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Medium 9788565837736

Capítulo 6 - Técnicas Avançadas de Contagem, Recursão

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 6

Técnicas Avançadas de

Contagem, Recursão

6.1

INTRODUÇÃO

Consideramos aqui técnicas de contagem e problemas mais sofisticados. Isso inclui problemas envolvendo combinações com repetições, partições ordenadas e não ordenadas, e os princípios de Inclusão-Exclusão e da Casa dos

Pombos.

Também discutimos recursão neste capítulo.

6.2

COMBINAÇÕES COM REPETIÇÕES

Considere o seguinte problema. Uma confeitaria faz apenas M = 4 tipos de biscoitos: maçã (a), banana (b), cenoura (c) e tâmaras (d). Encontre o número de maneiras que uma pessoa pode comprar r = 8 biscoitos.

Observe que a ordem não é relevante. Esse é um exemplo de combinações com repetições. Em particular, cada combinação pode ser listada com os a’s primeiro, seguidos dos b’s, dos c’s e, finalmente, dos d’s. Quatro dessas combinações seguem: r1 = aa, bb, cc, dd; r2 = aaa, c, ddd; r3 = bbbb, c, ddd; r4 = aaaaa, ddd.

Contar o número m de tais combinações pode não ser fácil.

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Medium 9788547223052

Capítulo 2 - Introdução à aritmética dos números inteiros

Gelson Iezzi, Hygino Domingues Editora Saraiva PDF Criptografado

Introdução à aritmética dos números inteiros

Capítulo

2

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Álgebra moderna

28

2.1 INTRODUÇÃO

No conjunto dos números naturais, que segundo o matemático Leopold Kronecker

(1823–1891) foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a ⩾ b. Mas há questões que envolvem a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de �. Esse passo gerou naturalmente a necessidade de estender as operações e a relação de ordem de � ao novo conjunto, formado pelos números naturais e pelos números negativos.

Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira bem estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram, e de maneira bastante informal, em decorrência de questões práticas: inicialmente na China, provavelmente bem antes do século III a.C., e mais tarde na Índia, em torno do século VI d.C. Mas na Europa ocidental do século XVII ainda havia matemáticos de alto gabarito que não aceitavam bem (ou nem sequer aceitavam) os números negativos.

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Medium 9788586804922

1.6 Matrizes elementares

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

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31.08.56

46

11:21 AM

CAPÍTULO 1

Page 46

Equações Lineares e Matrizes

e) Sabendo agora que A pode ser levada a I por operações

a) Se B e C são inversíveis, mostre que A é inversível e que

elementares com as linhas, o que você diz sobre a resolução de um sistema AX = B? Use esse fato para encontrar uma matriz C tal que AC = I encontrando sucessivamente cada coluna de C. f) Agora que AC = I, verifique que CA = I também vale.

Isso irá acontecer sempre? g) O que acontece ⎤com todas essas condições no caso

A=

1

⎢ −2

−1

1

−3

1

A−1 =

que AB = BA.

26. Suponha que A e B sejam matrizes quadradas não nulas tais

que AB = 0. Mostre que nem A nem B têm inversa.

27. O que está errado com a seguinte solução do Exemplo 12?

Justifique sua resposta.

“Solução”: Como AB é inversível, temos (AB)−1 = B −1A−1 pelo Teorema 3. Logo, B −1 = (AB)−1A.

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Medium 9788565837156

Capítulo 30 - Aplicações de Integração II: Volume

Frank Ayres Jr., Elliott Mendelson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 30

Aplicações de Integração II: Volume

Um sólido de revolução é obtido por meio da revolução de uma região em um plano em torno de uma reta que não intersecta a própria região. A reta sobre a qual a rotação toma lugar é chamada de eixo de revolução.

Seja f uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b. Considere a região ᏾ sob o gráfico de f, acima do eixo x e entre x = a e x = b. (Ver Fig. 30-1.) Se ᏾ é rotacionada em torno do eixo x, o objeto resultante é um sólido de revolução. As regiões ᏾ que geram alguns sólidos familiares são mostradas na Fig. 30-2.

