Zill Dennis G Shanahan Patrick D (9)
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Capítulo 4 - Funções Elementares

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Funções Elementares

131

CAPÍTULO

4

Funções

Elementares

Índice do Capítulo

y

2

1,5

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

Funções Exponencial e Logarítmica

4.1.1 Função Exponencial Complexa

4.1.2 Função Logarítmica Complexa

Potências Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas

4.3.1 Funções Trigonométricas Complexas

4.3.2 Funções Hiperbólicas Complexas

Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Inversas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 4

1

0,5

–π

2

–π

3

π

6

–0,5

π

6

π

3

π

2

2

3

x

–1

–1,5

–2

w = sen z

Introdução No capítulo anterior, definimos a classe de funções de maior interesse na análise complexa: a das funções analíticas. Neste capítulo definiremos e estudaremos algumas funções analíticas complexas elementares. Em particular, investigaremos as funções exponencial, logarítmica, potência, trigonométricas, hiperbólicas, trigonométricas inversas e hiperbólicas inversas complexas. Mostraremos que todas estas funções são analíticas em um domínio apropriado e que suas derivadas têm formas semelhantes às de suas análogas reais. Também examinaremos a atuação dessas funções como transformações do plano complexo. O conjunto de funções elementares será uma fértil fonte de exemplos a serem considerados no restante do texto.

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Capítulo 3 - Funções Analíticas

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Funções Analíticas

105

CAPÍTULO

3

Funções

Analíticas

Índice do Capítulo

3.1

3.2

3.3

3.4

Diferenciabilidade e Analiticidade

Equações de Cauchy-Riemann

Funções Harmônicas

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 3

Introdução No capítulo anterior apresentamos o conceito de função complexa. Como no cálculo de funções reais, podemos desenvolver as noções de derivadas e integrais de funções complexas com base no conceito fundamental de limite. Neste capítulo o foco principal será voltado à definição e às propriedades de derivadas de uma função complexa.

Curvas de nível para f (z) = 1/z

(Problema 3 do Conjunto de

Exercícios 3.4)

Zill 3.indd 105

13.01.11 22:33:35

106

Capítulo Três

3.1 Diferenciabilidade e Analiticidade

O cálculo de funções complexas envolve os conceitos usuais de derivadas e integrais destas funções.

Nesta seção definiremos a derivada de uma função complexa f (z) com base na noção de limite. Embora muitos dos conceitos nesta seção pareçam familiares, como regras para diferenciação de produtos, quocientes e da cadeia, há importantes diferenças entre este material e o associado ao cálculo de funções reais f (x). Capítulos posteriores deixam claro que, exceto pela familiaridade de nomes e definições, há pouca similaridade entre as interpretações de grandezas como f ⬘(x) e f ⬘(z).

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Capítulo 5 - Integração no Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

176

Capítulo Cinco

CAPÍTULO

5

Integração no Plano

Complexo

Índice do Capítulo

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

Integrais Reais

Integrais Complexas

Teorema de Cauchy-Goursat

Independência de Percurso

Fórmulas Integrais de Cauchy e Suas Consequências

5.5.1 Duas Fórmulas Integrais de Cauchy

5.5.2 Algumas Consequências de Fórmulas Integrais

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 5

Introdução Para definir a integral de uma função complexa f iniciamos com uma função complexa f definida ao longo de alguma curva C ou contorno no plano complexo. Veremos, nesta seção, que a definição de uma integral complexa, suas propriedades e os métodos de cálculo de valores são muito semelhantes aos usados no caso de uma integral de linha real no plano cartesiano.

Zill 5.indd 176

Campo vetorial normalizado de velocidade para f(z) = (1 + i)z. Veja Seção 5.6,

Exemplo 6.

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Capítulo 1 - Números Complexos e o Plano Complexo

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Números Complexos e o Plano Complexo

1

CAPÍTULO

1

Números Complexos e o Plano Complexo

Índice do Capítulo

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

Números Complexos e Suas Propriedades

Plano Complexo

Forma Polar de Números Complexos

Potências e Raízes

Conjuntos de Pontos no Plano Complexo

Aplicações

Questionário de Revisão do Capítulo 1

π

0

–π

–2π

–3π

Introdução Em cursos básicos, o aluno toma conhecimento da existência de números complexos e de algumas de suas propriedades. Contudo, nos cursos de cálculo é muito provável que nada veja de números complexos. Neste texto estudamos apenas números complexos e o cálculo de funções de uma variável complexa.

