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Medium 9788577808335

9 Diagonalização: Autovalores e Autovetores

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 9

Diagonalização:

Autovalores e Autovetores

9.1 INTRODUÇÃO

As ideias apresentadas neste capítulo podem ser discutidas em dois contextos.

Contexto de matrizes

Seja dada uma matriz quadrada A de ordem n. Dizemos que a matriz A é diagonalizável se existir uma matriz não singular P tal que

seja diagonal. Neste capítulo estudamos a diagonalização de uma matriz A. Em particular, fornecemos um algoritmo para encontrar a matriz P, quando existir.

Contexto de operadores lineares

Seja dado um operador linear

. Dizemos que o operador T é diagonalizável se existir uma base S de V tal que a representação matricial D de T em relação à base S for uma matriz diagonal. Neste capítulo estudamos condições sob as quais o operador T é diagonalizável.

Equivalência dos dois contextos

Os dois conceitos apresentados são, essencialmente, o mesmo. Mais precisamente, uma matriz quadrada A pode ser vista como o operador linear F definido por

F(X) ϭ AX onde X é um vetor coluna e representa F em relação a um novo sistema de coordenadas (base) S cujos elementos são as colunas de P. Por outro lado, qualquer operador linear T pode ser representado por uma matriz A em relação a alguma base e, escolhendo alguma outra base, T é representado pela matriz

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Medium 9788521627609

3 - Apresentação de Dados, Uma Variável por Vez

DIETZ, Thomas; KALOF, Linda Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO 3

APRESENTAÇÃO DE DADOS,

UMA VARIÁVEL POR VEZ

Esboço

Apresentação Gráfica de Dados Nominais e Ordinais

Gráfico de pizza (setores)

Gráfico de barras

Histograma de pontos

Apresentação Gráfica de Dados Contínuos

Diagramas de dispersão de um fator

Gráfico de pontos de Cleveland

Histograma

Diagrama de ramo-e-folhas

Assimetria e moda

Regras para Construção de Gráficos

O que Aprendemos

Tópicos Avançados

Aplicações

Exercícios

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52 Capítulo 3

A análise preliminar da maioria dos dados é facilitada pelo uso de diagramas. Diagramas nada provam, mas levam características de compreensão diretamente ao olhar; não são, portanto, substitutos para testes críticos que serão aplicados aos dados, mas são valiosos não só para sugerir tais testes, bem como para explicar as conclusões encontradas a partir deles. R. A. Fisher, Statistical Methods for Research Workers, 1925 (Gaither e Cavazos-Gaither, 1996, p. 113).

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Medium 9788521625339

CAPÍTULO 13 Distribuições Amostrais

Baldi, Brigitte Grupo Gen PDF Criptografado

James Cavallini/Photo Researchers, Inc.

CAPÍTULO 13

Distribuições Amostrais

NESTE CAPÍTULO

ABORDAMOS...

A obesidade tornou-se um foco implacável dos debates sobre saúde. Mas como sabemos que é um problema e que está piorando? A pesquisa do governo Na­ tional Health and Nutrition Examination Survey (NHANES) contata uma grande amostra representativa de americanos, a cada poucos anos. Em 1994, o peso médio dos homens adultos americanos com mais de 20 anos era x = 182,4 libras (1 libra = 82,735 kg), com base em uma amostra de 6860 indivíduos.

Quatorze anos depois, uma amostra aleatória NHANES de 2008, com 3339 homens adultos, resultou em um peso médio de x = 191,5 libras (86,863 kg).

Os valores 182,4 e 191,5 descrevem as amostras extraídas em 1994 e 2008, respectivamente, mas as usamos para estimar o peso médio de todos os homens americanos em 1994 e em 2008. Esse é um exemplo de inferência estatística: usamos informação de uma amostra para inferir algo sobre uma população maior.

