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Medium 9788521625469

8 - Autovalores, Autovetores e Diagonalização

KOLMAN, Bernard; HILL, David Ross Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

AUTOVALORES,

AUTOVETORES E

DIAGONALIZAÇÃO

Nos primeiros sete capítulos deste livro, utilizamos números reais como coeficientes das matrizes e como escalares. Da mesma maneira, tratamos apenas com espaços vetoriais reais e com o espaço vetorial Bn, onde os escalares e os elementos em um vetor são os bits 0 e 1.

Neste capítulo, lidamos com matrizes que têm coeficientes complexos e com espaços vetoriais complexos. Você pode consultar o Apêndice A para obter uma introdução aos números complexos e à álgebra linear com números complexos.

8.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Toda matriz considerada neste capítulo é quadrada. Seja A uma matriz n ϫ n. Então, como vimos nas Seções 1.5 e 4.3, a função L: Rn → Rn definida por L(x) ϭ Ax, para x em Rn, é uma transformação linear. Uma questão muito importante em uma grande quantidade de problemas aplicados é a determinação dos vetores x, se houver algum, tais que x e Ax são paralelos (veja Exemplos 1 e 2). Essas questões surgem em todas as aplicações que envolvem vibrações; elas aparecem em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais e outros. Nesta seção, formularemos precisamente esse problema; definiremos, também, a terminologia pertinente. Na próxima seção, resolveremos esse problema para matrizes simétricas e discutiremos rapidamente a situação no caso geral.

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Medium 9788521631965

4 - Probabilidade Básica

LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

4

Probabilidade Básica

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA:

Possibilidades na M&R Electronics World

4.1 Conceitos Básicos de Probabilidade

Eventos e Espaços Amostrais

Tabelas de Contingência

Probabilidade Simples

Probabilidade Combinada

Probabilidade Marginal

Regra Geral de Adição

4.2 Probabilidade Condicional

Calculando Probabilidades

Condicionais

Árvores de Decisão

Independência

Regras de Multiplicação

Probabilidade Marginal Utilizando a

Regra Geral de Multiplicação

4.3 Teorema de Bayes

PENSE NISSO: Divina Providência e Spam

4.4 Questões Éticas e Probabilidade

4.5 Regras de Contagem (on-line)

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA:

Possibilidades na M&R Electronics World,

Revisitado

GUIA DO EXCEL PARA O CAPÍTULO 4

Objetivos do Aprendizado

Neste capítulo, você aprenderá:

• Conceitos básicos da probabilidade

• Probabilidade condicional

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Medium 9788577804825

5. Translação e Rotação

Santos, Fabiano José dos Grupo A PDF Criptografado

5 Translação e Rotação

5.1 Introdução

No capítulo anterior estudamos as seções cônicas convenientemente posicionadas no sistema de coordenadas cartesianas. O leitor se recordará que os vértices das parábolas e os centros das circunferências, elipses e hipérboles sempre se localizavam na origem.

Entretanto, nem sempre é assim. Podemos estudar parábolas com vértices localizados em qualquer ponto do sistema de eixos, e o mesmo pode ocorrer com os centros das demais seções cônicas. Veremos agora como as equações das seções cônicas se alteram quando as localizamos em posições diferentes daquelas vistas anteriormente. Para isto, utilizaremos o conceito de translação de eixos, discutido a seguir.

5.2 Translação de eixos

Uma translação de eixos consiste em substituir um dado sistema de coordenadas por um outro sistema, mantendo as respectivas direções dos eixos dados*, cuja origem se localiza em um ponto de nossa conveniência.

A Figura 5.1(a) ilustra o sistema de coordenadas uv com origem no ponto

(x0, y0) do sistema de coordenadas xy. Na Figura 5.1(b) assinalamos um ponto P qualquer do plano: no sistema uv as cordenadas de P são P (u, v), e no sistema xy suas coordenadas são P (x, y). Nessa figura podemos observar que as relações entre as coordenadas do sistema xy e as coordenadas do sistema uv são dadas por:

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Medium 9788582603208

Capítulo 3 - Função Afim e Função Linear

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

3

Função Afim e Função Linear

Quando utilizamos a Matemática para descrever um fenômeno real, tal como o tamanho de uma população, a velocidade de um objeto e a concentração de um produto em uma reação química, vários tipos de funções podem ser utilizados para modelar as relações observadas no mundo real.

