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Medium 9788536306674

Capítulo 6: Algumas regras de probabilidade

John E. Freund Grupo A PDF Criptografado

ALGUMAS

REGRAS DE

PROBABILIDADE

6.1

Espaços Amostrais e Eventos 135

6.2

Os Postulados de Probabilidade 142

6.3

Probabilidades e Chances 144

6.4

Regras de Adição 149

6.5

Probabilidade Condicional 154

6.6

Regras de Multiplicação 156

*6.7

O Teorema de Bayes 161

6.8

Lista de Termos-Chave 166

6.9

Referências 166

N

o estudo de Probabilidade, existem basicamente três tipos de questões:

O que queremos dizer quando afirmamos que a probabilidade de um evento é, por exemplo, 0,50; 0,78; ou 0,24?

Como determinar ou medir, na prática, os números que chamamos de probabilidades?

Quais são as regras matemáticas a que as probabilidades devem obedecer?

No Capítulo 5 já estudamos, em sua maior parte, os dois primeiros tipos de questões. No conceito de probabilidade clássica, estamos interessados em possibilidades iguais, contamos as que são favoráveis e aplicamos a fórmula ns . Na interpretação freqüencial, lidamos com proporções de

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Medium 9788521606321

6 - Regras para Expoentes e Seus Porquês

Vários autores Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo 6 Sumário

Regras para Expoentes e Seus Porquês

6.1 Potências Inteiras e Regras para

Expoentes 147

Multiplicação e Divisão de Potências com a Mesma

Base 147

Potência Elevada a uma Potência 149

Produtos e Quocientes Elevados ao Mesmo

Expoente 149

Expoentes Zero e Inteiros Negativos 151

Resumo das Regras para Expoentes 153

Erros Comuns 153

6.2 Expoentes Fracionários e Expressões

Envolvendo Radicais 155

Utilização de Expoentes Fracionários para a Descrição de Raízes 155

As Regras para Expoentes Funcionam para Expoentes

Fracionários 155

Expoentes Fracionários com Numeradores Diferentes de

Um 156

Como Trabalhar com Expressões Envolvendo

Radicais 157

Simplificação de Expressões Envolvendo Radicais com

Somas e Diferenças 157

Racionalização 158

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS DE REVISÃO PARA O

CAPÍTULO 6 160

McCallum 006.indd 146

12.04.11 20:03:00

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Medium 9788597014112

1 - Conceitos Fundamentais

SOBRINHO, José Dutra Vieira Grupo Gen PDF Criptografado

1

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

1.1

CONCEITOS DE CAPITAL, JUROS, TAXA DE JUROS E PRAZO

1.1.1 Capital

Entende-se por capital, do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época.

1.1.2 Juro

Juro é a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

A origem da cobrança de juros é antiga e se perde na escuridão dos tempos. Sabe-se que sempre provocou críticas, restrições e até mesmo proibições, em diferentes épocas e civilizações. Diversas teorias tentam explicar a existência dos juros. Uma das mais citadas é a de que os juros existem pela necessidade ou preferência dos consumidores em consumir bens e serviços no presente a poupar para consumi-los no futuro. Assim, na sua origem, o juro pode ser justificado como uma compensação que o possuidor do capital exige pelo seu não uso durante o tempo do empréstimo, além de um prêmio pelo risco de não receber o seu dinheiro de volta.

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Medium 9788540700949

Capítulo 6 - A Integral Definida

Larry J. Goldstein, David C. Lay, David I. Schneider, Nakhlé H. Asmar Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

A INTEGRAL DEFINIDA

6.1 Antiderivação

6.2 Áreas e somas de Riemann

6.3 Integrais definidas e o teorema fundamental

6.4 Áreas no plano xy

6.5 Aplicações da integral definida

E

xistem dois problemas fundamentais no Cálculo, a saber, (1) encontrar a inclinação de uma curva num ponto e (2) encontrar a área de uma região sob uma curva. Esses problemas são bem simples quando a curva é uma reta, como na Figura 1. Tanto a inclinação da reta quanto a área do trapézio sombreado podem ser calculadas por princípios geométricos. Quando o gráfico consiste em vários segmentos de reta, como na Figura 2, a inclinação de cada segmento de reta pode ser calculada separadamente, e a área da região pode ser encontrada somando as áreas das regiões sob cada segmento de reta. y

y

x

Figura 1

x

Figura 2

298

Capítulo 6 • A integral definida

O Cálculo é necessário quando as curvas não são retas. Vimos que o problema da inclinação é resolvido com a derivada de uma função. Neste capítulo, descrevemos como o problema da área está relacionado à noção da “integral” de uma função. Tanto o problema da inclinação quanto o da

