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Medium 9788521624332

3 - Limite e continuidade

BARBONI, Ayrton; PAULETTE, Walter Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

3

Limite e continuidade

3.1 Vizinhança

3.2 Ponto de Acumulação

3.3 Noção Intuitiva de Limite

3.4 Limite Finito

3.5 Limites Laterais

3.6 Teoremas

3.7 Propriedades Operatórias (1.ª parte)

3.8 Função Contínua

3.9 Limites Envolvendo Infinitos

3.10 Limites de Funções Compostas

3.11 Propriedades Operatórias dos Limites de Funções

Compostas (2.ª parte)

3.12 Formas Indeterminadas

3.13 Limites Fundamentais

O objetivo desta unidade consiste em investigar o comportamento de uma função, quando x se aproxima de um número finito, pertencente ao seu domínio ou junto a ele, ou, também, quando tende para valores infinitos.

3.1 Vizinhança

Definição 3.1

Dado a  , denomina-se Vizinhança de a, indicado por V(a), todo intervalo aberto que contém a.

Simbolicamente,

Figura 3.1a

V(a)  ] a − 1, a  2 [ , onde 1 e 2 são números reais positivos.



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Medium 9788521631880

Espaços com Produtos Internos

HOLT, Jeffrey Grupo Gen PDF Criptografado

Espaços com

Produtos Internos

|CAPÍTULO|

10

A ponte estaiada Penobscot

Narrows, sobre o rio

Penobscot, liga a ilha de

Verona à cidade Prospect, no Maine. Foi planejada, projetada e construída em apenas 42 meses para substituir a ponte WaldoHancock que estava deteriorando (já demolida).

A ponte se destaca pelas suas inovações do ponto de vista da engenharia, como o uso de composto de carbono nos cabos e um sistema de armação que facilita a substituição individual deles sempre que necessário. Além disso, a ponte serve de suporte ao Penobscot Narrows

Observatory, a primeira torre de observação em uma ponte nos Estados Unidos, no topo da torre mais ao norte.

Ponte sugerida por Lawrence

Thomas, University of Virginia

(Randy Duchaine/Alamy)

N

o Capítulo 8 introduzimos o produto escalar, que forneceu um modo algébrico para determinar quando vetores no espaço euclidiano Rn são ortogonais. Lá foram desenvolvidas aplicações do produto escalar, incluindo projeções de vetores, o método de

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Medium 9788521633136

13 - Uma Introdução à Inferência Estatística

CAMPOS, Marcilia Andrade; RÊGO, Leandro Chaves; MENDONÇA, André Feitoza de Grupo Gen PDF Criptografado

13

Uma Introdução à

Inferência Estatística

Neste capítulo, serão abordados tópicos da Estatística, isto é, tópicos nos quais a suposição fundamental

é suportada por métodos indutivos: uma amostra aleatória é retirada da população e, a partir desta, com um erro probabilístico fixado, asserções são realizadas sobre a população. Este é um método indutivo: do particular (amostra) induz-se para o geral (população). Na Probabilidade, quando se resolve um problema sobre variáveis aleatórias, por exemplo, não se questiona qual o valor dos parâmetros de uma densidade; frases usuais são: seja uma Uniforme em (10 30), ou uma Exponencial de parâmetro a. O raciocínio probabilístico é abstrato e os métodos probabilísticos dedutivos. Entretanto, Probabilidade e

Estatística se complementam para resolver problemas do mundo físico quando, por exemplo, o objetivo é descobrir qual a distribuição de um conjunto de observações, então métodos estatísticos entram em cena para especificar, com determinado erro (probabilístico!), qual a melhor distribuição para o conjunto de observações.

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Medium 9788582603840

Capítulo 7 - Integração numérica

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Integração numérica

7.1

7

Definição do problema

Considere a integral definida dada por

(7.1)

O problema da integração numérica consiste na avaliação de (7.1) por métodos numéricos. Note que, sendo a integral definida, Q é um resultado numérico. O problema da integração algébrica é mais complicado e está além do escopo deste livro.

A integração numérica é especialmente indicada quando:

1. É conhecida uma expressão algébrica para f, mas sua primitiva F é de difícil obtenção, isto é, não é conhecida uma expressão para F em termos de funções elementares.

