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Medium 9788582602362

Capítulo 10 - Teorema de Tales

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

capítulo 10

Teorema de Tales

Neste capítulo, abordamos a aplicação do Teorema de Tales, atribuído a Tales de

Mileto, filósofo que viveu na Grécia Antiga, por volta de 630 a.C.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar o Teorema de Tales e aplicá-lo a situações do cotidiano.

Resolver cálculos empregando esse teorema.

Introdução

Em um plano, definimos como feixe de paralelas um conjunto de retas paralelas. Uma reta que concorre com todas essas paralelas é chamada de transversal.

Segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos dessas transversais que estão compreendidos entre duas paralelas do feixe.

Teorema

A razão entre dois segmentos quaisquer de uma reta transversal é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra, em um feixe de paralelas. u

r

DICA

a

As propriedades da proporção nos permitem reescrever essas relações de várias formas diferentes:

b = b' ou a = b a a' a' b' entre outras.

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Medium 9788582604595

Capítulo 7 - Técnicas de integração

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

7  TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

N

a Seção 5.7, introduzimos a substituição, que é uma das mais importantes técnicas de integração. Neste capítulo, desenvolvemos uma segunda técnica fundamental, a integração por partes, bem como várias técnicas para tratar classes particulares de funções, tais como funções trigonométricas e racionais. Contudo, não existe um método infalível e, de fato, muitas antiderivadas importantes nem podem ser dadas em termos elementares. Por isso, discutimos a integração numérica na última seção. Qualquer integral definida pode ser aproximada numericamente com qualquer grau de precisão desejado.

7.1  Integração por partes

Na projeção de Mercator da Terra, um ponto localizado a y unidades radiais do

Equador corresponde a um ponto do globo terrestre com latitude dada pelo gudermanniano, que é a função definida por

(Photodisc/Getty Images)

Nesta seção, deduzimos uma fórmula que, muitas vezes, permite-nos converter uma integral que não sabemos calcular em uma integral que sabemos calcular. A fórmula da integração por partes decorre da regra do produto.

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Medium 9788540700949

Capítulo 6 - A Integral Definida

Larry J. Goldstein, David C. Lay, David I. Schneider, Nakhlé H. Asmar Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

A INTEGRAL DEFINIDA

6.1 Antiderivação

6.2 Áreas e somas de Riemann

6.3 Integrais definidas e o teorema fundamental

6.4 Áreas no plano xy

6.5 Aplicações da integral definida

E

xistem dois problemas fundamentais no Cálculo, a saber, (1) encontrar a inclinação de uma curva num ponto e (2) encontrar a área de uma região sob uma curva. Esses problemas são bem simples quando a curva é uma reta, como na Figura 1. Tanto a inclinação da reta quanto a área do trapézio sombreado podem ser calculadas por princípios geométricos. Quando o gráfico consiste em vários segmentos de reta, como na Figura 2, a inclinação de cada segmento de reta pode ser calculada separadamente, e a área da região pode ser encontrada somando as áreas das regiões sob cada segmento de reta. y

y

x

Figura 1

x

Figura 2

298

Capítulo 6 • A integral definida

O Cálculo é necessário quando as curvas não são retas. Vimos que o problema da inclinação é resolvido com a derivada de uma função. Neste capítulo, descrevemos como o problema da área está relacionado à noção da “integral” de uma função. Tanto o problema da inclinação quanto o da

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Medium 9788582604984

Capítulo 9 - Análise de agrupamentos

Bryan F. J. Manly, Jorge A. Navarro Alberto Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 9

Análise de agrupamentos

9.1 �Usos de análise de agrupamentos

Suponha que exista uma amostra de n objetos, cada um dos quais tem um escore em p variáveis. Então a ideia de uma análise de agrupamentos é usar os valores das variáveis para planejar um esquema para agrupar os objetos em classes de modo que objetos similares estejam na mesma classe. O método usado precisa ser completamente numérico, e o número de classes não é usualmente conhecido. Este problema é claramente mais difícil do que o problema para uma análise de função discriminante que foi considerado no capítulo anterior, porque para começar com análise de função discriminante, os grupos são conhecidos.

