William E Boyce Richard C Diprima Douglas B Meade (11)
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7 Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Existem muitos problemas físicos que envolvem diversos elementos separados, mas associados de alguma forma. Por exemplo, a corrente e a voltagem em um circuito elétrico, cada massa em um sistema mecânico, cada elemento (ou composto) em um sistema químico ou cada espécie em um sistema biológico têm essa característica. Nesses e em casos semelhantes, o problema matemático correspondente consiste em um sistema de duas ou mais equações diferenciais, que sempre podem ser escritas como equações diferenciais de primeira ordem. Vamos estudar, neste capítulo, sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, em particular equações diferenciais com coeficientes constantes, utilizando alguns aspectos elementares da álgebra linear para unificar a apresentação. Em muitos aspectos, este capítulo segue a mesma linha que o tratamento dado às equações lineares de segunda ordem no Capítulo 3.

Sistemas de equações diferenciais ordinárias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma delas sendo função da mesma variável independente única. Vamos denotar a variável independente por t e as variáveis dependentes, que são funções de t, por x1, x2, x3, … A diferenciação1 em relação a t será denotada por uma linha; por exemplo, ou x1.

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4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Mais Alta

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

A estrutura teórica e os métodos de resolução desenvolvidos no capítulo precedente para equações lineares de segunda ordem podem ser estendidos, diretamente, para equações lineares de terceira ordem e de ordem mais alta. Neste capítulo, vamos rever rapidamente essa generalização, apontando, em especial, os casos particulares em que aparecem fenômenos novos, em razão da grande variedade de situações que podem ocorrer para equações de ordem mais alta.

Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma

Supomos que as funções P0, …, Pn e G são funções reais e contínuas definidas em algum intervalo I: α < t < β, e que P0 nunca se anula nesse intervalo. Então, dividindo a Eq. (1) por P0(t), obtemos

O operador diferencial linear L de ordem n definido pela Eq. (2) é semelhante ao operador de segunda ordem definido no Capítulo 3. A teoria matemática associada à Eq. (2) é inteiramente análoga à teoria para equações lineares de segunda ordem; por essa razão, apenas enunciaremos os resultados para o problema de ordem n. As demonstrações da maioria dos resultados também são semelhantes às das equações de segunda ordem e, em geral, deixadas como exercício.

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8 Métodos Numéricos

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Até agora, discutimos métodos para resolver equações diferenciais usando técnicas analíticas como integração ou expansão em séries. Em geral, a ênfase era em encontrar uma expressão exata para a solução. Infelizmente, existem muitos problemas importantes em Engenharia e ciência, especialmente problemas não lineares, nos quais esses métodos ou não se aplicam, ou seu uso é muito complicado. Neste capítulo, adotaremos uma abordagem alternativa, a utilização de métodos numéricos aproximados para obtermos uma aproximação precisa da solução de um problema de valor inicial. Vamos apresentar esses métodos no contexto o mais simples possível, ou seja, uma única equação escalar de primeira ordem. No entanto, eles podem ser estendidos diretamente para sistemas de equações de primeira ordem, e isso está esquematizado brevemente na Seção 8.5. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados facilmente em uma ampla variedade de dispositivos computacionais, desde celulares a supercomputadores.

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5 Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear depende da determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea. Até agora, só vimos um procedimento sistemático para a construção de soluções fundamentais quando a equação tem coeficientes constantes. Para tratar a classe muito maior de equações com coeficientes variáveis, é necessário estender nossa procura de soluções além das funções elementares usuais do Cálculo. A ferramenta principal é a representação de uma função dada em série de potências. A ideia básica é semelhante ao método dos coeficientes indeterminados: supomos que a solução de uma equação diferencial dada tem expansão em série de potências e, depois, tentamos determinar os coeficientes de modo a satisfazer a equação diferencial.

Neste capítulo, vamos discutir a utilização de séries de potências para construir conjuntos fundamentais de soluções para equações diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes são funções da variável independente. Começamos resumindo, muito rapidamente, os resultados pertinentes sobre séries de potências que precisaremos. Os leitores familiares com séries de potências podem ir diretamente para a Seção 5.2. Os que precisarem de mais detalhes do que os contidos aqui devem consultar um livro de Cálculo.

