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Medium 9788565837156

Capítulo 7 - Limites

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 7

Limites

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

Se f é uma função, dizemos que:

A é o limite de f(x) quando x tende a a se o valor de f(x) se torna arbitrariamente próximo a A quando x tende a a. Isso é escrito em notação matemática como:

Por exemplo,

, uma vez que x2 se aproxima arbitrariamente de 9 quando x chega o mais próximo possível de 3. A definição de foi dada em linguagem coloquial. A mesma definição pode ser estabelecida em uma linguagem matemática mais precisa como se segue: se, e somente se, para qualquer número positivo ε, por menor que seja, existe um número positivo δ tal que, quando 0 < ⱍx − aⱍ < δ, então ⱍf(x) − Aⱍ < ε.

A ideia da definição é ilustrada na Fig. 7-1. Depois de ε ser escolhido [isto é, depois do intervalo (ii) ter sido determinado], então δ pode ser encontrado [isto é, o intervalo (i) pode ser determinado] de modo que, quando x ≠ a está no intervalo (i), digamos, em x0, então f(x) está no intervalo (ii), em f(x0). Note o importante fato de que ser verdadeiro independe do valor de f(x) quando x = a. Na verdade, f(x) não precisa nem mesmo ser definida quando x = a.

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Medium 9788540701427

Capítulo 9 - Elementos básicos de organização

Raul Fernando Weber Grupo A PDF Criptografado

capítulo

9

elementos básicos de organização

Um computador pode ser projetado ou construído a partir de uma série de elementos básicos. Este capítulo apresenta alguns destes elementos: portas lógicas que implementam equações booleanas, multiplexadores e decodificadores que selecionam bits, flip-flops que armazenam bits individuais, registradores que armazenam grupos de vários bits, unidades lógicas e aritméticas que realizam operações binárias simples e memórias que armazenam programas e dados.

■ ■

134

9.1

Fundamentos de Arquitetura de Computadores

introdução

Um computador pode ser projetado e/ou descrito em diversos níveis de abstração. Assim, é possível descrever inteiramente um computador por meio de equações booleanas ou de seu equivalente em portas lógicas AND, OR e NOT. Devido à complexidade dos computadores atuais, tal nível de abstração não é prático, por envolver milhares de equações. Uma das soluções empregadas para diminuir o número de elementos a serem manipulados envolve o uso de níveis de abstração mais elevados, como o nível de transferência entre registradores (em inglês Register Transfer, ou RT). Este capítulo aborda os principais elementos utilizados nos níveis de portas lógicas e de transferência entre registradores.

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Medium 9788565837736

Capítulo 4 - Lógica e Cálculo Proposicional

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Lógica e Cálculo Proposicional

4.1

INTRODUÇÃO

Muitos algoritmos e demonstrações usam expressões lógicas como:

“SE p ENTÃO q” ou “SE p1 e p2, ENTÃO q1 OU q2”

Logo, é necessário conhecer os casos nos quais essas expressões são VERDADEIRAS ou FALSAS, ou seja, saber o “valor verdade” de tais expressões. Discutimos essas questões neste capítulo.†

Também investigamos o valor verdade de afirmações quantificadas, as quais são expressões que empregam os quantificadores lógicos “para todo” e “existe”.‡

4.2

PROPOSIÇÕES E SENTENÇAS COMPOSTAS

Uma proposição (ou sentença) é uma afirmação declarativa que é verdadeira ou falsa, mas não ambas. Considere, por exemplo, os seis itens a seguir:

(i) Gelo flutua na água.

(ii) A China é na Europa.

(iii) 2 + 2 = 4

(iv) 2 + 2 = 5

(v) Aonde você está indo?

(vi) Faça seu tema de casa.

Os quatro primeiros são proposições. Os dois últimos não. Além disso, (i) e (iii) são verdadeiras, mas (ii) e (iv) são falsas.

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Medium 9788565837736

Apêndice A - Vetores e Matrizes

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Apêndice A

Vetores e Matrizes

A.1

INTRODUÇÃO

Dados são frequentemente distribuídos em arrays, isto é, conjuntos cujos elementos são indexados por um ou mais

índices. Se esses dados consistem em números, então um array unidimensional é chamado de vetor, enquanto um array bidimensional é chamado de matriz (de forma que a dimensão denota o número de índices.) Este apêndice investiga esses vetores e matrizes e certas operações algébricas nas quais eles se envolvem. Nesse contexto, os números em si são chamados de escalares.