Iniciamos com uma análise abrangente da aritmética e da álgebra de números complexos.

Zill 1.indd 1

1

–1

0

0

1 –1

Superfície de Riemann para arg(z). Veja

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Capítulo 7 - Transformações Conformes

ZILL, Dennis G.; SHANAHAN, Patrick D. Grupo Gen PDF Criptografado

Transformações Conformes

293

Capítulo

7

Transformações

Conformes

Índice do Capítulo

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

Transformação Conforme

Transformações Fracionárias Lineares

Transformações de Schwarz-Christoffel

Fórmulas Integrais de Poisson

Aplicações

7.5.1 Problemas de Valores de Contorno

7.5.2 Fluxo Fluido

Questionário de Revisão do Capítulo 7

Fluxo bidimensional de um fluido ideal (Figura 7.5.12).

Introdução Na Seção 4.5 vimos que transformações analíticas podem ser usadas para resolver certos tipos de problemas de valores de contorno. Neste capítulo apresentaremos o conceito fundamental de transformação conforme e veremos como transformações conformes podem ser usadas para resolver uma gama maior de problemas de valores de contorno. Os métodos que apresentaremos serão aplicados a problemas de fluxo de calor, eletromagnetismo e fluxo fluido.

Zill 7.indd 293

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William Navidi (12)
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Apêndice A - Tabelas

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

536

Apêndice A

Tabela A.1

Tabelas

Distribuição binomial cumulativa

p n

x

0,05

0,10

0,20

0,25

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

0,80

0,90

0,95

2

0

1

2

0,902 0,810 0,640 0,562 0,490 0,360 0,250 0,160 0,090 0,062 0,040 0,010 0,003

0,997 0,990 0,960 0,938 0,910 0,840 0,750 0,640 0,510 0,438 0,360 0,190 0,098

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

3

0

1

2

3

0,857

0,993

1,000

1,000

0,729

0,972

0,999

1,000

0,512

0,896

0,992

1,000

0,422

0,844

0,984

1,000

0,343

0,784

0,973

1,000

0,216

0,648

0,936

1,000

0,125

0,500

0,875

1,000

0,064

0,352

0,784

1,000

0,027

0,216

0,657

1,000

0,016

0,156

0,578

1,000

0,008

0,104

0,488

1,000

0,001

0,028

0,271

1,000

0,000

0,007

0,143

1,000

4

0

1

2

3

4

0,815

0,986

1,000

1,000

1,000

0,656

0,948

0,996

1,000

1,000

0,410

0,819

0,973

0,998

1,000

0,316

0,738

0,949

0,996

1,000

0,240

0,652

0,916

0,992

1,000

0,130

0,475

0,821

0,974

1,000

0,062

0,313

0,688

0,938

1,000

0,026

0,179

0,525

0,870

1,000

0,008

0,084

0,348

0,760

1,000

0,004

0,051

0,262

0,684

1,000

0,002

0,027

0,181

0,590

1,000

0,000

0,004

0,052

0,344

1,000

0,000

0,000

0,014

0,185

1,000

5

0

1

2

3

4

5

0,774

0,977

0,999

1,000

1,000

1,000

0,590

0,919

0,991

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Medium 9788580550733

5. Estimação por ponto e por intervalo para uma amostra simples

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

5

Estimação por ponto e por intervalo para uma amostra simples

Introdução

Os dados são coletados muitas vezes com a finalidade de se estimar algumas características numéricas da população da qual eles vieram. Por exemplo, podemos medir os diâmetros de uma amostra de parafusos de uma grande população e calcular a média amostral para estimar o diâmetro médio da população. Podemos também calcular a proporção dos parafusos amostrados que atendem às especificações de resistência mecânica para estimar a proporção de parafusos na população que atendem a essa especificação.

A média amostral e a proporção da amostra são exemplos de estimação por ponto, porque eles são números simples ou pontos. Mais útil é a estimação por intervalo, também denominada intervalo de confiança. A finalidade de um intervalo de confiança é fornecer uma margem de erro para a estimação por ponto para indicar a que distância do valor real a estimativa está.