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Medium 9788521631965

14 - Introdução à Regressão Múltipla

LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

14

Introdução à Regressão

Múltipla

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA: Os

Múltiplos Efeitos das Barras OmniPower

14.1 Desenvolvendo um Modelo de

Regressão Múltipla

Interpretando os Coeficientes da

Regressão

Prevendo a Variável Dependente Y

14.2 r 2, r 2 Ajustado e o Teste F Geral

Coeficiente de Determinação Múltipla r 2 Ajustado

Teste para a Significância do Modelo de Regressão Múltipla Geral

14.3 Análise de Resíduos para o Modelo de Regressão Múltipla

14.5 Testando Partes do Modelo de

Regressão Múltipla

Coeficientes de Determinação Parcial

14.6 Utilizando Variáveis Binárias

(Dummy) e Termos de Interação em

Modelos de Regressão

Variáveis Binárias (Dummy)

Interações

14.7 Regressão Logística

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA: Os

Múltiplos Efeitos das Barras OmniPower,

Revisitado

GUIA DO EXCEL PARA O CAPÍTULO 14

14.4 Inferências Relacionadas com os

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Medium 9788521633693

9 - Integrais na Engenharia

RATTAN, Kuldip S.; KLINGBEIL, Nathan W. Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

9

Integrais na

Engenharia

Neste capítulo, discutiremos o que é integração e por que engenheiros precisam saber calcular integrais. É importante ressaltar que o objetivo deste capítulo não é ensinar técnicas de integração, como é típico de cursos de cálculo, mas expor aos alunos a relevância da integração na engenharia e ilustrar sua aplicação em problemas abordados em cursos básicos de engenharia, como física, estática, dinâmica e circuitos elétricos.

9.1

INTRODUÇÃO: O PROBLEMA DE ASFALTO

Um gerente deve contratar um empreiteiro para alargar a entrada de caminhões na sede de sua companhia, como ilustrado na Fig. 9.1. O asfalto se estende por 50 pés nas direções x e y e tem raio de 50 pés. Assim, a necessária quantidade de asfalto é a área sob a curva circular dada por:

(x − 50)2 + (y − 50)2 = 2500.

(9.1)

r = 50 ft

50 ft

Asfalto novo

50 ft

Figura 9.1  Entrada da sede da companhia.

A empresa de asfalto cobra por pé quadrado e fornece uma estimativa baseada em uma “olhada” na área a ser asfaltada. O gerente pede a um jovem engenheiro que estime a área para assegurar que o orçamento seja justo. O jovem engenheiro propõe que a área seja estimada como uma série de n retângulos inscritos, como indicado na Fig. 9.2. A área A é dada por:

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Medium 9788577809264

41 sequências e séries

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 41

Sequências e Séries

DEFINIÇÃO DE SEQUÊNCIA

Uma sequência é uma função cujo domínio são os números naturais (sequência infinita) ou mesmo subconjuntos dos números naturais de 1 até um número maior (sequência finita). A notação f (n) ϭ an é usada para denotar as imagens da função: os a1, a2, a3,... são chamados de primeiro, segundo, terceiro, etc. termos da sequência, e an é dito o n-ésimo termo. A variável independente n é chamada de índice. A menos que seja especificado o contrário, uma sequência é assumida como uma sequência infinita.

Exemplo 41.1

Escreva os primeiros quatro termos da sequência dada por an ϭ 2n.

a1 ϭ 2 ⋅ 1, a2 ϭ 2 ⋅ 2, a3 ϭ 2 ⋅ 3, a4 ϭ 2 ⋅ 4. A sequência poderia ser escrita como 2 ⋅ 1, 2 ⋅ 2, 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 4, … ou 2, 4,

6, 8, ….

Exemplo 41.2 Escreva os primeiros quatro termos da sequência dada por an ϭ (Ϫ1)n. a1 ϭ (Ϫ1)1, a2 ϭ (Ϫ1)2, a3 ϭ (Ϫ1)3 a4 ϭ (Ϫ1)4. A sequência poderia ser escrita como (Ϫ1)1, (Ϫ1)2, (Ϫ1)3, (Ϫ1)4,... ou Ϫ1, 1, Ϫ1, 1,...