2. A função f é conhecida em apenas um conjunto discreto de valores.

Estudaremos dois métodos de integração numérica: os métodos de

Newton-Cotes, que são indicados para problemas do tipo 1, e o método dos splines, que é indicado para problemas do tipo 2.

7.2

Método de Newton-Cotes simples

O método de Newton1-Cotes2 de ordem n consiste em estimar o valor da integral (7.1) por meio da média ponderada

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Medium 9788577806959

17: Tabelas de IntegraisIndefinidas Especiais

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

17

Tabelas de Integrais

Indefinidas Especiais

Aqui fornecemos tabelas de integrais indefinidas especiais. Como enunciamos nas observações acima da regra 16.1, também nestas tabelas a, b, p, q e n são constantes, com restrições quando indicado; e �

2,71828... é a base natural dos logaritmos; ln u denota o logaritmo natural de u, onde supomos u > 0 [em geral, para estender fórmulas aos casos em que também u < 0, substitua ln u por ln |u|]; todos os ângulos são em radianos; todas as constantes de integração estão omitidas mas ficam subentendidas. Supomos em todos os casos que a divisão por zero está excluída.

Nossas integrais estão divididas em tipos que envolvem as seguintes funções e expressões algébricas:

Algumas integrais contêm os números de Bernouilli, Bn, e os números de Euler, En, definidos no Capítulo 23.

1 Integrais envolvendo ax + b

17.1.1

17.1.2

17.1.3

17.1.4

17.1.5

CAPÍTULO 17 • TABELAS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS ESPECIAIS

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Medium 9788577804702

14. Oscilações

Knight, Radall Grupo A PDF Criptografado

14 Oscilações

Esta figura gerada por computador, chamada de figura de Lissajous,

é uma oscilação bidimensional na qual a razão de freqüência vertical-horizontal é próxima de, mas não exatamente, 2 para 1.

᭤ Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 14 é entender os sistemas que oscilam em movimento harmônico simples. Neste capítulo, você aprenderá a:

■ Entender a cinemática do

movimento harmônico simples.

Usar representações gráficas e matemáticas do movimento oscilatório.

Entender a energia dos sistemas oscilatórios.

Entender a dinâmica dos sistemas oscilatórios.

Reconhecer a importância da ressonância e do amortecimento em sistemas oscilatórios.

᭣ Em retrospectiva

O movimento harmônico simples está intimamente relacionado ao movimento circular. Grande parte de nossa análise dos sistemas oscilatórios será baseada na lei da conservação de energia. Revise:

■ Seção 4.5 Movimento circular

uniforme

■ Seções 10.4 e 10.5 Forças

restauradoras e energia potencial elástica

■ Seção 10.7 Diagramas de energia

Esta extraordinária imagem gerada por computador é muito bonita. Ela também

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Medium 9788521627593

CAPÍTULO 2 - Sequências de Números Reais

SILVA, Paulo Sergio Dias da Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

2

Sequências de

Números Reais

2.1

Introdução

O conceito de limite de uma sequência de números reais é fundamental para todo o estudo do cálculo. É ele que, sem recorrer a qualquer outro, nos permite definir limite, continuidade, derivabilidade e integrabilidade de uma função.

Antes do estudo sistemático do assunto, consideramos informalmente alguns problemas que envolvem o conceito de convergência, ideia central no estudo. Embora, atualmente esse aspecto esteja muito bem definido, é um tópico marcante na formação matemática do estudante, pois é onde ele se defronta pela primeira vez com uma resolução que, à primeira vista, parece afastar-se da precisão a que todos nós nos acostumamos a encontrar nos métodos da matemática.

Faremos isso analisando um problema antigo e outro já de nosso tempo, que ilustram situações parecidas, mas que conduzem a soluções completamente distintas e que não podem ser confundidas. Contudo, para um curso mais rápido, o aluno deve estudar não mais que as três ou quatro primeiras seções, sendo a Seção 4 apenas a apresentação de dois importantes casos particulares de sequência.

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Medium 9788577807659

Capítulo 5 - Autômato finito com saída

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

5

autômato finito com saída

Autômato finito possui aplicações práticas restritas, pois a saída é limitada à informação aceita/rejeita. Assim, a definição de autômato finito é estendida prevendo saídas associadas aos estados (máquina de Moore) ou

às transições (máquina de Mealy).

São apresentadas aplicações com destaque para hipertexto, hipermídia e animações.

