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Medium 9788577809264

11 transformações e gráficos

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 11 • TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

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DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO HORIZONTAIS

O gráfico de y ϭ f(ax), para a Ͼ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) contraído em relação ao eixo x, por um fator a. O gráfico de y ϭ f(ax), para 0 Ͻ a Ͻ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) dilatado em relação ao eixo x, por um fator 1/a.

Exemplo 11.4 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ f(2x) no mesmo no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-9). sistema de coordenadas (Fig. 11-8); e de y ϭ f(x) e

Figura 11-8

Figura 11-9

REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM EIXO COORDENADO

O gráfico de y ϭ Ϫf(x) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo x. O gráfico de y ϭ f(Ϫx) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo y.

Exemplo 11.5 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ Ϫf(x) no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-10); e de y ϭ f(x) e y ϭ f(Ϫx) no mesmo sistema de coordenadas (Fig.11-11).

Figura 11-10

Figura 11-11

Problemas Resolvidos

11.1 Explique por que, para h positivo, o gráfico de y ϭ f(x)ϩh é transladado para cima h unidades em relação ao gráfico de y ϭ f(x), enquanto o gráfico de y ϭ f(xϩh) é transladado para a esquerda h unidades.

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Medium 9788586804922

4.5 Ortogonalidade

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap04_PORTUGUES.qxd

31.08.56

10:59 AM

Page 199

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4.5 Ortogonalidade

18. Seja A uma matriz m × n . a) Se postoA = m, mostre que AB = Im para alguma matriz

c) Prove que im(AT) = im(ATA). [Sugestão: Mostre que

im(ATA) ⊆ im(AT) e aplique o Teorema 4 da Seção 4.3.]

n × m B. [Sugestão: Teorema 4 (4).] b) Se AB = Im para alguma matriz n × m B , mostre que postoA = m. [Sugestão: Exercício 14 b).]

20. Para uma matriz A de tamanho m × n , pode ser provado que

existe uma única matriz n × m A# tal que AA#A = A,

A#AA# = A# com ambas AA# e A#A simétricas. A matriz A# é chamada inversa de Moore-Penrose de A. a) Se A é quadrada e inversível, mostre que A# = A−1 . b) Se postoA = m, mostre que A# = AT (AAT )−1. c) Se postoA = n, mostre que A# = (AT A)−1AT .

19. Seja A uma matriz m × n . a) Mostre que anul(ATA) = anul(A).[Sugestão: Use a

demonstração de (3)⇒(4) do Teorema 3.] b) Conclua que posto(ATA) = postoA.

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Medium 9788521631279

Capítulo 4. Capitalização Composta

Jarbas Thaunahy Santos de Almeida Grupo Gen PDF Criptografado

Capitalização

Composta

4

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas no dia a dia. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido como cálculo exponencial de juros.

4.1 Introdução

O comportamento do regime de capitalização composta é equivalente a uma progressão geométrica (PG).

Albert Einstein (1879-1955), questionado certa vez sobre qual era a maior invenção da humanidade, afirmou: “O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.”

A Tabela 4.1 demonstra a evolução de R$ 100,00 aplicados no regime de juros compostos a diversas taxas de juros e diferentes prazos.

Observe que se aplicarmos R$ 100,00 a uma taxa de 0,50 % ao mês por 60 meses, como no caso da caderneta de poupança, ao final do período poderemos resgatar a expressiva quantia de R$ 134,89. Agora, se deixarmos uma dívida de R$ 100,00 no cheque especial, a uma taxa de 10 % ao mês, teremos a quantia de R$ 30.448,16, como saldo devedor, após 60 meses. Você acredita nisso?

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Medium 9788597013122

6 - Fluxos de Caixa

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

6

Fluxos de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis).

Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte do capítulo dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de formação-padrão. É entendido como o modelo-padrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. A sequência do capítulo dedica-se às demais classificações dos fluxos de caixa, definidas como não convencionais.

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Medium 9788521618102

Dicas, Respostas e Soluções para Exercícios Selecionados

HUNTER, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Dicas, Respostas e Soluções para

Exercícios Selecionados

1.1 Lógica Formal

(c) Dica: Observe a sexta linha da tabela verdade.

