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Medium 9788577809264

35 multiplicação e inversa de matrizes

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 35

Multiplicação e Inversa de Matrizes

DEFINIÇÃO DE PRODUTO INTERNO

O produto interno de uma linha da matriz A por uma coluna da matriz B é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B; o produto interno é o seguinte número real: multiplique cada elemento da linha de A pelo elemento correspondente da coluna de B e some os resultados. Desse modo:

Exemplo 35.1

Encontre o produto interno da linha 1 de

pela coluna 2 de

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

O produto de duas matrizes é definido se, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B; o produto AB é definido da seguinte maneira: assumindo que A seja uma matriz m ϫ p e B, uma matriz p ϫ n, então, C ϭ AB é uma matriz m ϫ n com o elemento na linha i e coluna j sendo o produto interno da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B.

Exemplo 35.2 Sejam

e

. Encontre AB.

Primeiro, observe que A é uma matriz 2 ϫ 2 e B é uma matriz 2 ϫ 3; logo, AB é definido e é uma matriz 2 ϫ 3. O elemento na linha 1, coluna 1 de AB é o produto interno da linha 1 de A com a coluna 1 de B, portanto:

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Medium 9788521625469

12 - MATLAB para Álgebra Linear

Kolman, Hill Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

12

MATLAB PARA

ÁLGEBRA LINEAR

INTRODUÇÃO*

O MATLAB é um programa versátil para computadores que tem como recurso principal a

álgebra linear. O MATLAB pertence ao MATrix LABoratory. Ele incorpora partes de projetos de rotinas de computador muito bons, desenvolvidos profissionalmente para cálculos em álgebra linear. O código empregado pelo MATLAB é escrito na linguagem C. Muitas das rotinas/funções são escritas na linguagem MATLAB e aperfeiçoadas à medida que novas versões são lançadas. O MATLAB está disponível para Microsoft Windows e para Unix e estações de trabalho VMS.

O MATLAB possui uma grande variedade de recursos. Neste livro, usaremos somente uma pequena parte deles. Descobriremos que a estrutura de comandos do MATLAB é bastante semelhante à maneira como escrevemos expressões algébricas e operações de álgebra linear. Os nomes de vários comandos do MATLAB são semelhantes aos das operações e conceitos da álgebra linear. Fornecemos descrições dos comandos e recursos do MATLAB que estão diretamente relacionados a este curso. Uma discussão mais detalhada dos comandos do

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Medium 9788582603840

Apêndice A - Respostas para problemas selecionados

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

APÊNDICE

Respostas para problemas selecionados

A

Capítulo 1

1.1. a = 2ˆ5, b = sqrt(7)

1.3. a = cosd(60), b = tan(pi/4)

1.5. a = abs(-5), b = factorial(9)

1.7. x = [6 2 0 5], y = [6 2 0 5]'

1.9. z = zeros(1,20)

1.11. A = [1 7; -4 3]

1.13. a = -18.3333. Verifique a ordem de precedência dos operadores: \, *, +, -.

1.15. e = 5.3948. O comando log(y) determina o logaritmo natural de y.

1.17. w = 1.5708, e = 1. Observe que ecos(π/2) = e0 = 1.

1.19. O comando ln não existe. O correto é usar a = log(5).

1.21. A vírgula é separador de elementos. O correto é t = cos(3.1416).

1.23. O polinômio é 3,3x 2 + 174,2x – 6627,7. Observe o fator 103 multiplicando os elementos do vetor.

1.25. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -3 : 0.01 : 3; y = exp(-x) - 1; plot(x, y) grid on legend('g(x) = exp(-x) - 1') xlabel('x') ylabel('g(x)') title('Problema 1.25')

1.27. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -1 : 0.01 : 3; y = (x + 1)./(x - 1); plot(x,y) grid on legend('i(x) = (x + 1)/(x - 1)') xlabel('x') ylabel('i(x)') title('Problema 1.27')

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Medium 9788536307039

1. Os Jogos nas Aulas de Matemática

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

1

Os Jogos nas Aulas de Matemática

A

utilização de jogos na escola não é algo novo, assim como é bastante conhecido o seu potencial para o ensino e a aprendizagem em muitas áreas do conhecimento.

Em se tratando de aulas de matemática, o uso de jogos implica uma mudança significativa nos processos de ensino e aprendizagem, que permite alterar o modelo tradicional de ensino, o qual muitas vezes tem no livro e em exercícios padronizados seu principal recurso didático. O trabalho com jogos nas aulas de matemática, quando bem planejado e orientado, auxilia o desenvolvimento de habilidades como observação, análise, levantamento de hipóteses, busca de suposições, reflexão, tomada de decisão, argumentação e organização, que estão estreitamente relacionadas ao chamado raciocínio lógico.

