Adalberto Ayjara Dornelles Filho (9)
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Capítulo 8 - Equações diferenciais ordinárias

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Equações diferenciais ordinárias

8.1

8

Definição do problema

Equações diferenciais combinam uma função incógnita u e suas derivadas: u′, u″,…, u(k). Se a função incógnita é dependente de apenas uma variável, a equação é dita ordinária. A ordem de uma equação diferencial é dada por sua derivada de mais alta ordem. As equações diferenciais podem ser definidas em um intervalo I ⊆ Rn e restritas a condições de contorno (ou iniciais) nas bordas do intervalo. Resolver uma equação diferencial implica determinar a função incógnita u que satisfaz a equação e suas condições de contorno.

Existem inúmeras maneiras de construir equações diferenciais e as técnicas de resolução dependem da classificação da equação (Boyce; DiPrima, 2002).

Um Problema de Valor Inicial (PVI) se constitui em uma equação diferencial ordinária cuja solução u(t) está definida em um intervalo fechado [a, b] e restrita a assumir um valor especificado no início do intervalo:

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Capítulo 5 - Interpolação

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Interpolação

5.1

5

Definição do problema

Seja f : R → R uma função conhecida “apenas” por um conjunto finito de valores, isto é, y1 = f(x1),

y2 = f(x2),

yn = f(xn),

…,

onde x1 < x2 < … < xn. O problema da interpolação consiste em determinar a expressão algébrica de uma função de interpolação g tal que g(x1) = f(x1),

g(x2) = f(x2),

…,

g(xn) = f(xn).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de v = f(u) ≈ g(u) quando u ∉ {x1, x2, …, xn} e x1 < u < xn. A Figura 5.1 mostra os pontos

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ditos nodos de interpolação, uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado.

4 nodos

3,5

curva de interpolação ponto interpolado

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 5.1 A curva de interpolação passa sobre os nodos de interpolação.

7

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Capítulo 2 - Erros e aritmética computacional

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Erros e aritmética computacional

2

Ao contrário do que julga o senso comum, o computador não é uma máquina de calcular perfeita. Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros (em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

Neste capítulo, abordaremos a forma como os números são armazenados pelo computador e como os erros aparecem. Veremos também uma estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os refinamentos sucessivos.

2.1

Resolução de problemas numéricos

Nas ciências e engenharias, o computador cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, especialmente quando cálculos aritméticos são muito utilizados. O processo de resolução de problemas, muitas vezes, envolve algum artifício e engenhosidade. Embora não se possa estabelecer uma regra única, podemos dizer que, de um modo geral, a resolução de problemas segue os seguintes passos:

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Capítulo 3 - Zeros de funções

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Zeros de funções

3

3.1 Definição do problema

Seja f : R → R. Um número z é dito zero de f se, e somente se, f(z) = 0.

O problema que estudaremos consiste em encontrar os zeros de uma função, isto é, determinar os valores de z, se existirem, tais que z seja zero de f.

EXEMPLO 3.1 Verifique que z1 = 1, z2 = 1,465571231876768 e z3 =

0,588532743981861 são, respectivamente, zeros de f(x) = x3 – x2,

SOLUÇÃO

g(x) = x3 – x2 – 1

e

h(x) = e–x – sen(x).

Inicialmente, verifiquemos que, trivialmente,

f(1) = 13 – 12 = 1 – 1 = 0.

Já para g e h a verificação requer um pouco mais de trabalho. No

MATLAB:

>> z2 = 1.465571231876768; g = z2^3 - z2^2 - 1 g = -4.4409e-16

>> z3 = 0.588532743981861; h = exp(-z3) - sin(z3) h = 1.1102e-16

Observe que os valores calculados de g(z2) e h(z3) não são exatamente zero, mas estão muito próximos de zero, isto é, muito próximos da precisão da máquina. Para efeitos computacionais, podem ser considerados efetivamente zeros.

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Apêndice A - Respostas para problemas selecionados

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

APÊNDICE

Respostas para problemas selecionados

A

Capítulo 1

1.1. a = 2ˆ5, b = sqrt(7)

1.3. a = cosd(60), b = tan(pi/4)

1.5. a = abs(-5), b = factorial(9)

1.7. x = [6 2 0 5], y = [6 2 0 5]'

1.9. z = zeros(1,20)

1.11. A = [1 7; -4 3]

1.13. a = -18.3333. Verifique a ordem de precedência dos operadores: \, *, +, -.

1.15. e = 5.3948. O comando log(y) determina o logaritmo natural de y.

1.17. w = 1.5708, e = 1. Observe que ecos(π/2) = e0 = 1.