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Medium 9788577806959

8: Fórmulas da GeometriaAnalítica Plana

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

8

Fórmulas da Geometria

Analítica Plana

Distância d entre dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.1

Fig. 8-1

Declividade m da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.2

Equação da reta ligando dois pontos P1(x1, y1) e P2(x2, y2)

8.3

8.4 onde

é o coeficiente linear da reta, isto é, a ordenada do ponto de in-

terseção com o eixo y.

Forma segmentária da equação da reta

8.5 onde a � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo x e b � 0 é a medida algébrica do segmento determinado pela reta no eixo y.

Fig. 8-2

34

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Forma normal da equação da reta

8.6 x cos � � y sen � � p onde p � distância perpendicular da origem O à reta e

� � ângulo de inclinação da perpendicular com o eixo x positivo.

Fig. 8-3

Equação geral da reta

8.7 Ax � By � C � 0

Distância do ponto (x1, y1) à reta Ax + By + C = 0

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Medium 9788584291137

Capítulo 7. Da separação por habilidade ao agrupamento para uma mentalidade de crescimento

Jo Boaler Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 7

DA SEPARAÇÃO

POR HABILIDADE AO

AGRUPAMENTO PARA

UMA MENTALIDADE

DE CRESCIMENTO

OPORTUNIDADES

PARA APRENDER

Ainda me recordo claramente da primeira aula de matemática que eu dei. Foi na escola Haverstock em Camden Town, Londres, uma instituição que descrevi no Capítulo 6. Quando cheguei

à escola, o departamento de matemática usava um sistema de tracking* (chamado de “setting” na Inglaterra) em que os estudantes trabalhavam heterogeneamente até o 9o ano, quando, então, eram colocados em um dentre quatro grupos. Naquele dia, entrei para minha primeira aula, entusiasmada para ensinar a meus alunos, armada com o conhecimento das pesquisas sobre ensino eficaz.

Porém, meus alunos tinham sido recém-colocados no grupo inferior. Suas primeiras palavras para mim quando os cumprimentei foram: “Qual é o sentido?”. Esforcei-me muito, naquele ano, para transmitir aos alunos mensagens inspiradoras e usar os métodos didáticos que eu havia aprendido em minha formação, mas uma rota de nível baixo tinha sido definida para eles, e não havia muito que eu pudesse fazer para mudá-la. No ano seguinte, trabalhei com o resto do departamento de matemática da escola para extinguir as classes de matemática. Desde então, a escola oferece matemática de alto nível a todos os alunos.

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Medium 9788536507965

2.4 Juros e capitalizações simples

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.4  Juros e capitalizações simples

2.4.1  Definições

Dizemos que estamos no regime de juros simples quando a taxa de juros incidir apenas sobre o valor principal, de forma que não há incidência de juros sobre os juros gerados a cada período.

Usaremos as seguintes definições:

»»

Taxa de juros em certo período: i;

»»

Quantidade ou número de períodos: n;

»»

Juro: J;

»»

Capital (ou Valor Principal): C;

»»

Montante: M.

Dessa forma, definimos juros como sendo o produto entre capital, taxa e quantidade de períodos:

J=C.i.n

O montante de um determinado período será a soma do capital com o juro, isto é:

M = C + J, ou M = C + C . i . n ⇒ M = C(1 + i . n)

Vale a pena ressaltar que o montante nada mais é do que uma soma de termos de uma progressão aritmética, visto que o juro simples sempre fornece um incremento somativo, isto é, a cada mês uma nova parcela de juros é adicionada de forma linear. O capital C funciona como o primeiro elemento da PA, a quantidade de períodos n equivale à quantidade de termos da progressão e a taxa i é a variação.

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Medium 9788521623588

Capítulo 6 - Finanças

Michael Sullivan Grupo Gen PDF Criptografado

Finanças

6

Você está pronto para adquirir um carro, mas há vários fatores a considerar. Você deve efetuar uma compra ou um leasing? Você quer um carro novo, ou um carro usado também serve? Você está procurando um veículo híbrido ou um SUV?* Que acessórios extras você gostaria ou necessita? E como você irá pagar o carro? Quanto será necessário para a entrada? De quanto serão os pagamentos mensais? O Projeto do Capítulo, investiga várias opções de financiamento para a compra ou o leasing de um carro.