Por exemplo, suponha que os diâmetros de uma amostra de 100 parafusos são medidos, e a média amostral é 5,0 mm com um desvio padrão de 0,2 mm. A média amostral de 5,0 mm é uma estimativa de ponto para o diâmetro médio μ da população. A média da população está provavelmente próxima de 5,0, mas provavelmente não é exatamente igual a 5,0. O intervalo de confiança dá uma ideia do quanto a média amostral está próxima da média populacional. Um exemplo de um intervalo de confiança é 5,0±0,04 ou

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Medium 9788580550733

1. Medidas sobre dados univariados

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

1

Medidas sobre dados univariados

Introdução

Os avanços na ciência e engenharia ocorrem em grande parte por meio de coleta e análise de dados. A análise adequada de dados é desafiadora, porque os dados científicos estão sujeitos a variações aleatórias. Ou seja, quando medições científicas são repetidas, elas se revelam um pouco diferentes a cada vez. Isso evidencia um problema: como podemos tirar conclusões a partir dos resultados de um experimento quando esses resultados se revelam diferentes? Para discutir esta questão, é essencial um conhecimento sobre estatística. Os métodos de estatística permitem aos cientistas e engenheiros projetar experimentos válidos e tirar conclusões seguras a partir dos dados produzidos.

A ênfase deste livro está nas aplicações para cientistas e engenheiros, mas vale a pena mencionar que a análise e interpretação desempenham um papel cada vez maior em todos os aspectos da vida moderna. Para melhor ou pior, enormes quantidades de dados são coletados sobre nossas opiniões e estilos de vida, para fins que vão desde a criação de campanhas de marketing mais eficazes ao desenvolvimento das políticas sociais destinadas a melhorar o nosso modo de vida. Quase todo dia, são publicados artigos de jornais que se propõem a explicar tendências sociais ou econômicas através da análise de dados. Portanto, é necessário um conhecimento básico de estatística não apenas para ser um cientista ou engenheiro eficaz, mas também para ser uma pessoa bem informada na sociedade.

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6. Testes de hipóteses para uma única amostra

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

6

Testes de hipóteses para uma única amostra

Introdução

No Exemplo 5.4 (na Seção 5.2), uma amostra de 50 microfuradeiras tem um tempo de vida médio de X = 12,68 furos e um desvio padrão de s = 6,83. Vamos considerar que a questão de interesse é se o tempo de vida médio da população, μ, é maior do que 11. Abordamos essa questão examinado o valor da média amostral X. Vemos que X > 11, mas por causa da variação aleatória em X, isso não garante que μ > 11. Gostaríamos de saber como podemos estar certos de que μ > 11. Um intervalo de confiança não é o que precisamos. No Exemplo

5.4, um intervalo de confiança de 95% para a média populacional μ foi calculado como sendo (10,79; 14,57). Isso nos diz que temos uma confiança de 95% de que μ está entre

10,79 e 14,57, mas não nos diz diretamente como podemos estar confiantes de que μ > 11.

A declaração “μ > 11” é uma hipótese sobre a média populacional μ. Para determinar o quão certo podemos estar de que uma hipótese como essa é verdadeira, devemos realizar um teste de hipótese. Esse teste produz um número entre 0 e 1 que mede o grau de certeza que podemos ter na veracidade de uma hipótese. Acontece que os testes de hipóteses estão intimamente relacionados aos intervalos de confiança. Em geral, sempre que um intervalo de confiança pode ser calculado, um teste de hipótese pode ser realizado e vice-versa.

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2. Medidas sobre dados bivariados

William Navidi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

2

Medidas sobre dados bivariados

Introdução

Os cientistas e engenheiros geralmente coletam dados para determinar a natureza de uma relação entre duas grandezas. Por exemplo, um engenheiro químico pode executar um processo químico várias vezes para estudar a relação entre a concentração de um certo catalisador e o produto do processo. Cada vez que o processo é executado, a concentração x e o produto y são registrados. Portanto, o experimento gera um coleção de pares (x1, y1), ..., (xn, yn), em que n é o número de vezes que o processo foi executado. Os dados que consistem em pares ordenados são denominados dados bivariados. Em muitos casos, os pares ordenados gerados em um experimento científico tendem a se aglomerar em torno de uma linha reta quando plotados. Nessas situações, a principal questão é geralmente determinar a proximidade da relação das duas grandezas entre si. As medidas estatísticas mais usadas para medir a proximidade da associação entre duas variáveis é o coeficiente de correlação, que estudaremos na Seção 2.1. Quando duas variáveis têm uma relação de proximidade entre si, é normal o interesse de prever o valor de uma delas quando dado o valor da outra. Isso geralmente é feito com a equação de uma linha conhecida como a reta de mínimos quadrados, que estudaremos nas Seções 2.2 e 2.3.

