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Medium 9788577809264

28 coordenadas polares e equações paramétricas

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

271

CAPÍTULO 29 • FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMEROS COMPLEXOS

FORMA TRIGONOMÉTRICA DE NÚMEROS COMPLEXOS

Se um sistema de coordenadas polares é sobreposto ao sistema de coordenadas cartesianas, as relações x ϭ r cos ␪ e y ϭ r sen ␪ valem. Assim, cada número complexo z pode ser escrito na forma trigonométrica:

Eixo imaginário

Essa forma é algumas vezes abreviada como z ϭ r cis ␪. A forma usual z ϭ x ϩ yi é chamada de forma retangular.

Como as coordenadas polares de um ponto não são únicas, existem infinitas formas trigonométricas equivalentes de um número complexo. As relações entre x, y, z, r e ␪ são mostradas na Figura 29-3.

Eixo real

Figura 29-3

Exemplo 29.2

Escreva

na forma retangular.

MÓDULO E ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Ao escrever um número complexo na forma trigonométrica, a quantidade r é normalmente escolhida como sendo positiva. Então, uma vez que r2 ϭ x2 ϩ y2, r representa a distância do número complexo à origem, e é chamado de módulo (algumas vezes, valor absoluto) do número complexo. A notação de valor absoluto é usada assim,

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Medium 9788565837736

Capítulo 4 - Lógica e Cálculo Proposicional

Seymour Lipschutz; Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Lógica e Cálculo Proposicional

4.1

INTRODUÇÃO

Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:

“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”

Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber o “valor verdade” de tais expressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†

Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡

4.2

PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS

Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, por exemplo, os seis itens a seguir:

(i) Gelo flutua na água.

(ii) A China é na Europa.

(iii) 2 + 2 = 4

(iv) 2 + 2 = 5

(v) Aonde você está indo?

(vi) Faça seu tema de casa.

Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são falsas.

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Medium 9788521630241

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS

Douglas C. Montgomery Grupo Gen PDF Criptografado

Respostas dos Exercícios

Selecionados

CAPÍTULO 3

_

3.1. (a) x_ = 16,029. (b) s = 0,0202

3.5. (a) x_ = 952,9. (b) s = 3,7

3.7. (a) x = 121,25. (b) s = 22,63.

3.15. Tanto a distribuição normal quanto a distribuição lognormal parecem modelos razoáveis para os dados.

3.17. A distribuição lognormal parece um modelo razoável para_ os dados de concentração.

3.23. (a) x = 89,476. (b) s = 4,158

3.27. espaço amostral: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

CAPÍTULO 4

4.1.

4.3.

4.5.

4.7.

4.9.

3.29. (a) 0,0196. (b) 0,0198.

(c) Reduzir a taxa de ocorrência reduz a probabilidade de 0,0198 para 0,0100.

3.31. (a) k = 0,05. (b) μ = 1,867, σ2 = 0,615

(c) F(x) = {0,383; x = 1 0,750; x = 2

1,000; x = 3

3.33. (a) Aproximadamente 11,8%. (b) Diminui lucro por

$5,90/calculadora.

3.35. A regra de decisão implica que 22% das amostras terão uma ou mais unidades não conformes.

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Medium 9788521629405

Parte II - 9 Controle de Satélites

Francisco Javier Triveño Vargas, Pedro Paglione Grupo Gen PDF Criptografado

Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 119

9

Controle de Satélites

Atualmente, a maioria dos satélites utiliza bocais (propulsores) como sistema principal de propulsão, todavia o tipo de combustível pode ser sólido ou líquido, como o oxigênio líquido.

Sem dúvida, estes combustíveis ainda são os mais eficientes para satélites em baixas órbitas

(Bryson, ). A estação espacial internacional ISS utiliza bocais no seu controle de atitude.

Da mesma forma, outros satélites utilizam este sistema (Santana et al., a).

Métodos alternativos de controle correspondem às rodas de momento, às rodas de reação e aos giroscópios. Cada um trabalha de forma a modificar o momento angular nas pequenas massas no interior do satélite.

As rodas de momento correspondem à forma mais simples de controle, já que são fixadas em apenas um eixo de rotação. As rodas de reação são similares às rodas de momento; a diferença é que são colocadas nos três eixos a ○ um do outro.

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Medium 9788521625339

CAPÍTULO 7 Amostras e Estudos Observacionais

Baldi, Brigitte Grupo Gen PDF Criptografado

AB/Getty Images

CAPÍTULO 7

Amostras e Estudos

Observacionais

NESTE CAPÍTULO

ABORDAMOS…

A estatística, a ciência dos dados, fornece ideias e ferramentas que podemos usar em vários contextos. Dados brutos devem sempre ser cuidadosamente examinados, tendo em vista tendências e desvios relativos a elas, por meio das ferramentas da análise exploratória de dados. Mas como produzirmos dados que nos ajudem a responder a questões científicas interessantes?

