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Medium 9788584290277

Capítulo 16. Desenvolvimento dos Conceitos de Fração

John A. Van de Walle Grupo A PDF Criptografado

capítulo

16

Desenvolvimento dos

Conceitos de Fração

A

s frações sempre representaram um grande desafio aos estudantes, mesmo nas séries finais do EF. Os resultados dos testes do NAEP mostram consistentemente que os estudantes têm uma compreensão muito fraca dos conceitos de fração (Wearne e Kouba, 2000). Essa falta de compreensão é então traduzida para múltiplas dificuldades com o cálculo de frações, os conceitos de decimal e de porcentagem, o uso de frações em medidas e os conceitos de razão e proporção.

Os programas curriculares tradicionais para as séries iniciais tipicamente oferecem limitada exposição dos estudantes

às frações com a maior parte do trabalho de desenvolvimento de a a fração ocorrendo na 3 e/ou 4 série. Poucos programas fornecem aos estudantes tempo ou experiências adequadas para ajudá-los com essa área complexa do currículo. Os objetivos curriculares estaduais norte-americanos são bastante variados com relação às frações. Este capítulo explora um desenvolvimento conceitual do conceito de fração que pode ajudar os estudantes em qualquer nível a construir uma base sólida, preparando-os para as habilidades que posteriormente serão fundamentadas nessas ideias.

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Medium 9788577803811

5.3 árvores implementadas por encadeamento

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

180

Estruturas de Dados

quando, excetuando a raiz, os demais nodos têm graus iguais ou muito semelhantes. Neste caso, a dificuldade de acesso à hierarquia é um pouco minorada pela simetria da árvore, pois os algoritmos que implementam as operações podem encontrar, com um pouco mais de facilidade, os descendentes de cada nodo. Além disso, não haverá desperdício de espaço ocupado para representar informações relativas à inexistência de nodos.

Esta forma de implementação constitui uma alternativa importante para o arquivamento permanente de árvores. Neste caso, a estrutura representada por encadeamento durante a manipulação é convertida para contigüidade física ao ser armazenada. A operação inversa é feita quando a estrutura é recuperada para manipulação.

árvores implementadas por encadeamento

5.3

Nesta forma de implementação, cada nodo da árvore é representado por uma variável que deve apresentar, além das informações relativas a este nodo, os endereços dos nodos que são seus descendentes diretos. O acesso aos nodos de uma árvore implementada por encadeamento se dá sempre através do endereço da raiz, sendo os demais nodos alcançados somente através dos endereços contidos nos campos de elo de cada nodo. Deste modo, a hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, fica perfeitamente representada.

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Medium 9788521635437

13 - Mais Algumas Aplicações da Integral. Coordenadas Polares

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

13

Mais Algumas Aplicações da

Integral. Coordenadas Polares

 13.1  �Volume de Sólido Obtido pela Rotação, em Torno do Eixo x, de um Conjunto A 

vídeo 28.1

Seja f contínua em [a, b], com f (x) > 0 em [a, b]; seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A do plano limitado pelas retas x 5 a e x 5 b, pelo eixo x e pelo gráfico de y 5 f (x). Estamos interessados em definir o volume V de B. y

f

f

y

0

0

a

xi − 1

b

xi

x

x

y f

0

013GuidorizziV1.indd 392

x

14/05/18segunda-feira 16:16

Mais Algumas Aplicações da Integral. Coordenadas Polares

393

Seja P: a 5 x0 , x1 , x2 , … , xi 2 1 , xi , ... , xn 5 b uma partição de [a, b] e, respectivamente,

e

5 xi 2 1 e

pontos de mínimo e de máximo de f em [xi 2 1, xi]. Na figura da página anterior,

5 xi. Temos:

5 volume do cilindro de altura Dxi e base de raio

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Medium 9788577806959

39: Estatística Descritiva

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Seção XI: Probabilidade e Estatística

39

Estatística Descritiva

Os dados numéricos x1, x2, … provêm ou de uma amostra aleatória de uma população maior ou então da própria população maior. Vamos distinguir entre estes dois casos usando notações diferentes, como segue: n ⫽ número de itens de uma amostra

N ⫽ número de itens de uma população

⫽ média de amostra (leia-se “xis barra”) s2 ⫽ variância de amostra s ⫽ desvio padrão de amostra

␮ ⫽ média de população (leia-se “mu”)

␴2 ⫽ variância de população

␴ ⫽ desvio padrão de população

Observe que as letras gregas são usadas com populações e são denominadas parâmetros, enquanto que letras latinas são usadas com amostras e são denominadas estatísticas. Em primeiro lugar apresentamos fórmulas para os dados provenientes de uma amostra e, em seguida, damos as fórmulas para uma população.

