Zill Dennis G Shanahan Patrick D (9)
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Capítulo 1 - Números Complexos e o Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Números Complexos e o Plano Complexo

1

CAPÍTULO

1

Números Complexos e o Plano Complexo

Índice do Capítulo

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Números Complexos e Suas Propriedades

Plano Complexo

Forma Polar de Números Complexos

Potências e Raízes

Conjuntos de Pontos no Plano Complexo

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 1

π

0

–π

–2π

–3π

Introdução Em cursos básicos, o aluno toma conhecimento da existência de números complexos e de algumas de suas propriedades. Contudo, nos cursos de cálculo é muito provável que nada veja de números complexos. Neste texto estudamos apenas números complexos e o cálculo de funções de uma variável complexa.

Iniciamos com uma análise abrangente da aritmética e da álgebra de números complexos.

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1

–1

0

0

1 –1

Superfície de Riemann para arg(z). Veja

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Capítulo 7 - Transformações Conformes

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Transformações Conformes

293

Capítulo

7

Transformações

Conformes

Índice do Capítulo

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

Transformação Conforme

Transformações Fracionárias Lineares

Transformações de Schwarz-Christoffel

Fórmulas Integrais de Poisson

Aplicações

7.5.1 Problemas de Valores de Contorno

7.5.2 Fluxo Fluido

Questionário de Revisão do Capítulo 7

Fluxo bidimensional de um fluido ideal (Figura 7.5.12).

Introdução Na Seção 4.5 vimos que transformações analíticas podem ser usadas para resolver certos tipos de problemas de valores de contorno. Neste capítulo apresentaremos o conceito fundamental de transformação conforme e veremos como transformações conformes podem ser usadas para resolver uma gama maior de problemas de valores de contorno. Os métodos que apresentaremos serão aplicados a problemas de fluxo de calor, eletromagnetismo e fluxo fluido.

Zill 7.indd 293

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Capítulo 5 - Integração no Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

176

Capítulo Cinco

CAPÍTULO

5

Integração no Plano

Complexo

Índice do Capítulo

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

Integrais Reais

Integrais Complexas

Teorema de Cauchy-Goursat

Independência de Percurso

Fórmulas Integrais de Cauchy e Suas Consequências

5.5.1 Duas Fórmulas Integrais de Cauchy

5.5.2 Algumas Consequências de Fórmulas Integrais

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 5

Introdução Para definir a integral de uma função complexa f iniciamos com uma função complexa f definida ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo. Veremos, nesta seção, que a definição de uma integral complexa, suas propriedades e os métodos de cálculo de valores são muito semelhantes aos usados no caso de uma integral de linha real no plano cartesiano.

Zill 5.indd 176

Campo vetorial normalizado de velocidade para f(z) = (1 + i)z. Veja Seção 5.6,

Exemplo 6.

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Capítulo 2 - Funções Complexas e Transformações

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

38

Capítulo Dois

CAPÍTULO

2

Funções Complexas e Transformações

Índice do Capítulo

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

Funções Complexas

Funções Complexas como Transformações

Transformações Lineares

Funções Potências Especiais

2.4.1 Função Potência zn

2.4.2 Função Potência z1/n

Função Recíproca

Limites e Continuidade

2.6.1 Limites

2.6.2 Continuidade

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 2

3i

2i

S i

S′

1

2

3

Imagem de um quadrado sob translação. Veja Exemplo 1,

Figura 2.3.2.

Introdução No último capítulo apresentamos os números complexos e examinamos algumas de suas propriedades algébricas e geométricas. Neste capítulo focaremos o estudo de funções de um conjunto de números complexos a outro conjunto de números complexos. Veremos que, ao contrário das funções estudadas em cálculo elementar, não é possível desenhar um gráfico de uma função complexa. Por conseguinte, introduziremos a noção de uma transformação ou mapeamento como uma forma alternativa para a representação gráfica de uma função complexa. Os conceitos de um limite da continuidade de uma função complexa também são apresentados neste capítulo.

