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Medium 9788565837736

Capítulo 5 - Técnicas de Contagem

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 5

Técnicas de Contagem

5.1

INTRODUÇÃO

Este capítulo desenvolve algumas técnicas para determinar, sem enumeração direta, o número de resultados possíveis de um evento em particular ou o número de elementos de um conjunto. Tal contagem sofisticada é, às vezes, chamada de análise combinatória. Ela inclui o estudo de permutações e combinações.

5.2

PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM

Há dois princípios básicos de contagem usados ao longo deste capítulo. O primeiro envolve adição e, o segundo, multiplicação.

Princípio da Regra da Soma:

Suponha que algum evento E possa ocorrer de m maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n maneiras. Suponha também que ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem ocorrer de m + n maneiras.

Princípio da Regra do Produto:

Suponha que existe um evento E que possa ocorrer de m maneiras e, independente deste, há um segundo evento F que pode ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras.

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Medium 9788577807659

Capítulo 1 - Introdução e conceitos básicos

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

1

introdução e conceitos básicos

A teoria das linguagens formais nasceu na década de 1950 com o objetivo de tratar linguagens naturais.

Logo foi verificada a sua importância para o estudo de linguagens artificiais e, em particular, para as linguagens computacionais, com ênfase em análise léxica e sintática.

Mais modernamente, destacam-se aplicações em hipertextos, hipermídias e linguagens não lineares.

Este capítulo apresenta linguagens formais e autômatos e faz uma revisão dos principais pré-requisitos de teoria dos conjuntos, lógica e indução e técnicas de demonstração.

Além disso, introduz e caracteriza as noções de sintaxe e semântica.

■ ■

18

1.1

Linguagens Formais e Autômatos

introdução

A teoria das linguagens formais foi originariamente desenvolvida na década de 1950 com o objetivo de desenvolver teorias relacionadas com as linguagens naturais. Entretanto, logo foi verificado que esta teoria era importante para o estudo de linguagens artificiais e, em especial, para as linguagens originárias da computação e informática. Desde então, o estudo das linguagens formais desenvolveu-se significativamente e com diversos enfoques, com destaque para aplicações em análise léxica e análise sintática de linguagens de programação, modelagem de circuitos lógicos ou redes lógicas, de sistemas biológicos, entre outros. Mais recentemente, destacam-se aplicações relacionadas com sistemas de animação, hipertextos e hipermídias, bem como o tratamento de linguagens não lineares, como linguagens planares, linguagens espaciais e linguagens n-dimensionais.

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Medium 9788521635352

Respostas a Problemas Selecionados

LEON, Steven J. Grupo Gen PDF Criptografado

Respostas a Problemas Selecionados

Capítulo 1

1.1 1. (a) (11, 3)  (b)  (4, 1, 3) 

(d) (22, 3, 0, 3, 1)

(c)  (22, 0, 3, 1)

(d) {(5 2 2a 2 b, a, 4 2 3b, b) | a, b reais}

(e) {(3 – 5a 1 2b, a, b, 6) | a, b reais}

(f) {(a, 2, 21) | a real}

4. (a) x1, x2, x3 são variáveis principais.

(c) x1, x3 são variáveis principais e x2 é uma variável livre.

(e) x1, x4 são variáveis principais e x2, x3 são variáveis livres.

5. (a) (5, 1)  (b) inconsistente  (c) (0, 0)

3. (a) Uma solução. As duas retas se interceptam no ponto (3, 1).

(b) Nenhuma solução. As retas são paralelas.

(c) Número infinito de soluções. Ambas as equações representam a mesma reta.

(d) Nenhuma solução. Cada par de linhas se intercepta em um ponto; entretanto, não há ponto comum às três linhas.

(d)

(e) {(8 2 2a, a 2 5, a)}

(f) inconsistente

(g) inconsistente  (h) inconsistente

(j) {(2 2 6a, 4 1 a, 3 2 a, a)}

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Medium 9788582604595

Capítulo 1 - Revisão de pré-cálculo

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

1  �REVISÃO DE PRÉ-CÁLCULO

O

Cálculo é fundamentado na Álgebra, Geometria Analítica e Trigonometria. Neste capítulo, portanto, revisamos alguns dos conceitos, fatos e fórmulas básicos do Pré-Cálculo que são utilizados em todo o texto. Na última seção, discutimos algumas maneiras pelas quais os recursos computacionais podem ser utilizados para reforçar o seu entendimento visual de funções e de suas propriedades.

1.1  Números reais, funções e gráficos

Começamos com uma breve discussão de números reais. Isso nos dá a oportunidade de relembrar algumas propriedades básicas e a notação padrão.