Dados agrupados

Os dados numéricos são, frequentemente, coletados em grupos (dados agrupados). Um grupo se refere a um conjunto de dados, todos com o mesmo valor xi ou a um conjunto (classe) de dados num dado intervalo, com valor de classe xi. Neste caso, supomos que há k grupos e que fi denota o número de dados do grupo com valor ou valor de classe xi. Assim, o número total de dados disponíveis é

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Medium 9788521625469

6 - Espaços Vetoriais Reais

Kolman, Hill Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

6.1 ESPAÇOS VETORIAIS

Já definimos o Rn e examinamos algumas de suas propriedades básicas no Teorema 4.2.

Devemos agora estudar a estrutura fundamental do Rn. Em várias aplicações matemáticas, nas ciências e na engenharia surge a noção de um espaço vetorial. Este conceito consiste simplesmente em uma generalização do Rn construída de maneira cuidadosa. Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial, podemos estudar não somente o Rn, mas vários outros espaços vetoriais importantes. Nesta seção, definimos a noção geral de um espaço vetorial e, nas seções seguintes, estudamos sua estrutura.

DEFINIÇÃO 1*

Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações � e ᭪ que satisfazem as seguintes propriedades:

(␣) Se u e v são quaisquer elementos de V, então u � v está em V (i. e., V é fechado em relação à operação �).

(a) u � v ϭ v � u, para u e v em V.

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Medium 9788577804962

2 o modelo de referência OSI da ISO

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

62

Redes de Computadores

Logo ficou evidente que, para melhor utilizar o imenso potencial por trás da tecnologia de redes, era necessário que fossem estabelecidos rapidamente padrões internacionais que assegurassem a interoperabilidade entre os computadores e equipamentos dessas redes. Em 1978, a International Organization for Standarization (ISO) criou um comitê técnico (TC97) de processamento de informação, reconhecendo que era urgente a necessidade de criar padrões para a interconexão de sistemas heterogêneos (computadores e roteadores, por exemplo). No mesmo ano, o TC97 criou um subcomitê (SC16) para tratar da interconexão de sistemas abertos ou OSI

(open system interconnection).

A estratégia básica adotada pelo SC16 para definir um modelo de arquitetura aberto, isto é, capaz de interoperar (trocar informação) com um outro sistema de arquitetura aberta, foi dividir a complexidade desta interconexão em conjuntos de funções afins

1 agrupados em camadas (layers ISO) ou níveis (levels ITU-T). A ideia é poder projetar uma rede, ou seja, interconectar diferentes equipamentos (sistemas) e assim facilitar a troca de informações (interoperabilidade) entre eles. Dessa forma, o projeto global da interconexão de equipamentos heterogêneos em uma rede fica reduzido ao projeto das funções e serviços oferecidos em cada uma das camadas definidas para essa rede. O projeto de uma camada é restrito ao contexto dessa camada e supõe que os problemas fora desse contexto (camada) já estejam devidamente resolvidos. Cada camada utiliza os serviços providos pela camada imediatamente inferior para oferecer um serviço de melhor qualidade àquela imediatamente superior.

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Medium 9788577804825

8. Vetores

Fabiano José dos Santos, Silvimar Fábio Ferreira Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 8 – Vetores  137

Geralmente a notação com flecha sobrescrita é utilizada em textos manuscritos e a notação em negrito em textos impressos.

Ainda do ponto de vista geométrico, a direção de um vetor é dada pela reta suporte do segmento orientado que o representa, e seu sentido é indicado por uma

flecha. Sua magnitude é indicada pelo comprimento do segmento orientado.

Dado um vetor v, denotaremos sua magnitude (comprimento ou módulo) por |v|. Em particular, se |v| = 1 dizemos que v é um vetor unitário e se

|v| = 0 dizemos que v é o vetor nulo, denotado v = 0.

Segmentos orientados com o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos equivalentes. Segmentos equivalentes representam o mesmo vetor, independente de sua localização espacial, uma vez que todos eles representam a mesma magnitude, a mesma direção e o mesmo sentido. A

Figura 8.1(b) apresenta vários segmentos orientados equivalentes, todos representando o mesmo vetor.

8.2 Operações com vetores geométricos

Duas operações definidas para os vetores geométricos são a multiplicação de um vetor por um escalar (número real) e a adição de vetores.