Neste capítulo, estudaremos a função afim e a função linear. A principal característica dessas funções é que elas variam a uma taxa constante.

Entre as aplicações desse tipo de função, pode-se citar:

• O movimento retilíneo uniforme.

• O salário mensal de um vendedor que recebe um valor fixo adicionado de uma comissão de vendas.

• A fórmula para conversão de unidades de medida de temperatura Celsius e Fahrenheit.

• O modelo do ajuste linear nos problemas de modelagem matemática.

3.1 Definições e principais características

Vejamos como a função afim e a função linear são definidas.

Definição 3.1 Chama-se função afim a função dada por f (x) = mx + b,

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Medium 9788521633099

2 - Representação Tabular

MATTOS, Viviane Leite Dias de; AZAMBUJA, Ana Maria Volkmer de; KONRATH, Andréa Cristina Grupo Gen PDF Criptografado

2

REPRESENTAÇÃO TABULAR

2.1 Descrição e exploração de dados

Ao fazer um levantamento de dados, obtém-se um volume muito grande de informações que, para serem mais facilmente entendidas, precisam ser organizadas e resumidas. Para tanto, extrai-se o máximo de informação não apenas em relação à variável investigada propriamente dita, como também em relação a algumas de suas propriedades: forma da distribuição, tendência central, variabilidade, presença de lacunas e de outliers (valores fora do padrão).

Nessas situações são especialmente indicadas as tabelas estatísticas, além de técnicas gráficas, como o histograma, e técnicas analíticas, que se utilizam de medidas descritivas.

2.2 Tabelas de frequências

Normalmente, o resumo dos dados se inicia com a construção de tabelas estatísticas. Uma tabela é uma disposição de dados sistemática, simples e clara, em linhas e colunas. Elas conseguem resumi-los em pequeno espaço, facilitando sua compreensão e análise, bem como sua comparação com outras informações. Podem ser utilizadas simplesmente em caráter informativo, em forma de síntese, como também podem consistir na primeira etapa de uma análise estatística mais sofisticada. Apresentam a vantagem de serem mais breves que as exposições descritivas e mais exatas que as representações gráficas.

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Medium 9788582604571

Capítulo 9 - Introdução a equações diferenciais

Jon Rogawski; Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

9  �INTRODUÇÃO A EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

Será que esse avião vai voar?... Como é possível criar uma imagem do interior do corpo humano usando raios X muito fracos?... Qual é o design de uma bicicleta que combina pouco peso com rigidez?... Em quanto aumentaria a temperatura média da Terra se a quantidade de dióxido de carbono na atmosfera aumentasse 20%?

—Um apanhado de aplicações de equações diferenciais, do livro Computational

Differential Equations, de K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo e C.

Johnson, Cambridge University Press, New York, 1996

Equações diferenciais são utilizadas para preencher lacunas nos dados e para fornecer imagens detalhadas com a tomografia computadorizada.

(M. Kulky/Science Source)

A

s equações diferenciais estão entre as ferramentas mais poderosas de que dispomos para analisar matematicamente o nosso mundo. Elas são usadas para formular as leis fundamentais da Natureza (desde as leis de Newton até as equações de Maxwell e as leis da Mecânica Quântica) e para modelar os mais diversos tipos de fenômenos físicos. A citação acima lista apenas algumas poucas dentre a miríade de aplicações. Neste capítulo, oferecemos uma introdução a algumas técnicas e aplicações elementares dessa importante área da Matemática.

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Medium 9788521629405

Parte II - 8 Controle de Sistemas Robóticos

VARGAS, Francisco Javier Triveño; PAGLIONE, Pedro Grupo Gen PDF Criptografado

Vargas — Prova 3 — 13/5/2015 — Maluhy&Co. — página 107

8

Controle de Sistemas Robóticos

A robustez da técnica de controle perante as incertezas, perturbações e ruído é importante para garantir boas características de resposta e deve ser preocupação no projeto de controladores.