A.2 VETORES

Por vetor u, nós nos referimos a uma lista de números, como a1, a2, . . . , an. Tal vetor é denotado por u = (a1, a2, . . . , an)

Os números ai são chamados de componentes ou entradas de u. Se todos os ai = 0, então u é chamado de vetor nulo. Dois desses vetores, u e v, são iguais, e escrevemos u = v, se possuem o mesmo número de componentes e esses componentes correspondentes são iguais.

Exemplo A.1

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Medium 9788521632535

Capítulo 2 - Probabilidade

Douglas C. Montgomery, George C. Runge Grupo Gen PDF Criptografado

2

Probabilidade

Sumário do Capítulo

2-1 Espaços Amostrais e Eventos

2-1.1 Experimentos Aleatórios

2-1.2 Espaços Amostrais

2-1.3 Eventos

2-1.4 Técnicas de Contagem

2-2 Interpretações e Axiomas de Probabilidade

Uma mulher atlética, de seus 20 anos, chega a uma emergência reclamando de tontura depois de correr em um dia quente. Um eletrocardiograma é usado para checar um ataque cardíaco e a paciente apresenta resultado anormal. O teste tem uma taxa de falso-positivo de 0,1 (a probabilidade de um resultado anormal quando a paciente está normal) e uma taxa de falso-negativo de 0,1 (a probabilidade de um resultado normal quando a paciente está anormal). Além disso, deve-se considerar que a primeira probabilidade de um ataque cardíaco para esse paciente é de 0,001. Embora o teste anormal seja uma preocupação, você deve estar surpreso em aprender que a probabilidade de um ata-

2-3

2-4

2-5

2-6

2-7

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Medium 9788577805211

2. multiprogramação

Rômulo Silva de Oliveira, Alexandre da Silva Carissimi, Simão Sirineo Toscani Grupo A PDF Criptografado

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2.1

Sistemas Operacionais

mecanismo básico

Em um sistema multiprogramado diversos programas são mantidos na memória ao mesmo tempo. A figura 2.1 mostra uma possível organização da memória. Nesse sistema, existem 3 programas de usuário na memória principal, prontos para serem executados.

Vamos supor que o sistema operacional inicia a execução do programa 1. Após algum tempo, da ordem de milissegundos, o programa 1 faz uma chamada de sistema. Ele solicita algum tipo de operação de entrada ou saída. Por exemplo, uma leitura do disco. Sem multiprogramação, o processador ficaria parado durante a realização do acesso. Em um sistema multiprogramado, enquanto o periférico executa o comando enviado, o sistema operacional inicia a execução de outro programa. Por exemplo, o programa 2. Dessa forma, processador e periférico trabalham ao mesmo tempo. Enquanto o processador executa o programa 2, o periférico realiza a operação solicitada pelo programa 1.

A maioria dos programas não precisa de toda a memória do computador. Na verdade, muitos programas ocupam uma pequena parcela da memória principal disponível. Sem multiprogramação, a memória não ocupada por um programa ficaria sem utilização.

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Medium 9788584291281

Ideia fundamental 3 - Criando e nomeando padrões numéricos

Jo Boaler, Jen Munson, Cathy Williams Grupo A PDF Criptografado

Ideia fundamental 3

CRIANDO E

NOMEANDO

PADRÕES

NUMÉRICOS

Se você pedir a crianças em idade escolar que definam matemática, elas irão falar de números, regras e métodos. Curiosamente, se você pedir a matemáticos que definam a matemática, muitos deles dirão que é “a ciência dos padrões”. Acho que esta é uma afirmação realmente interessante, especialmente porque os matemáticos não estão falando de encontrar padrões particulares, como o da Figura 3.1, para estudar.

Eles estão falando sobre a maneira como abordam a matemática e o mundo, e como encaram cada relação matemática como um tipo de padrão. Eu gosto dessa maneira de ver a matemática. Veja esse exemplo: você pode mostrar aos alunos que toda a vez que você divide por um meio ( 12 ), o número resultante será duas vezes maior. Você pode afirmar isso como um fato ou pode encorajá-los a verem isso como um tipo de padrão, algo que sempre acontece, uma relação. Os estudantes que se aproximam da matemática como uma forma de busca por padrões – buscando os padrões que existem entre os números e as operações e vendo as consistências como uma forma de padrão, não como uma regra – geralmente a apreciam mais e começam a encontrar padrões ao seu redor.