ENCONTRANDO O N-ÉSIMO TERMO DE UMA SEQUÊNCIA

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Medium 9788577809264

23 identidades e equações trigonométricas

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

212

PRÉ-CÁLCULO

4. Identidades para negativos. Para quaisquer t para os quais ambos os lados são definidos:

SIMPLIFICANDO EXPRESSÕES TRIGONOMÉTRICAS

As identidades trigonométricas básicas são empregadas para reduzir expressões trigonométricas a formas mais simples:

Exemplo 23.2 Simplifique:

Da identidade pitagórica, 1 Ϫ cos2␣ ϭ sen2␣. Logo,

VERIFICANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Para verificar que uma dada sentença é uma identidade, mostre que um lado pode ser transformado no outro, usando técnicas algébricas, incluindo simplificação e substituição, e técnicas trigonométricas, frequentemente incluindo a redução de outras funções para senos e cossenos.

Exemplo 23.3 Verifique que (1 Ϫ cos␪)(1 ϩ cos␪) ϭ sen2 ␪ é uma identidade.

Começando com o lado esquerdo, um primeiro passo óbvio é realizar operações algébricas:

Exemplo 23.4 Verifique que

é uma identidade.

Começando com o lado esquerdo, um primeiro passo óbvio é reduzir a senos e cossenos:

OUTRAS SENTENÇAS

Se uma sentença tem significado, ainda que não seja verdadeira para pelo menos um valor da variável ou das variáveis, não é uma identidade. Para mostrar que não é uma identidade, basta exibir um valor da variável ou das variáveis que torne a sentença falsa.

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Medium 9788521633099

2 - Representação Tabular

MATTOS, Viviane Leite Dias de; AZAMBUJA, Ana Maria Volkmer de; KONRATH, Andréa Cristina Grupo Gen PDF Criptografado

2

REPRESENTAÇÃO TABULAR

2.1 Descrição e exploração de dados

Ao fazer um levantamento de dados, obtém-se um volume muito grande de informações que, para serem mais facilmente entendidas, precisam ser organizadas e resumidas. Para tanto, extrai-se o máximo de informação não apenas em relação à variável investigada propriamente dita, como também em relação a algumas de suas propriedades: forma da distribuição, tendência central, variabilidade, presença de lacunas e de outliers (valores fora do padrão).

Nessas situações são especialmente indicadas as tabelas estatísticas, além de técnicas gráficas, como o histograma, e técnicas analíticas, que se utilizam de medidas descritivas.

2.2 Tabelas de frequências

Normalmente, o resumo dos dados se inicia com a construção de tabelas estatísticas. Uma tabela é uma disposição de dados sistemática, simples e clara, em linhas e colunas. Elas conseguem resumi-los em pequeno espaço, facilitando sua compreensão e análise, bem como sua comparação com outras informações. Podem ser utilizadas simplesmente em caráter informativo, em forma de síntese, como também podem consistir na primeira etapa de uma análise estatística mais sofisticada. Apresentam a vantagem de serem mais breves que as exposições descritivas e mais exatas que as representações gráficas.

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Medium 9788577803811

3.5 lista encadeada circular

Nina Edelweiss, Renata Galante Grupo A PDF Criptografado

98

Estruturas de Dados

Saída: PtLista (TipoPtNodo)

Variável auxiliar: Pt (TipoPtNodo) begin enquanto PtLista ≠ nulo faça início

Pt ← PtLista

PtLista ← PtLista↑.Elo liberar(Pt) fim liberar(PtLista) fim

3.5

lista encadeada circular

Quando uma lista linear encadeada apresenta um elo ligando o último nodo ao primeiro, ela se torna uma lista circular (Figura 3.23). Neste caso, qualquer nodo pode ser utilizado para fazer acesso à lista, pois toda ela pode ser percorrida a partir de qualquer nodo. Mesmo sendo circulares, estas listas também apresentam um ponteiro para fazer referência à lista (PtLista), sendo o nodo acessado em primeiro lugar identificado como o primeiro da lista.