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Capítulo 4 - Funções Elementares

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Funções Elementares

131

CAPÍTULO

4

Funções

Elementares

Índice do Capítulo

y

2

1,5

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Funções Exponencial e Logarítmica

4.1.1 Função Exponencial Complexa

4.1.2 Função Logarítmica Complexa

Potências Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

4.3.1 Funções Trigonométricas Complexas

4.3.2 Funções Hiperbólicas Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 4

1

0,5

–π

2

–π

3

π

6

–0,5

π

6

π

3

π

2

2

3

x

–1

–1,5

–2

w = sen z

Introdução No capítulo anterior, definimos a classe de funções de maior interesse na análise complexa: a das funções analíticas. Neste capítulo definiremos e estudaremos algumas funções analíticas complexas elementares. Em particular, investigaremos as funções exponencial, logarítmica, potência, trigonométricas, hiperbólicas, trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas complexas. Mostraremos que todas estas funções são analíticas em um domínio apropriado e que suas derivadas têm formas semelhantes às de suas análogas reais. Também examinaremos a atuação dessas funções como transformações do plano complexo. O conjunto de funções elementares será uma fértil fonte de exemplos a serem considerados no restante do texto.

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Young Cynthia Y (15)
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Medium 9788521633860

8 - Tópicos Adicionais em Trigonometria

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

118 Capítulo 8

8

Tópicos Adicionais em Trigonometria

Norfolk, Virgínia

Bermuda

Bermuda

Oceano

Atlântico

Miami,

Flórida

Oceano

Atlântico

Santiago de Cuba

San Juan,

Porto Rico

Miami (Flórida), Bermuda, Porto Rico

Norfolk (Virgínia), Bermuda, Cuba

E

m décadas recentes, muitas pessoas passaram a acreditar que uma área imaginária conhecida como “Triângulo das

Bermudas”, localizada ao largo da costa Atlântica sudeste dos Estados Unidos, seja o local de uma alta incidência de desaparecimento de navios, pequenas embarcações e aviões ao longo dos séculos. O Conselho de Toponímia1 dos Estados Unidos (U.S. Board of Geographical Names) não reconhece o “Triângulo das Bermudas” como um nome oficial e não mantém um arquivo oficial sobre a área.

Suponha por enquanto, sem julgar os méritos da hipótese, que o “Triângulo das Bermudas” tenha vértices em Miami

(Flórida), San Juan (Porto Rico) e Bermuda, ou que ele tenha vértices em Norfolk (Virgínia), Bermuda e Santiago (Cuba).

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3 - Funções e Seus Gráficos

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

3

Funções e Seus

Gráficos

John Giustina/Superstock

E

m uma arara de roupas de uma loja de departamentos, você vê uma camisa que lhe agrada. O preço original da camisa era de US$ 100, mas ela estava com um desconto de 30%. Como um cliente preferencial, você obtém um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda no ato da compra. Quanto você vai pagar pela camisa?

Compradores ingênuos poderiam se iludir ao pensar que essa camisa vai custar US$ 50, pois eles somam 20% e 30% para obter um desconto de 50%, mas acabarão pagando mais do que isso. Compradores experientes sabem que primeiro precisam calcular o desconto de 30% de US$ 100, que resulta em um preço de US$ 70, e depois aplicar um desconto adicional de 20% sobre o preço de venda de US$ 70, resultando em um preço final (com desconto) de US$ 56. Compradores experientes já aprenderam a composição de funções.

Uma composição de funções pode ser pensada como uma função de uma função. Uma função recebe uma entrada (preço original, US$ 100) e a mapeia em uma saída (preço de venda, US$ 70), e depois outra função pega essa saída como sua entrada (preço de venda, US$ 70) e a mapeia em uma saída (preço de caixa, US$ 56).

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Medium 9788521633860

11 - Geometria Analítica e Sistemas de Equações e Inequações Não Lineares

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

11

Geometria Analítica e

Sistemas de Equações e Inequações Não

Lineares

Paul Souders/The Image Bank/Getty Images

© F1 online digitale Bildagentur

GmbH/Alamy

Uma antena para recepção de sinais de satélites tem a forma de um paraboloide .

Algumas construções têm a forma de um hiperboloide .

N

este capítulo, estudaremos os três tipos de seções cônicas (ou simplesmente cônicas): a parábola, a elipse e a hipérbole. Já estudamos o círculo (Seção 2.4), que é um caso especial da elipse. Vemos essas três formas ao nosso redor o tempo todo: antenas de satélites (parábolas), torres de resfriamento (hipérboles) e órbitas planetárias (elipses).