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10 Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

William E. BOYCE, Richard C. DIPRIMA, Douglas B. MEADE Grupo Gen ePub Criptografado

Em muitos problemas físicos importantes, existem duas ou mais variáveis independentes, de modo que o modelo matemático correspondente envolve equações diferenciais parciais, em vez de ordinárias. Este capítulo trata de um método importante para resolver equações diferenciais parciais, conhecido como método de separação de variáveis. Sua característica essencial é a substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que têm que ser resolvidas sujeitas a condições iniciais ou de contorno. A primeira seção deste capítulo trata de algumas propriedades básicas de problemas de valores de contorno para equações diferenciais ordinárias. A solução desejada da equação diferencial parcial é expressa, então, como uma soma, em geral uma série infinita, formada por soluções das equações diferenciais ordinárias. Em muitos casos, acabaremos tendo que lidar com uma série em senos e/ou cossenos, de modo que parte deste capítulo é dedicada a uma discussão de tais séries, conhecidas como séries de Fourier. Após o estudo da base matemática necessária, ilustramos o uso do método de separação de variáveis em diversos problemas ligados à condução de calor, à propagação de ondas e à teoria do potencial.

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W Keith Nicholson (39)
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Medium 9788586804922

2.2 Determinantes e inversas

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap02_PORTUGUES.qxd

31.08.56

10:20 AM

Page 77

77

2.2 Determinantes e Inversas b) O que está errado no argumento a seguir?

21. a) Mostre que

det(A + BT ) = detA + detBT = detAT + detB

= det(AT + B)

0

⎢1

19. Mostre que det ⎢

20. Mostre que

x

⎢0 det ⎢

⎢0

⎣ a

⎢1

1

1

⎢ det ⎢

⎣1

1

1

0 x x x y z

1

1

⎥ x⎥

0 x⎥

⎦ x 0

⎤ x2

⎥ y2 ⎥

⎦ =

2 z x

= −3x2 .

0

x

−1

0

x

b

c

0

0⎥

−1 ⎥

⎦ x+d

= a + bx + cx2 + dx3 + x4 .

[Esta matriz é chamada matriz companheira do polinômio a + bx + cx2 + dx3 + x 4 ]. b) Escreva agora a matriz companheira de tamanho

(y − x)(z − x)(z − y). [Esse é o

5 × 5 de a + bx + cx2 + dx3 + ex4 + x 5 (a última linha

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2.1 Expansões autovalores

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap02_PORTUGUES.qxd

CAPÍTULO

31.08.56

10:20 AM

Page 69

2

Determinantes e

Autovalores

2.1

EXPANSÕES AUTOVALORES

Na Seção 1.5 definimos o determinante de uma matriz 2 × 2 A = detA = det

a

b

c

d

a

b

c

d

como:

= ad − bc

Mostramos então (no Exemplo 5 da Seção 1.5) que A tem uma inversa se detA ≠ 0, e demos uma fórmula para a inversa nesse caso. Um dos objetivos deste capítulo é fazer o mesmo para qualquer matriz quadrada A.

Não há dificuldade se A for uma matriz 1 × 1, digamos A = [a]. Nesse caso, definimos det[a] = a

[a]

Observamos que

é inversível se

(e somente se) a ≠ 0, e que a fórmula para a inversa

� �

é [a]−1 = 1a .

O que fazemos quando A é uma matriz n × n com n ≥ 3? A fórmula para o determinante de uma matriz 3 × 3 é:

a

⎢ det ⎢

⎣d g

b

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3.1 Vetores

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap03_PORTUGUES.qxd

CAPÍTULO

31.08.56

10:35 AM

Page 125

3

Geometria Vetorial

3.1

VETORES

A palavra geometria em grego significa medida da terra e seus usos práticos remontam

à Antigüidade. Na Grécia antiga, toda a matemática era vista como geometria, mas neste capítulo estaremos interessados especialmente em retas e planos do espaço. Nossa abordagem será olhar pontos como matrizes-coluna (chamados vetores neste contexto) e então usar a álgebra das matrizes para simplificar os cálculos.