■ ■

134

Linguagens Formais e Autômatos

O conceito básico de autômato finito possui aplicações práticas restritas, pois a informação de saída é limitada à lógica binária aceita/rejeita. Sem alterar a classe de linguagens reconhecidas, é possível estender a definição de autômato finito, incluindo-se a geração de uma palavra de saída. As saídas podem ser associadas:

às transições (máquina de Mealy); aos estados (máquina de Moore).

Em ambas as máquinas, a saída não pode ser lida, ou seja, não pode ser usada como memória auxiliar, e é como segue:

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Medium 9788577806959

26: A Função Beta

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

26

A Função Beta

Definição da função beta B(m, n)

26.1

Relação entre a função beta e a função gama

26.2

Extensões de B(m, n), para m � 0 e n � 0, são obtidas usando-se 25.4.

Alguns resultados importantes

26.3

26.4

26.5

26.6

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Medium 9788521633099

9 - A Estatística Utilizando o Software R

MATTOS, Viviane Leite Dias de; AZAMBUJA, Ana Maria Volkmer de; KONRATH, Andréa Cristina Grupo Gen PDF Criptografado

9

A ESTATÍSTICA UTILIZANDO O SOFTWARE R

Débora Spenassato1

9.1 Importância de um software estatístico

A utilização de softwares estatísticos para análise e interpretação de dados vem se tornando indispensável, quer pela sua praticidade de utilização, quer pela eficiência no tratamento de grandes conjuntos de dados. Entretanto, muitos dos softwares existentes apresentam um custo de aquisição relativamente elevado. Uma alternativa é a utilização de softwares acessíveis e sem custo, como o software R (R CORE TEAM, 2016).

9.2 O software R

Este software é uma linguagem e um ambiente para estatística computacional e gráficos, criado inicialmente em meados de 1997 por Ross Ihaka e Robert Gentleman, do Departamento de Estatística da Universidade de

Auckland, Nova Zelândia, e vem sendo desenvolvido com a colaboração de pessoas de vários locais do mundo (R CORE TEAM, 2016). É um projeto open source, baseado no conceito de software livre, podendo ser utilizado sem

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Medium 9788577802753

13. Ondas Luminosas

Hewitt, Paul Grupo A PDF Criptografado

C A P Í T U L O 13

Ondas Luminosas

13.1 O espectro eletromagnético

13.4 Por que o céu

é azul, o pôr-do-sol é vermelho e as nuvens são brancas

13.2 Materiais transparentes e opacos

13.5 Difração

13.3 Cor

13.6 Interferência luminosa

Jennie McKelvie, da Nova Zelândia, mostrando que um tanque de ondas funciona muito bem.

A

luz é a única coisa que nós realmente vemos.

Mas o que é a luz? Sabemos que durante o dia a fonte principal de luz é o Sol, e a secundária, o brilho do céu. Outras fontes de luz comuns são os filamentos incandescentes brancos das lâmpadas, o gás que brilha em tubos de vidro e as chamas. A luz se origina dos movimentos acelerados dos elétrons. Ela é um fenômeno eletromagnético e constitui apenas uma minúscula parte de um todo maior – a larga faixa das ondas eletromagnéticas chamada de espectro eletromagnético.

Começaremos nosso estudo da luz investigando suas propriedades eletromagnéticas, como ela interage com os diversos materiais e qual a sua aparência – a cor. Nós comprovaremos a natureza ondulatória da luz pela maneira como ela se difrata e interfere.

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Medium 9788522465699

6 - Variáveis Aleatórias Contínuas

BORNIA, Antonio Cezar; REIS, Marcelo Menezes; BARBETTA, Pedro Alberto Grupo Gen PDF Criptografado

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6

Variáveis Aleatórias Contínuas

6.1

CARACTERIZAÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

CONTÍNUA

Muitas variáveis aleatórias que surgem na vida de um engenheiro ou de um profissional da informática têm natureza eminentemente contínua, tais como:

· tempo de resposta de um sistema computacional;

· rendimento de um processo químico;

· tempo de vida de um componente eletrônico;

· resistência de um material etc.

Outras vezes, há variáveis aleatórias discretas, com grande número de possíveis resultados, em que é preferível usar um modelo aproximado contínuo no lugar do modelo exato discreto. É o caso de:

· número de transações por segundo de uma CPU;

· número de defeitos numa amostra de 5.000 itens etc.