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William E Boyce Richard C Diprima (12)
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Capítulo 6 - A Transformada de Laplace

William E. Boyce, Richard C. DiPrima Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

A Transformada de

Laplace

Muitos problemas práticos de engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sob a ação de forças descontínuas ou de impulsos. Os métodos descritos no Capítulo 3 são, muitas vezes, complicados de usar em tais problemas. Outro método particularmente adequado para esses problemas, embora possa ser usado de maneira mais geral, baseia-se na transformada de Laplace. Vamos descrever, neste capítulo, como esse método importante funciona, enfatizando problemas típicos que aparecem nas aplicações de engenharia.

6.1 Definição da Transformada de Laplace

Integrais Impróprias.  Como a transformada de Laplace envolve uma integral de zero a infinito, é necessário conhecimento sobre integrais impróprias desse tipo para apreciar o desenvolvimento subsequente das propriedades da transformada. Vamos fornecer aqui uma revisão rápida de tais integrais impróprias. Se você já estiver familiarizado com integrais impróprias, pode querer pular essa revisão. Por outro lado, se uma integral imprópria é novidade para você, então você deveria, provavelmente, consultar um livro de Cálculo, onde encontrará muito mais detalhes e exemplos.

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Medium 9788521628323

Capítulo 1 - Introdução

William E. Boyce, Richard C. DiPrima Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

1

Introdução

Neste capítulo, vamos dar perspectiva ao nosso estudo de equações diferenciais de diversas maneiras diferentes. Primeiro, vamos usar dois problemas para ilustrar algumas das ideias básicas a que retornaremos com frequência e que serão aprofundadas ao longo deste livro. Com o objetivo de fornecer uma estrutura organizacional para o livro, indicamos, mais tarde, diversos modos de classificar equações. Finalmente, fazemos um esboço das tendências principais no desenvolvimento histórico desse campo e mencionamos alguns dos matemáticos ilustres que contribuíram para o assunto. O estudo das equações diferenciais atraiu a atenção dos maiores matemáticos do mundo durante os três últimos séculos. Apesar disso, continua sendo uma área de pesquisa dinâmica hoje em dia, com muitas questões interessantes em aberto.

1.1 Alguns Modelos Matemáticos Básicos; Campos de Direção

Antes de começar um estudo sério de equações diferenciais (lendo este livro ou partes substanciais dele, por exemplo), você deve ter alguma ideia dos benefícios que isso pode lhe trazer. Para alguns estudantes, o interesse intrínseco do assunto é motivação suficiente, mas, para a maioria, as possíveis aplicações importantes em outros campos é que fazem com que tal estudo valha a pena.

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Medium 9788521628323

Capítulo 2 - Equações Diferenciais de Primeira Ordem

William E. Boyce, Richard C. DiPrima Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

2

Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Este capítulo trata de equações diferenciais de primeira ordem,

dy

= f (t, y), dt

(1)

em que f é uma função dada de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y = f(t) que satisfaz essa equação para todo t em algum intervalo é chamada de uma solução. Nosso objetivo é determinar se tal função existe e, nesse caso, desenvolver métodos para encontrá-la. Infelizmente, não existe método geral para resolver a equação em termos de funções elementares para uma função arbitrária f. Em vez disso, descreveremos diversos métodos, cada um deles aplicável a determinada subclasse de equações de primeira ordem. As mais importantes dessas são as equações lineares (Seção 2.1), as equações separáveis (Seção 2.2) e as equações exatas (Seção 2.6). Outras seções deste capítulo descrevem algumas das aplicações importantes de equações diferenciais de primeira ordem, introduzem a ideia de aproximar uma solução por cálculos numéricos e discutem algumas questões teóricas relacionadas com a existência e a unicidade de soluções. A última seção inclui um exemplo de soluções caóticas no contexto de equações de diferenças finitas de primeira ordem, que têm alguns pontos importantes de semelhança com equações diferenciais e são mais simples de investigar.