Outono

Primavera

Inverno

Verão

Verão

Inverno

Primavera

Outono

A órbita da Terra ao redor do Sol é uma elipse.

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16/05/17terça-feira 10:25

Geometria Analítica e Sistemas de Equações e Inequações Não Lineares  383

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10 - Matrizes

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

10

Matrizes criptografa

recebe

envia

decodifica

C

riptografia é a prática e o estudo da criptografia e decifragem — codificanvisitante servidor da web do dados de modo que possam ser decodecodifica envia dificados apenas por indivíduos específicos. Em outras palavras, ela transforma uma mensagem em palavras incompreenrecebe síveis de modo que apenas a pessoa que tem acesso às ferramentas para decifrar códigos consegue transformar as palavras incompreensíveis de volta na mensagem criptografa original. Cartões usados em terminais de autoatendimento, sites de compras online, e comunicações militares protegidas dependem, todos, da codificação e da decodificação de informações. Matrizes são usadas extensivamente na criptografia.

Uma matriz é usada como a “chave” para codificar os dados e depois sua matriz inversa é usada como a “chave” para decodificar os dados.*

Seção 10.3, Exercícios 49-54.

*

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17/05/17quarta-feira 10:46

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4 - Funções Polinomiais e Funções Racionais

YOUNG, Cynthia Y. Grupo Gen PDF Criptografado

4

Funções Polinomiais e Funções Racionais

Focus on Sport/Getty Images

E

stádios cobertos de futebol americano são projetados de modo que os chutadores não consigam atingir o teto com a bola. Um dos maiores chutadores da NFL1 de todos os tempos foi Ray

Guy, que jogou 14 temporadas, de 1973

Ray Guy a 1986. “Na partida Pro Bowl de 1976, um de seus chutes atingiu a tela de TV gigante suspensa na estrutura de sustentação do Superdome de Louisiana. Guy não só chutou alto e longe — o termo ‘hang time’2 entrou para o jargão da NFL durante a sua época de jogador — como um jogador do time adversário uma vez pegou uma bola que ele chutou e fez um teste para verificar se ela continha gás hélio!”

(www.prokicker.com; Ficha Informativa sobre Ray Guy).

Tipicamente a trajetória seguida pela bola após os chutes3 é chamada de parábola e ela é classificada como uma função quadrática.

A distância alcançada por um chute (ou alcance) é medida na direção horizontal. A linha de jarda de onde é dado o chute e a linha de jarda onde esse chute atinge o campo ou é agarrado são os zeros da função quadrática. Os zeros são os pontos nos quais o valor da função

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Yates Roy D Goodman David J (14)
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Medium 9788521632481

13 - Processos Estocásticos

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

13

Processos Estocásticos

Nosso estudo de probabilidade refere-se a um experimento consistindo em um procedimento e observações. Quando estudamos variáveis aleatórias, cada observação corresponde a um ou mais números.

Quando estudamos processos estocásticos, cada observação corresponde a uma função de tempo. A palavra estocástico significa aleatório. A palavra processo, neste contexto, significa função de tempo.

Portanto, quando estudamos processos estocásticos, estudamos funções aleatórias de tempo. Quase todas as aplicações práticas da probabilidade envolvem várias observações tomadas por um período de tempo. Por exemplo, nossa discussão anterior sobre probabilidade neste livro refere-se à noção da frequência relativa de um resultado quando um experimento é realizado um grande número de vezes. Nessa discussão e na análise subsequente de variáveis aleatórias, nos preocupamos apenas com a frequência com que um evento ocorre. Quando estudamos processos estocásticos, também prestamos atenção à sequência de tempo dos eventos.

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Medium 9788521632481

6 - Modelos de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Derivadas

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

6

Modelos de Probabilidade de

Variáveis Aleatórias Derivadas

Existem muitas situações em que, para calcular uma nova variável aleatória, usamos os valores de uma ou mais variáveis. Por exemplo, quando a tensão através de um resistor de r0 ohms é uma variável aleatória X, a potência dissipada nesse resistor é Y = X2/r0. Os projetistas de circuitos precisam de um modelo de probabilidade para Y a fim de avaliar o consumo de potência do circuito. De modo semelhante, se a amplitude (corrente ou tensão) de um sinal de rádio for X, a potência do sinal recebido é proporcional a Y = X2. Um modelo de probabilidade para Y é essencial na avaliação do desempenho de um receptor de rádio. Lembramos que um projetista de circuitos precisa analisar a saída de um limitador ou retificador, sendo esta outra variável aleatória.