1.19. O comando ln não existe. O correto é usar a = log(5).

1.21. A vírgula é separador de elementos. O correto é t = cos(3.1416).

1.23. O polinômio é 3,3x 2 + 174,2x – 6627,7. Observe o fator 103 multiplicando os elementos do vetor.

1.25. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -3 : 0.01 : 3; y = exp(-x) - 1; plot(x, y) grid on legend('g(x) = exp(-x) - 1') xlabel('x') ylabel('g(x)') title('Problema 1.25')

1.27. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -1 : 0.01 : 3; y = (x + 1)./(x - 1); plot(x,y) grid on legend('i(x) = (x + 1)/(x - 1)') xlabel('x') ylabel('i(x)') title('Problema 1.27')

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Adriana Mioreli Adami Adalberto Ayjara Filho Dornelles Magda Mantovani Lorandil (10)
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Capítulo 5 - Função Polinomial

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

5

Função Polinomial

Neste capítulo, estudaremos a função polinomial, que é uma combinação de funções potência, estudadas no Capítulo 4.

5.1 Definição e principais características

Definição 5.1 Uma função polinomial de grau n é da forma y = f (x) = anxn + an–1xn–1 + · · · + a1x + a0, onde x é a variável independente, n ∈ N e a0, ..., an são constantes reais denominados coeficientes.

Observe que funções polinomiais são construídas por operações de soma, compressão ou deslocamento de funções potências.

Uma função polinomial de grau 0 é uma função constante; uma função polinomial de grau 1 é uma função linear; uma função polinomial de grau 2

é uma função quadrática.

Exemplo 5.1

Observe, na Figura 5.1, os gráficos correspondentes a cada função e justifique as correspondências.

f(x) = x2 – 7x + 10

g(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 1

h(x) = –x – 6x + 11x – 6x

4

3

2

5

4

3

2 i(x) = 3x + 3x – 5x – 15x + 4x + 12

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Capítulo 3 - Função Afim e Função Linear

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

3

Função Afim e Função Linear

Quando utilizamos a Matemática para descrever um fenômeno real, tal como o tamanho de uma população, a velocidade de um objeto e a concentração de um produto em uma reação química, vários tipos de funções podem ser utilizados para modelar as relações observadas no mundo real.

Neste capítulo, estudaremos a função afim e a função linear. A principal característica dessas funções é que elas variam a uma taxa constante.

Entre as aplicações desse tipo de função, pode-se citar:

• O movimento retilíneo uniforme.

• O salário mensal de um vendedor que recebe um valor fixo adicionado de uma comissão de vendas.

• A fórmula para conversão de unidades de medida de temperatura Celsius e Fahrenheit.

• O modelo do ajuste linear nos problemas de modelagem matemática.

3.1 Definições e principais características

Vejamos como a função afim e a função linear são definidas.

Definição 3.1 Chama-se função afim a função dada por f (x) = mx + b,

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Capítulo 7 - Função Exponencial e Função Logarítmica

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Capítulo

7

Função Exponencial e

Função Logarítmica

As funções exponenciais e logarítmicas desempenham um papel importante não apenas na Matemática, mas também na Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras áreas. Essas funções constituem modelos ideais para descrever matematicamente vários fenômenos na natureza, como o crescimento de seres vivos microscópicos, a desintegração radioativa, o crescimento populacional, o nível de intensidade sonora, a medida do pH de substâncias e a magnitude de um terremoto, e também são úteis em assuntos relacionados a finanças, como o funcionamento de juros compostos.

7.1 Função exponencial

Definição 7.1 Dado um número real b, com b > 0 e b ≠ 1, denominamos função exponencial de base b a função f (x) = bx.

O domínio da função exponencial consiste em todos os números reais, isto

é, Dom(f) = R. E sua imagem consiste em todos os reais positivos, isto é,

= (0, +∞).

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Capítulo 8 - Trigonometria e Funções Trigonométricas

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Capítulo

8

Trigonometria e Funções

Trigonométricas

A Trigonometria é uma área da Matemática bastante importante no Cálculo Diferencial e Integral. Os primeiros estudos sobre Trigonometria (do grego trigonon, triângulo, e metria, medição) tiveram origem nas relações entre lados e ângulos no triângulo e datam de muito tempo. Nosso objetivo principalneste capítulo é o estudo de funções trigonométricas. Podemos defini-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sanguínea em nosso sistema circulatório, a corrente elétrica alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical. Em todos esses fenômenos, uma grandeza oscila com regularidade e pode ser representada por funções trigonométricas. Neste capítulo, faremos primeiramente uma revisão de alguns conceitos básicos da Trigonometria necessários para o estudo das funções trigonométricas e suas inversas.

