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Medium 9788582604595

Capítulo 8 - Mais aplicações da integral e polinômios de Taylor

Jon Rogawski; Colin Adams Grupo A PDF Criptografado

8  M

� AIS APLICAÇÕES DA

INTEGRAL E POLINÔMIOS

DE TAYLOR

N

as três primeiras seções deste capítulo, desenvolvemos alguns usos adicionais da integração, incluindo duas importantes aplicações à Física. Na última seção, introduzimos os polinômios de Taylor, que são generalizações da aproximação linear para ordens mais elevadas. Os polinômios de Taylor ilustram maravilhosamente o poder do Cálculo para fornecer entendimento valioso de funções.

8.1  Comprimento de arco e área de superfície

Os engenheiros utilizam integrais no projeto de represas para garantir que as paredes da represa consigam suportar a força da água.

(Earl Roberg/Science Source)

Vimos que as integrais são utilizadas para calcular “quantidades totais” (tais como distância percorrida, massa total, custo total, etc.). Outra dessas quantidades é o comprimento de uma curva (também denominado comprimento de arco). Deduzimos uma fórmula para o comprimento de arco usando nosso procedimento padrão: aproximação seguida de passagem ao limite. Nesse caso, aproximamos a curva por um caminho poligonal constituído de segmentos de reta que conectam pontos da curva. É fácil encontrar o comprimento de uma coleção de segmentos de reta. Então podemos tomar o limite da soma de seus comprimentos fazendo o número de segmentos crescer.

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Medium 9788521624332

2 - Relações e funções

BARBONI, Ayrton; PAULETTE, Walter Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

2

Relações e funções

2.1 Produto Cartesiano

2.2 Relação Binária

2.3 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Relação

2.4 Funções

2.5 Funções Elementares

2.6 Operações com Funções

2.7 Tipos de Funções

Introduzimos neste capítulo os conceitos de relações e funções, com suas terminologias básicas e também as principais funções conhecidas como elementares. Essas funções são introduzidas por situações-problemas que servem como ponto de partida para o entendimento dos conceitos que encerram.

2.1 Produto cartesiano

Definição 2.1

Sejam A e B conjuntos não vazios.

Chama-se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos os pares ordenados (a,b), com o primeiro elemento em A e o segundo elemento em B.

Simbolicamente: A  B  {(a,b) | a  A e b  B}.



Exemplo 2.1

Sejam A  {1, 2} e B  {2, 4, 6} e C  {x   | 1  x  4} i) A  B  {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6)}, e sua representação gráfica é dada por:

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Medium 9788560031474

Capítulo 4. Descrição de Dados: Medidas de Dispersão

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 4

Descrição de Dados:

Medidas de Dispersão

4.1 MEDIDAS DE DISPERSÃO EM CONJUNTOS DE DADOS

As medidas de tendência central descritas no Capítulo 3 são úteis na identificação de valores “típicos” em um grupo de valores. Em comparação, medidas de dispersão estão interessadas na descrição da variabilidade entre estes valores. Várias técnicas estão disponíveis para medir a extensão da variabilidade nos conjuntos de dados. As que são descritas neste capítulo são a amplitude, amplitude modificada, desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.

Exemplo 1 Suponha que duas diferentes máquinas de empacotamento resultem em um peso médio de 10,0 g de cereal sendo empacotados, mas que em uma caixa todos os pacotes estão dentro de 0,10 g de seu peso enquanto em outra caixa os pesos podem ter variações na casa de 1,0 g em cada direção. A medição da variabilidade, ou dispersão, dos valores sendo empacotados seria tão importante quanto a medição da média neste caso.

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Medium 9788521633693

1 - Retas na Engenharia

RATTAN, Kuldip S.; KLINGBEIL, Nathan W. Grupo Gen PDF Criptografado

Retas na Engenharia

CAPÍTULO

1

Neste capítulo, apresentamos aplicações de retas na engenharia. Assumimos que os alunos tenham familiaridade com este tópico do curso de álgebra no ensino médio. Este capítulo mostrará, com exemplos, por que esse tema é tão importante para engenheiros. Por exemplo, a velocidade de um veículo em frenagem, a relação tensão-corrente em um circuito resistivo e a relação entre força e deslocamento em uma mola pré-carregada podem ser representadas por retas. Neste capítulo, obteremos a equação para tais retas usando as formas inclinação-ponto de cruzamento e ponto-inclinação.

1.1

VEÍCULO EM FRENAGEM

A velocidade de um veículo em frenagem é medida em dois instantes de tempo, como indicado na Fig. 1.1.

Figura 1.1  Veículo em frenagem.

