11 capítulos
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7 - A Transformada z

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A Transformada z

7

Este capítulo tratará de questões referentes à transformada z, uma ferramenta analítica para sistemas.

O que é z? Como essa transformada funciona? Como pode ser utilizada para combinar filtros? Por que as unidades de retardo às vezes possuem um símbolo z−1? Como essa transformada se relaciona com as outras transformadas que já vimos? Responderemos a essas perguntas e outras mais nas seções a seguir.

A transformada z é uma versão generalizada da transformada de Fourier. Tal como a transformada de Fourier, ela permite que representemos um sinal no domínio do tempo em termos de seus componentes de frequência. Em vez de acessarmos valores do sinal em termos de n, um índice discreto relativo ao tempo, podemos conhecer a resposta do sinal para uma dada frequência (conforme fizemos com a transformada de Fourier). Tal como a transformada de Fourier, empregamos a convenção de letras maiúsculas para a transformada z.

A transformada z serve a dois propósitos. Em primeiro lugar, ela proporciona uma forma conveniente de notação dos efeitos dos filtros. Até aqui utilizamos os coeficientes fornecidos pela função impulso para um filtro FIR, h[n] = {a, b, c, d}, para descrever como a saída y[n] relaciona-se com a entrada x[n]. Na notação da transformada z, indicamos Y(z) = H(z)X(z), onde H(z) é a transformada z de h[n]. Podemos encarar H(z) como algo que opera em X(z) para produzir a saída Y(z). Por essa razão, H(z) também é chamada de função de transferência. Em vez de utilizarmos ax[n − k] na equação, podemos colocar o coeficiente e o retardo (k) juntos e remover x. Portanto, o filtro com coeficientes h[n] = {a, b, c, d} pode ser descrito pela transformada z de h[n], H(z) = az0 + bz−1 + cz−2 + dz−3. Em segundo lugar, a transformada z nos fornece informações sobre a estabilidade do filtro, mas isso será explicado mais tarde.

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1 - Introdução

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Introdução

O Processamento Digital de Sinais (Digital Signal Processing – DSP) constitui um importante campo

de estudo cujo desenvolvimento se deve aos avanços na teoria da comunicação, na tecnologia digital

(computacional) e nos dispositivos para consumidores. Existe sempre uma forte necessidade de se melhorarem as coisas, e o DSP oferece muitas técnicas para tal. Por exemplo, as pessoas apreciam música e gostam de descarregá-las (baixá-las). Entretanto, descarregar um arquivo de música pode levar horas caso a velocidade de conexão à Internet seja baixa (tipicamente 56 kilobits por segundo para um modem de linha discada ou dial-up). Com o software de compressão MP3, contudo, o tamanho do arquivo de áudio

é reduzido em até 90%, podendo ser descarregado em questão de minutos. A versão MP3 da música não

é exatamente igual à original, mas trata-se de uma aproximação “suficientemente boa” a ponto de um ouvinte comum não ser capaz de distinguir uma da outra. Como isso é possível? Em primeiro lugar, é importante saber a respeito da música original (um sinal) e como esta é representada digitalmente. Tal conhecimento leva a um algoritmo de remoção de dados dos quais o ouvinte não sentirá falta. Tudo isso faz parte do Processamento Digital de Sinais.

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4 - Senoides

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Senoides

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A maioria dos sinais analógicos lembra uma combinação de funções seno/cosseno (senoides) ou, no mínimo, pode ser aproximada como uma combinação de senoides. Isso torna as combinações de senoides especialmente interessantes. É fácil somar senoides – ao pressionarmos as teclas de um piano ou produzirmos um acorde em um violão, somamos diversas senoides (embora elas efetivamente decaiam, ao contrário das senoides que habitualmente estudamos). Neste capítulo, investigaremos as senoides e veremos como podem ser somadas para modelar sinais. O objetivo é melhorar nossa compreensão sobre as senoides e nos prepararmos para o estudo da transformada de Fourier.

Reproduzimos abaixo a fórmula de Euler. Ela relaciona senoides à notação exponencial. e j ␪ = cos(␪) + j sin(␪)

(4.1)

Existe também um inverso para a fórmula de Euler, como segue.

(4.2)

Existe uma fórmula semelhante para sin(␾), embora utilizemos principalmente a equação anterior.

(4.3)

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9 - A Transformada Contínua de Wavelet

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A Transformada Contínua de Wavelet

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A

transformada contínua de wavelet (continuous wavelet transform — CWT) revela muito da teoria por trás das wavelets. Neste capítulo, exploraremos a análise de um sinal, o deslocamento e o escalonamento e como executar a CWT em um computador digital com a wavelet Chapéu Mexicano como um exemplo corrente. Existem outras wavelets contínuas, mas, uma vez que você aprenda como a transformada funciona para o Chapéu Mexicano, será capaz de aplicar qualquer wavelet.

9.1

A Wavelet Chapéu Mexicano

Uma wavelet contínua comumente utilizada é o Chapéu Mexicano. A equação a seguir define essa função [2].

(9.1)

Aqui, utilizamos ␺ intencionalmente para representar a função, pois essa letra grega frequentemente

é empregada para funções wavelet. Ao falarmos sobre wavelets em geral, a função ␺ poderia ser uma das muitas possibilidades. Aqui, utilizaremos a função Chapéu Mexicano como nossa wavelet de exemplo.

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A, B, C, D, E, F

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Constantes e Variáveis Utilizadas

Neste Livro

A.1

A

Constantes

A letra grega pi é representada por ␲ e equivale a ⬇ 3.14159

Constante de Euler: e ⬇ 2.71828

A.2

Variáveis

␾ é uma variável utilizada para representar algum ângulo. Frequentemente a utilizamos para representar o ângulo de fase em uma senoide variante no tempo. Ele é tipicamente fornecido em radianos – por exemplo,

␾ = ␲/6.

␪ é uma variável utilizada para representar algum ângulo. Ela frequentemente é utilizada como o argumento de uma função seno ou cosseno – por exemplo, cos(␪).

␴ é utilizada em estatística – por exemplo, ␴2 representa a variância.

␻ é outra variável utilizada para representar algum ângulo. Ela também é empregada para representar uma frequência, ou, mais precisamente, uma frequência em radianos. Nesse sentido, ␻ = 2␲f. Ela possui unidades de radianos/segundos. a representa a amplitude, utilizada com uma senoide. Em alguns livros especializados em wavelet essa variável é empregada no lugar de s (consulte a variável s). b é utilizada como uma variável de exemplo. Alguns livros especializados em wavelet a empregam no lugar de u (consulte a variável u). c é utilizada como uma variável ou constante de exemplo. Quando utilizada no contexto da transformada de wavelet Chapéu Mexicano, ela especifica uma constante de normalização. f representa uma frequência, fornecida em Hertz. g representa um coeficiente de filtro FIR, aparecendo com wavelets uma vez que h já se encontra em uso.

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