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Capítulo 3 - Continuidade e Limite de Forma Intuitiva

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CAPÍTULO 3

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

CONTINUIDADE E LIMITE DE FORMA INTUITIVA

3.1 IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO CONTÍNUA

Um dos conceitos fundamentais da Matemática é o conceito de função contínua. A maioria dos teoremas que aparecerão neste texto envolverá o conceito de função contínua. Bem, mas o que é uma função contínua? Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x ϭ p, com p pertencente ao domínio da função, se o seu gráfico não apresentar salto (na vertical) em x ϭ p. Consideremos, por exemplo, as funções

Ï3 se x Ͼ 1

f(x) ϭ x2 e g(x) ϭ Ì1 se x Յ 1

Ó cujos gráficos são, respectivamente,

Fig. 3.1

Fig. 3.2

O gráfico de f(x) ϭ x2 não apresenta salto em nenhum ponto: f(x) ϭ x2 é uma função contínua em todo ponto x ϭ p do seu domínio. Por outro lado, o gráfico de g(x) apresenta salto em x ϭ 1: a função g(x) não é contínua em x ϭ 1. Observe que o gráfico de g(x) somente apresenta salto em x ϭ 1, o que significa que nos demais pontos g(x) é contínua.

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Respostas ou Soluções

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RESPOSTAS OU SOLUÇÕES

CAPÍTULO 1

1.1

1.

a) 4

b) 1/4

c) Ϫ10/9

d) 3/4 e Ϫ1

e) 1

f) 0 e 2

g) 17/4

h) 12/7

i) Ϫ52

j) 288/7 (Х 41,1429)

k) 0, 1/2 e Ϫ2/3

l) 125,4505

a) x Ͻ

2.

10

3

b) x Ͼ Ϫ f) x Ն

e) x Ͻ 26

2

5

27

43

c) x Յ

15

2

d) x Յ Ϫ

39

12

g) x Յ

32

3

h) x Ն Ϫ 52

1.2

1.

a) x(x2 ϩ 5)

2.

a) x ϩ 1, x c)

b) xh(x ϩ h2)

0

b)

f)

0

( x ϩ h) 2 Ϫ x 2 x 2 ϩ 2 xh ϩ h2 Ϫ x 2 h(2 x ϩ h)

ϭ

ϭ

ϭ 2 x ϩ h, h h h h

d) 3x2 ϩ 3xh ϩ h2, h e)

3x ϩ h 2

,h

5

c) h(2x ϩ h)

y( x ϩ 1) y

ϭ ,x z( x ϩ 1) z

0

Ϫ1 e z

0

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ ( a 2 Ϫ 2ab ϩ b 2 ) a2b2 a

0eb

0

ϭ

a 2 ϩ 2ab ϩ b 2 Ϫ a 2 ϩ 2ab Ϫ b 2 a2b2

ϭ

4

, ab

0

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Capítulo 4 - Derivada

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CAPÍTULO 4

DERIVADA

DERIVADA

4.1 O QUE É A DERIVADA

Derivada

A derivada da função y ϭ f(x) é a função yЈ ϭ f Ј(x) dada por f Ј(x) ϭ lim

⌬x →0

f (x ϩ ⌬x ) Ϫ f (x )

.

⌬x

Observe que tanto yЈ (que se lê: y linha) quanto f Ј(x) (que se lê: f linha de x) são notações para representar a derivada dy de y ϭ f(x). Outra importante notação para a derivada de y ϭ f(x) é

(que se lê: derivada de y em relação a x). dx dy

A notação

é devida a Leibniz (veja Seção 3.8). Lembrando da fórmula ⌬y ϭ f(x ϩ ⌬x) Ϫ f(x), a derivada de dx y ϭ f(x) pode, também, ser escrita da seguinte forma:

dy

⌬y

ϭ lim

. dx

⌬x →0 ⌬x

Ou seja, a derivada de y ϭ f(x) é o limite, para ⌬x tendendo a zero, da razão incremental

⌬y

.

⌬x

Atenção

Com freqüência escreveremos, também, (f(x))Ј para indicar a derivada de f(x). Para futuras interpretações da

⌬y derivada, será muito bom pensar a derivada como o valor da razão incremental

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Capítulo 6 - Funções Financeiras. Capitalização Contínua

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CAPÍTULO 6

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

FUNÇÕES FINANCEIRAS. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA

6.1 AS FUNÇÕES VALOR FUTURO E VALOR PRESENTE

Como já mencionamos anteriormente, as duas funções básicas da Matemática Financeira, no regime de juros compostos, são as funções valor futuro e valor presente. Vamos relembrá-las aqui e falar alguma coisa mais sobre elas.

Funções valor futuro e valor presente

VF ϭ VP(1 ϩ i%)n e

VP ϭ

VF

.

(1 ϩ i %) n

Nas fórmulas acima, i% é uma taxa de juros compostos, por um determinado período, e n é o número de períodos a que se refere a taxa. Este valor de n poderá ser inteiro ou fracionário. VP é o valor hoje de um investimento ou empréstimo e VF é o valor futuro, daqui a n períodos a que se refere a taxa, deste VP. (Podemos pensar, também, VP como o valor do empréstimo ou investimento em uma determinada época e VF como o valor deste VP n períodos na frente.) Quando aplicamos a fórmula do valor futuro estamos incorporando juros ao VP. Por outro lado, quando aplicamos a fórmula do valor presente estamos retirando juros do valor futuro.

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Capítulo 5 - Integral

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CAPÍTULO 5

INTEGRAL

INTEGRAL

5.1 SOMATÓRIA n

Nesta seção vamos aprender a trabalhar com o símbolo ⌺ xk que se lê: somatória de xk (leia: x índice k) para k ϭm

k variando de m a n, onde m e n são números inteiros com m Յ n. Este símbolo representa a soma n

⌺ x ϭ xm ϩ xmϩ1 ϩ xmϩ2 ϩ ... ϩ xn. k ϭm k

Exemplo 1

5

Calcule ⌺ k 2. k ϭ1

Solução

Aqui xk ϭ k2, que significa x1 ϭ 12, x2 ϭ 22 etc. Assim

5

⌺ xk ϭ x1 ϩ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5

k ϭ1

e, portanto,

5

⌺ k 2 ϭ 12 ϩ 22 ϩ 32 ϩ 42 ϩ 52 ϭ 55.

k ϭ1

Exemplo 2

10

Calcule ⌺ 2 k . k ϭ3

Solução

10

⌺ 2 k ϭ 23 ϩ 24 ϩ 25 ϩ 26 ϩ 27 ϩ 28 ϩ 29 ϩ 210 ϭ 2.040.

k ϭ3

(Observe: o número de parcelas é 10 Ϫ 3 ϩ 1 ϭ 8.)

Exemplo 3

8

Calcule ⌺ 5. k ϭ2

Solução

8

⌺ xk ϭ x2 ϩ x3 ϩ x4 ϩ x5 ϩ x6 ϩ x7 ϩ x8.

k ϭ2

CAPÍTULO 5

169

INTEGRAL

Aqui xk ϭ 5 para k ϭ 2, 3, 4, ..., 8, ou seja, xk é constante e igual a 5. Como o número de parcelas é 7 (7 ϭ 8 Ϫ 2 ϩ 1), resulta

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