A velocidade satisfaz a equação v(t) = at + vo

v(t) = at + vo(1.1)

(1.1)

em que vo é a velocidade inicial em m/s, e a, a aceleração em m/s2.

(a) Determinemos a equação de reta v(t), a velocidade inicial vo e a aceleração a.

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Medium 9788577807659

Capítulo 9 - Hierarquia de classes de linguagens e conclusões

Paulo Blauth Menezes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

9

hierarquia de classes de linguagens e conclusões

As classes das linguagens regulares, livres do contexto, sensíveis ao contexto e recursivamente enumeráveis e suas inclusões próprias constituem a hierarquia de Chomsky, assunto discutido neste capítulo.

O texto também apresenta uma série de problemas em aberto, e, na forma de leitura complementar, as gramáticas de grafos, mostrando que a generalização das gramáticas de Chomsky tem um grande potencial de aplicações na computação e informática.

■ ■

238

9.1

Linguagens Formais e Autômatos

hierarquia de Chomsky

As seguintes classes de linguagens estudadas:

Regulares ou tipo 3;

Livres do contexto ou tipo 2;

Sensíveis ao contexto ou tipo 1;

Recursivamente enumeráveis ou tipo 0;

e as suas inclusões próprias, como ilustrado na figura 9.1, constituem o que normalmente é conhecido como a hierarquia de Chomsky. Noam Chomsky definiu estas classes como (potenciais) modelos para linguagens naturais.

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Medium 9788560031474

Capítulo 5. Probabilidade

Leonard J. Kazmier Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 5

Probabilidade

5.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS DE PROBABILIDADE

Historicamente, três diferentes abordagens conceituais tem sido desenvolvidas para definir probabilidade e para determinar seus valores: a abordagem clássica, da freqüência relativa e abordagem subjetiva.

Pela abordagem clássica da probabilidade, se N(A) possíveis eventos elementares são favoráveis ao evento A, se N(S) possíveis eventos estão incluídos no espaço amostral e se todos os eventos elementares são igualmente prováveis e mutuamente exclusivos, então a probabilidade de que o evento A ocorra é

Note que a abordagem clássica da probabilidade é baseada na premissa de que cada evento é igualmente provável. Por esta razão, a abordagem clássica (quando ela é aplicável) permite a determinação dos valores da probabilidade antes que qualquer evento seja observado. Esta abordagem também tem sido chamada de abordagem a priori.

Exemplo 1 Em um baralho que contém quatro ases e 48 outras cartas, a probabilidade de que um ás (A) seja obtido em uma simples retirada é

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Medium 9788521632535

Capítulo 9 - Testes de Hipóteses para uma Única Amostra

MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Grupo Gen PDF Criptografado

9

Testes de Hipóteses para uma Única Amostra

Sumário do Capítulo

9-1 Testes de Hipóteses

9-1.1 Hipóteses Estatísticas

9-1.2 Testes de Hipóteses Estatísticas

9-1.3 Hipóteses Unilaterais e Bilaterais

9-1.4 Valores P nos Testes de Hipóteses

9-1.5 Conexão entre Testes de Hipóteses e Intervalos de

Confiança

9-1.6 Procedimento Geral para Testes de Hipóteses

9-2 Testes para a Média de uma Distribuição Normal,

Variância Conhecida

9-2.1 Testes de Hipóteses para a Média

9-2.2 Erro Tipo II e Escolha do Tamanho da Amostra

9-2.3 Teste para uma Amostra Grande

9-3 Testes para a Média de uma Distribuição Normal,

Variância Desconhecida

9-3.1 Testes de Hipóteses para a Média

9-3.2 Erro Tipo II e Escolha do Tamanho da Amostra

Testes para a Variância e para o Desvio-Padrão de uma

Distribuição Normal

9-4.1 Testes de Hipóteses para a Variância

9-4.2 Erro Tipo II e Escolha do Tamanho da Amostra

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Medium 9788577809264

42 o princípio da indução matemática

Safier, Fred Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 42

O Princípio da Indução

Matemática

SEQUÊNCIAS DE AFIRMAÇÕES

Afirmações (ou declarações) sobre os números naturais podem ser consideradas como sequências de afirmações Pn.

Exemplo 42.1 A sentença “A soma dos primeiros n números naturais é igual a ou sentença

” pode ser escrita como

. Então, P1 é a sentença

, P2 é a

, e assim por diante.

Exemplo 42.2 A sentença: “Para cada número natural n, n2 Ϫ n ϩ 41 é um número primo” pode ser escrita como Pn: n2 Ϫ n ϩ 41 é um número primo. Então, P1 é a sentença: 12 Ϫ 1 ϩ 41, ou 41 é um número primo, P2 é a sentença: 22 Ϫ 2 ϩ 41, ou 43 é um número primo, e assim por diante.

PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA (PIM)

Dada qualquer sentença sobre os números naturais Pn, se as seguintes condições forem válidas:

1. P1 é verdadeira.

2. Sempre que Pk é verdadeira, Pk ϩ 1 é verdadeira;

Então, Pn é verdadeira para todo n.*

PROVA POR INDUÇÃO MATEMÁTICA

Para aplicar o princípio da indução matemática a uma sequência de declarações Pn:

1. Escreva as declarações P1, Pk e Pk ϩ 1.

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Medium 9788584290741

Capítulo 04 - Materiais

Katia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz Grupo A PDF Criptografado

Materiais

Se sua escola não dispõe de materiais manipulativos (frações circulares, mosaico, Tangram) em quantidade suficiente, você pode disponibilizar para cada aluno uma cópia dos moldes que se encontram a seguir. Para que cada aluno tenha o seu próprio material, basta colar as folhas em cartolina e recortá-las. Para baixá-las, em www. grupoa.com.br, acesse a página do livro por meio do campo de busca e clique em Área do Professor.

No caso do mosaico, há apenas um molde de cada peça. O kit completo, no entanto, deve conter as seguintes quantidades:

• 6 hexágonos;

• 10 trapézios;

• 20 triângulos;

• 15 losangos maiores;

• 15 losangos menores;

• 16 quadrados.

Materiais manipulativos

01794 Fracoes e Numeros Decimais.indd 145

| 145

26/11/15 16:09

Frações circulares

146 |

Coleção Mathemoteca | Frações e Números Decimais

01794 Fracoes e Numeros Decimais.indd 146

26/11/15 16:09

Materiais manipulativos

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Medium 9788521629405

1 Introdução

VARGAS, Francisco Javier Triveño; PAGLIONE, Pedro Grupo Gen PDF Criptografado

Vargas — Prova 3 — 7/5/2015 — Maluhy&Co. — página 1

1

Introdução

Nas últimas décadas, muitas ferramentas de álgebra computacional vêm sendo desenvolvidas. A maioria destas ferramentas pode ser utilizada de maneira interativa, em que o usuário entra com algumas fórmulas ou comandos, o sistema avalia as mesmas e devolve uma resposta que, se necessário, pode ainda ser manipulada. Além de cálculos simbólicos exatos, estas ferramentas também obtêm soluções numéricas aproximadas, nas quais o usuário pode fixar o número de dígitos desejados. Sem dúvida, possuem recursos de programação poderosos, além de interfaces de visualização e animação de variáveis.

Entre as várias ferramentas computacionais, Mathematica TM e Matlab-Simulink são amplamente difundidas e empregadas pelo eficiente apoio que oferecem ao ensino da engenharia (Paláncz et al., ). Estas ferramentas permitem a visualização completa de todas as etapas de um processo, por exemplo: o processo ensino-aprendizagem permite ao estudante abordar problemas de elevado grau de dificuldade e aos engenheiros simplificar suas rotinas associadas a projetos reais ou teóricos. Pela sua versatilidade, estão sendo adotadas por várias indústrias de alta tecnologia.

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Medium 9788584290802

Capítulo 03 - A problemateca

Katia Stocco Smole; Maria Ignez Diniz Grupo A PDF Criptografado

A problemateca

Apresentamos a seguir um conjunto de problemas não convencionais que podem orientar o começo de uma problemateca. Para facilitar a consulta e utilização desses problemas em sala de aula, eles foram organizados em três grandes blocos e em cada bloco se apresentam com a indicação do ano escolar mais adequado para sua aplicação.

Os blocos estão identificados com ícones, conforme abaixo:

Lógica

Números e operações

Espaço e forma e Medidas

No primeiro grupo estão aqueles problemas não relacionados a qualquer conteúdo específico de matemática, cujo objetivo é desenvolver nos alunos seu raciocínio lógico-dedutivo.

No bloco de Números e operações estão problemas que apresentam esse tema como foco maior, mas que obviamente exigem dos alunos diferentes formas de raciocínio, inclusive o lógico-dedutivo.

O mesmo acontece no terceiro bloco, no qual apresentamos problemas que envolvem algum conteúdo de Espaço e Forma ou de

Grandezas e Medidas.

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Medium 9788577806959

3: Fórmula Binomial eCoeficientes Binomiais

Murray R. Spiegel; Seymour Lipschutz; John Liu Grupo A PDF Criptografado

Fórmula Binomial e

Coeficientes Binomiais

3

Fatorial de n

Para n ⫽ 1, 2, 3, ..., o fatorial de n é denotado e definido por

3.1

Zero fatorial é definido por

3.2

Alternativamente, podemos definir fatorial de n recursivamente por

Exemplo

Fórmula binomial para n inteiro positivo

Para n ⫽ 1, 2, 3, ...,

3.3

Esta é a fórmula binomial. Ela pode ser estendida a outros valores de n e, também, a uma série infinita [ver 22.4].