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Medium 9788521622796

CAPÍTULO 5 - DETERMINANTES

Theodore Shifrin, Malcom R. Adams Grupo Gen PDF Criptografado

C A P Í T U L O

5

DETERMINANTES

A

cada matriz quadrada, associamos um número denominado seu determinante. Esse número fornecerá um critério computacional conveniente para determinar se uma matriz é ou não singular. Usaremos esse critério no Capítulo 6. O determinante também tem uma interpretação geométrica em termos de área e volume. Embora essa interpretação não seja necessária para nosso trabalho futuro, entendemos que esse é um exemplo tão bonito da interação entre álgebra e geometria que não pudemos resistir a contar pelo menos parte dessa história. Aqueles que estudam cálculo a várias variáveis reconhecerão o determinante quando ele aparecer na fórmula de mudança de variáveis para integrais.

1 Propriedades dos Determinantes

Na Seção 3 do Capítulo 2, vimos que uma matriz 2 ϫ 2,

é não singular se e

somente se a quantidade ad Ϫ bc for não nula. Aqui, daremos um nome a essa quantidade, o determinante de A; isto é, det A ϭ ad Ϫ bc. Exploraremos a interpretação geométrica do determinante na Seção 3, mas, por agora, queremos descobrir como essa noção pode ser generalizada para matrizes n ϫ n. Para fazer isso, estudaremos o efeito das operações linha no determinante.

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Medium 9788577808335

5 Transformações Lineares

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 5

Transformações Lineares

5.1 INTRODUÇÃO

O assunto principal da Álgebra Linear é o estudo das transformações lineares e suas representações por meio de matrizes. Neste capítulo apresentamos essas transformações lineares e, no próximo, mostramos como elas podem ser representadas por matrizes. Inicialmente, contudo, apresentamos um estudo de aplicações em geral.

5.2 APLICAÇÕES, FUNÇÕES

Sejam A e B dois conjuntos não vazios quaisquer. Suponha que a cada elemento esteja associado um único elemento de B, denominado imagem de a. A coleção f dessas associações é denominada aplicação de A em B e é denotada por

Dizemos que o conjunto A é o domínio da aplicação e que B é o contradomínio. Escrevemos f(a), que é lido “efe de a”, para o único elemento de B que f associa ao elemento

.

Podemos também interpretar uma aplicação como um computador que, para cada valor inicial

, produz um valor final

.

OBSERVAÇÃO O termo função é um sinônimo da palavra aplicação, embora alguns textos reservem a palavra

“função” para aplicações de valores reais ou complexos.

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Medium 9788521635437

14 - Equações Diferenciais de 1a Ordem de Variáveis Separáveis e Lineares

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

14

Equações Diferenciais de

1a Ordem de Variáveis

Separáveis e Lineares

 14.1   Equações Diferenciais: Alguns Exemplos

As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1   Uma partícula desloca-se sobre o eixo x de modo que, em cada instante t, a velocidade é o dobro da posição. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

Solução

Neste problema, o que nos interessa determinar é a função de posição x 5 x (t). De acordo com o enunciado do problema, o movimento é regido pela equação diferencial de 1a ordem

Conforme o Exercício 2 da Seção 10.1, as funções que satisfazem tal equação são da forma x 5 ke2t, k constante. Assim, a função de posição do movimento é da forma x 5 ke2t.

Exemplo 2   Uma partícula de massa m 5 1 desloca-se sobre o eixo x sob a ação de uma única força, paralela ao deslocamento, com componente f (x) 5 2x. Qual a equação diferencial que rege o movimento?

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Medium 9788521635352

6 - Autovalores

LEON, Steven J. Grupo Gen PDF Criptografado

6

CAPÍTULO

Autovalores

Na Seção 6.1, vamos tratar da equação Ax 5 lx. Esta equação ocorre em muitas aplicações da álgebra linear. Se a equação tem uma solução não nula x, então l

é dito um autovalor de A, e x é dito um autovetor associado a l.

Autovalores são uma parte comum em nossa vida, quer notemos isto ou não.

Onde houver vibrações haverá autovalores, as frequências naturais das vibrações. Se você já afinou um violão, você resolveu um problema de autovalores.