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Apêndice B - Respostas aos Problemas

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Apêndice

B

Respostas aos Problemas

Capítulo 1

1.1 (a) (– ∞, 0) ∪ (0, +∞) (b) (0, +∞)

(c) (–∞, 0) (d) [0, +∞) (e) (–∞, 0]

1.2 (a) Todos os números reais menores ou iguais a 3

(e) {x ∈ R : –2 ≤ x < 2}

1.4 (a) 7/10 (b) –0,5 (c) 360 (d) 720

1.5 (a)

(g)

(b)

(h)

(c)

(i)

(d)

(e)

(f)

1.6 (a) 4 (b) –3

(b) Todos os números reais entre –2 e

4, incluindo –2 e excluindo 4

1.7 (a) x = 4 (b) x = 3

1.8 (a)

(c) Todos os números reais menores ou iguais a 5

(d) Todos os números reais maiores que –3

(e) Todos os números reais menores que 0

(b)

2 3

(b) –a b m 2 (c)

(e) a 2m

1.9 (a)

(d)

1.10 (a) x 17 + x (b) 4x 12 (c)

(e) –x (f) a 17/6b 3/4 (g)

1.11 (a)

(b)

1.14 (a)

(d) 2x 8/5

(b)

(c)

(d)

(b)

1.16 40

1.18 (a)

(b) {x ∈ R : x ≥ 5}

1.19 10

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Alexandre Assaf Neto (10)
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Medium 9788597013122

6 - Fluxos de Caixa

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6

Fluxos de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis).

Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte do capítulo dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de formação-padrão. É entendido como o modelo-padrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. A sequência do capítulo dedica-se às demais classificações dos fluxos de caixa, definidas como não convencionais.

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Apêndices A, B e C

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Apêndice A

Operações Básicas de Matemática

A.1 REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS a) Na soma de dois números com o mesmo sinal, efetua-se a operação e atribui-se ao resultado da soma o mesmo sinal.

Exemplos:

18 + (+35) = 18 + 35 = 53

–60 + (–30) = – 60 – 30 = –(60 + 30) = –90 b) Na soma de dois números com sinais desiguais, subtrai-se do maior o de menor valor absoluto e atribui-se à diferença encontrada o sinal presente no de maior valor absoluto.

Exemplos:

120 + (–70) = 120 – 70 = 50

40 + (–100) = 40 – 100 = –60

–80 + (+50) = –80 + 50 = –30 c) Na subtração de um número negativo, o sinal é alterado e os valores somados.

Exemplos:

120 – (–90) = 120 + 90 = 210

–150 – (–100) = –150 + 100 = –50

–200 – (–500) = –200 + 500 = 300 d) Na multiplicação ou divisão de dois números valem as seguintes regras:

• se os dois números tiverem o mesmo sinal, atribui-se ao resultado da operação sinal positivo;

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4 - Descontos e Operações de Curto Prazo

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

4

Descontos e Operações de Curto Prazo

Entende-se por valor nominal o valor de resgate, ou seja, o valor definido para um título em sua data de vencimento. Representa, em outras palavras, o próprio montante da operação.

A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa, ou um desconto pelo pagamento antecipado. Desta maneira, desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento.

Por outro lado, valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto, sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto, ou seja:

Valor Descontado = Valor Nominal – Desconto

As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos. O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo, restringindo-se o desconto composto para as operações de longo prazo.

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3 - Juros Compostos

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

3

Juros Compostos

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.

Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi introduzido no capítulo anterior. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.

3.1 Fórmulas de juros compostos

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9 - Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

9

Sistemas de Amortização de Empréstimos e

Financiamentos1

Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros.

Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor

(mutuário).

Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a utilização exclusiva do critério de juros compostos, incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor (montante) apurado em período imediatamente anterior.

Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira, a qual relaciona, dentro de certa padronização, os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos.

São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência, conforme estudadas em capítulos anteriores. Na carência, não há pagamento do principal, sendo pagos somente os juros. Eventualmente, os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência.

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Alexandre Da Silva Carissimi Juergen Rochol Lisandro Zambenedetti Granville (8)
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Medium 9788577804962

6 nível de transporte

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

266

6.1

Redes de Computadores

o papel do nível de transporte

As redes de computadores, como observado anteriormente, são utilizadas como mecanismo para a troca de dados entre processos que rodam nos computadores interconectados. As redes são normalmente complexas porque são formadas por uma grande diversidade e quantidade de dispositivos (por exemplo, roteadores, pontes e firewalls). Além da heterogeneidade e do número de equipamentos, as redes são também complexas pelo número de enlaces que interligam tais equipamentos e pelas tecnologias utilizadas na implementação da comunicação nesses enlaces.