Há muitas razões pelas quais uma análise de agrupamentos pode valer a pena. Pode ser uma questão de encontrar os verdadeiros grupos que presumimos realmente existirem. Por exemplo, em psiquiatria tem havido discordância sobre a classificação de pacientes depressivos, e a análise de agrupamentos tem sido usada para definir grupos objetivos. A análise de agrupamentos pode também ser útil para redução de dados. Por exemplo, um grande número de cidades pode potencialmente ser usado como teste de mercado para um novo produto, mas é somente viável usar algumas. Se colocarmos as cidades em um número pequeno de grupos de cidades similares, então um membro de cada grupo pode ser usado para o teste de mercado. Alternativamente, se a análise de agrupamentos gerar grupos inesperados, então isso poderia, em si mesmo, sugerir relacionamentos a serem investigados.

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Medium 9788521635352

Respostas a Problemas Selecionados

LEON, Steven J. Grupo Gen PDF Criptografado

Respostas a Problemas Selecionados

Capítulo 1

1.1 1. (a) (11, 3)  (b)  (4, 1, 3) 

(d) (22, 3, 0, 3, 1)

(c)  (22, 0, 3, 1)

(d) {(5 2 2a 2 b, a, 4 2 3b, b) | a, b reais}

(e) {(3 – 5a 1 2b, a, b, 6) | a, b reais}

(f) {(a, 2, 21) | a real}

4. (a) x1, x2, x3 são variáveis principais.

(c) x1, x3 são variáveis principais e x2 é uma variável livre.

(e) x1, x4 são variáveis principais e x2, x3 são variáveis livres.

5. (a) (5, 1)  (b) inconsistente  (c) (0, 0)

3. (a) Uma solução. As duas retas se interceptam no ponto (3, 1).

(b) Nenhuma solução. As retas são paralelas.

(c) Número infinito de soluções. Ambas as equações representam a mesma reta.

(d) Nenhuma solução. Cada par de linhas se intercepta em um ponto; entretanto, não há ponto comum às três linhas.

(d)

(e) {(8 2 2a, a 2 5, a)}

(f) inconsistente

(g) inconsistente  (h) inconsistente

(j) {(2 2 6a, 4 1 a, 3 2 a, a)}

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Medium 9788584291281

Ideia fundamental 5 - Modelagem com frações unitárias

Jo Boaler, Jen Munson, Cathy Williams Grupo A PDF Criptografado

Ideia fundamental 5

MODELAGEM

COM FRAÇÕES

UNITÁRIAS

Muitos alunos ficam confusos com frações, e não é difícil entender o porquê. Quando são apresentados às frações como conjuntos de regras e métodos, eles se atrapalham muito.

Quando você multiplica frações, multiplica o numerador e o denominador, mas quando soma frações, não pode somar os numeradores e os denominadores; em vez disso, tem de encontrar denominadores comuns e somar os numeradores. A divisão envolve outro conjunto de regras. Os alunos tentam memorizar essas ideias aparentemente sem sentido e frequentemente ficam confusos. Descobri, em minha prática docente e no trabalho com os alunos, que a ideia mais importante para eles ao aprenderem frações é a de relação. Costumo ensinar que o que há de especial em uma fração é que o numerador está relacionado com o denominador e que não sabemos nada sobre a fração sem saber o que

é essa relação. Uma fração é grande somente se o numerador for uma grande proporção do denominador porque numerador e denominador estão relacionados. Quando são ensinadas as regras sobre como trocar o numerador e como trocar o denominador, eles começam a ver as frações como números separados e perdem a ideia essencial da relação. Nesta ideia fundamental e na próxima, encorajaremos os alunos a ver as frações como uma relação.