Exemplo

(a)

Aqui, x ⫽ a e y ⫽ ⫺2b.

(b) Ver Fig. 3-1(a).

Coeficientes binomiais

A Fórmula 3.3 pode ser reescrita na forma

3.4 onde os coeficientes, denominados coeficientes binomiais, são dados por

3.5

18

MANUAL DE FÓRMULAS E TABELAS MATEMÁTICAS

Exemplo

Observe que

tem exatamente r fatores tanto no numerador quanto no denominador.

Os coeficientes binomiais podem ser arranjados numa disposição triangular de números chamada triângulo de Pascal, como mostrado na Fig. 3-1(b). O triângulo possui as duas seguintes propriedades.

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Medium 9788582602454

Capítulo 14 - Integrais Múltiplas

Howard Anton; Irl C. Bivens; Stephen L. Davis Grupo A PDF Criptografado

14

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Stone/Getty Images

Os métodos de integração estudados neste capítulo são necessários para encontrar a área de superfícies complexas como as utilizadas no projeto do Aeroporto

Internacional de Denver, nos

Estados Unidos.

14.1

Neste capítulo, ampliaremos o conceito de integral definida para funções de duas e três variáveis.

Enquanto as funções de uma variável são, geralmente, integradas em intervalos, as funções de duas varáveis são usualmente integradas em regiões do espaço bidimensional e as funções de três variáveis, em regiões do espaço tridimensional. O cálculo de tais integrais requer algumas técnicas novas que serão o foco central deste capítulo. Uma vez que tenhamos desenvolvido os métodos básicos para integrar funções de duas e três variáveis, mostraremos como essas integrais podem ser usadas para calcular áreas de superfícies e volumes de sólidos; mostraremos, também, como elas podem ser usadas para determinar massas e centros de gravidade de chapas planas e sólidos tridimensionais. Além do nosso estudo de integração, generalizaremos o conceito de curva paramétrica no espaço bidimensional para o de superfície paramétrica no espaço tridimensional. Isso nos permitirá trabalhar com uma variedade maior de superfícies do que era possível anteriormente e proporcionará uma ferramenta poderosa para gerar superfícies usando computadores e outros recursos computacionais gráficos.

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Medium 9788521631965

13 - Regressão Linear Simples

LEVINE, David M.; STEPHAN, David F.; SZABAT, Kathryn A. Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

13

Regressão Linear

Simples

UTILIZANDO A ESTATÍSTICA: Conhecendo os Consumidores na Sunflowers Roupas

13.1 Tipos de Modelos de Regressão

13.2 Determinando a Equação da

Regressão Linear Simples

O Método dos Mínimos Quadrados

Previsões na Análise da Regressão:

Interpolação versus Extrapolação

Calculando o Intercepto de Y, b0, e a

Inclinação, b1

EXPLORAÇÕES VISUAIS:

Explorando Coeficientes da

Regressão Linear Simples

13.3 Medidas de Variação

Calculando a Soma dos Quadrados

O Coeficiente de Determinação

Erro-Padrão da Estimativa

13.4 Pressupostos da Regressão

13.5 Análise de Resíduos

Avaliando os Pressupostos

13.6 Medindo a Autocorrelação: A

Estatística de Durbin-Watson

Gráficos de Resíduos para Detectar

Autocorrelação

A Estatística de Durbin-Watson

13.7 Inferências sobre a Inclinação e o

Coeficiente de Correlação

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Medium 9788563899859

5 Estatística nos anos iniciais de escolarização

Stocco Smole, Katia Grupo A PDF Criptografado

116

A matemática em sala de aula

as dificuldades e facilidades dos alunos e professores nesse eixo com a intenção de subsidiar o trabalho nos anos iniciais de escolarização.

Diante da inclusão da estatística no currículo brasileiro, diversas dúvidas foram geradas. Essas dúvidas, muito presentes nas escolas e em discussões junto aos professores, têm sido foco de pesquisas e reflexões no mundo todo e são fundamentais para que o professor possa realmente exercer o seu papel de mediador na construção do conhecimento estatístico.

Acredito que para o professor construir um processo de ensino-aprendizagem de qualidade – capaz de fazer com que os alunos se apropriem dos conhecimentos desejados – seja necessário não só uma boa formação inicial e continuada, como também um vasto número de suportes que incluem: bons livros didáticos, manuais de professor compatíveis com as necessidades destes, livros paradidáticos e textos que tragam para a formação do professor os resultados de pesquisas recentes na área.

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