Figura 30-1

FÓRMULA DO DISCO

O volume V do sólido de revolução obtido girando a região ᏾ da Fig. 30-1 em torno do eixo x é dado por

(Fórmula do disco)

(a) Cone

(b) Cilindro

(c) Esfera

Figura 30-2

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17/10/12 12:53

CAPÍTULO 30 • APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO II: VOLUME

245

Veja o Problema 9 para um esboço da demonstração dessa fórmula.

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Medium 9788582604571

Capítulo 15 - Integração múltipla

Jon Rogawski, Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

15  �INTEGRAÇÃO MÚLTIPLA

A

s integrais de funções de várias variáveis, denominadas integrais múltiplas, são uma extensão natural das integrais de uma variável estudadas na primeira parte do texto. Elas são utilizadas para calcular muitas quantidades que surgem nas aplicações, como volumes, áreas de superfície, centros de massa, probabilidades e valores médios.

15.1  Integração em duas variáveis

A integral de uma função f(x, y) de duas variáveis, denominada integral dupla, é denotada por

Ela representa o volume com sinal da região sólida entre o gráfico de f(x, y) e o domínio no plano xy (Figura 1), sendo que o volume é positivo com regiões acima do plano xy e negativo com regiões abaixo.

Há muitas semelhanças entre integrais duplas e integrais simples:

Estas plantações em terraços ilustram como o volume abaixo de um gráfico pode ser calculado usando integração iterada.

(© bbbar/age fotostock)

• Integrais duplas são definidas como limites de somas.

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Medium 9788582603123

Capítulo 4 - Incerteza e sua mensuração

João Luiz Becker Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 4

Incerteza e sua mensuração

Neste capítulo, apresentam-se os conceitos relacionados à teoria de probabilidades. Conforme já salientado no Capítulo 1, a estatística matemática, ou inferencial, desenvolveu-se a partir da utilização da teoria de probabilidades no estudo das relações existentes entre populações e amostras delas retiradas. Em um primeiro momento, trataremos da teoria de probabilidades, em sentido estrito. No

Capítulo 7, veremos como utilizar esses conceitos para relacionar informações de amostras e populações.

CERTEZA E INCERTEZA

Repare nas afirmações contidas no Quadro 1.

QUADRO 1 Conjunto de afirmações e seu valor lógico

1. Pegue uma moeda; prepare-se para jogá-la para cima;

Afirmação: a face “cara” ficará voltada para cima quando a moeda cair.

2. Pegue um percevejo; prepare-se para jogá-lo para cima;

Afirmação: sua ponta ficará voltada para cima quando o percevejo cair.

3. Considere os dígitos decimais de 𝜋, contados a partir da vírgula decimal;

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Medium 8521203926

Capítulo 9 - Análise de modelos log-lineares

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 9

Análise de modelos log-lineares

Este capı́tulo de aplicação da metodologia MV ao ajustamento de modelos log-lineares inicia-se com uma descrição genérica da análise para qualquer tabela envolvendo apenas variáveis respostas, supostamente descrita pelo modelo Multinomial. Na

Subsecção 9.1.1 determinam-se “as” estatı́sticas suficientes, derivam-se as equações de verosimilhança e referem-se as distribuições assintóticas Normais de estimadores de (funções relevantes de) parâmetros log-lineares e das frequências esperadas.

Em seguida, concretizam-se os testes de ajustamento dos modelos e de hipóteses paramétricas visando a sua simplificação. A Subsecção 9.1.3 trata do problema de comparação destas inferências com as que se obtêm no quadro poissoniano mais abrangente.

As Secções 9.2 e 9.3 debruçam-se sobre a aplicação dos resultados da secção anterior a tabelas bidimensionais e multidimensionais, respectivamente. Na primeira descreve-se a análise sucessivamente dos modelos de independência, simetria, e algumas das suas generalizações, e de modelos ordinais. A Secção 9.3 ocupa-se sucessivamente dos modelos tridimensionais hierárquicos, de simetria e ordinais, e dos modelos tetradimensionais hierárquicos. A Secção 9.4 descreve os dois métodos iterativos mais usados na estimação (Newton-Raphson e ajustamento proporcional iterativo).