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Medium 9788536307039

12. Adivinhe a multiplicação

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

Jogos de Matemática de 1o a 5o Ano

75

Quando terminarem, proponha que comentem como foi o jogo, se deu tudo certo, se os trios têm alguma dúvida, etc. Apresente, então, as regras descritas a seguir e peça que comparem com o texto da aluna Tatiana, observando se há algum detalhe importante da regra do qual ela não se lembrou.

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS:

1. Esse é um jogo para trios, havendo dois jogadores e um juiz. Os alunos decidem quem será o juiz.

2. O juiz embaralha e dá metade das cartas para cada jogador. Nenhum jogador vê as cartas que tem.

3. Os dois jogadores que receberam as cartas sentam-se um em frente ao outro, cada um segurando seu monte de cartas viradas para baixo. O terceiro jogador fica de frente para os dois jogadores, de modo que possa ver o rosto dos dois.

4. A um sinal do juiz, os dois jogadores pegam a carta de cima de seus respectivos montes e falam “Adivinhe”, segurando-as perto de seus rostos de maneira que possam ver somente a carta do adversário.

5. O juiz usa os dois números à mostra e diz o produto. Cada jogador tenta deduzir o número de sua própria carta apenas olhando a carta do adversário e conhecendo o produto falado pelo juiz. Por exemplo, um jogador viu um 6, o outro viu um 5 e o produto dito pelo juiz foi 30. O jogador, para levar as duas cartas, deve dizer 6 e 5 ou 5 e 6.

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Medium 9788584290741

Capítulo 04 - Materiais

Ayni Shih, Cláudia Tenório Cavalcanti, Ligia Baptista Gomes, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

Materiais

Se sua escola não dispõe de materiais manipulativos (frações circulares, mosaico, Tangram) em quantidade suficiente, você pode disponibilizar para cada aluno uma cópia dos moldes que se encontram a seguir. Para que cada aluno tenha o seu próprio material, basta colar as folhas em cartolina e recortá-las. Para baixá-las, em www. grupoa.com.br, acesse a página do livro por meio do campo de busca e clique em Área do Professor.

No caso do mosaico, há apenas um molde de cada peça. O kit completo, no entanto, deve conter as seguintes quantidades:

• 6 hexágonos;

• 10 trapézios;

• 20 triângulos;

• 15 losangos maiores;

• 15 losangos menores;

• 16 quadrados.

Materiais manipulativos

01794 Fracoes e Numeros Decimais.indd 145

| 145

26/11/15 16:09

Frações circulares

146 |

Coleção Mathemoteca | Frações e Números Decimais

01794 Fracoes e Numeros Decimais.indd 146

26/11/15 16:09

Materiais manipulativos

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Medium 9788577809264

22 Ângulos

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 22

Ângulos

ÂNGULOS TRIGONOMÉTRICOS

Um ângulo trigonométrico é determinado por uma rotação de um raio em torno de seu extremo, chamado de vértice do ângulo. A posição inicial do raio é chamada de lado inicial e a posição final de lado final (ver Fig. 22-1).

lado final

lado inicial

Figura 22-1

Se o deslocamento do raio a partir de sua posição inicial ocorre no sentido anti-horário, o ângulo é associado a uma medida positiva, e se for no sentido horário, uma medida negativa. Um ângulo zero corresponde a um deslocamento zero; os lados inicial e final de um ângulo zero são coincidentes.

ÂNGULOS EM POSIÇÃO CANÔNICA

Um ângulo está em posição canônica em um sistema de coordenadas cartesianas se seu vértice está na origem e seu lado inicial está no eixo x positivo. Ângulos em posição canônica são classificados pelos seus lados finais: se o lado final repousa sobre um eixo coordenado, o ângulo é dito ângulo quadrante; se o lado final está no quadrante n, o

ângulo é chamado de ângulo quadrante n (ver Figs. 22-2 a 22-5).