Suponha que nossa pergunta seja “Qual percentual de adultos americanos usa medicina complementar e alternativa (MCA)?” Para responder a essa pergunta, entrevistamos indivíduos com 20 anos ou mais e lhes perguntamos se haviam usado MCA nos últimos 12 meses. Não podemos, na verdade, entrevistar todos os adultos na América, de modo que fazemos a pergunta a uma amostra escolhida para representar a população adulta inteira. Como escolhemos tal amostra? Neste capítulo, veremos como escolher amostras apropriadas para estudos observacionais.

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Medium 9788521635444

Apêndice A - Funções de uma Variável Real a Valores Complexos

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

APÊNDICE

A

Funções de uma Variável Real a

Valores Complexos

 A.1 Funções de uma Variável Real a Valores Complexos

Uma função de uma variável real a valores complexos é uma função cujo domínio é um subconjunto de  e cujo contradomínio é .

Exemplo 1   Considere a função f dada por f (t ) = t 2 + i cos t. a) Qual o domínio?

π  b) Calcule f (0) e f   .

2

Solução a) O domínio de f é .

2

π  π  b) f (0) = i e f   =   .

2 2

Exemplo 2   Seja f dada por f (t ) = cos t + i sen t. Desenhe a imagem de f.

Solução

Para cada t, f (t) identifica-se com o ponto (cos t, sen t). A imagem de f é a circunferência de centro na origem e raio 1: y

(cos t, sen t) x

Ap-A-Guidorizzi - Vol 2.indd 334

17/05/2018 10:19:00

Funções de uma Variável Real a Valores Complexos

335

Seja f : A → , A ⊂ , uma função de uma variável real a valores complexos; então existem, e são únicas, duas funções f1 (t) e f2 (t), definidas em A e a valores reais, tais que f (t ) = f1 (t ) + if 2 (t ), para todo t ∈ A. Pois bem, diremos que f é contínua em t0 ∈ A se e somente se f1 e f2 forem contínuas em t0. Diremos, ainda, que f é derivável em t0 se e somente se f1 e f2 forem deriváveis em t0. Sendo f derivável em t0, definimos a derivada de f em t0 por f ′(t0 ) = f1′ (t0 ) + i f 2′ (t0 ).

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Medium 9788521632146

6 Aplicações da Trigonometria

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

© Micha Krakowiak/iStockphoto

Um avião voando nos ventos fortes, comuns em altas altitudes. A velocidade do avião e a direção em relação ao solo são calculadas pela soma do vetor velocidade do vento com o vetor velocidade do ar.

Aplicações da Trigonometria

Este capítulo começa com uma investigação de transformações de funções trigonométricas. Tais transformações são usadas para modelar eventos periódicos. Revisar transformações de funções no contexto de funções trigonométricas também nos ajudará a rever os conceitos-chave de transformações de funções do Capítulo 1.

Nosso assunto seguinte será coordenadas polares, que fornecem um método alternativo para a localização de pontos no plano das coordenadas. Como veremos, a conversão entre coordenadas polares e coordenadas retangulares requer uma boa compreensão de funções trigonométricas.

Vetores podem ser usados para modelar objetos que têm magnitude, direção e sentido, tais como o vento. Na terceira seção deste capítulo, a trigonometria vai ajudar-nos a entender os vetores. Veremos como o produto escalar fornece uma ferramenta útil para determinar o ângulo entre dois vetores.

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Medium 9788521618096

Capítulo 6 - Séries e Resíduos

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

226

Capítulo Seis

CAPÍTULO

6

Séries e

Resíduos

Índice do Capítulo

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

Sequências e Séries

Série de Taylor

Série de Laurent

Zeros e Polos

Resíduos e Teorema de Resíduos

Algumas Consequências do Teorema de Resíduos

6.6.1 Cálculo de Integrais Trigonométricas Reais

6.6.2 Cálculo de Integrais Impróprias Reais

6.6.3 Integração ao Longo de um Corte de Ramo

6.6.4 Princípio do Argumento e Teorema de Rouché

6.6.5 Soma de Séries Infinitas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 6

Contorno especial usado no cálculo de uma integral real (Veja

Figura 6.6.5)

Introdução A fórmula integral de Cauchy para derivadas indica que uma função f analítica em um ponto z0 possui derivadas de todas as ordens no ponto. Como uma consequência desse resultado, veremos que f sempre pode ser expandida em uma série de potências centrada nesse ponto. Se, no entanto, f não for analítica em z0, ainda pode ser possível expandi-la em um tipo diferente de série conhecida como série de Laurent. A noção da série de Laurent leva ao conceito de um resíduo, que, por sua vez, leva a uma outra forma de calcular integrais complexas e, em alguns casos, reais.