Um número real é um número representado como um decimal, ou “expansão decimal”.

Há três tipos de expansões decimais: finitas, periódicas ou infinitas e não periódicas. Por exemplo,

Aplicações que fornecem a quantidade de atividade sísmica como uma função do tempo ajudam os cientistas a predizer erupções vulcânicas e terremotos.

(Douglas Peebles/Science Source)

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Medium 9788521629252

2 - Teoria de Divisibilidade nos Inteiros

David M. Burton Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

2

TEORIA DE DIVISIBILIDADE

NOS INTEIROS

Números inteiros são a fonte de toda a matemática.

H. Minkowski

2.1  ORIGEM DA TEORIA DOS NÚMEROS

Antes de nos aprofundarmos detalhadamente, devemos dizer algumas palavras sobre a origem da teoria dos números. A teoria dos números é um dos ramos mais antigos da matemática; um entusiasta, esticando um ponto aqui e ali, poderia estender as suas raízes para uma data surpreendentemente remota. Embora seja provável que os gregos tenham ficado em dívida sobre uma gama de informações a respeito das propriedades dos números naturais com os babilônios e com os antigos egípcios, os primeiros rudimentos de uma teoria real são geral‑ mente creditados a Pitágoras e seus discípulos.

Nosso conhecimento sobre a vida de Pitágoras é escasso, e pouco pode ser afirmado com certeza. De acordo com as melhores estimativas, ele nasceu entre 580 e 562 a.C. na ilha do Egeu de Samos. Parece que ele estudou não só no Egito, mas pode até ter ampliado suas viagens, tanto a leste como a Babilônia. Quando Pitágoras reapareceu depois de anos de viagem, ele procurou um lugar favorável para uma escola e acabou ficando com Croton, um assentamento grego próspero na sola da bota italiana. A escola se concentrou em quatro mathemata, ou objetos de estudo: arithmetica (aritmética, no sentido da teoria dos números, da arte de calcular), harmonia (música), geometria (geometria) e astrologia (astronomia).

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Medium 9788597013122

9 - Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

9

Sistemas de Amortização de Empréstimos e

Financiamentos1

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros.

Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor

(mutuário).

Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.

Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.

São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência, conforme estudadas em capítulos anteriores. Na carência, não há pagamento do principal, sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência.

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Medium 9788584290277

Capítulo 11. Ajudando as Crianças a Dominar os Fatos Fundamentais

John A. Van de Walle Grupo A PDF Criptografado

capítulo

11

Ajudando as Crianças a Dominar os Fatos

Fundamentais

O

s fatos fundamentais aditivos e multiplicativos se referem às combinações, onde ambos os adendos ou ambos os fatores são menores que 10. Os fatos fundamentais da subtração e da divisão correspondem aos fatos da adição e da multiplicação. Desse modo, 15 − 8 = 7 é um fato subtrativo porque ambas as partes são menores que 10.

O domínio de um fato fundamental significa que uma criança pode dar uma resposta rápida (em cerca de 3 segundos) sem recorrer a meios não eficientes, tais como a contagem. O trabalho para o domínio dos fatos aditivos e subtrativos começa tipia camente na 1 série. A maioria de livros inclui todos os fatos aditivos e subtrativos no domínio esperado para a 2a série, embora geralmente um trabalho adicional seja necessário mesmo após a

3a série. Os fatos multiplicativos e da divisão são geralmente um objetivo para ser domínio na 3a série. Tipicamente, mais trabalho a a

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Medium 9788521627593

CAPÍTULO 3 - O Limite de uma Função de Variável Real

Dias da Silva Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

3

O Limite de uma Função de Variável Real

Neste capítulo, empregamos o conceito de limite de uma sequência de números reais, estudado no Capítulo 2, para analisar o significado do limite de uma função real de variável real em um ponto de seu domínio. Como sequências de números reais são funções cujo domínio é o conjunto , o limite de uma função de variável real é uma extensão daquele conceito, e, assim, não deve ser uma surpresa que muitos dos resultados válidos para o limite de uma função de variável real decorram de um correspondente sobre sequências reais.