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Medium 9788577806218

Respostas para Problemas Selecionados

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Respostas para Problemas

Selecionados

CAPÍTULO 1

1. 67.600.000; 19.656.000 2. 1296 4. 24; 4 5. 144; 18 6. 2401 7. 720; 72;

144; 72 8. 120; 1260; 34.650 9. 27.720 10. 40.320; 10.080; 1152; 2880; 384

11. 720; 72; 144 12. 24.300.000; 17.100.720 13. 190 14. 2.598.960

16. 42; 94 17. 604.800 18. 600 19. 896; 1000; 910 20. 36; 26 21. 35

22. 18 23. 48 25. 52!/(13!)4 27. 27.720 28. 65.536; 2520 29. 12.600; 945

30. 564.480 31. 165; 35 32. 1287; 14.112 33. 220; 572

CAPÍTULO 2

9. 74 10. 0,4; 0,1 11. 70; 2 12. 0,5; 0,32; 149/198 13. 20.000;

12.000; 11.000; 68.000; 10.000 14. 1,057 15. 0,0020; 0,4226; 0,0475;

0,0211; 0,00024 17. 9,10947 � 10�6 18. 0,048 19. 5/18 20. 0,9052

22. (n + 1)/2n 23. 5/12 25. 0,4 26. 0,492929 27. 0,0888; 0,2477; 0,1243;

0,2099 30. 1/18; 1/6; 1/2 31. 2/9; 1/9 33. 70/323 36. 0,0045; 0,0588

37. 0,0833; 0,5 38. 4 39. 0,48 40. 1/64; 21/64; 36/64; 6/64 41. 0,5177

44. 0,3; 0,2; 0,1 46. 5 48. 1,0604 � 10�3 49. 0,4329 50. 2,6084 � 10�6

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Medium 9788577809264

12 funções Quadráticas

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 12

Funções Quadráticas

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA

Uma função quadrática é qualquer função especificada por uma regra que pode ser escrita como f:x → ax2 ϩ bx ϩ c, sendo a 0. A forma ax2 ϩ bx ϩ c é conhecida como forma canônica.

Exemplo 12.1 f (x) ϭ x2, f (x) ϭ 3x2 Ϫ 2x ϩ 15, f (x) ϭ Ϫ 3x2 ϩ 5 e f (x) ϭ Ϫ2(x ϩ 5)2 são exemplos de funções quadráticas. f (x) ϭ 3x ϩ 5 e f (x) ϭ x3 são exemplos de funções não quadráticas.

FUNÇÕES QUADRÁTICAS BÁSICAS

As funções quadráticas básicas são as funções f (x) ϭ x2 e f (x) ϭ Ϫx2. O gráfico de cada uma é uma parábola com vértice na origem (0,0) e eixo de simetria no eixo y (Figuras 12-1 e 12-2).

Figura 12-1

Figura 12-2

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA GERAL

Qualquer função quadrática pode ser escrita na forma f (x) ϭ a(x Ϫ h)2 ϩ k, completando o quadrado. Portanto, qualquer função quadrática tem um gráfico que pode ser considerado como o resultado da ação de transformações simples sobre o gráfico de uma das duas funções básicas, f (x) ϭ x2 e f (x) ϭ Ϫx2. Logo, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola.

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Medium 9788577803811

3.7 lista duplamente encadeada circular

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

110

Estruturas de Dados

Saída: PtDescr (TipoPtDescrLDE)

Variáveis auxiliares: PtAux, PtUlt (TipoPtNodo) início alocar(PtAux)

PtAux↑.Info ← Valor;

PtAux↑.Prox ← nulo

PtDescr↑.N ← PtDescr↑.N + 1 se PtDescr↑.Ult = nulo então início

PtDescr↑.Prim ← PtDescr↑.Ult ← PtAux

PtAux↑.Ant ← nulo fim senão início

PtUlt ← PtDescr↑.Ult

PtUlt↑.Prox ← PtAux

PtAux↑.Ant ← PtUlt

PtDescr↑.Ult ← PtAux fim fim

lista duplamente encadeada circular

3.7

Uma lista duplamente encadeada pode ser, também, circular. Neste caso, o primeiro nodo da lista tem como antecessor o último nodo, e o último, por sua vez, tem o primeiro como seguinte. Assim, a lista pode ser percorrida em qualquer sentido, a partir de qualquer nodo – é o caso mais geral de lista linear encadeada, que proporciona o acesso mais simplificado a todos os seus nodos.

Na Figura 3.28 é mostrada uma lista duplamente encadeada circular, na qual o indicador de início da lista está apontando para o nodo L1. O acesso à lista

é feito sempre através de seu primeiro nodo. Caso se conheça a priori o número de nodos da lista, é possível escolher qual o melhor sentido de percurso

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Medium 9788565837736

Apêndice A - Vetores e Matrizes

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Apêndice A

Vetores e Matrizes

A.1

INTRODUÇÃO

Dados são frequentemente distribuídos em arrays, isto é, conjuntos cujos elementos são indexados por um ou mais

índices. Se esses dados consistem em números, então um array unidimensional é chamado de vetor, enquanto um array bidimensional é chamado de matriz (de forma que a dimensão denota o número de índices.) Este apêndice investiga esses vetores e matrizes e certas operações algébricas nas quais eles se envolvem. Nesse contexto, os números em si são chamados de escalares.