As operações apresentadas para listas simplesmente encadeadas podem ser adaptadas para listas circulares. A criação da lista não é alterada, uma vez que somente o ponteiro da lista é inicializado. A lista é vazia quando o ponteiro para o seu início é nulo. Quando a lista apresenta um só nodo, seu campo de elo aponta para ele mesmo. A operação de destruição da lista é praticamente a mesma, mudando somente a identificação do último nodo a ser liberado, que é aquele que contém o endereço do primeiro em seu campo de elo. Já as operações de inserção, remoção e busca apresentam algumas alterações relevantes, que serão analisadas a seguir.

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Medium 9788521629061

CAPÍTULO 8 - Funções Trigonométricas

HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. et al. Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

Padrões periódicos, como os dos eletrocardiogramas, podem ser modelados com o auxílio de funções trigonométricas.

Funções Trigonométricas

1 Medidas de Ângulos; Funções Trigonométricas

2 Aplicações de Funções Trigonométricas Envolvendo

Derivação

3 Aplicações de Funções Trigonométricas Envolvendo

Integração

Resumo do Capítulo

Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes

Problemas de Verificação

Problemas de Revisão

Soluções dos Exercícios Explore!

Para Pensar

1

2

C a p í t u lo 8

SEÇÃO 8.1

Medidas de Ângulos; Funções Trigonométricas

Objetivos do Aprendizado

1. Conhecer as medidas de ângulos

2. Estudar o seno, o cosseno e outras funções trigonométricas

3. Usar funções trigonométricas para formular modelos de fenômenos periódicos

Neste capítulo, vamos apresentar algumas funções que são muito usadas para estudar fenômenos periódicos como flutuações sazonais da oferta e de demanda, variações do tempo, o movimento dos planetas e a respiração e os batimentos cardíacos dos animais. Essas funções também estão relacionadas com a medida de ângulos e, portanto, desempenham papel importante em campos como arquitetura e topografia.

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Medium 9788560031474

Capítulo 4. Descrição de Dados: Medidas de Dispersão

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Descrição de Dados:

Medidas de Dispersão

4.1 MEDIDAS DE DISPERSÃO EM CONJUNTOS DE DADOS

As medidas de tendência central descritas no Capítulo 3 são úteis na identificação de valores “típicos” em um grupo de valores. Em comparação, medidas de dispersão estão interessadas na descrição da variabilidade entre estes valores. Várias técnicas estão disponíveis para medir a extensão da variabilidade nos conjuntos de dados. As que são descritas neste capítulo são a amplitude, amplitude modificada, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Exemplo 1 Suponha que duas diferentes máquinas de empacotamento resultem em um peso médio de 10,0 g de cereal sendo empacotados, mas que em uma caixa todos os pacotes estão dentro de 0,10 g de seu peso enquanto em outra caixa os pesos podem ter variações na casa de 1,0 g em cada direção. A medição da variabilidade, ou dispersão, dos valores sendo empacotados seria tão importante quanto a medição da média neste caso.

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Medium 9788582602454

Capítulo 15 - Tópicos do Cálculo Vetorial

Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen L. Davis Grupo A PDF Criptografado

15

TÓPICOS DO CÁLCULO

VETORIAL

NASA Goddard Space Flight Center (NASA/GSFC)

Os resultados deste capítulo fornecem ferramentas para analisar e entender o comportamento de furacões e outros fluxos fluidos.

15.1

O tema principal deste capítulo é o conceito de “fluxo”. O ramo da Matemática que estudaremos aqui preocupa-se com a análise de vários tipos de fluxos: por exemplo, o fluxo de um fluido ou o fluxo da eletricidade. Na verdade, os primeiros textos de Cálculo de Isaac Newton estão repletos de termos como “fluxão” e “fluente”, que têm como raiz o termo latim fluere (fluir). Começaremos o capítulo introduzindo o conceito de campo vetorial, que é a descrição matemática de um fluxo. Em seções subsequentes, introduziremos dois novos tipos de integrais, que são usadas em uma ampla variedade de aplicações para analisar as propriedades de campos vetoriais e de fluxos. Finalmente, concluiremos com três teoremas básicos: o Teorema de Green, o Teorema da Divergência e o