Com este objetivo e para tentar diminuir o erro, são empregados controladores de ganhos elevados. No entanto, essa técnica não apresenta resultados satisfatórios no caso dos robôs, em que facilmente pode causar ressonância (Umeno et al., ). Buscando reduzir estes ganhos elevados, diferentes projetos de controladores foram propostos na literatura e implementados na prática.

Dessas considerações e do ponto de vista da teoria de controle, a estrutura de dois graus de liberdade (TDOF)¹ permite, na síntese de seu projeto, a integração de vários requisitos de robustez (Wolovich, ). Os trabalhos desenvolvidos em Vargas et al. () e Vargas et al.

() são exemplos de aplicações desta técnica no controle de robôs e aeronaves.

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Medium 9788521627609

1 - Uma Introdução à Análise Quantitativa

DIETZ, Thomas; KALOF, Linda Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO 1

uma introdução à análise quantitativa

Esboço

O que é Estatística

Modelos para Explicar a Variação

Explicando a Variação

Uso de Métodos Estatísticos

Tipos de Erro

Erro em modelos

Erro amostral

Erro de aleatorização

Erro de medida

Erro de percepção

Comparação com números aleatórios

Hipóteses

O que Aprendemos?

Tópicos Avançados

Aplicações

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07/10/14 15:02

2 Capítulo 1

Por que alguns estados têm altas taxas de homicídio, enquanto em outros a ocorrência de um homicídio é muito rara? Por que alguns países são mais propensos que outros a participarem de tratados ambientais? Por que algumas pessoas acham que os animais têm direitos, enquanto outras acham que os animais podem ser tratados como objetos? Por que algumas pessoas sabem como o vírus da AIDS é transmitido e outras não?

Neste texto, exploraremos cada uma dessas questões, usando métodos quantitativos. Tentaremos respondê-las por meio do desenvolvimento de modelos que nos ajudem a entender por que pessoas, estados dos Estados Unidos, ou países no mundo diferem uns dos outros. Na tentativa de responder a essas questões, introduziremos a ferramenta padrão da moderna análise quantitativa nas ciências sociais – estatística. Nossas respostas serão sempre tentativas, nunca certezas. Mas o método científico aplicado, usando ferramentas estatísticas, pode nos ajudar a tomar melhores decisões sobre como o mundo funciona.

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Medium 9788584290994

Capítulo 6. Introdução ao exame e à limpeza de dados

Christine P. Dancey; John G. Reidy; Richard Rowe Artmed PDF Criptografado

6

Introdução ao exame e à limpeza de dados

Panorama do capítulo

Neste capítulo, veremos como os pesquisadores preparam um conjunto de dados para ser analisado.

Embora tenhamos utilizado o SPSS para a análise do conjunto de dados, esta poderia ser realizada em qualquer outro programa estatístico. O exame e a limpeza de dados se refere ao processo de pegar um conjunto de informações, procurar por erros e pela falta de dados (missing data) e, então, tratar tais problemas para que tenhamos um conjunto de dados limpo, isto é, livre de erros e de dados ausentes.

O processo de exame e limpeza pode também envolver a garantia de que os dados satisfazem as suposições das várias estatísticas que desejamos usar – por exemplo, regressões lineares e múltiplas assumem um relacionamento linear entre as variáveis (ver Caps. 11 e 12). Este capítulo cobre os assuntos de maior relevância, que você deve levar em consideração ao executar a sua própria pesquisa e preparar o seu conjunto de dados. É importante, também, entender quais procedimentos de limpeza os outros pesquisadores utilizaram nos conjuntos de dados por eles reportados nas seções de resultados. Em vez de usar dados fictícios para ajudá-lo a entender esse tópico, utilizaremos dados reais da nossa própria pesquisa e de nossos estudantes. Você será capaz de ver os erros existentes e como eles foram tratados. Daremos, também, exemplos de artigos de periódicos em que os pesquisadores das ciências da saúde relataram as maneiras com que examinaram e limparam seus dados.

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Medium 9788536307039

11. Batalha de Operações

Stocco Smole, Kátia Cristina Grupo A PDF Criptografado

E

fetuar subtrações, adições e multiplicações mentalmente, construir os fatos fundamentais da subtração, da adição ou da multiplicação a partir de situações-problema.