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Medium 9788521628323

Capítulo 7 - Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem

William E. Boyce, Richard C. DiPrima Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

7

Sistemas de Equações

Lineares de Primeira

Ordem

Existem muitos problemas físicos que envolvem diversos elementos separados associados de alguma forma. Por exemplo, circuitos elétricos têm essa característica, assim como problemas em mecânica e em outros campos. Nesses e em casos semelhantes, o problema matemático correspondente consiste em um sistema de duas ou mais equações diferenciais, que sempre podem ser escritas como equações de primeira ordem. Vamos estudar, neste capítulo, sistemas de equações lineares de primeira ordem, em particular equações com coeficientes constantes, utilizando alguns aspectos elementares da álgebra linear para unificar a apresentação. Em muitos aspectos, este capítulo segue a mesma linha que o tratamento dado às equações lineares de segunda ordem no Capítulo 3.

7.1 Introdução

Sistemas de equações diferenciais ordinárias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma delas sendo função da mesma variável independente única. Vamos denotar a variável independente por t e as variáveis dependentes, que são funções de t, por x1, x2, x3, . . . A diferenciação em relação a t será denotada por uma linha.

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Medium 9788521628323

Capítulo 3 - Equações Lineares de Segunda Ordem

William E. Boyce, Richard C. DiPrima Grupo Gen PDF Criptografado

CAPÍTULO

3

Equações Lineares de

Segunda Ordem

Equações lineares de segunda ordem têm uma importância crucial no estudo de equações diferenciais, por duas razões importantes: A primeira é que equações lineares têm uma estrutura teórica rica, subjacente a diversos métodos sistemáticos de resolução. Além disso, uma parte substancial dessa estrutura e desses métodos é compreensível em um nível matemático relativamente elementar. Para apresentar as ideias fundamentais em um contexto o mais simples possível, vamos descrevê-las neste capítulo para equações de segunda ordem. Outra razão para estudar equações lineares de segunda ordem é que elas são essenciais para qualquer investigação séria das áreas clássicas da física matemática. Não se pode progredir muito no estudo de mecânica dos fluidos, condução de calor, movimento ondulatório ou fenômenos eletromagnéticos sem esbarrar na necessidade de resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Como exemplo, vamos discutir oscilações de alguns sistemas mecânicos e elétricos básicos no final deste capítulo.

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Walter Paulette Ayrton Barboni (9)
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Medium 9788521624332

2 - Relações e funções

Walter Paulette, Ayrton Barboni Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

2

Relações e funções

2.1 Produto Cartesiano

2.2 Relação Binária

2.3 Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Relação

2.4 Funções

2.5 Funções Elementares

2.6 Operações com Funções

2.7 Tipos de Funções

Introduzimos neste capítulo os conceitos de relações e funções, com suas terminologias básicas e também as principais funções conhecidas como elementares. Essas funções são introduzidas por situações-problemas que servem como ponto de partida para o entendimento dos conceitos que encerram.

2.1 Produto cartesiano

Definição 2.1

Sejam A e B conjuntos não vazios.

Chama-se produto cartesiano de um conjunto A por um conjunto B o conjunto de todos os pares ordenados (a,b), com o primeiro elemento em A e o segundo elemento em B.

Simbolicamente: A  B  {(a,b) | a  A e b  B}.



Exemplo 2.1

Sejam A  {1, 2} e B  {2, 4, 6} e C  {x   | 1  x  4} i) A  B  {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6)}, e sua representação gráfica é dada por:

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5 - Estudo geral das funções

Walter Paulette, Ayrton Barboni Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

5

Estudo geral das funções

5.1 Funções Monotônicas

5.2 Pontos Máximos e Mínimos Absolutos de uma Função

5.3 Pontos Máximos e Mínimos Locais (Relativos) de uma Função

5.4 Concavidade

5.5 Ponto de Inflexão

5.6 Assíntotas

5.7 Tangente Vertical

5.8 Teoremas sobre Funções Deriváveis

5.9 Regras de L’Hospital

5.10 Esboço de Gráficos

Apresentamos problemas de otimização e construção de gráficos de funções com o auxílio de derivadas.

5.1 Funções monotônicas

Consideremos uma função f : A  , A  .

Definições 5.1

1. Diz-se que f é crescente num intervalo I  A se x1,x2  I, x1  x2 ⇒ f (x1)  f (x2)

Figura 5.1a

Figura 5.1b

Caso f (x1)  f (x2), a função é chamada de estritamente crescente (Fig. 5.1b).