1. (a) (q∧p) R ¬r

(b) Se o carro vai pegar, então a junta do cabeçote não está vazando, nem há água nos cilindros.

(Ou: Se o carro vai pegar, então não é o caso que a junta do cabeçote está vazando ou há água nos cilindros.)

16. (b)

4. (a) Se você está ficando acordado até tarde da noite, então você está estudando muito.

(b) Se você não está ficando acordado até tarde da noite, então você não está estudando muito.

19. A sentença (b) é mais forte, já que qualquer número que é divisível por 12 será também divisível por 3, mas não vice-versa.

22. P  Q

7. (a) Sim, os primeiros componentes de pares ordenados iguais devem ser iguais.

(b) Se a 5 c, então (a, b) 5 (c, d).

(c) Não. Por exemplo, 1 5 1, mas (1, 2) Þ (1, 5).

23. (b) A sentença ¬p é logicamente equivalente a S.

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Medium 9788521629252

8 - Raízes Primitivas e Índices

David M. Burton Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

RAÍZES PRIMITIVAS E ÍNDICES

…demonstrações matemáticas, como diamantes, são tão difíceis quanto claras, e serão abordadas com nada mais que o raciocínio rigoroso.

John Locke

8.1  A ORDEM DE UM INTEIRO MÓDULO n

φ ( n)

De acordo com o teorema de Euler, sabemos que a ≡ 1( mod n ) , sempre que mdc(a, n) = 1.

No entanto, há, frequentemente, potências de a menores que aφ ( n ) que são congruentes a 1 módulo n. Isso nos leva à seguinte definição.

Definição 8.1.  Seja n > 1 e mdc(a, n) = 1. A ordem de a módulo n (em terminologia mais antiga: o expoente a que pertence módulo n) é o menor inteiro positivo k tal que a k ≡ 1( mod n ) .

Considere as potências sucessivas de 2 módulo 7. Para este módulo, obtemos as congruências

das quais resulta que o número inteiro 2 tem ordem 3 módulo 7.

Observe que, se dois inteiros são congruentes módulo n, então eles têm a mes‑ ma ordem módulo n. Pois, se a ≡ b ( mod n ) e a k ≡ 1( mod n ) , o Teorema 4.2 implica que a k ≡ b k ( mod n ) , daí b k ≡ 1( mod n ) .

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Medium 9788536314709

1 - Os jogos nas aulas de matemática do ensino médio

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Neide Pessoa, Cristiane Ishihara Grupo A PDF Criptografado

Ensino Médio – Jogos de Matemática

1

9

Os Jogos nas Aulas de

Matemática do Ensino Médio

A

utilização de jogos na escola não é algo novo, assim como é bastante conhecido o seu potencial para o ensino e a aprendizagem em muitas áreas do conhecimento.

Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem que permite alterar o modelo tradicional de ensino, que muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, as quais são estreitamente relacionadas ao assim chamado raciocínio lógico.

As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática.

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Medium 9788577806959

5: Conversão de Radianos paraGraus, Minutos e Segundosou Frações de Graus

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

Conversão de Radianos para

Graus, Minutos e Segundos ou Frações de Graus

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Radianos

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Frações de Graus

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Medium 9788582603161

Capítulo 2. Teoria dos conjuntos

Diana Maia de Lima, Luis Eduardo Fernandes Gonzalez Grupo A PDF Criptografado

capítulo 2

Teoria dos conjuntos

Conhecer os conceitos básicos da teoria dos conjuntos é fundamental, pois a maioria dos conceitos desenvolvidos em computação e informática, bem como os correspondentes resultados, é baseada em conjuntos ou construções sobre conjuntos. Portanto, neste capítulo estudaremos a definição de conjunto, elementos, conjuntos especiais, operações com conjuntos e cardinalidade, conteúdos matemáticos que encontram aplicações em banco de dados, construção de algoritmos, modelagem de sistemas, estruturas de dados e redes de computadores.