Este jogo auxilia o aluno a desenvolver agilidade no cálculo mental, o que consideramos muito importante, visto que os procedimentos de cálculo mental apoiam-se nas propriedades do sistema de numeração decimal e nas propriedades das operações.

Organização da classe: em duplas

Recursos necessários: um jogo de 20 cartas (duas de cada valor), com as cartas sendo múltiplos de 2, 5 ou 10.

Meta: conseguir o maior número de cartas no final do jogo.

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS

1. Ao iniciar o jogo, combina-se com a classe, ou entre as duplas de jogadores, a operação que será utilizada durante a partida (adição, subtração ou multiplicação).

2. As cartas são embaralhadas e distribuídas aos jogadores, sendo 10 para cada um.

3. Sem olhar, cada jogador forma à sua frente uma pilha com as suas cartas viradas para baixo.

4. A um sinal combinado, os dois jogadores simultaneamente viram as primeiras cartas de suas respectivas pilhas. O jogador que primeiro disser o resultado da subtração, da adição ou da multiplicação entre os números mostrados nas duas cartas fica com elas.

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Medium 9788521633136

11 - Introdução aos Processos Estocásticos

CAMPOS, Marcilia Andrade; RÊGO, Leandro Chaves; MENDONÇA, André Feitoza de Grupo Gen PDF Criptografado

11

Introdução aos

Processos Estocásticos

11.1 Introdução

��

A modelagem analítica de qualquer fenômeno do mundo físico requer que simplificações sejam conside­ radas, uma vez que o mundo físico é mais rico do que toda a teoria desenvolvida em ciência e tecnologia.

Em particular, se a modelagem analítica é estocástica, inúmeras dependências têm de ser consideradas.

Por exemplo, as variáveis aleatórias tempo entre mensagens recebidas, Tm, tempo de resposta em um sistema on-line, Tr , número de jobs esperando para serem processados, Nt, dependem do instante em que são consideradas; as compras realizadas na próxima semana em um supermercado podem depender da satisfação das compras realizadas até o presente momento; o estoque armazenado amanhã dependerá do nível de estoque de hoje, bem como da demanda; o número de clientes que esperam em uma fila em certa hora depende do número de clientes que estavam na fila na hora anterior.

Um grande problema é que, apesar de os modelos serem mais apropriados quando dependências são incluídas, estas, por sua vez, tornam os cálculos de probabilidades muito complicados ou impossíveis. Ou seja, quanto mais independência se assume no modelo probabilístico, maior a chance de poder realizar cálculos explicitamente, o que implica a qualidade do modelo, que significa a adequação do modelo pro­ posto à realidade física.1 Portanto, na modelagem analítica, por meio de um modelo estocástico, o desafio

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Medium 9788521635468

9 - Introdução às Séries de Fourier

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

9

Introdução às Séries de Fourier

  9.1   Série de Fourier de uma Função

Vamos iniciar a seção com o seguinte exemplo.

Exemplo 1  Sejam an , n > 0 e bn , n >1, números reais dados. Suponha que a série trigonométrica a0 +∞

+ ∑ a cos nx + bn sen nx

2 n=1 n

(

)

convirja uniformemente, em ⎡⎣⎢−π, π ⎤⎦⎥ , a uma função f. Prove que a0 =

1 π

∫ f (x) dx,

π −π

an =

1 π

∫ f (x)cos nx dx,n >1

π −π

bn =

1 π

∫ f (x)sen nx dx,n >1.

π −π

e

Solução

Para todo x ∈ ⎡⎣ −π , π ⎤⎦ ,

f (x) =

a0 +∞

+ ∑ a cos nx + bn sen nx .

2 n=1 n

(

)

Como a convergência é uniforme neste intervalo, e as funções an cos nx +bn sen nx contínuas, segue que é válida a integração termo a termo. Então

Cap09-Guidorizzi.indd 134

10/18/18 2:56 PM

Introdução às Séries de Fourier

135

π

a

π

+∞

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Medium 9788577809264

11 transformações e gráficos

Safier, Fred Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 11 • TRANSFORMAÇÕES E GRÁFICOS

89

DILATAÇÃO E CONTRAÇÃO HORIZONTAIS

O gráfico de y ϭ f(ax), para a Ͼ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) contraído em relação ao eixo x, por um fator a. O gráfico de y ϭ f(ax), para 0 Ͻ a Ͻ 1, é o mesmo de y ϭ f(x) dilatado em relação ao eixo x, por um fator 1/a.