Quando engenheiros projetam estruturas, eles se preocupam com as frequências de vibração da estrutura. Esta preocupação é particularmente importante em regiões sujeitas a terremotos, como a Califórnia. Os autovalores de um problema com condições de fronteira podem ser usados para determinar os estados energéticos de um átomo ou cargas críticas que causam flexão em uma viga.

Esta última aplicação é apresentada na Seção 6.1.

Na Seção 6.2, aprenderemos mais sobre como usar autovalores e autovetores para resolver sistemas de equações diferenciais lineares. Consideraremos várias aplicações, incluindo problemas de misturas, o movimento harmônico de um sistema de molas e as vibrações de um prédio. O movimento de um prédio pode ser modelado por um sistema de equações diferenciais de segunda ordem na forma

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Medium 9788521631279

Capítulo 6. Taxas de Juros

Jarbas Thaunahy Santos de Almeida Grupo Gen PDF Criptografado

Taxas de Juros

6

Segundo a teoria econômica, a taxa de juros representa a remuneração pelo emprego de um dos fatores de produção: o capital. Conforme Oliveira e Pacheco (2010), os juros são parte essencial do processo de intermediação financeira, pois funcionam como o estímulo que o agente superavitário possui para deixar de consumir no presente e consumir mais no futuro, bem como o custo com que um agente deficitário arcará para financiar seus desejos de consumo imediato.

Para Bruni e Famá (2009, p. 270), o mercado financeiro brasileiro apresenta algumas peculiaridades em relação a outros mercados financeiros, e também é notório que nas operações bancárias e comerciais a palavra taxa é empregada de diversas formas.

Dada a importância da taxa de juros para a economia brasileira, este capítulo tem por finalidade mostrar como as taxas de juros são informadas no mercado financeiro, além de abordar diversas operações matemáticas com diferentes taxas.

6.1  Taxa nominal

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Medium 9788577806959

26: A Função Beta

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

26

A Função Beta

Definição da função beta B(m, n)

26.1

Relação entre a função beta e a função gama

26.2

Extensões de B(m, n), para m � 0 e n � 0, são obtidas usando-se 25.4.

Alguns resultados importantes

26.3

26.4

26.5

26.6

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Medium 9788577803828

2 abordagem entidade-relacionamento

Carlos Alberto Heuser Grupo A PDF Criptografado

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Projeto de Banco de Dados

A técnica de modelagem de dados mais difundida e utilizada é a abordagem entidade-relacionamento(ER). Nesta técnica, o modelo de dados é representado através de um modelo entidade-relacionamento (modelo ER). Geralmente, um modelo ER é representado graficamente através de um diagrama entidade-relacionamento (DER). A abordagem ER foi criada em 1976 por

Peter Chen, podendo ser considerada como um padrão de fato para a modelagem conceitual. Mesmo as técnicas de modelagem orientada a objetos, que têm surgido nos últimos anos, como a UML, baseiam-se nos conceitos da abordagem ER.

Este capítulo apresenta os conceitos centrais da abordagem ER: entidade, relacionamento, atributo, generalização/especialização e entidade associativa.

Junto com estes conceitos, é apresentada uma notação gráfica para diagramas ER. A notação gráfica usada no capítulo é a notação originalmente introduzida por Peter Chen. No capítulo 3, são discutidas as principais notações usadas na prática para construir diagramas ER.

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Medium 9788536507965

2.7 Descontos simples e composto

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.7  Descontos simples e composto

2.7.1  Definições

Em algumas situações não queremos calcular o montante após certo prazo, porém queremos saber, com base no valor nominal que vai ser recebido ou pago em uma data futura, qual seria este valor na data presente. Logicamente o valor a ser pago na data atual será menor do que o da data futura, visto que ele vai sofrer um desconto.

Da mesma forma que o cálculo do montante, o desconto pode ser determinado da forma simples ou composta.

Chamamos de valor nominal (N) a quantia a ser paga/recebida numa data futura. No caso de o valor ser resgatado antes da data prevista, ele sofrerá um desconto (D), que nada mais é do que a dedução devido à antecipação do compromisso. O valor recebido antecipadamente

é chamado de valor atual (A), de forma que este é o resultado da diferença dos termos anteriores, isto é, A = N – D.

2.7.2  Desconto racional simples

O desconto racional simples (DRS) é calculado pela relação entre o valor atual (A) e o valor nominal (N), usando como base a relação do montante de juros simples, M = C(1 + i . n), em que substituímos o montante (M) pelo valor nominal (N) e o capital (C) pelo valor atual (A):

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