SINOPSE

6.1 Juros

6.2 Juros Compostos

6.3 Anuidades; Fundos de Amortização

6.4 Valor Presente de uma Anuidade; Amortização

6.5 Anuidades e Amortização Usando Sequências Recursivas

• Revisão do Capítulo

• Projeto do Capítulo

• Questões de Matemática Extraídas de Exames Profissionais

O que Vimos, O que Veremos

Nos primeiros cursos de matemática você estudou porcentagens.

Em cursos posteriores, você estudou expressões exponenciais e expressões logarítmicas, as quais são revisadas no Apêndice A, Seção

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Medium 9788582603161

Capítulo 5. Análise combinatória e probabilidade

Diana Maia de Lima, Luis Eduardo Fernandes Gonzalez Grupo A PDF Criptografado

capítulo 5

Análise combinatória e probabilidade

Você tem alguma ideia de como são geradas as senhas de seu e-mail, Twitter,

Facebook? Já pensou em como são organizados os elementos aleatórios dos jogos digitais? Neste capítulo, faremos um breve estudo de análise combinatória e probabilidade com o objetivo de mostrar algumas aplicações em gerenciamento de informações, algoritmos, codificações e criptografia.

Bases

Científicas

Análise combinatória

Princípio da multiplicação ou princípio fundamental da contagem

Princípio da adição

Outras formas de contagem

Probabilidade

Binômio de Newton

Bases

Tecnológicas

Projeto de desenvolvimento de programas para web

Controle de acessos simultâneos em serviços web

Instalação de sistemas para virtualização de servidores web

Configuração de serviços de servidores

Procedimentos de testes em programas

Rede (sockets, internet e web services)

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Medium 9788584290994

Capítulo 2. Análise com auxílio do computador

Christine P. Dancey, John G. Reidy, Richard Rowe Artmed PDF Criptografado

2

Análise com auxílio do computador

Panorama do capítulo

Neste capítulo, apresentaremos três pacotes estatísticos amplamente utilizados, chamados de SPSS, R e SAS®. Para cada um deles, iremos:

99 Fornecer um panorama da interface;

99 Descrever como os dados são configurados;

99 Fornecer exemplos de como os dados podem ser analisados;

99 Fornecer links para o site associado quando apropriado.

Dos muitos pacotes estatísticos no mercado, por que escolhemos esses três? Escolhemos o SPSS por ser um dos pacotes estatísticos mais utilizados e possuir um sistema de menus baseado no Windows, o que torna mais fácil, para um iniciante em estatística, executar análises apenas com instruções de apontar e clicar. Incluímos instruções para SAS, no site associado, por este ser um pacote estatístico muito popular nas ciências da saúde. Entretanto, ele é um pouco mais complicado, pois as análises são configuradas e executadas com o uso de miniprogramas. Isso pode parecer intimidante neste estágio, mas é bem objetivo. Pensamos, também, que seria útil incluir algumas instruções relacionadas ao R, por ser um sistema relativamente novo e em crescente popularidade, sem custo para o usuário, e que fornece excelentes saídas gráficas. Este pacote é executado por linhas de comando; portanto, você deve aprender os comandos para executar cada análise em particular.

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Medium 9788521629405

Parte I - 3 Modelagem de Sistemas Mecânicos

Francisco Javier Triveño Vargas, Pedro Paglione Grupo Gen PDF Criptografado

Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 23

3

Modelagem de

Sistemas Mecânicos

Sistemas mecânicos são aqueles compostos por massas, molas, amortecedores e/ou transmissões. A análise destes sistemas envolve dois tipos de movimentos: translacional e rotacional.

As equações destes sistemas, como apresentado no capítulo anterior, podem ser obtidas por meio das leis de Newton ou envolvendo a análise variacional. Por essas razões, este capítulo comprende a modelagem e simulação de sistemas mecânicos clássicos como o pêndulo atuado com redutor e o pêndulo invertido.

O grau de dificuldade apresentado por esses dois sistemas é razoável, já que ambos, estudados nos primeiros cursos de engenharia, fazem uso de conceitos básicos de cálculo e física até chegar às leis de Newton e aos princípios de Lagrange. Por essas características, estes exemplos foram selecionados.