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Medium 9788536307039

17. Maior Quociente

Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz, Patrícia Terezinha Cândido Grupo A PDF Criptografado

98

Smole, Diniz & Cândido

ORIENTE SEUS ALUNOS QUANTO ÀS REGRAS

1. Embaralhe as cartas e coloque-as com a face para baixo.

2. Cada jogador, na sua vez, pega uma carta e lê o número em voz alta.

Lembre que ases valem 1 e coringas valem zero.

3. Cada jogador escreve o número em qualquer quadrícula de seu esquema, que poderia ficar assim, depois do sorteio das cartas 3 e 8.

8

3

4. Depois que quatro cartas tenham sido retiradas, cada jogador terá uma divisão com um algarismo no divisor e três no dividendo.

5. Cada jogador efetua sua divisão. Ganha o jogo quem obtiver o maior quociente.

ALGUMAS EXPLORAÇÕES POSSÍVEIS

Você pode propor aos seus alunos que, após terem jogado algumas vezes, escrevam uma lista com as suas aprendizagens.

Proponha problemas que simulem uma situação do jogo. Veja um exemplo:

Quando estavam jogando, o grupo de Érica sorteou as cartas 6, 9, 5 e 4. Apareceram as seguintes soluções:

José

965 ÷ 4

Maria

456 ÷ 9

Clara

649 ÷ 5

Qual solução terá o maior quociente? Por quê? Resolva para conferir a sua resposta.

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Medium 9788536507965

1.4 Equação de 1º grau

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

1.3.4  Diferença de quadrados

O terceiro caso de produto notável envolve uma multiplicação antissimétrica entre dois elementos, ou seja:

(a + b) . (a – b)

Fique de olho!

Note que (a + b)2 é diferente de a2 + b2, assim como (a – b)2 é diferente de a2 – b2!

Usando a propriedade distributiva, vamos obter a diferença entre os quadrados dos termos:

( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ ( a − b ) + b ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + a ⋅ ( −b ) + b ⋅ a + b ⋅ ( −b ) ⇒

⇒ ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2

Exemplo

Efetue os seguintes cálculos: a) 12 . 20

b) 17 . 33

c) 8 . 13

Resolução

12 + 20 a) O valor de a é igual à média entre os dois números (

= 16), enquanto b é a diferença entre

2 o maior e a média (20 – 16 = 4). Logo, 12 . 20 = (16 – 4) . (16 + 4) = 162 – 42 = 256 – 16 = 240 b) 17 . 33 = (25 – 8) . (25 + 8) = 252 – 82 = 625 – 64 = 561 c) 8 . 13 = (10,5 – 2,5) . (10,5 – 2,5) = 10,52 – 2,52 = 110,25 – 6,25 = 104. Note que neste caso

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Medium 9788577806959

16: Funções de Bessel Y0(x)

Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, John Liu Grupo A PDF Criptografado

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Funções de Bessel Y0(x)

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17

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Funções de Bessel Y1(x)

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Medium 9788586804922

5.4 Isomorfismos e matrizes

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

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31.08.56

11:08 AM

Page 301

301

5.4 Isomorfismos e Matrizes

18. Use o Teorema da Dimensão para provar o Teorema 1 da

Seção 1.3: um sistema linear homogêneo que tem mais incógnitas do de equações tem que ter uma solução não-trivial.

19. Sejam U e W os subespaços constituídos pelos polinômios

pares e ímpares de Pn (ver Exercício 20 da Seção 5.2).

Use o Teorema da Dimensão para mostrar que dimU + dimW = n + 1. [Sugestão: Considere T : Pn → Pn dada por T[p(x)] = p(x) − p(−x).]

20. Seja U e W os espaços das matrizes n × n simétricas e anti-

simétricas, respectivamente. Mostre que dimU + dimW = n2 .

[Sugestão: Exemplo 11.]

21. Considere o subespaço W = {p(x) em Pn | p(a) = 0} de Pn .

Use o Teorema da Dimensão para provar que

{(x − a), (x − a)2, (x − a)3, · · · , (x − a)n} é uma base de W.

[Sugestão: Considere a função avaliação Ea : Pn → R ,

Exemplo 2 da Seção 5.2 e o Teorema 4 da Seção.]