Os sistemas de rádio também oferecem exemplos práticos de funções de duas variáveis aleatórias.

Por exemplo, podemos descrever a amplitude do sinal transmitido por uma estação de rádio como uma variável aleatória, X. Podemos descrever a atenuação do sinal enquanto ele trafega até a antena de um carro em movimento como outra variável aleatória, Y. Neste caso, a amplitude do sinal no receptor de rádio no carro é a variável aleatória W = X/Y. Outros exemplos práticos aparecem em estações base de telefone celular com duas antenas. As amplitudes dos sinais que chegam nas antenas são modeladas como variáveis aleatórias X e Y. O receptor de rádio conectado a elas podem usar os sinais recebidos de diversas maneiras:

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Medium 9788521632481

9 - Somas de Variáveis Aleatórias

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

9

Somas de Variáveis Aleatórias

Variáveis aleatórias na forma

Wn = X1 + · · · + Xn

(9.1)

aparecem repetidas vezes na teoria da probabilidade e nas aplicações. Em princípio, poderíamos derivar o modelo de probabilidade de Wn a partir da PMF ou PDF de X1, . . ., Xn. Porém, em muitas aplicações práticas, a natureza da análise ou as propriedades das variáveis aleatórias nos permitem aplicar técnicas que são mais simples do que analisar um modelo de probabilidade n-dimensional.

Na Seção 9.1, consideramos as aplicações nas quais nosso interesse está confinado a valores esperados relacionados a Wn, em vez de um modelo completo de Wn. As próximas seções enfatizam técnicas que se aplicam quando X1, . . ., Xn são mutuamente independentes. Um modo útil de analisar a soma de variáveis aleatórias independentes é transformar a PDF ou PMF de cada variável aleatória em uma função de geração de momento.

O teorema do limite central revela uma propriedade fascinante da soma de variáveis aleatórias independentes. Ele declara que a CDF da soma converge para uma CDF Gaussiana à medida que o número de termos cresce sem limite. Esse teorema nos permite usar as propriedades das variáveis aleatórias Gaussianas para obter estimativas acuradas das probabilidades associadas às somas de outras variáveis aleatórias. Em muitos casos, o cálculo exato dessas probabilidades é extremamente difícil.

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Apêndices

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

Apêndice A

Famílias de Variáveis Aleatórias

A.1  Variáveis Aleatórias Discretas

Bernoulli (p)

Para 0  p  1,

X(s) = 1 – p + pes caso contrário

Binomiais (n, p)

Para um inteiro positivo n e 0  p  1,

Uniformes Discretas (k, l)

Para inteiros k e l tais que k < l, caso contrário

412

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09/11/16 15:23

famílias de variáveis aleatórias   413

Geométricas (p)

Para 0 < p  1, caso contrário

Multinomiais

Para inteiro n > 0, pi  0 para i = 1, . . ., n, e p1 + . . . + pn = 1,

Pascal (k,p)

Para inteiro positivo k e 0 < p < 1,

Poisson (a)

Para a > 0,

caso contrário

Ap A.yates.indd 413

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414  apêndice a

Zipf (n,a)

Para inteiro positivo n > 0 e constante a  1,

caso contrário em que

A.2  Variáveis Aleatórias Contínuas

Beta (i, j)

Para inteiros positivos i e j, a função beta é definida como

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5 - Variáveis Aleatórias Múltiplas

YATES, Roy D.; GOODMAN, David J. Grupo Gen PDF Criptografado

5

Variáveis Aleatórias Múltiplas

Os Capítulos 3 e 4 analisam experimentos nos quais o resultado é um número. Começando neste capítulo, analisaremos experimentos cujo resultado é uma coleção de números. Cada número é um valor amostral de uma variável aleatória. O modelo de probabilidade para tal experimento contém as propriedades das variáveis aleatórias individuais e também a relação entre elas. Os Capítulos 3 e

4 consideram diferentes assuntos, um as variáveis aleatórias discretas e o outro as varáveis aleatórias contínuas. Neste capítulo serão consideradas todas as variáveis aleatórias, pois uma alta proporção de definições e teoremas se aplicam a variáveis aleatórias discretas e contínuas. Porém, assim como com as variáveis aleatórias individuais, os detalhes dos cálculos numéricos dependem das variáveis aleatórias serem discretas ou contínuas. Consequentemente, descobrimos que muitas fórmulas vêm em pares. Uma fórmula, para variáveis aleatórias discretas, contém somas e a outra fórmula, para variáveis aleatórias contínuas, contém integrais.

