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Apêndice A: Noções sobre potências, progressões e interpolação

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APÊNDICE

A

NOÇÕES SOBRE POTÊNCIAS,

PROGRESSÕES E INTERPOLAÇÃO

1

NOÇÕES SOBRE POTÊNCIAS E RADICAIS

1.1 Potências

Define-se como potência e expressão an, em que a variável a, chamada base da potência, é um número real qualquer, e em que a variável n, chamada expoente, é um número inteiro ou fracionário. a) Propriedades das potências

• a0 = 1

1

• n = a− n a

• an × am = an+m an

= an × a − m – an − m am

• (a × b)n = an × bn

a

•  

 b

( )

• an

n

= m

an bn

= an × m

324 |  MATEMÁTICA FINANCEIRA • José Dutra Vieira Sobrinho

b) Exemplos de aplicação

1

Calcular: 54 ×

+ 4 0 × 4 2 × 62

52

Solução:

54 ×

1

+ 4 0 × 4 2 × 62 = 54 × 5−2 + 1 × (4 × 6)2 = 52 + 24 2 = 25 + 576 = 601

52

Calcular:

( −3)−2

 2

 3 

×

−2

32

22

Solução:

( −3)−2

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4 - Descontos

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4

DESCONTOS

4.1

CONSIDERAÇÕES SOBRE OS CONCEITOS E CLASSIFICAÇÃO DOS

CRITÉRIOS TRADICIONAIS DE DESCONTO

Nesta edição estamos propondo uma reformulação radical dos critérios que tratam do assunto descontos. Com base na minha experiência adquirida ao longo de 41 anos em que venho ministrando cursos de matemática financeira para estudantes e profissionais ligados ao mercado financeiro e de capitais, estou absolutamente convicto de que a classificação tradicional do desconto simples em “por fora” (também conhecido por bancário ou comercial) e desconto “por dentro” (ou racional) não tem o menor sentido, nem teórico, nem prático; essa mesma afirmação, e até com maiores razões, também se aplica ao chamado desconto composto, tanto o “por fora” quanto o “por dentro”. Trata-se, no meu entendimento, de uma lamentável confusão histórica envolvendo conceitos de taxa de juros, taxa de desconto, capital inicial (valor presente) e montante (valor futuro). Em resumo, queremos demonstrar que o capítulo tradicionalmente chamado de “desconto”, costumeiramente apresentado somente para os casos de pagamento único, pode e deve ser extinto. Como consequência, nos exemplos envolvendo as variáveis capital inicial, montante e prazo, tanto para os regimes de capitalização simples quanto composta, deve-se falar apenas em taxa de juros, não mais em taxa de desconto. Para maior clareza, vamos primeiramente apresentar exemplos de operações de desconto feitas de acordo com a conceituação e classificação tradicionais, as quais são normalmente apresentadas e explicadas nos livros de matemática financeira da maioria dos autores nacionais, e também estrangeiros.

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7 - Classificação das Taxas de Juros

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7

CLASSIFICAÇÃO DAS TAXAS DE JUROS

7.1 INTRODUÇÃO

Nos mercados financeiros, brasileiro e mundial, mesmo entre os professores, técnicos e executivos, reina muita confusão quanto ao conceito e à classificação das taxas de juros, principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. Para endossar esse fato, vou citar uma experiência marcante que vivi ao participar de dois encontros com a presença de aproximadamente 14 professores de matemática financeira em cada um, realizados na Editora Atlas nos meses de março e maio de 2002; a maioria dos professores, além de atuantes em várias universidades, eram também autores de livros. O objetivo do encontro era discutir alguns conceitos básicos da matemática financeira, cujo entendimento entre nós, infelizmente, não era unânime. Embora nossas reuniões tenham sido extremamente proveitosas, não conseguimos chegar a um mesmo entendimento em relação a todas as questões apresentadas e discutidas. E para surpresa de muitos dos nossos leitores, não conseguimos entrar num acordo quanto aos conceitos de taxa nominal e taxa efetiva. E uma das razões para isso era, e ainda é, a insistência em se classificar as taxas de juros como nominal ou efetiva nos casos em que o período de capitalização dos juros não coincide com o período a que se refere a taxa. Exemplo: taxa de juros de 12% ao ano com capitalização mensal dos juros. Nesse caso se dividiria a taxa anual por 12 e a taxa mensal obtida de

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8 - Métodos de Avaliação de Fluxos de Caixa

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8

MÉTODOS DE AVALIAÇÃO

DE FLUXOS DE CAIXA

Entre os métodos mais conhecidos, destacam-se o do valor presente líquido (VPL) e o da taxa interna de retorno (TIR), largamente utilizados nas análises de aplicações financeiras e de projetos de investimentos. Esses métodos consistem basicamente em se comparar a soma algébrica dos valores presentes de cada um dos fluxos futuros de caixa (pagamentos ou recebimentos), com o valor do fluxo de caixa inicial (recebimento ou pagamento) ocorrido “hoje”, onde esses valores presentes são calculados de acordo com o regime de capitalização composta e com base em dada taxa de juros.

Como historicamente a utilização do método do valor presente líquido antecedeu ao da taxa interna de retorno, vamos abordá-lo em primeiro lugar.

8.1

VALOR PRESENTE LÍQUIDO

O valor presente líquido (VPL) é uma técnica de análise de fluxos de caixa que consiste em calcular o valor presente de uma série de pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes a uma taxa conhecida, e deduzir deste o valor do fluxo inicial (valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento), ou seja:

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13 - Utilização de Calculadoras Financeiras

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13

UTILIZAÇÃO DE CALCULADORAS

FINANCEIRAS

13.1 INTRODUÇÃO

Existem no mercado brasileiro várias marcas e modelos de calculadoras financeiras, que resolvem diretamente, através das teclas financeiras n i PV PMT FV  , os problemas básicos de matemática financeira que envolvem pagamento único e séries de pagamentos iguais, calculados com base no regime de capitalização composta. Essas teclas têm o seguinte significado: n  : número de períodos = número de pagamentos. i  : taxa de juros expressas em porcentagem.

PV  : present value = valor presente ou capital inicial.

PMT  : valor dos pagamentos ou valor das prestações.

FV  : future value = valor futuro ou montante.

Dada a impossibilidade de apresentar a solução de problemas através de vários modelos, vamos fazê-lo por meio da HP-12C, que é uma das calculadoras mais populares no Brasil.

Se o leitor possuir máquina de outra marca ou modelo, facilmente, com pequena adaptação, poderá resolver boa parte dos exemplos apresentados, visto que utilizamos basicamente as operações aritméticas fundamentais (soma, subtração, multiplicação e divisão), a função potência e as teclas financeiras já mencionadas que são comuns a todas elas. Caso o leitor encontre dificuldades, recomendamos a leitura dos manuais que acompanham as calculadoras, e, no caso específico dos usuários de HP-12C, o Manual de aplicações financeiras HP-12C, elaborado pelo autor deste livro e publicado pelo Grupo Gen | Atlas.

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