A.2 VETORES

Por vetor u, nós nos referimos a uma lista de números, como a1, a2, . . . , an. Tal vetor é denotado por u = (a1, a2, . . . , an)

Os números ai são chamados de componentes ou entradas de u. Se todos os ai = 0, então u é chamado de vetor nulo. Dois desses vetores, u e v, são iguais, e escrevemos u = v, se possuem o mesmo número de componentes e esses componentes correspondentes são iguais.

Exemplo A.1

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Medium 9788582600245

Capítulo 1 - Introdução e conceitos básicos

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

1

introdução e conceitos básicos

Este capítulo faz uma apresentação da matemática discreta, de sua importância, de seus conceitos básicos e de seus usos. Também apresenta uma revisão dos conceitos básicos de teoria dos conjuntos, pré-requisitos para todo o texto subsequente. Esses conceitos básicos são instanciados em alguns fundamentos de computação e informática como alfabetos, palavras e linguagens e ilustram o seu uso em linguagens de programação como Pascal.

■ ■

2

Matemática Discreta para Computação e Informática

1.1

introdução à matemática discreta

Praticamente qualquer estudo em computação e informática, teórico ou aplicado, exige como pré-requisito conhecimentos de diversos tópicos de matemática. Tal fato é normalmente explicitado na maioria dos livros de computação e informática, sendo que alguns possuem um capítulo específico em que tais tópicos são resumidamente introduzidos.

A importância da matemática é explicitada nas Diretrizes Curriculares do MEC para cursos de computação e informática (Brasil, [20--?]), como segue (a matéria matemática é integrante da área de formação básica):

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Medium 9788540701694

Capítulo 4 - Espaços Vetoriais Arbitrários

Howard Anton, Chris Rorres Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 4

Espaços Vetoriais Arbitrários

CONTEÚDO DO CAPÍTULO

4.1 Espaços vetoriais reais 171

4.2 Subespaços 179

4.3 Independência linear 190

4.4 Coordenadas e bases 200

4.5 Dimensão 209

4.6 Mudança de bases 217

4.7 Espaço linha, espaço coluna e espaço nulo 225

4.8 Posto, nulidade e os espaços matriciais fundamentais

4.9 Transformações matriciais de R n em R m 247

4.10 Propriedades de transformações matriciais 263

4.11 A geometria de operadores matriciais de R 2 273

4.12 Sistemas dinâmicos e cadeias de Markov 282

237

INTRODUÇÃO

Começamos nosso estudo de vetores visualizando-os como segmentos de reta orientados (setas). Depois estendemos essa ideia introduzindo sistemas de coordenadas retangulares, o que nos permitiu ver vetores como pares e ternos ordenados de números reais. Ao desenvolver as propriedades desses vetores, observamos que, em várias fórmulas, havia padrões que nos permitiram estender a noção de vetor a ênuplas de números reais. Mesmo que as ênuplas nos tenham levado para fora do mundo da

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Medium 9788521631279

Capítulo 7. Sequência Uniforme de Pagamentos

Jarbas Thaunahy Santos de Almeida Grupo Gen PDF Criptografado

Sequência Uniforme de Pagamentos

7

Este capítulo tem por objetivo apresentar as fórmulas utilizadas nas soluções de situações que envolvam uma sequência uniforme de valores monetários (pagamentos ou recebimentos), no regime de capitalização composta, além de mostrar suas aplicações por intermédio de exemplos numéricos.

7.1 Introdução

Como apresentam prestações iguais, as sequências uniformes são bastante comuns em operações comerciais, tal como financiamento de eletroeletrônicos e de veículos, além de empréstimos pessoais, entre outros. De acordo com Puccini (2004), essa modalidade de prestações (pagamentos ou recebimentos) é usualmente conhecida como Modelo Price, no qual todas as prestações possuem um mesmo valor. Os pagamentos e recebimentos são representados por PMT (Periodic Payment).

Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura (montante), por intermédio de sucessivos depósitos, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se deseja pagar uma dívida, por intermédio de prestações, tem-se um processo de amortização. Cada depósito ou prestação é, comumente, chamado de termo.

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Medium 9788577801831

13 Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Lineares

Richard Bronson, Gabriel B. Costa Grupo A PDF Criptografado

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