Por essa razão, a compreensão do conceito de limite de uma sequência de números reais dá ao estudante de cálculo um entendimento mais claro da definição do limite de uma função real, além de uma habilidade maior que aquela obtida somente com a resolução de listas de exercícios. Por exemplo, no estudo do limite de uma função real de variável real, é comum, em dado momento, o professor ilustrar a situação com um exemplo

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Medium 9788521632535

Capítulo 8 - Intervalos Estatísticos para uma Única Amostra

Douglas C. Montgomery, George C. Runge Grupo Gen PDF Criptografado

8

Intervalos Estatísticos para uma Única Amostra

Sumário do Capítulo

8-1

Intervalo de Confiança para a Média de uma Distribuição

Normal, Variância Conhecida

8-1.1 Desenvolvimento do Intervalo de Confiança e Suas

Propriedades Básicas

8-1.2 Escolha do Tamanho da Amostra

8-1.3 Limites Unilaterais de Confiança

8-1.4 Método Geral para Deduzir um Intervalo de

Confiança

8-1.5 Intervalo de Confiança para µ, Amostra Grande

8-2 Intervalo de Confiança para a Média de uma Distribuição

Normal, Variância Desconhecida

8-2.1 Distribuição t

8-3

8-4

8-5

8-6

8-7

8-2.2 Intervalo de Confiança t para µ

Intervalo de Confiança para a Variância e para o Desviopadrão de uma Distribuição Normal

Intervalo de Confiança para a Proporção de uma

População, Amostra Grande

Roteiro para a Construção de Intervalos de Confiança

Intervalo de Confiança pela Técnica Bootstrap

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Medium 9788584290994

Capítulo 12. Regressão múltipla padrão

Christine P. Dancey, John G. Reidy, Richard Rowe Artmed PDF Criptografado

12

Regressão múltipla padrão

Panorama do capítulo

A regressão múltipla é uma extensão da análise correlacional e da regressão linear bivariada, em que os pesquisadores usam várias variáveis previsoras para ver como elas se relacionam ou preveem uma variável critério. A regressão múltipla nos permite determinar quanto da variância é partilhada pelas variáveis previsoras, juntas ou separadamente. Uma vez entendida a regressão linear bivariada, a regressão múltipla não será tão difícil. A hipótese experimental é formulada para responder uma ou mais destas questões: quão forte é o relacionamento entre todas as variáveis explanatórias/previsoras x e a variável critério y? Existe uma boa aderência entre as variáveis combinadas x e y? Conhecendo todos os escores x, podemos prever quais serão os escores em y? A regressão múltipla é uma técnica comum nas ciências sociais – os pesquisadores geralmente buscam entender a maneira com que várias variáveis influenciam uma variável critério, em vez de olhar para apenas uma variável (regressão linear bivariada).

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Medium 9788565837156

Capítulo 12 - Retas Tangentes e Normais

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 12

Retas Tangentes e Normais

Um exemplo de um gráfico de uma função contínua f é mostrado na Fig. 12-1(a). Se P é um ponto do gráfico com abscissa x, então as coordenadas de P são (x, f(x)). Seja Q um ponto próximo que tem abscissa x + Δx. Então, as coordenadas de Q são (x + Δx, f(x + Δx)). A reta PQ tem coeficiente angular

À medida que Q se aproxima de P ao longo do gráfico, as retas PQ se aproximam da reta ᐀ tangente ao gráfico em P. (Ver Fig. 121(b).) Logo, o coeficiente angular de PQ se aproxima do coeficiente angular da reta tangente. Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é

, que é a derivada f ′(x).

Figura 12-1

Se o coeficiente angular m da reta tangente à curva y = f (x) em um ponto é zero, então a curva tem uma reta tangente horizontal naquele ponto, assim como nos pontos A, C e E da Fig. 12-2. Em geral, se a derivada de f é m em um ponto (x0, y0), então a equação ponto-angular da reta tangente é y − y0 = m(x − x0). Se f é contínua em x0, mas

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Medium 9788521634959

Capítulo 2 - Álgebra Matricial

LAY, David C.; LAY, David C.; LAY, Steven R.; MCDONALD, Judi J. Grupo Gen PDF Criptografado

2

Álgebra Matricial

EXEMPLO INTRODUTÓRIO

Modelos Computacionais em

Projetos de Aviões

Para projetar a geração seguinte de aviões comerciais e militares, os engenheiros, na Boeing’s Phantom Works, usam modelagem 3D e dinâmica dos fluidos computacional (CFD, do inglês

Computational Fluid Dynamics). Eles estudam o fluxo de ar em torno de um avião virtual para responder perguntas importantes de projeto antes da criação de modelos físicos. Isso tem reduzido drasticamente o tempo e o custo dos ciclos do projeto ― e a

álgebra linear ocupa um papel crucial no processo.

O avião virtual começa como um modelo matemático “de arame” que existe apenas na memória do computador e nos terminais gráficos. (A figura mostra um Boeing 777.) Esse modelo matemático organiza e influencia cada passo do projeto e manufatura do avião ― tanto externo quanto interno. A análise

CFD trata da superfície exterior.