Para entender as peculiaridades das variáveis aleatórias contínuas, imagine o seguinte experimento.

C:\ATLAS\ESTATISTICA\EST6.vp segunda-feira, 5 de julho de 2010 07:50:05

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Medium 9788584290802

Capítulo 01 -Matemática e resoluçãode problemas

Katia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz Grupo A PDF Criptografado

Matemática e resolução de problemas

Introdução

Matemática e resolução de problemas são duas ideias que sempre estão juntas. Não se concebe aprender matemática se não for para resolver problemas; por outro lado, resolver problemas necessariamente inclui alguma forma de pensar matemática. Mesmo os problemas diários ou profissionais exigem que os dados sejam analisados e que alguma estratégia seja pensada para sua resolução, que, depois de executada, precisa ser avaliada para verificação se, de fato, permitiu ou não chegar à solução da situação inicial.

Nas aulas de matemática, a resolução de problemas tem assumido ao longo do tempo diferentes papéis, dependendo da concepção que se tem de por que ensinar matemática e de como se acredita que seja ensinar e aprender.

Em uma dessas concepções, a resolução de problemas pode ser entendida como a meta do ensino de matemática. Nessa perspectiva, o ensino de matemática, seus conceitos, técnicas e procedimentos devem ser ensinados antes, para que depois o aluno possa resolver problemas. Tudo se passa como se o aluno precisasse possuir todas as informações e os conceitos envolvidos na situação-problema para depois poder enfrentá-la. Dito dessa forma, é possível perceber que, nessa concepção, a matemática é importante em si mesma, a resolução de problemas é uma consequência do saber matemático, e, ao resolver problemas, o aluno demonstra se de fato aprendeu ou não matemática. Essa foi a visão da resolução de problemas do denominado modelo tradicional de ensino e a forma predominante de ensino no Brasil até os anos 1960.

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Medium 9788577801831

23 Convoluções e a Função Degrau Unitário

Bronson, Richard Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO 23 • CONVOLUÇÕES E A FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO

253

23.17 A equação a seguir é denominada uma equação integral de convolução.

Assumindo que a Transformada de Laplace de y(x) exista, resolvemos esta equação, e os próximos dois exemplos em relação a y(x).

Notemos que essa equação integral pode ser escrita como y(x) = x + y(x) ∗ sen x. Tomando a transformada de

Laplace dos membros e aplicando o Teorema 23.2, temos

Resolvendo em relação a

Isso implica que

{y} obtemos

, que é de fato a solução, como pode ser verificado por substituição direta:

23.18 Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:

Aqui temos y(x) = 2 – y(x) ∗ ex. Prosseguindo como no Problema 23.17, obtemos

resultando em y(x) = 2 – 2x como a solução desejada.

23.19 Utilize Transformadas de Laplace para resolver a equação integral de convolução:

Notando que y(x) = x3 + 4 ∗ y(x), temos que como a solução.

, que resulta em

Problemas Complementares

23.20 Determine x ∗ x.

23.21 Determine 2 ∗ x.

2x

23.22 Determine 4x ∗ e .

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Medium 9788522465699

11 - Correlação e Regressão

BORNIA, Antonio Cezar; REIS, Marcelo Menezes; BARBETTA, Pedro Alberto Grupo Gen PDF Criptografado

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11

Correlação e Regressão

11.1

CORRELAÇÃO

Numa população de pessoas, podemos dizer que as variáveis peso e altura são correlacionadas positivamente, pois a maioria dos indivíduos altos também é pesada, enquanto a maioria dos indivíduos baixos é leve. De forma análoga, o faturamento de uma empresa e o nível de utilização do seu sistema computacional devem ter correlação positiva. Já a quantidade de memória RAM e o tempo de processamento devem ter correlação negativa.

Dizemos que duas variáveis, X e Y, estão positivamente correlacionadas quando elas caminham num mesmo sentido, ou seja, elementos com valores pequenos de X tendem a ter valores pequenos de Y e elementos com valores grandes de X tendem a ter valores grandes de Y. Estão negativamente correlacionadas quando elas caminham em sentidos opostos, ou seja, elementos com valores pequenos de X tendem a ter valores grandes de Y e elementos com valores grandes de X tendem a ter valores pequenos de Y.

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