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William Navidi (12)
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Medium 9788580550733

2. Medidas sobre dados bivariados

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

2

Medidas sobre dados bivariados

Introdução

Os cientistas e engenheiros geralmente coletam dados para determinar a natureza de uma relação entre duas grandezas. Por exemplo, um engenheiro químico pode executar um processo químico várias vezes para estudar a relação entre a concentração de um certo catalisador e o produto do processo. Cada vez que o processo é executado, a concentração x e o produto y são registrados. Portanto, o experimento gera um coleção de pares (x1, y1), ..., (xn, yn), em que n é o número de vezes que o processo foi executado. Os dados que consistem em pares ordenados são denominados dados bivariados. Em muitos casos, os pares ordenados gerados em um experimento científico tendem a se aglomerar em torno de uma linha reta quando plotados. Nessas situações, a principal questão é geralmente determinar a proximidade da relação das duas grandezas entre si. As medidas estatísticas mais usadas para medir a proximidade da associação entre duas variáveis é o coeficiente de correlação, que estudaremos na Seção 2.1. Quando duas variáveis têm uma relação de proximidade entre si, é normal o interesse de prever o valor de uma delas quando dado o valor da outra. Isso geralmente é feito com a equação de uma linha conhecida como a reta de mínimos quadrados, que estudaremos nas Seções 2.2 e 2.3.

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8. Inferência em modelos lineares

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

8

Inferência em modelos lineares

Introdução

Os dados que consistem em uma coleção ordenada de pares (x1, y1), ..., (xn, yn) são denominados dados bivariados. No Capítulo 2, apresentamos a reta de mínimos quadrados como uma forma de medida estatística de um conjunto de dados bivariados e para prever um valor de y dado um valor de x. Em muitas situações, é razoável considerar que x e y estão relacionados linearmente por uma equação y = β0 + β1x + ε, em que ε é uma variável aleatória. Nessas situações, a equação y = β0 + β1x representa a reta de regressão

“real”, e a reta de mínimos quadrados calculada a partir da amostra é uma estimativa da reta real. Na Seção 8.1, aprenderemos a calcular intervalos de confiança e a realizar testes de hipóteses sobre a inclinação e a interseção da reta de regressão real. Para que esses intervalos de confiança e testes de hipóteses sejam válidos, certas suposições devem ser satisfeitas. Aprenderemos, na Seção 8.2, alguns métodos para verificar essas suposições e para corrigir violações delas.

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Medium 9788580550733

6. Testes de hipóteses para uma única amostra

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

6

Testes de hipóteses para uma única amostra

Introdução

No Exemplo 5.4 (na Seção 5.2), uma amostra de 50 microfuradeiras tem um tempo de vida médio de X = 12,68 furos e um desvio padrão de s = 6,83. Vamos considerar que a questão de interesse é se o tempo de vida médio da população, μ, é maior do que 11. Abordamos essa questão examinado o valor da média amostral X. Vemos que X > 11, mas por causa da variação aleatória em X, isso não garante que μ > 11. Gostaríamos de saber como podemos estar certos de que μ > 11. Um intervalo de confiança não é o que precisamos. No Exemplo

5.4, um intervalo de confiança de 95% para a média populacional μ foi calculado como sendo (10,79; 14,57). Isso nos diz que temos uma confiança de 95% de que μ está entre

10,79 e 14,57, mas não nos diz diretamente como podemos estar confiantes de que μ > 11.