As habilidades desenvolvem-se porque, ao jogar, os alunos têm a oportunidade de resolver problemas, investigar e descobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos do jogo e os conceitos matemáticos. Podemos dizer que o jogo possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativa nas aulas de matemática.

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Medium 9788597013122

4 - Descontos e Operações de Curto Prazo

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

4

Descontos e Operações de Curto Prazo

Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.

Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.

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Medium 9788565837156

Capítulo 51 - Superfícies e Curvas no Espaço

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 51

Superfícies e Curvas no Espaço

PLANOS

Já sabemos (fórmula (50.22)) que a equação de um plano tem a forma Ax + By + Cz + D = 0, onde Ai + Bj + Ck é um vetor não nulo perpendicular ao plano. O plano passa pela origem (0, 0, 0) se, e somente se, D = 0.

ESFERAS

A partir da fórmula de distância (50.3), vemos que uma equação da esfera com raio r e centro (a, b, c) é

Então, uma esfera com centro na origem, (0, 0, 0) e raio r tem a equação

SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS

Uma equação F(x, y) normalmente define uma curva � no plano xy. Agora, se um ponto (x, y) satisfaz essa equação, então para qualquer z, o ponto (x, y, z) no espaço também satisfaz a equação. Logo, a equação F(x, y) = 0 determina a superfície cilíndrica obtida quando movemos a curva � paralelamente ao eixo z. Por exemplo, a equação x2 + y2 = 4 determina um círculo no plano xy com raio 2 e centro na origem. Se movemos esse círculo paralelamente ao eixo z, obtemos um cilindro circular reto. Logo, o que normalmente chamamos de cilindro é um caso especial de uma superfície cilíndrica.

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Medium 9788565837156

Capítulo 27 - Regra de L’Hôpital

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 27

Regra de L’Hôpital

Limites da forma

podem ser calculados pelo seguinte teorema nos casos indeterminados onde f(x) e g(x) se

aproximam ambos de 0 ou de ±∞.

REGRA DE L’HÔPITAL

Se f(x) e g(x) se aproximam ambos de 0 ou de ±∞, então

Aqui, “lim” se refere a qualquer um dos seguintes casos

Para um esboço da demonstração, veja os Problemas 1, 11 e 12. É assumido, no caso dos últimos três tipos de limites, que g′(x) ≠ 0 para x suficientemente próximo de a, e no caso dos dois primeiros limites, que g′(x) ≠ 0 para valores de x suficientemente grandes ou pequenos. (As afirmações correspondentes sobre g(x) ≠ 0 seguem do Teorema de Rolle.)

Exemplo 27.1

Como ln x se aproxima de +∞ à medida que x tende a +∞ a Regra de L’Hôpital implica em

Exemplo 27.2

Como ex se aproxima de +∞ à medida que x tende a +∞, a Regra de L’Hôpital implica em

Exemplo 27.3

Já sabemos, a partir do Problema 13(a) do Capítulo 7, que

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Medium 9788521635451

10 - Fluxo de um Campo Vetorial. Teorema da Divergência ou de Gauss

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

Fluxo de um Campo Vetorial.

Teorema da Divergência ou de Gauss   vídeo 17.1

 10.1 Fluxo de um Campo Vetorial

Seja σ : K ⊂ 2 → 3 de classe C1, em que K é um compacto com fronteira de conteúdo nulo e interior não vazio. Suponhamos que σ seja injetora e regular no interior de K. Podemos, então,

 considerar os campos vetoriais n1 e n2 dados por

 n1 (σ (u , v)) = e

∂σ

(u, v) Ù

∂u

∂σ

(u, v) Ù

∂u

∂σ

(u, v)

∂v

, (u, v) ∈ K ,

∂σ

(u, v)

∂v

 n2 (σ (u , v)) = − n1 (σ (u , v)).

O campo n1 associa a cada ponto σ (u, v) da imagem de σ, com (u, v) ∈ K , um vetor unitário

 e normal a σ. Observe que o domínio de n1 é o conjunto

{X ∈ Im σ | X = σ (u, v) com (u, v) ∈ K }.