Sistemas de Coordenadas

3.1.1

Y

P(x, y)

y

1

O

1

x

X

Figura 3.1

Z z

P(x, y, z)

O x

X

Figura 3.2

3.1.2

y

Y

Os gregos praticavam geometria sintética, ou seja, lidavam com figuras geométricas sem o uso de um sistema de coordenadas. O uso de coordenadas foi iniciado por René Descartes1 em 1637, e possibilitou o uso de equações algébricas para descrever figuras geométricas.

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1.6 Matrizes elementares

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Algebra_Chap01_PORTUGUES.qxd

31.08.56

46

11:21 AM

CAPÍTULO 1

Page 46

Equações Lineares e Matrizes

e) Sabendo agora que A pode ser levada a I por operações

a) Se B e C são inversíveis, mostre que A é inversível e que

elementares com as linhas, o que você diz sobre a resolução de um sistema AX = B? Use esse fato para encontrar uma matriz C tal que AC = I encontrando sucessivamente cada coluna de C. f) Agora que AC = I, verifique que CA = I também vale.

Isso irá acontecer sempre? g) O que acontece ⎤com todas essas condições no caso

A=

1

⎢ −2

−1

1

−3

1

A−1 =

que AB = BA.

26. Suponha que A e B sejam matrizes quadradas não nulas tais

que AB = 0. Mostre que nem A nem B têm inversa.

27. O que está errado com a seguinte solução do Exemplo 12?

Justifique sua resposta.

“Solução”: Como AB é inversível, temos (AB)−1 = B −1A−1 pelo Teorema 3. Logo, B −1 = (AB)−1A.

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3.2 Produto escalar e projeções

W. Keith Nicholson Grupo A PDF Criptografado

Algebra_Chap03_PORTUGUES.qxd

31.08.56

134

10:36 AM

CAPÍTULO 3

Page 134

Geometria Vetorial

21. Seja P = P(x, y) um ponto arbitrário do plano com vetor

22. Seja P = P(x, y, z) um ponto arbitrário do espaço com vetor

posição �p = [x y]T . Denote por C a circunferência de centro na origem e raio r > 0 . a) Se P está sobre a circunferência

� � C , explique

��p� = r. geometricamente por que

� �

� b) Se �p = r, explique geometricamente por que P está sobre a circunferência C . c) Use a) e b) para mostrar que a equação da circunferência C

é x2 + y 2 = r 2 .

3.2

posição �p = [x y z]T . Denote por S a esfera de centro na origem e raio r > 0 . a) Se P�está

� sobre a esfera S, explique geometricamente por

�p� = r. que� �� b) Se ��p� = r, explique geometricamente por que P está sobre a esfera S. c) Use a) e b) para mostrar que a equação da esfera S é x2 + y 2 + z 2 = r 2 .

PRODUTO ESCALAR E PROJEÇÕES

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Sheldon Ross (12)
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Medium 9788577806218

Soluções para os Problemas de Autoteste e Exercícios

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Soluções para os Problemas de Autoteste e Exercícios

CAPÍTULO 1

1.1 (a) Há 4! sequências diferentes das letras C, D, E, F. Para cada uma dessas sequências, podemos obter uma sequência com A e B uma ao lado da outra inserindo

A e B na ordens A, B ou B, A em qualquer uma das cinco posições, isto é, antes da primeira letra da permutação C, D, E, F, ou entre a primeira e a segunda letra, e assim por diante. Com isso, há 2 � 5 � 4! � 240 arranjos diferentes. Outra maneira de resolver este problema é imaginar que B está colado nas costas de A. Existem então 5! sequências em que A está imediatamente antes de B.

Como também há 5! sequências nas quais B está imediatamente antes de A, obtemos novamente um total de 2 � 5! � 240 arranjos diferentes.

(b) Há 6! � 720 arranjos possíveis, e, como existem tantos arranjos com A na frente de B como o contrário, existem 360 arranjos.