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Medium 9788584290994

Capítulo 2. Análise com auxílio do computador

Christine P. Dancey, John G. Reidy, Richard Rowe Artmed PDF Criptografado

2

Análise com auxílio do computador

Panorama do capítulo

Neste capítulo, apresentaremos três pacotes estatísticos amplamente utilizados, chamados de SPSS, R e SAS®. Para cada um deles, iremos:

99 Fornecer um panorama da interface;

99 Descrever como os dados são configurados;

99 Fornecer exemplos de como os dados podem ser analisados;

99 Fornecer links para o site associado quando apropriado.

Dos muitos pacotes estatísticos no mercado, por que escolhemos esses três? Escolhemos o SPSS por ser um dos pacotes estatísticos mais utilizados e possuir um sistema de menus baseado no Windows, o que torna mais fácil, para um iniciante em estatística, executar análises apenas com instruções de apontar e clicar. Incluímos instruções para SAS, no site associado, por este ser um pacote estatístico muito popular nas ciências da saúde. Entretanto, ele é um pouco mais complicado, pois as análises são configuradas e executadas com o uso de miniprogramas. Isso pode parecer intimidante neste estágio, mas é bem objetivo. Pensamos, também, que seria útil incluir algumas instruções relacionadas ao R, por ser um sistema relativamente novo e em crescente popularidade, sem custo para o usuário, e que fornece excelentes saídas gráficas. Este pacote é executado por linhas de comando; portanto, você deve aprender os comandos para executar cada análise em particular.

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Medium 9788540701694

Capítulo 9 - Métodos Numéricos

Howard Anton, Chris Rorres Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 9

Métodos Numéricos

CONTEÚDO DO CAPÍTULO

9.1 Decomposição LU 477

9.2 O método das potências 487

9.3 Serviços de busca na Internet 496

9.4 Comparação de procedimentos para resolver sistemas lineares 501

9.5 Decomposição em valores singulares 506

9.6 Compressão de dados usando decomposição em valores singulares 514

INTRODUÇÃO

Neste capítulo, tratamos de “métodos numéricos” da Álgebra Linear, uma área de estudo que engloba técnicas para resolver sistemas lineares de grande escala e para encontrar aproximações numéricas de vários tipos. Nosso objetivo não é discutir algoritmos e questões técnicas detalhadamente, já que existem muitos livros excelentes dedicados a esse assunto. Em vez disso, nos ocupamos com a introdução de algumas ideias básicas e a exploração de aplicações contemporâneas importantes que dependem de maneira crucial de ideias numéricas, a saber, a decomposição em valores singulares e a compressão de dados. Para todas as seções, exceto a primeira, recomendamos a utilização de algum recurso computacional como MATLAB, Mathematica ou Maple.

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Medium 9788560031474

Capítulo 13. Análise da Variância

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 13

Análise da Variância

13.1 RACIOCÍNIO BÁSICO ASSOCIADO AO TESTE DA DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS DE

VÁRIAS POPULAÇÕES

Enquanto o teste do qui-quadrado pode ser usado para testar as diferenças entre proporções de várias populações

(ver Seção 12.4) a análise da variância pode ser usada para testar diferenças entre as médias de várias populações.

A hipótese nula é que as médias das várias populações são mutuamente iguais. O procedimento de amostragem usado é a coleta de várias amostras aleatórias independentes, uma para cada categoria de dados.

