t < ϱ, as equações paramétricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da reta. Deste ponto em diante, omitiremos o intervalo de variação do parâmetro ao escrevermos a equação de uma reta*.

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Medium 9788521635437

10 - rimitivas

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Primitivas

 10.1   Relação entre Funções com Derivadas Iguais

Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero. Entretanto, uma função pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domínio e não ser constante; por exemplo

é tal que f 9(x) 5 0 em todo x no seu domínio, mas f não é constante. O próximo teorema, que

é uma consequência do TVM, conta-nos que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo, então f será constante neste intervalo.

Teorema. Seja f contínua no intervalo I. Se f 9(x) 5 0 em todo x interior a I, então existirá uma constante k tal que f (x) 5 k para todo x em I.

Demonstração

Seja x0 um ponto fixo em I. Vamos provar que, para todo x em I, f (x) 5 f (x0), o que significará que f é constante em I. Para todo x em I, x  x0, existe, pelo TVM, um pertencente ao intervalo aberto de extremos x e x0 tal que f (x) 2 f (x0) 5

(x 2 x0).

(Observe que de acordo com a hipótese, f é contínua no intervalo fechado de extremos x e x0 e derivável no intervalo aberto de mesmos extremos.)

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Medium 9788536307039

10. Vai-e-Volta

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

66

Smole, Diniz & Cândido

4. Cada jogador poderá movimentar apenas uma casa em cada jogada, para frente, para trás, para os lados ou em diagonal.

5. Vencerá, o jogador que conseguir alcançar a linha de chegada primeiro.

ALGUMAS EXPLORAÇÕES POSSÍVEIS

Consulte as sugestões feitas para o jogo Paraquedas.

Esse é um jogo que pode ser explorado muitas vezes pelos alunos de 2o e 3o anos. Não esperamos que em seus registros eles utilizem os parênteses, mas que estimem as respostas e trabalhem com as ideias de adição e subtração.

Vale sugerir que eles registrem cada etapa do jogo contando como fizeram os cálculos. Esses registros podem ser socializados e utilizados para que os alunos aprendam uns com os outros as diferentes formas de calcular.

VARIAÇÕES DO JOGO

1. Você pode utilizar dados convencionais e um tabuleiro com números variando de 1 a 10.

2. Pode também confeccionar dados com números maiores e aumentar o valor dos números que aparecem no tabuleiro. Por exemplo, podem ser feitos dados com as faces valendo 100, 200, 300, 400, 500 e 600, garantindo que as faces opostas somem 700. O dado ficaria assim:

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Medium 9788536307039

11. Batalha de Operações

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

E

fetuar subtrações, adições e multiplicações mentalmente, construir os fatos fundamentais da subtração, da adição ou da multiplicação a partir de situações-problema.

Este jogo auxilia o aluno a desenvolver agilidade no cálculo mental, o que consideramos muito importante, visto que os procedimentos de cálculo mental apoiam-se nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações.

Organização da classe: em duplas

Recursos necessários: um jogo de 20 cartas (duas de cada valor), com as cartas sendo múltiplos de 2, 5 ou 10.

Meta: conseguir o maior número de cartas no final do jogo.

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS

1. Ao iniciar o jogo, combina-se com a classe, ou entre as duplas de jogadores, a operação que será utilizada durante a partida (adição, subtração ou multiplicação).

2. As cartas são embaralhadas e distribuídas aos jogadores, sendo 10 para cada um.

3. Sem olhar, cada jogador forma à sua frente uma pilha com as suas cartas viradas para baixo.

4. A um sinal combinado, os dois jogadores simultaneamente viram as primeiras cartas de suas respectivas pilhas. O jogador que primeiro disser o resultado da subtração, da adição ou da multiplicação entre os números mostrados nas duas cartas fica com elas.

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Medium 9788577806959

11: Fatorial de n

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção II: Fatorial, Função Gama e Coeficientes Binomiais

11

Fatorial de n n! ⫽ 1 • 2 • 3 • … • n

(por definição)

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Medium 9788521635437

11 - Integral de Riemann

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

11

Integral de Riemann

vídeos 22.1 e 22.2

Neste capítulo introduziremos o conceito de integral de Riemann e estudaremos algumas de suas propriedades. A integral tem muitas aplicações tanto na geometria (cálculo de áreas, comprimento de arco etc.) como na física (cálculo de trabalho, de massa etc.), como veremos.

 11.1   Partição de um Intervalo

Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P 5 {x0, x1, x2, …, xn} em que a 5 x0 , x1 , x2 , … , xn 5 b.

Uma partição P de [a, b] divide [a, b] em n intervalos [xi 2 1, xi], i 5 1, 2, …, n.

... a = x0

x1

x2

... xi – 1

xi

xn – 1

xn = b

A amplitude do intervalo [xi 2 1, xi] será indicada por Dxi 5 xi 2 xi 2 1. Assim:

Dx1 5 x1 2 x0, Dx2 5 x2 2 x1 etc.

Os números Dx1, Dx2, …, Dxn não são necessariamente iguais; o maior deles denomina-se amplitude da partição P e indica-se por máx Dxi.

Uma partição P 5 {x0, x1, x2, …, xn} de [a, b] será indicada simplesmente por

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Medium 9788577806959

11: Momentos deInércia Especiais

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

11

Momentos de

Inércia Especiais

A tabela abaixo mostra os momentos de inércia de vários corpos rígidos de massa M. Em todos os casos, supõe-se que o corpo tem densidade uniforme, isto é, constante.