(c) Dos 720 arranjos possíveis, há tantos arranjos com A antes de B antes de C quanto qualquer uma das 3! possíveis sequências de A, B, e C. Com isso, há

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Medium 9788577806218

Capítulo 2. Axiomas da Probabilidade

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

Axiomas da Probabilidade

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2

INTRODUÇÃO

ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS

AXIOMAS DA PROBABILIDADE

ALGUMAS PROPOSIÇÕES SIMPLES

ESPAÇOS AMOSTRAIS COM RESULTADOS IGUALMENTE PROVÁVEIS

PROBABILIDADE COMO UMA FUNÇÃO CONTÍNUA DE UM CONJUNTO

PROBABILIDADE COMO UMA MEDIDA DE CRENÇA

2.1 INTRODUÇÃO

Neste capítulo, introduzimos o conceito de probabilidade de um evento e em seguida mostramos como probabilidades podem ser calculadas em certas situações. Antes disso, no entanto, necessitamos dos conceitos de espaço amostral e de eventos de um experimento.

2.2 ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS

Considere um experimento cujo resultado não se pode prever com certeza.

Entretanto, embora o resultado do experimento não seja conhecido antecipadamente, vamos supor que o conjunto de todos os resultados possíveis seja conhecido. Esse conjunto é conhecido como o espaço amostral do experimento e é representado pela letra S. A seguir, temos alguns exemplos:

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Medium 9788577806218

Capítulo 5. Variáveis Aleatórias Contínuas

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

Variáveis Aleatórias

Contínuas

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5

INTRODUÇÃO

ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

A VARIÁVEL ALEATÓRIA UNIFORME

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS NORMAIS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS EXPONENCIAIS

OUTRAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS

A DISTRIBUIÇÃO DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA

5.1 INTRODUÇÃO

No Capítulo 4, consideramos variáveis aleatórias discretas – isto é, variáveis aleatórias cujo conjunto de valores possíveis é finito ou contavelmente infinito.

Entretanto, também existem variáveis aleatórias cujo conjunto de valores possíveis é incontável. Dois exemplos são a hora de chegada de um trem em uma determinada estação e o tempo de vida de um transistor. Dizemos que X é uma variável aleatória contínua* se existir uma função não negativa f, definida para todo real x 僆 (��,�), que tenha a propriedade de que, para qualquer conjunto

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Medium 9788577806218

Capítulo 1. Análise Combinatória

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

Análise Combinatória

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1

INTRODUÇÃO

O PRINCÍPIO BÁSICO DA CONTAGEM

PERMUTAÇÕES

COMBINAÇÕES

COEFICIENTES MULTINOMIAIS

O NÚMERO DE SOLUÇÕES INTEIRAS DE EQUAÇÕES

1.1 INTRODUÇÃO

Eis um típico problema envolvendo probabilidades: um sistema de comunicação formado por n antenas aparentemente idênticas que devem ser alinhadas em sequência. O sistema resultante será capaz de receber qualquer sinal � e será chamado de funcional � desde que duas antenas consecutivas não apresentem defeito. Se exatamente m das n antenas apresentarem defeito, qual será a probabilidade de que o sistema resultante seja funcional? Por exemplo, no caso especial onde n � 4 e m � 2, há seis configurações possíveis para o sistema, a saber,

onde 1 significa que a antena funciona e 0, que ela está com defeito. Como o sistema funciona nos três primeiros arranjos e não funciona nos três arranjos restantes, parece razoável tomar 3/6 � 1/2 como a probabilidade desejada. No caso de n e m quaisquer, poderíamos calcular, de forma similar, a probabilidade de que o sistema funcione. Isto é, poderíamos contar o número de configurações que resultam no funcionamento do sistema e dividir esse número pelo número total de configurações possíveis.

Da discussão anterior, percebemos que seria útil possuir um método eficaz para contar o número de maneiras pelas quais as coisas podem ocorrer.