Como σ é injetora no interior de K, o campo n1 está bem definido. n1 (σ (u, v))

∂σ (u, v)

∂v

∂σ (u, v)

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Medium 9788565837156

Capítulo 16 - Revisão de Trigonometria

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 16

Revisão de Trigonometria

MEDIDA DE ÂNGULO

A unidade tradicional para se medir ângulos é o grau. 360 graus compõem uma rotação completa. Contudo, existe uma outra unidade de medida, o radiano, que é mais útil no cálculo. Considere um círculo de raio 1 e com o centro no ponto C. (Ver Fig 16-1.) Sejam CA e CB dois raios para os quais o arco do círculo tem comprimento 1. Então um radiano é usado para medir o ângulo central ACB.

Figura 16-1

Se u é o número de graus no ângulo ACB, então a razão entre u e 360° é igual à razão entre cia 2π. Como

, u/360 = 1/2π e, portanto, u = 180/π. Então, graus

1 radiano

e a circunferên-

(1)

Se π é considerado, aproximadamente, como 3,14, então 1 radiano é algo em torno de 57,3 graus. Multiplicando a equação (1) por π/180, obtemos:

1 grau

radianos

(2)

A tabela na Fig. 16-2 mostra a medida em radianos de algumas medidas importantes em graus.

Agora imagine um círculo qualquer de raio r e com centro O. (Ver Fig. 16-3.) Assuma que contém θ radianos e que s é o comprimento do arco DE. A razão entre θ e o número 2π de radianos em uma rotação completa é igual à razão de s pela circunferência 2πr inteira. Então, θ/2π = s/2πr. Portanto, s = rθ

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Medium 9788521633693

9 - Integrais na Engenharia

Kuldip S. Rattan, Nathan W. Klingbeil Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

9

Integrais na

Engenharia

Neste capítulo, discutiremos o que é integração e por que engenheiros precisam saber calcular integrais. É importante ressaltar que o objetivo deste capítulo não é ensinar técnicas de integração, como é típico de cursos de cálculo, mas expor aos alunos a relevância da integração na engenharia e ilustrar sua aplicação em problemas abordados em cursos básicos de engenharia, como física, estática, dinâmica e circuitos elétricos.

9.1

INTRODUÇÃO: O PROBLEMA DE ASFALTO

Um gerente deve contratar um empreiteiro para alargar a entrada de caminhões na sede de sua companhia, como ilustrado na Fig. 9.1. O asfalto se estende por 50 pés nas direções x e y e tem raio de 50 pés. Assim, a necessária quantidade de asfalto é a área sob a curva circular dada por:

(x − 50)2 + (y − 50)2 = 2500.

(9.1)

r = 50 ft

50 ft

Asfalto novo

50 ft

Figura 9.1  Entrada da sede da companhia.

A empresa de asfalto cobra por pé quadrado e fornece uma estimativa baseada em uma “olhada” na área a ser asfaltada. O gerente pede a um jovem engenheiro que estime a área para assegurar que o orçamento seja justo. O jovem engenheiro propõe que a área seja estimada como uma série de n retângulos inscritos, como indicado na Fig. 9.2. A área A é dada por:

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Medium 9788536507965

2.10 Amortizações

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

Para 9% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0, 09 )

+

6000

2

(1 + 0, 09 )

+

5000

(1 + 0, 09 )3

= 16250, 45

VPL1 = 16250,45 – 16000 = 250,45

Para 11% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0,11)

+

6000

2

(1 + 0,11)

+

5000

(1 + 0,11)3

= 15732, 90

VPL2 = 15732,90 – 16000 = 267,10

Interpolação linear

A TIR deve estar entre 9% e 11%, visto que tivemos resultados do VPL com sinais opostos. Logo,

VPL1

VPL2

250, 45 −267,10

=

=

⇒ 250, 45 ( TIR − 11) = −267,10 ( TIR − 9 ) ⇒

TIR − i1 TIR − i2

TIR − 9 TIR − 11

⇒ 250, 45 TIR − 2754, 95 = −267,10 TIR + 2403, 90 ⇒ 517, 55 TIR = 5158, 85 ⇒

⇒ TIR = 9, 97% a.a.

Como a TIR (9,97% a.a.) é menor que a taxa de atratividade (10% a.a.), o investimento não é atrativo.

2.10  Amortizações

2.10.1  Definições

Após o estudo da capitalização, seja simples ou composta, e da série de pagamentos, passamos agora às amortizações, que nada mais são do que formas de parcelar uma dívida por meio de processos práticos. O termo amortização refere-se ao pagamento efetivo do valor emprestado.

