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Apêndice: MATLAB

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APÊNDICE

MATLAB

MATLAB é um programa interativo para cálculos matriciais. A versão original do MATLAB, abreviação de laboratório de matrizes, foi desenvolvida por

Cleve Moler, das bibliotecas de software Linpack e Eispack. Ao longo dos anos,

MATLAB sofreu uma série de expansões e revisões. Hoje é o software líder para computação científica. O software MATLAB é distribuído pela MathWorks,

Inc., de Natick, Massachusetts.

Além de ampla utilização em ambientes de indústria e engenharia, MATLAB tornou-se uma ferramenta padrão de ensino de graduação em cursos de álgebra linear. Uma Edição de Estudante do MATLAB está disponível a um preço acessível aos estudantes.

Outro recurso altamente recomendado para o ensino de álgebra linear com

MATLAB é o manual ATLAST Computer Exercises for Linear Algebra, 2a ed.

(veja [12]). Esse manual contém exercícios baseados em MATLAB e projetos de álgebra linear e uma coleção de utilitários MATLAB (M-files), que ajudam os estudantes a visualizar conceitos de álgebra linear. Os arquivos-M estão disponíveis para download na página da Web ATLAST: www.umassd.edu/SpecialPrograms/ATLAST/

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4 - Transformações Lineares

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4

CAPÍTULO

Transformações Lineares

Representações lineares de um espaço vetorial para outro têm um importante papel em matemática. Este capítulo fornece uma introdução à teoria de tais representações. Na Seção 4.1 é dada a definição de uma transformação linear e são apresentados vários exemplos. Na Seção 4.2 é mostrado que cada transformação linear L representando um espaço vetorial n-dimensional, V, em um espaço vetorial m-dimensional, W, pode ser representada pela matriz m 3 n,

A. Portanto, podemos trabalhar com a matriz A no lugar da representação L.

No caso em que a transformação linear L representa V nele mesmo, a matriz representando L dependerá da base ordenada escolhida para V. Portanto, L pode ser representada por uma matriz A em relação a uma base ordenada e por uma matriz B em relação a outra base ordenada. Na Seção 4.3, consideramos a relação entre diferentes matrizes que representam a mesma transformação linear.

Em muitas aplicações, é desejável escolher uma base para V tal que a matriz representando a transformação linear seja diagonal ou em alguma outra forma simples.

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5 - Ortogonalidade

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5

CAPÍTULO

Ortogonalidade

Podemos ampliar a estrutura de um espaço vetorial definindo um produto escalar ou interno. Tal produto não é uma verdadeira multiplicação vetorial, já que a cada par de vetores associa um escalar em vez de um terceiro vetor. Por exemplo, em R2, podemos definir o produto escalar de dois vetores x e y como xT y.

Podemos pensar em vetores em R2 como segmentos de reta orientados a partir da origem. Não é difícil mostrar que o ângulo entre dois segmentos de reta será reto se e somente se o produto escalar dos vetores correspondentes é nulo. Em geral, se V é um espaço vetorial com um produto escalar, então dois vetores em

V são ditos ortogonais se seu produto escalar é nulo.

Podemos pensar em ortogonalidade como uma generalização do conceito de perpendicularidade a qualquer espaço vetorial com um produto interno. Para ver o significado disto, considere o seguinte problema: Seja l uma reta passando pela origem e seja Q um ponto fora de l. Encontre o ponto P de l que está mais próximo de Q. A solução P deste problema é caracterizada pela condição de QP ser perpendicular a OP (veja a Figura 5.0.1). Se pensarmos na linha l como correspondendo a um subespaço de R2 e v 5 OQ como um vetor em R2, então o problema é encontrar um vetor no subespaço que está “mais próximo” de v. A solução p será então caracterizada pela propriedade de que p é ortogonal a v 2 p

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2 - Determinantes

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2

CAPÍTULO

Determinantes

A cada matriz quadrada é possível associar um número real chamado de determinante da matriz. O valor deste número dirá se a matriz é singular.

Na Seção 2.1, é dada a definição de determinante de uma matriz. Na Seção

2.2, estudamos propriedades de determinantes e derivamos um método de eliminação para avaliar determinantes. O método de eliminação é geralmente o mais simples para a avaliação do determinante de uma matriz n 3 n quando n  . 3. Na Seção 2.3, vemos como determinantes podem ser aplicados na resolução de sistemas lineares n 3 n e como podem ser utilizados para calcular a inversa de uma matriz. Aplicações de determinantes à criptografia e à mecânica newtoniana são também apresentadas na Seção 2.3. Outras aplicações de determinantes são apresentadas nos Capítulos 3 e 6.

2.1  O Determinante de uma Matriz

A cada matriz n 3 n, A, é possível associar um escalar, det(A), cujo valor dirá se a matriz é não singular. Antes de proceder à definição geral, consideremos os seguintes casos:

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7 - Álgebra Linear Numérica

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7

CAPÍTULO

Álgebra Linear Numérica

Neste capítulo, consideramos métodos computacionais para resolver problemas de álgebra linear. Para entender esses métodos, você deve estar familiarizado com o tipo de sistema de numeração utilizado pelo computador. Quando os dados são lidos no computador, eles são traduzidos em seu sistema de números finitos. Esta tradução normalmente envolve algum erro de arredondamento. Erros de arredondamento adicionais ocorrerão quando as operações algébricas do algoritmo forem executadas. Por causa de erros de arredondamento, não podemos esperar obter a solução exata para o problema original.

O melhor que podemos esperar é uma boa aproximação para um problema ligeiramente perturbado. Suponha, por exemplo, que queríamos resolver

Ax 5 b. Quando os elementos de A e b são lidos no computador, erros de arredondamento geralmente ocorrem. Assim, o programa vai realmente tentar calcular uma boa aproximação para a solução de um sistema perturbado, da forma

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