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Capítulo 10. Simulação

Sheldon Ross Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

10

Simulação

10.1

10.2

10.3

10.4

INTRODUÇÃO

TÉCNICAS GERAIS PARA SIMULAR VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

SIMULAÇÕES A PARTIR DE DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS

TÉCNICAS DE REDUÇÃO DE VARIÂNCIA

10.1 INTRODUÇÃO

Como podemos determinar a probabilidade de ganharmos uma partida de paciência jogada com um baralho de 52 cartas? Uma abordagem possível seria começar com a hipótese razoável de que todos os 52! arranjos de cartas possíveis tenham a mesma probabilidade de ocorrência, e então tentar determinar quantos desses arranjos resultam em vitórias. Infelizmente, parece não haver um método sistemático que permita a determinação do número de arranjos que resultem em vitórias, e 52! é um número bastante grande. Como a única maneira de determinarmos se um determinado arranjo de cartas levaria a uma vitória ou não seria jogar uma partida, vemos que a abordagem proposta não funciona.

De fato, parece que a determinação da probabilidade de vencermos uma partida de paciência é matematicamente intratável. Entretanto, nem tudo está perdido, pois a probabilidade não transita somente na área da matemática, mas também na área da ciência aplicada; e, como em todas as ciências aplicadas, a realização de experimentos é uma técnica valiosa. Em nosso exemplo da paciência, experimentos podem ser realizados jogando-se um grande número de jogos ou, melhor ainda, programando-se um computador para fazer isso. Após, digamos, n jogos terem sido jogados, se fizermos

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Seymour Lipschutz Marc Lipson (17)
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Medium 9788565837736

Capítulo 5 - Técnicas de Contagem

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 5

Técnicas de Contagem

5.1

INTRODUÇÃO

Este capítulo desenvolve algumas técnicas para determinar, sem enumeração direta, o número de resultados possíveis de um evento em particular ou o número de elementos de um conjunto. Tal contagem sofisticada é, às vezes, chamada de análise combinatória. Ela inclui o estudo de permutações e combinações.

5.2

PRINCÍPIOS BÁSICOS DE CONTAGEM

Há dois princípios básicos de contagem usados ao longo deste capítulo. O primeiro envolve adição e, o segundo, multiplicação.

Princípio da Regra da Soma:

Suponha que algum evento E possa ocorrer de m maneiras e um segundo evento F possa ocorrer de n maneiras. Suponha também que ambos os eventos não podem acontecer simultaneamente. Então E ou F podem ocorrer de m + n maneiras.

Princípio da Regra do Produto:

Suponha que existe um evento E que possa ocorrer de m maneiras e, independente deste, há um segundo evento F que pode ocorrer de n maneiras. Então, combinações de E e F podem ocorrer de mn maneiras.

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Capítulo 8 - Teoria dos Grafos

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 8

Teoria dos Grafos

8.1

INTRODUÇÃO, ESTRUTURAS DE DADOS

Grafos, grafos orientados, árvores e árvores binárias aparecem em muitas áeras da matemática e da ciência da computação. Este e os próximos dois capítulos cobrem tais tópicos. Contudo, para entender como esses objetos podem ser armazenados em memória e para compreender algoritmos sobre eles, precisamos conhecer um pouco sobre certas estruturas de dados. Assumimos que o leitor compreenda arrays lineares e bidimensionais;† logo, discutimos a seguir apenas listas ligadas e apontadores (ou ponteiros), bem como pilhas e filas.

Listas ligadas e apontadores

Listas ligadas e apontadores são introduzidos por meio de um exemplo. Suponha que uma empresa de corretores mantenha um arquivo no qual cada registro contém um nome de cliente e vendedor; digamos que o arquivo contenha os seguintes dados:

Cliente

Adams

Brown

Clark

Drew

Evans

Farmer

Geller

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Apêndice A - Vetores e Matrizes

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Apêndice A

Vetores e Matrizes

A.1

INTRODUÇÃO

Dados são frequentemente distribuídos em arrays, isto é, conjuntos cujos elementos são indexados por um ou mais

índices. Se esses dados consistem em números, então um array unidimensional é chamado de vetor, enquanto um array bidimensional é chamado de matriz (de forma que a dimensão denota o número de índices.) Este apêndice investiga esses vetores e matrizes e certas operações algébricas nas quais eles se envolvem. Nesse contexto, os números em si são chamados de escalares.