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Medium 9788584291427

Capítulo 9. Medidas de associação

Christine Dancey, John Reidy Grupo A PDF Criptografado

9

Medidas de associação

VISÃO GER AL DO CAPÍTULO

Anteriormente, no Capítulo 6, você aprendeu como analisar o relacionamento entre duas variáveis utilizando o r de Pearson. Esse valor é útil para fornecer uma ideia do grau de associação entre duas variáveis contínuas. Você viu como representar tal relacionamento por intermédio dos diagramas de dispersão e também aprendeu o que é um coeficiente de correlação e que r é um tamanho de efeito natural. Este capítulo também discute relacionamentos, ou associações, mas, desta vez, será discutido como analisar o relacionamento entre variáveis categóricas.

A medida de associação que discutiremos neste capítulo, χ2 ou qui-quadrado, mede a associação entre duas variáveis categóricas. Você também aprendeu sobre essas variáveis no Capítulo 1. Se, por exemplo, classificarmos pessoas com base na cor da blusa ou camisa que elas estão usando, isso é uma classificação em categorias. Da mesma forma, se classificarmos pessoas por grupos étnicos, religião ou por país em que elas vivem, estamos fazendo julgamentos categóricos. Não faz sentido ordená-las numericamente. Neste capítulo, você aprenderá como:

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Medium 9788521627272

4 Transformações conformes

Lioudmila Bourchtein, Andrei Bourchtein Grupo Gen PDF Criptografado

Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Transformações conformes

4.1 Interpretação geométrica do módulo e do argumento da derivada. Conceito de transformação conforme

Seja w = f (z) uma função regular em uma região D. Denotamos por G a imagem da região D na transformação f : G = f (D) (depois, mostraremos que G é uma região também).

Definição 1. A função f (z) é chamada univalente em uma região D se ∀z1 , z2 ∈

D, z1 = z2 , segue que f (z1 ) = f (z2 ), isto é, quaisquer pontos diferentes de uma região D se transformam em pontos diferentes do plano complexo w que contém a imagem G; isso significa que a transformação f (z) é biunívoca.

Definição 2. A função f (z) é chamada univalente no ponto z0 ∈ D, se ela é univalente em alguma vizinhança desse ponto.

Suponhamos que f ′ (z0 ) = 0 em algum ponto z0 ∈ D. Traçamos na região D alguma curva suave γ passando através do ponto z0 ; γ : z = z (t) , t ∈ [a, b]. Seja ao ponto z0 corresponde valor de parâmetro t0 ∈ [a, b], z0 = z (t0 ). Por definição de curva suave, existe a tangente contínua em qualquer ponto da curva γ, isto é, existe a função contínua z ′ (t) tal que z ′ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b], particularmente, z ′ (t0 ) = 0.

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Medium 9788582603123

Capítulo 2 - Descrição de dados: análise monovariada

João Luiz Becker Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 2

Descrição de dados: análise monovariada

Neste capítulo, apresentamos os conceitos relacionados à estatística descritiva.

Conforme já salientado no Capítulo 1, a estatística descritiva engloba um conjunto de métodos e técnicas utilizáveis para avaliar as características exteriores de uma série de dados. Engloba técnicas de representação e sintetização de dados, como gráficos e tabelas, assim como várias medidas (descritivas) relacionadas a um determinado conjunto de dados. Iniciamos, neste capítulo, a discussão sobre os principais e mais populares métodos e técnicas usados para descrever e analisar uma única variável. No Capítulo 3, passaremos às técnicas usadas para descrever a relação entre duas variáveis.

DADOS NOMINAIS (OU CATEGÓRICOS)

Se nossa variável de interesse apresentar apenas variabilidade capturada por uma escala não métrica nominal (ou categórica), normalmente resumimos o conjunto de dados através de gráficos simples, tipo pizza ou em barras. As medidas descritivas resumem-se a proporções e à determinação da moda.

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Medium 9788577809264

1 preliminares

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 1

Preliminares*

OS CONJUNTOS DE NÚMEROS USADOS EM ÁLGEBRA

São, em geral, subconjuntos de R, o conjunto dos números reais.

Números naturais N

São os números empregados em processos de contagem, p. ex., 1, 2, 3, 4,...

Inteiros Z

Os números para contagem, acrescidos de seus opostos e 0, p. ex., 0, 1, 2, 3,... Ϫ1, Ϫ2, Ϫ3,...

Números racionais Q

O conjunto de todos os números que podem ser escritos como quocientes a/b, b

3/17; 10/3; Ϫ5,13;...