Exemplo 11.4 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ f(2x) no mesmo no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-9). sistema de coordenadas (Fig. 11-8); e de y ϭ f(x) e

Figura 11-8

Figura 11-9

REFLEXÃO EM RELAÇÃO A UM EIXO COORDENADO

O gráfico de y ϭ Ϫf(x) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo x. O gráfico de y ϭ f(Ϫx) é o mesmo de y ϭ f(x) refletido pelo eixo y.

Exemplo 11.5 Para a função básica mostrada na Fig. 11-1, faça os gráficos de y ϭ f(x) e y ϭ Ϫf(x) no mesmo sistema de coordenadas (Fig. 11-10); e de y ϭ f(x) e y ϭ f(Ϫx) no mesmo sistema de coordenadas (Fig.11-11).

Figura 11-10

Figura 11-11

Problemas Resolvidos

11.1 Explique por que, para h positivo, o gráfico de y ϭ f(x)ϩh é transladado para cima h unidades em relação ao gráfico de y ϭ f(x), enquanto o gráfico de y ϭ f(xϩh) é transladado para a esquerda h unidades.

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Medium 9788521622024

CAPÍTULO 12 - Correlação e Regressão Linear

KOKOSKA, Stephen Grupo Gen PDF Criptografado

Correlação e Regressão

Linear

12

Desafio do Capítulo 12

Os moinhos de vento são muito barulhentos?

Os moinhos de vento modernos estão rapidamente se tornando uma alternativa eficiente e limpa aos combustíveis fósseis para a produção de energia nos

Estados Unidos e outros países. Em um moinho típico de três pás, o comprimento de uma pá é de aproximadamente 50-60 pés (15,24-18,29 m), com diâmetro de

12 pés (3,66 m), e cada pá tem um ângulo de inclinação. Embora um moinho de vento eficaz possa utilizar vento de baixa velocidade, as localizações ideais para as fazendas de moinhos de vento são ao longo das costas oceânicas ou em áreas montanhosas, onde há uma velocidade consistente de vento de, pelo menos,

15 mph (24,14 km/h).

Os moinhos de vento não podem ser construídos muito próximos às cidades devido às leis que regulam o nível de ruído. Um moinho de vento típico produz aproximadamente 56 dB a 200 pés (60,96 m) de distância. Isso é mais suave do que o som da voz humana (que é de cerca de 70 dB). Suponha que uma pequena comunidade costeira esteja pensando em construir um moinho de vento para gerar eletricidade para a prefeitura. Realiza-se um experimento para se medir o nível de ruído (em dB) a várias distâncias (em pés) do local proposto. Os dados estão resumidos na tabela a seguir.

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Medium 9788565837736

Capítulo 1 - Teoria de Conjuntos

Seymour Lipschutz; Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 1

Teoria de Conjuntos

1.1

INTRODUÇÃO

O conceito de conjunto aparece em toda a matemática. Este capítulo introduz a notação e a terminologia básicas da teoria de conjuntos usadas ao longo deste livro. O capítulo encerra com a definição formal de indução matemática e exemplos.

1.2

CONJUNTOS E ELEMENTOS, SUBCONJUNTOS

Um conjunto pode ser entendido como qualquer coleção bem definida de objetos, conhecidos como os elementos ou membros do conjunto. Geralmente se empregam letras maiúsculas A, B, X, Y,…, para denotar conjuntos, e letras minúsculas, a, b, x, y,…, para denotar elementos de conjuntos.† Sinônimos para “conjunto” são “classe”, “coleção” e “família”.

Pertinência em um conjunto é denotada como segue: a ∈ S denota que a pertence a um conjunto S a, b ∈ S denota que a e b pertencem a um conjunto S

Aqui, ∈ é o símbolo que significa “é um elemento de”. Empregamos �∈ para dizer “não é um elemento de”.

Especificando conjuntos

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