005paue.indd 109

3/11/13 9:23:47 AM

110  

Capítulo Cinco

2. Diz-se que f é decrescente num intervalo I  A se x1, x2  I, x1  x2 ⇒ f (x1)  f (x2)

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Medium 9788521624332

7 - Integrais definidas e a soma de Riemann

Walter Paulette, Ayrton Barboni Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

7

Integrais definidas e a soma de Riemann

7.1 Conceitos Introdutórios

7.2 Integral Definida

A integral definida de uma função positiva ou igual a zero em um intervalo fechado tem valor igual ao da área da região do plano entre o gráfico da função e o eixo das abscissas no intervalo considerado.

Calcular a área de figuras planas — triângulos, retângulos, círculos e outras de contorno sinuoso — tem sido uma questão importante da matemática desde a Grécia antiga até os nossos dias. Obter a área de lotes de terrenos ou de fazendas requer, em muitos casos, profissionais especializados.

Como pode um fazendeiro avaliar a área indicada na escritura da sua propriedade?

Mostraremos, a seguir, uma sugestão de procedimento para se estimar a área de um lote de terreno de contorno sinuoso.

Figura 7.1

O fazendeiro deve considerar um segmento de reta com extremidades nos pontos A e B mais distantes que estejam sobre os limites da propriedade, dividindo-a em duas partes.

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Medium 9788521624332

4 - Derivadas

Walter Paulette, Ayrton Barboni Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

4

Derivadas

4.1 Introdução

4.2 Propriedades

4.3 Tabela de Derivadas

4.4 Derivada da Função Composta

4.5 Derivada da Função Inversa

4.6 Derivada Primeira Ordem da Função do Tipo y  [u(x)]v(x), u(x)  0

4.7 Derivadas Sucessivas

4.8 Derivada de uma Função Dada Implicitamente

4.9 Taxas Relacionadas

Apresentamos o conceito de derivada como o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico de uma função por um de seus pontos.

Mostramos, também, que a velocidade instantânea de uma partícula em movimento retilíneo encerra a mesma idéia do coeficiente angular na construção de retas tangentes ao gráfico de funções.

4.1 Introdução

Dois problemas práticos motivaram a criação do conceito de derivada: a) Determinar uma equação da reta tangente a uma curva dada por um de seus pontos. b) Determinar a velocidade em cada instante de uma partícula em movimento retilíneo, conhecida a lei horária do seu movimento.

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1 - Conjuntos Numéricos

Walter Paulette, Ayrton Barboni Grupo Gen PDF Criptografado

Capítulo

1

Conjuntos numéricos

1.1

1.2

1.3

1.4

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto dos Números Irracionais

1.5 Conjunto dos Números Reais

1.6 Intervalos

1.7 Valor Absoluto de um Número Real (Módulo)

1.8 Princípio de Indução Finita (PIF)

Iniciamos o estudo de cálculo apresentando conjuntos numéricos, intervalos, valor absoluto de um número real e as respectivas notações. Apresentamos, também, a técnica de demonstração de sentenças matemáticas pelo princípio de indução finita.

A história da Matemática está repleta de fatos que mostram a necessidade de um sistema de numeração. Até o século XIII prevalecia na Europa o sistema de numeração romana, e as operações eram feitas com uso do ábaco. Esse sistema de numeração foi substituído pelo sistema decimal indo-arábico, que

é utilizado até hoje.

Além de suprir a necessidade da contagem e da representação dos números, o sistema de numeração decimal facilita o entendimento dos algoritmos operacionais.

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4.4 Posto

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192

10:59 AM

CAPÍTULO 4

4.4

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O Espaço Vetorial Rn

POSTO

Nesta seção vamos completar alguns assuntos não finalizados da Seção 1.2 dando uma definição precisa de posto de uma matriz m × n e mostrando que o posto de A é igual ao posto de AT . Relacionaremos então o posto às dimensões da imagem e do espaço anulado por A.

4.4.1

O Espaço Linha e Coluna

Se A é uma matriz m × n , já discutimos os espaço anulado por A, anulA, e a imagem imA.

Vamos encontrar bases naturais para esses dois subespaços e então determinar suas dimensões. Para fazer isso, bem como por outras razões, é essencial considerar dois subespaços associados a A. Eles são definidos como a seguir:

O espaço coluna, colA, de uma matriz m × n A é o subespaço de Rm gerado pelas colunas de A.

O espaço linha, linA, de uma matriz m × n A é o subespaço de Rn gerado pelas linhas de de A.