A declaração “μ > 11” é uma hipótese sobre a média populacional μ. Para determinar o quão certo podemos estar de que uma hipótese como essa é verdadeira, devemos realizar um teste de hipótese. Esse teste produz um número entre 0 e 1 que mede o grau de certeza que podemos ter na veracidade de uma hipótese. Acontece que os testes de hipóteses estão intimamente relacionados aos intervalos de confiança. Em geral, sempre que um intervalo de confiança pode ser calculado, um teste de hipótese pode ser realizado e vice-versa.

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9. Experimentos fatoriais

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

9

Experimentos fatoriais

Introdução

Os experimentos são essenciais para o desenvolvimento e melhoria da engenharia e dos métodos científicos. Muitos experimentos envolvem a variação dos valores de um ou mais parâmetros para determinar seus efeitos na resposta. Por exemplo, os cientistas da agricultura, tentando maximizar o rendimento da cultura, podem usar qualquer um dos diversos tipos de fertilizantes e qualquer um dos diversos horários de rega. Eles plantam a cultura em vários terrenos, tratam os terrenos com várias combinações de fertilizantes e horários de rega e medem a produção em cada terreno. Experimentos como esses são muitas vezes realizados em ambientes industriais também. Como exemplos, incluímos o estudo do efeito da concentração de catalisador no rendimento de uma reação química, os efeitos da velocidade de corte e ângulo da lâmina sobre a vida útil de uma ferramenta e os efeitos do tipo de areia, tipo de cimento e tempo de cura na resistência de blocos de concreto.

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3. Probabilidade

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

3

Probabilidade

Introdução

O desenvolvimento da teoria da probabilidade foi financiado por jogadores do século

XVII, que contrataram alguns dos principais matemáticos da época para calcular as probabilidades corretas para determinados jogos de azar. Mais tarde, as pessoas perceberam que os processos científicos também envolvem probabilidades, e desde então os métodos de probabilidade são utilizados para estudar o mundo físico.

Atualmente o estudo das probabilidades é um ramo da matemática. Muitos livros são dedicados a este assunto e muitos pesquisadores têm sua carreira profissional voltada para o desenvolvimento do estudo das probabilidades. Neste capítulo, vamos apresentar uma introdução às ideias da probabilidade mais importantes para o estudo da estatística.

3.1 Ideias básicas

Para fazer um estudo sistemático de probabilidades, precisamos conhecer a terminologia.

Um experimento é um processo que origina um resultado que não pode ser previsto antecipadamente com certeza. Jogar uma moeda, lançar um dado, medir o diâmetro de um parafuso, pesar o conteúdo de uma caixa de cereal e medir a resistência à ruptura de um pedaço de linha de pesca são todos exemplos de experimentos. Para discutir um experimento em termos de probabilidades, temos que especificar os seus resultados possíveis.

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Wili Dal Zot Manuela Longoni De Castro (13)
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Capítulo 4 - Juros compostos

Wili Dal Zot; Manuela Longoni de Castro Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

4

JUROS COMPOSTOS

4.1 Introdução

Dinheiro investido em juros compostos cresce mais rápido do que quando aplicado em juros simples à mesma taxa de juros. Enquanto o cálculo dos juros simples é sempre baseado no principal original, os juros compostos são somados ao principal de modo a ampliar a base de cálculo dos juros dos próximos períodos. Assim, se tivermos um principal de R$ 100,00 a uma taxa de juros de 10% ao ano em juros simples, tanto os juros do primeiro ano quanto os do segundo serão R$ 10,00 (P·i = 100 × 0,10). Já nos juros compostos, haverá uma diferença entre os juros calculados no primeiro e no segundo ano. Enquanto no primeiro ano os juros serão R$ 10,00 (P·i =

100 × 0,10 = 10,00), semelhante aos juros simples, no segundo ano o cálculo será R$ 11,00 (P·i =

110 × 0,10 = 11,00). Essa diferença entre sistemas deve-se, nesse segundo ano, ao fato de que a base de cálculo dos juros compostos não é apenas o principal original, mas sim aquele principal acrescido dos juros calculados nos períodos passados, neste caso, os R$ 10,00 do primeiro ano.

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Medium 9788582603321

Capítulo 5 - Taxas

Wili Dal Zot; Manuela Longoni de Castro Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

5

TAXAS

5.1 Introdução

Na prática comercial e bancária, o termo taxa tem sido utilizado com diversos significados e em diferentes situações. Assim, é importante distinguir algumas dessas situações para que se possam aplicar os conceitos e as fórmulas adequadamente.