A premissa que sustenta o uso da análise da variância é que as várias médias das amostras foram obtidas de populações que seguem a distribuição normal com a mesma variância σ2. Entretanto, o procedimento de teste foi encontrado como sendo relativamente inafetado pelas violações da premissa da normalidade quando as populações são unimodais e os tamanhos das amostras são aproximadamente iguais. Devido à hipótese nula ser de que as médias das populações são iguais, a premissa da igual variância (homogeneidade da variância) também implica que, para propósitos práticos, o teste está interessado na hipótese nula de que as médias vieram da mesma população. Isso é assim porque qualquer população que segue a distribuição normal é definida pela média e variância (ou desvio padrão) como os dois parâmetros da distribuição. (Ver Seção 7.2 para uma descrição geral da distribuição de probabilidade normal.) Todos os procedimentos computacionais apresentados neste capítulo são para modelos de efeitos fixos comparados a modelos de efeitos aleatórios. Esta distinção está explicada na Seção 13.6.

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Medium 9788582602256

Capítulo 0 - Antes do cálculo

Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen L. Davis Grupo A PDF Criptografado

0

ANTES DO CÁLCULO

© Arco Images/Alamy

O desenvolvimento do Cálculo nos séculos XVII e XVIII foi motivado pela necessidade de entender fenômenos físicos como as marés, as fases da Lua, a natureza da luz e a gravidade.

0.1

Um dos temas mais importantes do Cálculo é a análise das relações entre quantidades físicas ou matemáticas. Tais relações podem ser descritas em termos de gráficos, fórmulas, dados numéricos ou palavras. Neste capítulo, desenvolveremos o conceito de “função”, que é a ideia básica subjacente a quase todas as relações matemáticas e físicas, não importando como são expressas. Estudaremos as propriedades de algumas das funções mais básicas que ocorrem no

Cálculo, incluindo as funções polinomiais, trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais e logarítmicas.

FUNÇÕES

Nesta seção, definiremos e desenvolveremos o conceito de “função”, que é o objeto matemático básico utilizado por cientistas e matemáticos para descrever relações entre quantidades variáveis. As funções desempenham um papel central no Cálculo e em suas aplicações.

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Medium 9788521606321

16 - Matrizes e Vetores

Vários autores Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 16 Sumário

Matrizes e Vetores

16.1 Matrizes 405

Notação para Matrizes 405

Operações Algébricas com Matrizes 405

Propriedades da Multiplicação por Escalar e da Soma de Matrizes 406

16.2 Multiplicação de Matrizes 408

Como Encontrar o Custo Total 408

Formação de uma Matriz Nova Através da Combinação de

Linhas e Colunas 409

O Significado da Multiplicação de Matrizes 409

Visão Geral da Multiplicação de Matrizes 409

Propriedades da Multiplicação de Matrizes 411

A Multiplicação de Matrizes Não É Comutativa 411

16.3 Matrizes e Vetores 412

Pares Ordenados 412

Vetores em Física e Geometria 413

Soma de Vetores 413

Multiplicação por Escalares 413

Propriedades das Operações com Vetores 413

Multiplicação de Matrizes por Vetores 414

Significado da Multiplicação de Matrizes por Vetores 415

Vetores de Dimensões Mais Altas 416

Uma Aplicação de Matrizes e Vetores à Economia 417

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Medium 9788521635444

8 - Funções de Várias Variáveis Reais a Valores Reais

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

Funções de Várias Variáveis

Reais a Valores Reais

A maioria das relações que ocorrem na física, economia e, de modo geral, na natureza é traduzida por funções de duas, três e mais variáveis reais; daí a conveniência de um estudo detalhado de tais funções.

Neste capítulo e nos seguintes daremos ênfase ao estudo das funções reais de duas variáveis reais, e o leitor não terá dificuldade em generalizar os resultados para funções de mais de duas variáveis, já que não há diferenças importantes.

 8.1

Funções de Duas Variáveis Reais a Valores Reais

Uma função de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : A → �, em que A é um subconjunto de ℝ2. Uma tal função associa, a cada par ( x, y ) ∈ A, um único número f ( x, y ) ∈ �.

O conjunto A é o domínio de f e será indicado por Df . O conjunto

{

Im f = f ( x, y ) ∈ � ( x, y ) ∈ D f

}

é a imagem de f. As palavras aplicação e transformação são sinônimas de função. y

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