Observe que na discussão de linA estamos considerando os elementos de Rn como linhas.

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1.5 Matrizes inversas

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36

11:20 AM

CAPÍTULO 1

1.5

Page 36

Equações Lineares e Matrizes

MATRIZES INVERSAS

Freqüentemente é importante “reverter” o efeito da multiplicação por uma matriz. Eis aqui um exemplo.

Exemplo 1

� � x

Um avião espião voa sobre território inimigo e transmite sua posição X =

y

para o

quartel-general (aqui x e y denotam a longitude e a latitude, respectivamente).

Essas transmissões provavelmente serão interceptadas, por isso elas devem ser codificadas para que a posição exata seja mantida em sigilo. O método escolhido é a multiplicação das coordenadas da posição pela matriz A =

x′ y′

3

−4

2

7

� � x

=A

y

obtendo assim coordenadas codificadas

=

3x − 4y

2x + 7y

que são enviadas para o quartel-general. Deduza um método para que o quartel-general possa decodificar essas coordenadas.

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5.6 Subespaços invariantes

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5.6 Subespaços Invariantes

5.6

321

SUBESPAÇOS INVARIANTES

Como observado anteriormente, o problema central da Álgebra Linear é encontrar uma maneira de descobrir qual é a matriz “mais simples” de um operador linear T : V → V.

Freqüentemente o caminho para fazer isso é considerar T como um operador linear em subespaços de dimensões menores, e então encontrar um modo de construir a matriz de T em V a partir das matrizes menores. A noção de subespaço T-invariante de V é a ferramenta básica neste contexto.

Subespaços Invariantes

5.6.1

T

V

U

V

U

T(U)

Suponha que T : V → V é um operador linear. Um subespaço U de V é T-invariante (ou invariante sob T) se

T(u) está em U para todo u em U.

Se escrevermos T(U) = {T(u) | u em U}, essa condição pode ser expressa de forma compacta como

T(U) ⊆ U.

Isso é mostrado no diagrama.

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4.10 Matrizes complexas

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11:00 AM

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259

4.10 Matrizes Complexas

4.10

MATRIZES COMPLEXAS 30

Desde que introduzimos autovalores já ficava claro que os números têm um

complexos

0 −1 papel importante na álgebra linear. Até uma simples matriz A = tem polinômio

1

0

característico x2 + 1 e, então, tem autovalores não reais i e −i. Por outro lado, muitas das aplicações em álgebra linear envolvem somente números reais, então temos focado no Rn e em matrizes reais ao longo deste livro. Contudo, há muito a se ganhar olhando-se para o

Cn e para as matrizes complexas, em que C representa o conjunto dos números complexos.

Embora um breve resumo sobre números complexos tenha sido feito na Seção 2.5, aqui fazemos uma discussão mais abrangente sobre matrizes complexas, e estendemos muitos dos nossos resultados anteriores sobre matrizes reais. Somente as propriedades básicas dos números complexos serão necessárias – principalmente aritmética complexa, conjugação e módulo.

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2.3 Diagonalização e autovalores

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10:20 AM

CAPÍTULO 2

Page 84

Determinantes e Autovalores

18. Se A é n × n, utilize o Teorema 1 para mostrar que

20. Se A é n × n e inversível, mostre que

det(adjA) = (detA)n − 1 .

det(kA) = kn detA para todos os escalares k (isso é o

Teorema 3 da Seção 2.1). [Sugestão: Mostre, primeiro, que kA = (kI)A.]

19. a) Se A =

0

1

−1

0

21. Se A é 3 × 3 e detA = 2, calcule det[−A2(adjA)−1].

22. Se A é n × n e detA = 2, calcule det[A−1 + adjA].

, mostre que A2 = −I.

23. a) Se A = UB onde detU = 1, mostre que detA = detB. b) Se A e B são inversíveis e detA = detB, mostre

b) Mostre que não existe uma matriz A 3 × 3 tal

que A2 = −I.

que A = UB para alguma matriz inversível U tal que detU = 1.

2.3

DIAGONALIZAÇÃO E AUTOVALORES

Um problema central em aplicações da álgebra linear é descrever sistemas que se alteram com o tempo. O Exemplo 1 a seguir mostrará que isso, freqüentemente, passa a ser encontrar uma forma de se calcular eficientemente as potências A, A2, A3, · · · de uma matriz quadrada

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