5.1.1 Diversas abordagens sobre taxas de juros

Algumas das abordagens mais frequentes são:

• Quanto à comparação entre taxas:

Taxas proporcionais entre si

Taxas equivalentes entre si

• Quanto à forma de capitalização:

Taxas de juros simples

Taxas de juros compostos

Taxas efetivas

Taxas nominais

• Em ambiente inflacionário:

Taxas aparentes

Taxas de inflação ou de correção monetária

Taxas reais

• Em operações de desconto:

Taxas racionais ou taxas por dentro

Taxas de desconto ou taxas por fora

34

Matemática Financeira

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Capítulo 8 - Equivalência de capitais

Wili Dal Zot; Manuela Longoni de Castro Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

8.1 Conceito de equivalência de capitais

CONCEITO 8.1 Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são ditos equivalentes a uma determinada taxa de juros se seus valores presentes (valores atuais), em uma determinada data focal, forem iguais.

Se os fluxos de caixa, a uma determinada taxa de juros, tiverem o mesmo valor presente

(valor atual), então seus valores futuros, em qualquer n, a essa mesma taxa, serão iguais.

Fluxos equivalentes a uma determinada taxa de juros necessariamente deixam de ser equivalentes em outras taxas.

O conceito de equivalência de capitais constitui um elemento-chave nas aplicações da

Matemática Financeira. Esse conceito pode ser considerado aplicável apenas do ponto de vista dos juros compostos, conforme Puccini (2009) ou apresentar-se também quanto à possibilidade de se calcular por meio de juros simples (VIEIRA SOBRINHO, 2000; ASSAF NETO,

2009). Neste livro, abordaremos a equivalência de capitais pela ótica dos juros compostos.

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Apêndice B - Métodos numéricos de cálculo da taxa de juros

Wili Dal Zot; Manuela Longoni de Castro Grupo A PDF Criptografado

APÊNDICE

B

MÉTODOS NUMÉRICOS DE

CÁLCULO DA TAXA DE JUROS

B.1 Introdução

Considere o seguinte problema

Calcular a taxa mensal de juros utilizada no financiamento de R$ 1.500,00, pago em 4 prestações mensais postecipadas no valor de R$ 427,94. (Resposta: 5,50%.)

Dados: i=?

P = 1.500 n = 4 p.m. post.

R = 427,94

Solução:

Examinando as equações de valor envolvidas, verificamos que, a partir da fórmula genérica podemos chegar a uma fórmula que envolve prestações iguais. Em ambos os casos, séries com valores diferentes ou iguais (anuidades), verifica-se a construção de um polinômio de grau n onde o que se procura é encontrar uma raíz do polinômio – valor para (1 + i) que

“zere”o polinômio. Percebe-se a impossibilidade de isolarmos o i, exceto nos casos de polinômios de primeiro ou segundo grau (fórmula de Bhaskara).

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Apêndice B

Métodos numéricos de cálculo da taxa de juros

Métodos de solução

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Capítulo 7 - Anuidades

Wili Dal Zot; Manuela Longoni de Castro Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

7

ANUIDADES

7.1 Introdução

CONCEITO 7.1 ”Chama-se de anuidade uma sucessão ou sequência de pagamentos ou recebimentos, denominados termos da anuidade, que ocorrem em datas preestabelecidas.“ (FARO; LACHTERMACHER, 2012, p. 166)

A denominação anuidade segue uma tendência internacional, considerando-se que, nos primeiros sistemas de liquidação de dívidas em mais de um pagamento, as prestações eram anuais, embora hoje elas possam ser mensais, trimestrais, etc. As anuidades também são conhecidas na literatura como séries periódicas uniformes, rendas certas (SAMANEZ, 2002, p. 125) e prestações (SAMANEZ, 2002, p. 86; DAL ZOT, 2008, p. 85).

7.2

Valor atual de um fluxo de caixa

Um diagrama de tempo ou fluxo de caixa é a representação gráfica de recebimentos e/ou pagamentos ao longo do tempo, de um empréstimo, uma aplicação financeira, de um orçamento doméstico ou empresarial. O diagrama de tempo de um empréstimo a ser pago em uma só vez é:

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