Tipo de corpo rígido

11.1

Vara delgada de comprimento a

(a)

em torno do eixo perpendicular à vara, através do centro da massa

(b)

em torno do eixo perpendicular à vara, através de uma extremidade

11.2

Paralelepípedo retangular de lados a, b e c

(a)

em torno do eixo paralelo a c e através do centro da face ab

(b)

em torno do eixo através do centro da face bc e paralelo a c

11.3

Placa retangular delgada de lados a, b

(a)

em torno do eixo perpendicular à placa, através do centro

(b)

em torno do eixo paralelo ao lado b, através do centro

11.4

Cilindro circular de raio a e altura h

(a)

em torno do eixo do cilindro

(b)

em torno do eixo através do centro da massa e perpendicular ao eixo cilíndrico

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Medium 9788521636946

11 Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Depois de separar as variáveis em uma equação diferencial parcial no Capítulo 10, encontramos diversas vezes a equação diferencial

com as condições de contorno

Este problema de valores de contorno é o protótipo de uma classe grande de problemas importantes em Matemática aplicada, conhecidos como problemas de valores de contorno de Sturm-Liouville. Neste capítulo, vamos discutir as propriedades mais importantes dos problemas de Sturm-Liouville, inclusive existência e unicidade de soluções; no processo, seremos capazes de generalizar um pouco o método de separação de variáveis para equações diferenciais parciais.

No Capítulo 10, descrevemos o método de separação de variáveis como um modo de resolver alguns problemas envolvendo equações diferenciais parciais. O problema de condução de calor, consistindo na equação diferencial parcial

sujeita às condições de contorno

e à condição inicial

é um exemplo típico dos problemas considerados aqui. Uma parte crucial no processo de resolução de tais problemas é encontrar os autovalores e autofunções da equação diferencial

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Medium 9788536307039

12. Adivinhe a multiplicação

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

Jogos de Matemática de 1o a 5o Ano

75

Quando terminarem, proponha que comentem como foi o jogo, se deu tudo certo, se os trios têm alguma dúvida, etc. Apresente, então, as regras descritas a seguir e peça que comparem com o texto da aluna Tatiana, observando se há algum detalhe importante da regra do qual ela não se lembrou.

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS:

1. Esse é um jogo para trios, havendo dois jogadores e um juiz. Os alunos decidem quem será o juiz.

2. O juiz embaralha e dá metade das cartas para cada jogador. Nenhum jogador vê as cartas que tem.

3. Os dois jogadores que receberam as cartas sentam-se um em frente ao outro, cada um segurando seu monte de cartas viradas para baixo. O terceiro jogador fica de frente para os dois jogadores, de modo que possa ver o rosto dos dois.

4. A um sinal do juiz, os dois jogadores pegam a carta de cima de seus respectivos montes e falam “Adivinhe”, segurando-as perto de seus rostos de maneira que possam ver somente a carta do adversário.

5. O juiz usa os dois números à mostra e diz o produto. Cada jogador tenta deduzir o número de sua própria carta apenas olhando a carta do adversário e conhecendo o produto falado pelo juiz. Por exemplo, um jogador viu um 6, o outro viu um 5 e o produto dito pelo juiz foi 30. O jogador, para levar as duas cartas, deve dizer 6 e 5 ou 5 e 6.

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Medium 9788577806959

12: Funções Trigonométricas

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção III: Funções Transcendentes Elementares

12

Funções Trigonométricas

Definição das funções trigonométricas para um triângulo retângulo

O triângulo ABC tem um ângulo reto (90º) em C e lados de comprimento a, b e c. As funções trigonométricas do ângulo A são definidas como segue:

12.1 seno de A ⫽ sen

12.2 cosseno de A ⫽ cos

12.3 tangente de A ⫽ tg

12.4 cotangente de A ⫽ cotg

12.5 secante de A ⫽ sec

12.6 cossecante de A ⫽ cosec

Fig. 12-1

Extensões a ângulos que podem ser maiores do que 90o

Considere um sistema de coordenadas xy [ver Figuras 12-2 e 12-3]. O ponto P no plano xy tem coordenadas (x, y), onde x é considerado como positivo ao longo de OX e negativo ao longo de OX´, enquanto y é considerado positivo ao longo de OY e negativo ao longo de OY´. A distância da origem O ao ponto P é

. O ângulo A descrito no sentido anti-horário a partir de OX é consipositiva e denotada por derado positivo. Se for descrito no sentido horário a partir de OX é considerado negativo. Denominamos

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Medium 9788577806959

12: Função Gama

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

12

Função Gama

[Para outros valores, use a fórmula

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Medium 9788521635437

12 - Técnicas de Primitivação

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

12

Técnicas de Primitivação

 12.1   Primitivas Imediatas

Sejam a  0 e c e k constantes reais. Das fórmulas de derivação já vistas seguem as seguintes de primitivação: a)

5 cx 1 k

b)

c)

5 ex 1 k

d)

5 ln x 1 k (x . 0)

e)

5 ln (2x) 1 k (x , 0)

f )

5

g)

5 sen x 1 k

h)

i)

5 tg x 1 k

j)

l)

1 k

5

n)

m)

5 arctg x 1 k

1 k (a  21)

5

1k

5 2cos x 1 k

5 sec x 1 k

5

o)

1k

5 arcsen x 1 k

Exemplo 1   Calcule. a)

b)

c)

b)

5 x 1 k.

c)

Solução a)

5

012GuidorizziV1-junto1e2.indd 330

1 k.

5 sen x 1 k.

22/04/18domingo 11:42

Técnicas de Primitivação

331

Antes de passarmos ao próximo exemplo, lembramos que o domínio da função que ocorre no integrando de e f (x) dx deve ser sempre um intervalo; quando nada for mencionado a respeito do domínio de f , ficará implícito que se trata de um intervalo.

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