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Medium 9788577808335

10 Formas Canônicas

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 10

Formas Canônicas

10.1 INTRODUÇÃO

Seja T um operador linear de um espaço vetorial de dimensão finita. Vimos no Capítulo 6 que T pode não ter uma representação matricial diagonal. Mesmo assim, ainda é possível “simplificar” a representação matricial de T de várias maneiras. É esse o principal assunto deste capítulo. Em particular, obteremos o teorema da decomposição primária e as formas canônicas triangulares, de Jordan e racional.

Observamos que as formas canônicas triangulares e de Jordan existem para um operador T se, e só se, o polinômio característico de T possuir todas as suas raízes no corpo base K. Isso sempre ocorre se K for o corpo dos complexos , mas pode não ser verdade se K for o corpo dos reais

Neste capítulo também introduzimos a ideia de espaço quociente, uma ferramenta muito poderosa que será utilizada na demonstração da existência das formas canônicas triangular e racional.

10.2 FORMA TRIANGULAR

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão n. Suponha que T possa ser representado pela matriz triangular

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Medium 9788536307039

8. Borboleta

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

5o

E

ste jogo pode ser usado para que os alunos aprendam a fazer cálculo mental, a resolver problemas envolvendo adição e a fazer comparação de quantidades.

Organização da classe: em grupos de quatro.

Recursos necessários: todas as cartas de um baralho, exceto reis, damas e valetes.

Meta: conseguir formar o maior número de conjuntos de cartas com uma dada soma.

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS:

1. Cada jogador recebe três cartas que devem ficar viradas para cima, à sua frente, durante toda a partida.

2. Outras sete cartas são também colocadas com a face para cima, em uma fileira no centro da mesa, e as demais ficam em um monte para reposição.

3. Na sua vez, o jogador deve pegar as cartas do meio que forem necessárias para que consiga chegar ao mesmo total que o de suas três cartas. Por exemplo, se ele tem as cartas 3 7 e 5 , e no centro da mesa há as cartas 9 ,

3 4 5 10 9 7 ele poderá pegar as cartas 10 e 5 ou as cartas 7 3 e 5 para obter a soma de suas três cartas que é 15 .

4. Quando ele não mais conseguir formar conjuntos com a sua soma, deve repor as cartas que usou do meio com outras do monte e passar a vez ao próximo.

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Medium 9788577804610

15 Correlação Parcial e Múltipla

Murray R. Spiegel, Larry J. Stephens Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 15

Correlação Parcial e Múltipla

CORRELAÇÃO MÚLTIPLA

O grau de relação existente entre três ou mais varáveis é denominado correlação múltipla. Os princípios fundamentais envolvidos nos problemas da correlação múltipla são análogos aos da correlação simples, estudados no

Capítulo 14.

NOTAÇÃO POR MEIO DE ÍNDICES

Para que se consigam generalizações relativas a grande número de variáveis, é conveniente adotar uma notação que implique o emprego de índices (subscritos).

Representam-se por X1, X2, X3,..., as variáveis consideradas. Então, poder-se-á representar por X11, X12, X13,..., os valores assumidos pela variável X1 e por X21, X22, X23,..., os assumidos pela variável X2, e assim por diante. Com essa notação, uma soma como X21 ϩ X22 ϩ X23 ϩ... ϩ X2N, por exemplo, seria escrita como ou simplesmente

Quando não resultar em ambigüidade, usamos a última notação. Nesse caso, a média de

X2 será expressa por

EQUAÇÕES DE REGRESSÃO E PLANOS DE REGRESSÃO

Uma equação de regressão é uma expressão utilizada para estimar uma variável dependente, digamos X1, em função das independentes, X2, X3,..., e é denominada equação de regressão de X1 para X2, X3,... Na notação de função, ela é escrita, às vezes sob a forma abreviada como, X1 ϭ F(X2, X3,...) que se lê “X1 é uma função de X2,

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