0, sendo a e b inteiros, p. ex.,

Números irracionais H

Todos os números reais que não são racionais, p. ex.,

Exemplo 1.1 O número Ϫ5 é elemento dos conjuntos Z, Q e R. O número 156,73 é um elemento dos conjuntos

Q e R. O número 5␲ é pertencente aos conjuntos H e R.

AXIOMAS PARA O SISTEMA DOS NÚMEROS REAIS

Há duas operações fundamentais, adição e multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades (a, b e c são números reais arbitrários):

Leis de fechamento

A soma a ϩ b e o produto a и b ou ab são números reais únicos.

Leis de comutatividade a ϩ b ϭ b ϩ a: a ordem é irrelevante na adição. ab ϭ ba: a ordem é irrelevante na multiplicação.

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Medium 9788521633099

9 - A Estatística Utilizando o Software R

Viviane Leite Dias de Mattos, Andréa Cristina Konrath, Ana Maria Volkmer de Azambuja Grupo Gen PDF Criptografado

9

A ESTATÍSTICA UTILIZANDO O SOFTWARE R

Débora Spenassato1

9.1 Importância de um software estatístico

A utilização de softwares estatísticos para análise e interpretação de dados vem se tornando indispensável, quer pela sua praticidade de utilização, quer pela eficiência no tratamento de grandes conjuntos de dados. Entretanto, muitos dos softwares existentes apresentam um custo de aquisição relativamente elevado. Uma alternativa é a utilização de softwares acessíveis e sem custo, como o software R (R CORE TEAM, 2016).

9.2 O software R

Este software é uma linguagem e um ambiente para estatística computacional e gráficos, criado inicialmente em meados de 1997 por Ross Ihaka e Robert Gentleman, do Departamento de Estatística da Universidade de

Auckland, Nova Zelândia, e vem sendo desenvolvido com a colaboração de pessoas de vários locais do mundo (R CORE TEAM, 2016). É um projeto open source, baseado no conceito de software livre, podendo ser utilizado sem

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Medium 9788521622024

CAPÍTULO 9 - Testes de Hipótese com Base em uma Única Amostra

KOKOSKA, Stephen Grupo Gen PDF Criptografado

Testes de Hipótese com

Base em uma Única

Amostra

9

Desafio do Capítulo 9

Os funcionários municipais deveriam remodelar a Trilha St. Mark’s?

O uso de trilhas nos parques nacionais e florestas acendeu uma controvérsia entre os entusiastas dos veículos off-road (VOR), caminhantes e organizações como a

The Wilderness Society e Sierra Club. Alguns parques proibiram o uso de VORs em certas trilhas, e os jornais e políticos têm recebido inúmeras cartas e petições de todos os partidos. Os problemas primários são as poluições do ar, da água e sonora; possível dano à vegetação causado pelos veículos 4 3 4, e o impacto desses veículos sobre o lazer de outros usuários da trilha.

Caminhadas a pé, andar de bicicleta e fazer excursões ganharam popularidade e os usuários de veículos

4 3 4, motocicletas e motos de neve começaram a fazer uso extensivo de trilhas feitas pelos homens. Os gerentes desses espaços públicos desenvolvem novas trilhas e fazem planos de manutenção com base nas opiniões dos usuários. Conforme relatado pelo Departamento de Transporte de Iowa, um estudo realizado pelo Serviço Nacional de Parques (SNP) considerou as percepções de proprietários vizinhos e os impactos econômicos de três trilhas. De acordo com o estudo do SNP, 65% dos que responderam usam a trilha Heritage para andar de bicicleta, 81% usam a trilha

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Medium 9788521620723

4 Regras de Derivação

Geraldo Ávila, Luís Cláudio Lopes de Araujo Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 114 — #114

Cap´ıtulo 4

Agora que j´a sabemos o que ´e derivada de uma fun¸c˜ao e seu significado, vamos considerar o problema de calcular derivadas. Os exemplos tratados at´e aqui foram muito simples, de sorte que n˜ao foi dif´ıcil obter as derivadas diretamente da defini¸c˜ao, calculando o limite da raz˜ao incremental em cada caso. No entanto, esse procedimento n˜ao ´e vi´avel no caso da maioria das fun¸c˜oes com que nos deparamos, mesmo fun¸c˜oes simples como polinˆomios, quociente de polinˆomios etc.

Temos ent˜ao necessidade de utilizar regras especiais de deriva¸c˜ao, que s˜ao o objeto deste cap´ıtulo.

4.1

Este cap´ıtulo ter´a apenas duas se¸c˜oes. Nesta primeira trataremos de quatro regras b´asicas de deriva¸c˜ao: a da derivadas de uma potˆencia, de uma soma, de um produto e de um quociente de fun¸c˜oes.

Derivada de xn

No Cap´ıtulo 2 j´a tivemos oportunidade de calcular as derivadas de x2 e x3 , obtendo, respectivamente,

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