Bases

Científicas

Bases

Tecnológicas

Expectativas de

Aprendizagem

Conjuntos: noção e primeiros conceitos

Conjunto vazio e conjunto das partes

Conjuntos numéricos

Álgebra dos conjuntos

Cardinalidade

Construção de algoritmos, fluxogramas e pseudocódigos

Projeto de banco de dados

Construção de tabelas de banco de dados

Modelagem de dados

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Medium 9788582604571

Apêndices

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

A A LINGUAGEM DA

MATEMÁTICA

Um dos desafios no aprendizado do Cálculo é se acostumar com sua terminologia e linguagem precisas, especialmente no enunciado de teoremas. Nesta seção, analisamos alguns detalhes de Lógica que são úteis e, na verdade, essenciais, no entendimento de teoremas e sua utilização correta.

Muitos teoremas da Matemática envolvem uma implicação. Se A e B são afirmações, então a implicação significa que A implica B:

Se A for verdadeira, então B é verdadeira.

A afirmação A é denominada a hipótese (ou premissa) e a afirmação B é a conclusão (ou tese) da implicação. Vejamos um exemplo: Se m e n forem inteiros pares, então m + n será um inteiro par. Essa afirmação pode ser dividida em uma hipótese e uma conclusão: m + n é um inteiro par

m e n são inteiros pares

Na linguagem do dia a dia, as implicações costumam ser utilizadas de uma maneira menos precisa. Um exemplo: Se você trabalhar duro, então você terá sucesso. Além disso, algumas afirmações que sequer tem o formato podem ser reformuladas como implicações.

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Medium 9788577804962

2 o modelo de referência OSI da ISO

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

62

Redes de Computadores

Logo ficou evidente que, para melhor utilizar o imenso potencial por trás da tecnologia de redes, era necessário que fossem estabelecidos rapidamente padrões internacionais que assegurassem a interoperabilidade entre os computadores e equipamentos dessas redes. Em 1978, a International Organization for Standarization (ISO) criou um comitê técnico (TC97) de processamento de informação, reconhecendo que era urgente a necessidade de criar padrões para a interconexão de sistemas heterogêneos (computadores e roteadores, por exemplo). No mesmo ano, o TC97 criou um subcomitê (SC16) para tratar da interconexão de sistemas abertos ou OSI

(open system interconnection).

A estratégia básica adotada pelo SC16 para definir um modelo de arquitetura aberto, isto é, capaz de interoperar (trocar informação) com um outro sistema de arquitetura aberta, foi dividir a complexidade desta interconexão em conjuntos de funções afins

1 agrupados em camadas (layers ISO) ou níveis (levels ITU-T). A ideia é poder projetar uma rede, ou seja, interconectar diferentes equipamentos (sistemas) e assim facilitar a troca de informações (interoperabilidade) entre eles. Dessa forma, o projeto global da interconexão de equipamentos heterogêneos em uma rede fica reduzido ao projeto das funções e serviços oferecidos em cada uma das camadas definidas para essa rede. O projeto de uma camada é restrito ao contexto dessa camada e supõe que os problemas fora desse contexto (camada) já estejam devidamente resolvidos. Cada camada utiliza os serviços providos pela camada imediatamente inferior para oferecer um serviço de melhor qualidade àquela imediatamente superior.

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Medium 9788521627982

Capítulo 4 - Derivada

Hamilton Luiz Guidorizzi Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO 4

DERIVADA

DERIVADA

4.1 O QUE É A DERIVADA

Derivada

A derivada da função y ϭ f(x) é a função yЈ ϭ f Ј(x) dada por f Ј(x) ϭ lim

⌬x →0

f (x ϩ ⌬x ) Ϫ f (x )

.

⌬x

Observe que tanto yЈ (que se lê: y linha) quanto f Ј(x) (que se lê: f linha de x) são notações para representar a derivada dy de y ϭ f(x). Outra importante notação para a derivada de y ϭ f(x) é

(que se lê: derivada de y em relação a x). dx dy

A notação

é devida a Leibniz (veja Seção 3.8). Lembrando da fórmula ⌬y ϭ f(x ϩ ⌬x) Ϫ f(x), a derivada de dx y ϭ f(x) pode, também, ser escrita da seguinte forma:

dy

⌬y

ϭ lim

. dx

⌬x →0 ⌬x

Ou seja, a derivada de y ϭ f(x) é o limite, para ⌬x tendendo a zero, da razão incremental

⌬y

.