3.1 O Pêndulo Atuado com Redutor

O pêndulo atuado com redutor é ilustrado na Figura ., em que θ l e θ m são os deslocamentos angulares do pêndulo e do motor, respectivamente, tal que a relação de transmissão do

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Medium 9788536507965

2.6 Taxas

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.5.3.2  Convenção exponencial

Diferentemente da convenção linear, o processo de convenção exponencial baseia-se no uso da fração de tempo como expoente do termo  (1 + i), isto é:

M = C(1+i)m = C(1+i)n+t ⇒ M = C(1+i)n(1+i)t

Exemplo

Calcule o montante, pela convenção exponencial, para uma taxa de juros compostos de 10% a.m. para um capital de R$ 1.000,00 aplicado num período de dois meses e dez dias (ano comercial).

Resolução

A taxa efetiva é i = 0,1 e o capital C = 1000, sendo n = 2 e t = 10/30 (dez dias divididos pelo mês comercial).

Logo, M = 1000(1+0,1)2(1+0,1)10/13 = 1000(1,1)2(1,1)1/3 ⇒ M = 1249,06.

2.6  Taxas

2.6.1  Introdução

Conforme estudamos até agora, temos duas formas básicas de calcular o montante, sendo simples e composta, as quais são a base para o entendimento dos processos de financiamento e aplicação, que veremos mais adiante.

Logo, surge a grande questão: como se comportam as taxas de juros quando temos um período maior do que a unidade, ou seja, qual a taxa que está sendo anunciada e a realmente praticada?

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Medium 9788540700949

Capítulo 5 - Aplicações das Funções Exponencial e Logaritmo Natural

Larry J. Goldstein, David C. Lay, David I. Schneider, Nakhlé H. Asmar Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

5

APLICAÇÕES DAS

FUNÇÕES EXPONENCIAL

E LOGARITMO NATURAL

5.1 Crescimento e decaimento exponenciais

5.2 Juros compostos

5.3 Aplicações da função logaritmo natural à Economia

5.4 Outros modelos exponenciais

o Capítulo 4, introduzimos a função exponencial y � ex e a função logaritmo natural, y � ln x e estudamos suas propriedades mais importantes.

Da maneira como essas funções foram apresentadas, de modo algum parece claro que elas tenham qualquer ligação substancial com o mundo físico. Entretanto, como será mostrado neste capítulo, as funções exponencial e logaritmo natural estão envolvidas no estudo de muitos problemas físicos, muitas vezes de forma curiosa e inesperada.

Aqui, o fato mais significante é que exigimos que a função exponencial seja caracterizada de maneira única por sua equação diferencial. Em outras palavras, faremos uso constante do fato seguinte, cujo enunciado preciso segue.

N

A função* y � Cekt satisfaz a equação diferencial y� � ky.

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Medium 9788521629061

CAPÍTULO 8 - Funções Trigonométricas

Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley, Dave Sobecki, Michael Price Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

Padrões periódicos, como os dos eletrocardiogramas, podem ser modelados com o auxílio de funções trigonométricas.

Funções Trigonométricas

1 Medidas de Ângulos; Funções Trigonométricas

2 Aplicações de Funções Trigonométricas Envolvendo

Derivação

3 Aplicações de Funções Trigonométricas Envolvendo

Integração

Resumo do Capítulo

Termos, Símbolos e Fórmulas Importantes

Problemas de Verificação

Problemas de Revisão

Soluções dos Exercícios Explore!

Para Pensar

1

2

C a p í t u lo 8

SEÇÃO 8.1

Medidas de Ângulos; Funções Trigonométricas

Objetivos do Aprendizado

1. Conhecer as medidas de ângulos

2. Estudar o seno, o cosseno e outras funções trigonométricas

3. Usar funções trigonométricas para formular modelos de fenômenos periódicos

Neste capítulo, vamos apresentar algumas funções que são muito usadas para estudar fenômenos periódicos como flutuações sazonais da oferta e de demanda, variações do tempo, o movimento dos planetas e a respiração e os batimentos cardíacos dos animais. Essas funções também estão relacionadas com a medida de ângulos e, portanto, desempenham papel importante em campos como arquitetura e topografia.

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Medium 9788521203674

Capítulo 8 - Amostragem em dois estágios

Heleno Bolfarine, Wilton O. Bussab Editora Blucher PDF Criptografado

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