A.2 VETORES

Por vetor u, nós nos referimos a uma lista de números, como a1, a2, . . . , an. Tal vetor é denotado por u = (a1, a2, . . . , an)

Os números ai são chamados de componentes ou entradas de u. Se todos os ai = 0, então u é chamado de vetor nulo. Dois desses vetores, u e v, são iguais, e escrevemos u = v, se possuem o mesmo número de componentes e esses componentes correspondentes são iguais.

Exemplo A.1

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Capítulo 2 - Relações

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 2

Relações

2.1

INTRODUÇÃO

O leitor está familizarizado com muitas relações, como “menor que”, “é paralela a”, “é um subconjunto de” e assim por diante. Em certo sentido, essas relações consideram a existência ou inexistência de uma certa conexão entre pares de objetos assumidos em uma determinada ordem. Formalmente, definimos uma relação em termos desses

“pares ordenados”.

Um par ordenado de elementos a e b, onde a é designado como o primeiro elemento e b é o segundo elemento,

é denotado por (a, b). Em particular,

(a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d. Portanto (a, b) �= (b, a), a menos que a = b. Isso contrasta com conjuntos nos quais a ordem de elementos é irrelevante; por exemplo, {3, 5} = {5, 3}.†

2.2

PRODUTO CARTESIANO

Considere dois conjuntos quaisquer A e B. O conjunto de todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B, é chamado de produto ou produto cartesiano de A por B. Uma abreviação desse produto é A × B, que se lê “A cartesiano B”. Por definição,

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Capítulo 9 - Grafos Orientados

Seymour Lipschutz, Marc Lipson Grupo A PDF Criptografado

Capítulo 9

Grafos Orientados

9.1

INTRODUÇÃO

Grafos orientados são grafos nos quais as arestas são em um sentido. Tais grafos são frequentemente mais úteis em vários sistemas dinâmicos, como computadores e sistemas de fluxo. Contudo, essa característica extra torna mais difícil determinar certas propriedades sobre o grafo. Isto é, processar esses grafos pode ser semelhante a viajar em uma cidade por muitas ruas de sentido único.

Este capítulo nos dá as definições básicas e propriedades de grafos orientados. Muitas das definições são semelhantes àquelas do capítulo anterior sobre grafos (não orientados). Contudo, por motivos pedagógicos, este capítulo é, em grande parte, independente do anterior.

9.2

GRAFOS ORIENTADOS

Um grafo orientado G ou digrafo (ou, simplesmente, grafo) consiste em duas coisas:

(i) Um conjunto V cujos elementos são chamados de vértices, nós ou pontos.

(ii) Um conjunto E de pares ordenados (u, v) de vértices chamados de arcos ou arestas orientadas ou, simplesmente, arestas.

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S Axler (8)
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Medium 9788521632146

Sobre o autor

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

Sobre o Autor

Sheldon Axler, reitor do

College of Science &

Engineering da San

Francisco State University.

Sheldon Axler foi orador da sua turma de Ensino Médio em Miami, Flórida. Ele foi laureado ao receber o grau AB, atribuído pela Princeton University; a seguir, obteve o seu Doutorado (Ph.D.) em Matemática pela University of California em Berkeley.

Na condição de Instrutor de Moore do MIT, Axler recebeu um prêmio docente no âmbito de toda a universidade. Depois, tornou-se professor-assistente, professor-associado e, finalmente, professor titular do Departamento de Matemática da

Michigan State University, onde recebeu o primeiro J. Sutherland Frame Teaching

Award, bem como o Distinguished Faculty Award.

Axler recebeu da Mathematical Association of America, em 1996, o Lester R.

Ford Award por escrita expositiva. Além de publicar inúmeros artigos de pesquisa, Axler é o autor de cinco livros-texto de Matemática, que vão desde o nível dos calouros até o nível dos pós-graduandos. Seu livro Linear Algebra Done Right (sem tradução no Brasil) foi adotado como livro-texto em mais de 260 universidades.