Embora a superfície externa de um avião possa parecer suave, sua geometria é complicada. Além das asas e da fuselagem, um avião tem nacela, estabilizadores, ripas, abas e elerões.* O modo segundo o qual o ar flui em torno dessas estruturas determina como o avião se move no ar. As equações que descrevem o fluxo de ar são complicadas e devem levar em consideração a entrada do motor, o mecanismo de exaustão do motor e a esteira deixada pelas asas do avião. Para estudar o fluxo de ar, os engenheiros precisam de uma descrição muito refinada da superfície do avião.

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Medium 9788584290277

Capítulo 19. Raciocínio Proporcional

John A. Van de Walle Grupo A PDF Criptografado

capítulo

19

Raciocínio

Proporcional

O

raciocínio proporcional é considerado a pedra fundamental do currículo elementar e uma base do pensamento algébrico (Lesh, Post e Behr, 1987). Representa a habilidade de começar a compreender as relações multiplicativas enquanto a maioria dos conceitos aritméticos é de natureza aditiva. O desenvolvimento do raciocínio proporcional é uma das metas mais importantes do currículo de 5a a 8a série.

Ideias importantes

1. Uma razão é uma comparação multiplicativa entre duas quantidades ou medidas. Um marco-chave no seu desenvolvimento é a habilidade de um estudante começar a pensar sobre uma razão como uma entidade própria, diferente das duas medidas que a compuseram.

Álgebra (Capítulo 15): Muito da álgebra envolve um estudo de mudanças (variações) e, consequentemente, taxas de mudança (razões) são particularmente importantes. Neste capítulo você verá que os gráficos de razões equivalentes são retas que passam pela origem. A inclinação da reta é a razão unitária. A inclinação ou declive da reta é propriamente uma taxa de mudança e um componente importante na compreensão de representações algébricas de quantidades relacionadas.

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Medium 9788521623588

Apêndice A - Revisão

Michael Sullivan Grupo Gen PDF Criptografado

Revisão

SINOPSE

APÊNDICE

A

A.1 Números Reais

A.2 Revisão de Álgebra

A.3 Expoentes e Logaritmos

A.4 Sequências Definidas Recursivamente: Sequências Geométricas

A.5 O Teorema Binomial

A.1 Números Reais

PRÉ-REQUISITOS PARA ESTA SEÇÃO Antes de iniciar, revise o seguinte:

1

2

3

4

OBJETIVOS

1

Trabalhar com Conjuntos

Classificar Números

Determinar o Valor de Expressões Numéricas

Trabalhar com Propriedades de Números Reais

Trabalhar com Conjuntos

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos. Os objetos de um conjunto são denominados seus elementos. Ao referir-nos como bem definida, queremos dizer que existe uma regra que nos permite determinar se um dado objeto é ou não um elemento do conjunto. Se um conjunto não tiver elementos, ele

é denominado conjunto vazio, ou conjunto nulo, e é representado pelo símbolo .

Por exemplo, o conjunto de dígitos consiste na coleção de números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Se usarmos o símbolo D para representar o conjunto de dígitos, então podemos escrever

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Medium 9788577809264

3 expoentes

Fred Safier Grupo A PDF Criptografado

16

PRÉ-CÁLCULO

Exemplo 3.4 mero real.

(c)

(b)

(a)

não é um nú-

LEIS PARA EXPOENTES

Para a e b números racionais e x e y números reais (evitando raízes pares de números negativos e divisão por zero):

No caso geral, xm/n ϭ (x1/n)m ϭ (xm)1/n, desde que x1/n seja real.

A menos que se especifique o contrário, geralmente assume-se que as bases representam números positivos.

Com essa convenção, então, escreve-se (xn)1/n ϭ x. Porém, se essa convenção não vale, então:

Exemplo 3.5

Se x é positivo: (a) (x2)1/2 ϭ x; (b) (x3)1/3 ϭ x; (c) (x4)1/2 ϭ x2; (d) (x6)1/2 ϭ x3

Exemplo 3.6

Para x qualquer: (a) (x2)1/2 ϭ ԽxԽ; (b) (x3)1/3 ϭ x; (c) (x4)1/2 ϭ Խx2Խ ϭ x2; (d) (x6)1/2 ϭ x3

NOTAÇÃO CIENTÍFICA

Ao se lidar com números muito grandes ou muito pequenos, a notação científica é frequentemente usada. Um número é escrito em notação científica quando é expresso na forma de um número entre 1 e 10 multiplicado por uma potência de 10.

Exemplo 3.7

(a) 51.000.000 ϭ 5,1 ϫ 107; (b) 0,000 000 000 035 2 ϭ 3,52 ϫ 10Ϫ11;

(c)

Problemas Resolvidos

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