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Medium 9788582603840

Capítulo 2 - Erros e aritmética computacional

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Erros e aritmética computacional

2

Ao contrário do que julga o senso comum, o computador não é uma máquina de calcular perfeita. Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros (em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

Neste capítulo, abordaremos a forma como os números são armazenados pelo computador e como os erros aparecem. Veremos também uma estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os refinamentos sucessivos.

2.1

Resolução de problemas numéricos

Nas ciências e engenharias, o computador cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, especialmente quando cálculos aritméticos são muito utilizados. O processo de resolução de problemas, muitas vezes, envolve algum artifício e engenhosidade. Embora não se possa estabelecer uma regra única, podemos dizer que, de um modo geral, a resolução de problemas segue os seguintes passos:

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Medium 9788582603321

Capítulo 8 - Equivalência de capitais

Manuela Longoni de Castro, Wili Dal Zot Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

8.1 Conceito de equivalência de capitais

CONCEITO 8.1 Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma determinada data focal, forem iguais.

Se os fluxos de caixa, a uma determinada taxa de juros, tiverem o mesmo valor presente

(valor atual), então seus valores futuros, em qualquer n, a essa mesma taxa, serão iguais.

Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equivalentes em outras taxas.

O conceito de equivalência de capitais constitui um elemento-chave nas aplicações da

Matemática Financeira. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de vista dos juros compostos, conforme Puccini (2009) ou apresentar-se também quanto à possibilidade de se calcular por meio de juros simples (VIEIRA SOBRINHO, 2000; ASSAF NETO,

2009). Neste livro, abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos.

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Medium 9788521636946

5 Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear depende da determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea. Até agora, só vimos um procedimento sistemático para a construção de soluções fundamentais quando a equação tem coeficientes constantes. Para tratar a classe muito maior de equações com coeficientes variáveis, é necessário estender nossa procura de soluções além das funções elementares usuais do Cálculo. A ferramenta principal é a representação de uma função dada em série de potências. A ideia básica é semelhante ao método dos coeficientes indeterminados: supomos que a solução de uma equação diferencial dada tem expansão em série de potências e, depois, tentamos determinar os coeficientes de modo a satisfazer a equação diferencial.

Neste capítulo, vamos discutir a utilização de séries de potências para construir conjuntos fundamentais de soluções para equações diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes são funções da variável independente. Começamos resumindo, muito rapidamente, os resultados pertinentes sobre séries de potências que precisaremos. Os leitores familiares com séries de potências podem ir diretamente para a Seção 5.2. Os que precisarem de mais detalhes do que os contidos aqui devem consultar um livro de Cálculo.

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Medium 9788540700949

Capítulo 7 - Funções de Várias Variáveis

Larry J. Goldstein, David C. Lay, David I. Schneider, Nakhlé H. Asmar Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

FUNÇÕES DE VÁRIAS

VARIÁVEIS

7

7.1 Exemplos de funções de várias variáveis

7.2 Derivadas parciais

7.3 Máximos e mínimos de funções de várias variáveis

7.4 Multiplicadores de Lagrange e otimização condicionada

7.5 O método dos mínimos quadrados

7.6 Integrais duplas

A

té aqui, a maioria de nossas aplicações do Cálculo têm envolvido funções de uma variável. Entretanto, na vida real, uma quantidade que nos interessa muitas vezes depende de mais de uma variável. Por exemplo, o nível de vendas de um produto pode depender não apenas de seu preço, mas também dos preços dos produtos competidores, da quantia gasta com propaganda e, talvez, da época do ano. O custo total para manufaturar o produto depende do custo das matérias-primas, trabalho, manutenção da fábrica e assim por diante.

Neste capítulo, introduzimos as ideias básicas do Cálculo para funções de mais de uma variável. Na Seção 7.1, apresentamos vários exemplos que serão utilizados ao longo do capítulo. As derivadas são tratadas na Seção 7.2 e, então, utilizadas nas Seções 7.3 e 7.4 para resolver problemas de otimização mais gerais do que os do Capítulo 2. Nas duas seções finais, nos dedicamos a problemas de mínimos quadrados e a uma breve introdução à integração de funções de duas variáveis.

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