⌬x

Atenção

Com freqüência escreveremos, também, (f(x))Ј para indicar a derivada de f(x). Para futuras interpretações da

⌬y derivada, será muito bom pensar a derivada como o valor da razão incremental

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Medium 9788582602256

Capítulo 6 - Aplicações da integral definida na geometria, nas ciências e na engenharia

Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen L. Davis Grupo A PDF Criptografado

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APLICAÇÕES DA

INTEGRAL DEFINIDA

NA GEOMETRIA,

NAS CIÊNCIAS E NA

ENGENHARIA

Cortesia NASA

O Cálculo é essencial nas contas que devem ser feitas para pousar um astronauta na Lua.

6.1

No capítulo anterior, introduzimos a integral definida como o limite de somas de Riemann, no contexto de encontrar áreas. No entanto, as somas de Riemann e as integrais definidas têm aplicações que se estendem muito além dos problemas de área. Neste capítulo, mostraremos como as somas de Riemann e as integrais definidas surgem em problemas como obter o volume e a superfície de um sólido ou o comprimento de uma curva plana, calcular o trabalho feito por uma força, encontrar o centro de gravidade de uma região plana, encontrar a pressão e a força exercidas por um fluido sobre um objeto submerso e encontrar as propriedades de cabos suspensos.

Embora esses problemas sejam diversos, todos os cálculos requeridos podem ser abordados pelo mesmo procedimento utilizado para encontrar áreas, ou seja, quebrando os cálculos em “partes pequenas”, fazendo uma aproximação boa porque a parte é pequena, somando as aproximações das partes e obtendo uma soma de Riemann que aproxime a quantidade toda a ser calculada, para então tomar o limite da soma de Riemann e obter um resultado exato.

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Medium 9788521620723

7 Logaritmo natural

Geraldo Ávila, Luís Cláudio Lopes de Araujo Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 209 — #209

Cap´ıtulo 7

Os logaritmos foram inventados no in´ıcio dos anos 1600 com o objetivo de facilitar c´alculos num´ericos. Naquela ´epoca, havia necessidade de realizar c´alculos trabalhosos, na elabora¸c˜ao de cartas n´auticas, mapas e no pr´oprio com´ercio. E os logaritmos realmente ajudaram muito, permitindo que opera¸c˜oes mais complexas, como multiplica¸c˜ao e divis˜ao, pudessem ser substitu´ıdas por adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao, que s˜ao bem mais simples. Essa utilidade dos logaritmos perdurou at´e aproximadamente 1960, quando os grandes computadores come¸caram a se tornar populares nas universidades e grandes empresas. Mas, a partir de ent˜ao, os logaritmos foram rapidamente caindo em desuso; mais ainda depois de 1980, quando come¸caram a surgir as calculadoras manuais e os microcomputadores. N˜ao obstante isso, a fun¸c˜ao “logaritmo natural” tem enorme importˆancia no C´alculo e em v´arios ramos da Matem´atica e outras ´areas cient´ıficas. E ´e interessante observar desde j´a que o logaritmo de um n´umero em qualquer base ´e sempre o produto de uma constante pelo logaritmo natural desse n´umero. Da´ı a importˆancia de estudarmos esse logaritmo.

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Medium 9788584291779

Capítulo 9. Conversas Numéricas podem desencadear investigações

Cathy Humphreys, Ruth Parker Grupo A PDF Criptografado

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Conversas Numéricas podem desencadear investigações

A matemática tem o potencial de surpreender. Observamos situações que parecem mágicas e não podemos evitar o questionamento: “Por que isso está acontecendo? Como isso funciona?”. E quando nos surpreendemos, queremos descobrir a resposta. Então investigamos. E é disso que trata este capítulo. Durante as Conversas Numéricas, haverá muitas vezes em que você e seus alunos se perguntarão por que alguma coisa funciona ou se vai funcionar sempre. Quando isso acontece, você tem a oportunidade perfeita para transformar as Conversas Numéricas em uma investigação, e elas provavelmente irão revelar ideias matemáticas importantes. Quando você faz a pergunta: “Isto vai funcionar sempre?”, você abre a porta para os alunos examinarem a matemática que há por trás das várias estratégias a partir de perspectivas diferentes, e haverá oportunidades para que percebam conexões entre ideias matemáticas aparentemente não relacionadas e entre números, álgebra e geometria. A concepção de que os estudantes estão buscando a resposta para uma pergunta matemática que eles têm é, por si só, maravilhosa.

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