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Medium 9788584291779

Preâmbulo para as operações

Cathy Humphreys, Ruth Parker Grupo A PDF Criptografado

Preâmbulo para as operações

Concentrar-se em uma operação aritmética de cada vez proporciona aos alunos muitas oportunidades de experimentar estratégias que não haviam visto antes e pensar de forma profunda e flexível sobre a operação. No entanto, só você pode decidir qual operação é o ponto de partida mais apropriado para seus alunos.

Assim, os Capítulos 4 a 7 podem ser utilizados em qualquer ordem. Eles têm a mesma estrutura geral, que tornará este livro fácil de usar, independentemente de por onde você escolher iniciar. Também incluímos aqui três tipos de Conversas

Numéricas que não se enquadram em um capítulo específico; em vez disso, contribuem para que os alunos usem várias estratégias em todas as operações com facilidade. Por último, temos uma observação especial para aqueles que lecionam no ensino médio.

▌▌Como os capítulos estão organizados

Para cada operação:

• destacamos e nomeamos informalmente quatro ou cinco das estratégias mais eficientes;

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Medium 9788584290789

Capítulo 4. Materiais

Kátia Stocco Smole, Maria Ignez Diniz Grupo A PDF Criptografado

Materiais

Se sua escola não dispõe de materiais manipulativos (cubos coloridos e sólidos geométricos) em quantidade suficiente, você pode disponibilizar para os alunos uma cópia dos moldes que se encontram a seguir. Os moldes devem ser colados em cartolina e recortados.

Para os cubos coloridos, há apenas um molde de cada peça.

O kit por aluno, no entanto, deve conter:

• 2 cubos azuis;

• 2 cubos amarelos;

• 2 cubos vermelhos;

• 2 cubos de 3 cores (em faces opostas).

Para os sólidos geométricos, o kit por 4 alunos deve conter:

• 1 paralelepípedo;

• 1 cubo;

• 4 pirâmides de bases quadrada, triangular, pentagonal e hexagonal;

• 3 prismas de bases triangular, pentagonal e hexagonal;

• 1 cilindro;

• 1 cone;

• 1 esfera (que não tem molde e deve ser representada por uma bola de tamanho pequeno).

Também se encontra disponibilizada uma folha de malha pontilhada, que pode ser copiada e distribuída aos alunos. Para baixar todos os materiais, em www.grupoa.com.br, acesse a página do livro por meio do campo de busca e clique em Área do Professor.

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Medium 9788565837156

Capítulo 55 - Centroides e Momentos de Inércia de Áreas Planas

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 55

Centroides e Momentos de

Inércia de Áreas Planas

ÁREA PLANA POR DUPLA INTEGRAÇÃO

Se f(x, y) = 1, a integral dupla do Capítulo 54 torna-se

Em unidades cúbicas, isso mede o volume de um ci-

lindro de altura unitária; em unidades quadradas, isso mede a área A da região R.

Em coordenadas polares

onde θ = α, θ = β, ρ = ρ1(θ) e ρ = ρ2(θ) são escolhidos como fronteira da região R.

CENTROIDES

A centroide de uma região plana R é intuitivamente definido da seguinte maneira. Se R tem uma densidade unitária uniforme e se R é apoiada em baixo pelo ponto então R se equilibra (isto é, R não rotaciona). considere antes a reta vertical

Se dividimos R em sub-regiões R1,…, Rn, de áreas

Para localizar

Δ1A,…, ΔnA, como no Capítulo 54, e se selecionamos pontos (xk, yk) em cada Rk, então o momento (força rotacional) de Rk sobre a reta

é aproximadamente

Logo, o momento de R em torno de

é, aproxiFazendo a partição de R cada vez mais fina, temos

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Medium 9788582602362

Capítulo 18 - Cone

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

capítulo 18

Cone

Neste capítulo, vamos saber um pouco mais sobre o cone, apresentando seus elementos e principais fórmulas para encontrar dados importantes, como volume e área.

Objetivos de aprendizagem

Descrever os elementos de um cone e distinguir seus tipos com base em seu eixo.

Calcular a área e o volume de um cone.

Trabalhar com cálculos envolvendo troncos de cone.

Seja C a circunferência de centro O e raio r, contida no plano α, e um ponto V fora do plano, chamamos de cone a união dos segmentos com extremidades no ponto

V e na circunferência C.

V

h

A

O

r

C

α

Elementos de um cone

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

Os elementos que compõem o cone são:

••

••

••

••

••

Vértice. É o ponto V fora do plano α.

Base. É o círculo de centro O e raio r.

Altura. A altura h é a distância entre o vértice V e o plano α.

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