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Página de créditos

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

O autor e a editora empenharam-se para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro, dispondo-se a possíveis acertos caso, inadvertidamente, a identificação de algum deles tenha sido omitida.

Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação.

Apesar dos melhores esforços do autor, das tradutoras, do editor e dos revisores, é inevitável que surjam erros no texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC — Livros Técnicos e Científicos Editora pelo e-mail ltc@grupogen.com.br.

Traduzido de

PRECALCULUS: A PRELUDE TO CALCULUS, SECOND EDITION

Copyright © 2013, 2009 John Wiley & Sons, Inc.

All Rights Reserved. This translation published under license with the original publisher John Wiley & Sons, Inc.

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Agradecimentos

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

Agradecimentos

Como é comum em livros-texto, poucos esforços foram feitos para prestar os créditos devidos aos criadores originais das ideias apresentadas neste livro. Quando possível, tentei melhorar as abordagens padrão para este material. No entanto, a ausência de uma referência não implica originalidade da minha parte. Agradeço aos vários matemáticos que criaram e refinaram nosso belo assunto.

Como a maioria dos matemáticos, devo um enorme agradecimento a Donald Knuth, que inventou o TEX, e a Leslie Lamport, que inventou o LATEX, que usei para editar este livro. Agradeço aos autores dos diversos pacotes LATEX de código aberto que usei para melhorar a aparência do livro, especialmente a Hàn Thê Thành, pelo pdfLATEX, a Robert

Schlicht, pelo microtype, e a Frank Mittelbach pelo multicol.

Muitos agradecimentos também à Wolfram Research por produzir o Mathematica, o software que usei para traçar os gráficos deste livro.

Os professores e estudantes que usaram a primeira edição deste livro forneceram um retorno maravilhosamente útil. Vários revisores me enviaram sugestões fantásticas enquanto esta segunda edição percorria suas diversas etapas de desenvolvimento. Agradeço a todos os revisores, cujos nomes estão listados na próxima página.

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Créditos das Fotos

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Créditos das Fotos

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página v: Jonathan Shapiro

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página 1: Goodshot/SuperStock

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página 29: © Riccardo Bissacco/iStockphoto

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página 39: Pierre Louis Dumesnil; 1884 réplica de Nils Forsberg/Imagem de domínio público de

Wikipedia

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página 129: Mostafa Azizi/Imagem de domínio público de Wikimedia

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página 135: Brand X/SuperStock

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página 152: Imagem de domínio público de

Wikipedia

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página 156: NASA Jet Propulsion Laboratory/UCLA

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página 187: The School of Athens (detalhe) de

Raphael/Imagem de domínio público de Wikipedia

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página 314: Bex Walton/Wikepedia Creative

Commons License

(http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Royal_Wedding_London_Eye.jpg)

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página 329: Tetra Images/SuperStock

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página 331: FoodCollection/SuperStock

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página 334: FoodCollection/SuperStock

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página 365: Peter Mercator/Imagem de domínio público de Wikipedia

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Medium 9788521632146

Prefácio para o professor

S. Axler Grupo Gen PDF Criptografado

Prefácio para o Professor

Objetivos e Pré-Requisitos

Este livro visa preparar os estudantes para que tenham êxito na disciplina de Cálculo.

São, portanto, abordados tópicos que os estudantes necessitam dominar para a disciplina de Cálculo, especialmente para o primeiro semestre de Cálculo. Foram excluídos aqueles assuntos que, mesmo importantes para qualquer cidadão desse nível, são irrelevantes para a aprendizagem dos conteúdos de Cálculo.

Na maioria das faculdades e das universidades, Pré-Cálculo é uma disciplina de um semestre. No entanto, os livros-texto típicos de Pré-Cálculo contêm em torno de mil páginas (sem contar o manual de soluções para o estudante), muito mais do que pode ser coberto em um semestre.

Enfatizando os tópicos cruciais para o êxito em Cálculo, este livro tem um tamanho mais razoável, mesmo incluindo o manual de soluções para o estudante. Um livro-texto mais delgado deve indicar aos estudantes que realmente se espera que eles dominem praticamente todo o conteúdo do livro.

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