Não é interessante que um processo em um computador tenha que se preocupar com a complexidade da rede utilizada, por exemplo, pensando qual caminho na rede deve utilizar para entregar um dado a um computador que abriga o processo de destino.

Desse ambiente de redes complexas é que surge a necessidade do nível de transporte, cuja função é justamente a de tornar a complexidade das redes transparente aos processos, de forma que esses não tenham que se preocupar, durante as comunicações, com tal complexidade. Para isso, o nível de transporte faz a intermediação no acesso dos processos à rede de computadores utilizada, implementando uma visão menos complexa da rede originalmente complexa.

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Medium 9788577804962

2 o modelo de referência OSI da ISO

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

62

Redes de Computadores

Logo ficou evidente que, para melhor utilizar o imenso potencial por trás da tecnologia de redes, era necessário que fossem estabelecidos rapidamente padrões internacionais que assegurassem a interoperabilidade entre os computadores e equipamentos dessas redes. Em 1978, a International Organization for Standarization (ISO) criou um comitê técnico (TC97) de processamento de informação, reconhecendo que era urgente a necessidade de criar padrões para a interconexão de sistemas heterogêneos (computadores e roteadores, por exemplo). No mesmo ano, o TC97 criou um subcomitê (SC16) para tratar da interconexão de sistemas abertos ou OSI

(open system interconnection).

A estratégia básica adotada pelo SC16 para definir um modelo de arquitetura aberto, isto é, capaz de interoperar (trocar informação) com um outro sistema de arquitetura aberta, foi dividir a complexidade desta interconexão em conjuntos de funções afins

1 agrupados em camadas (layers ISO) ou níveis (levels ITU-T). A ideia é poder projetar uma rede, ou seja, interconectar diferentes equipamentos (sistemas) e assim facilitar a troca de informações (interoperabilidade) entre eles. Dessa forma, o projeto global da interconexão de equipamentos heterogêneos em uma rede fica reduzido ao projeto das funções e serviços oferecidos em cada uma das camadas definidas para essa rede. O projeto de uma camada é restrito ao contexto dessa camada e supõe que os problemas fora desse contexto (camada) já estejam devidamente resolvidos. Cada camada utiliza os serviços providos pela camada imediatamente inferior para oferecer um serviço de melhor qualidade àquela imediatamente superior.

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8 segurança

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

344

Redes de Computadores

As diferentes maneiras de garantir segurança da informação e proteger redes de computadores estão baseadas na aplicação de técnicas de criptografia. Este capítulo é dedicado justamente a esse assunto, abordando inicialmente os principais conceitos de criptografia para posteriormente discutir o seu emprego em protocolos seguros na

Internet (IPsec, SSL e TLS).

Nos últimos anos, é possível observar um crescimento no uso de meios de comunicação, em especial da Internet, para acessar os mais diferentes serviços dos mais distintos locais. Hoje em dia, é possível consultar extratos bancários, realizar depósitos e transferências de dinheiro, efetuar compras com cartões de créditos a partir de um computador, ou mesmo de um telefone celular conectado a Internet.

Da mesma forma, em busca de agilidade e de economia, as empresas utilizam a

Internet como uma ferramenta fundamental para o envio e recebimento de informações, comunicação entre filiais etc. A consequência imediata disso é que, cada vez mais, informações sensíveis e confidenciais são armazenadas em computadores e transmitidas pela Internet, o que os torna um alvo em potencial para uma nova modalidade de crime, o cibernético.

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5 nível de rede

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

208

Redes de Computadores

Este é o principal objetivo da camada de rede e, para atingi-lo, cria-se a abstração de uma rede lógica única e a noção de roteamento. Este capítulo tem por objetivo discutir os principais conceitos, técnicas e algoritmos envolvidos no nível ou na camada.

Para ilustrar na prática a aplicação desses tópicos, é feita a análise, como estudo de caso, do Internet Protocol (IP).

No capítulo 1 definimos, de forma abrangente, rede de informação como “um conjunto de sistemas de processamento interligados através de um meio de comunicação de forma a permitir a troca de informações entre si”. A generalização desse conceito é a interconexão de diferentes redes formando uma única rede denominada de inter-rede, do inglês internet1. A camada de rede é a responsável pela criação da abstração inter-rede, fornecendo uma visão lógica de uma rede única e provendo o encaminhamento de informações de uma origem a um destino. Para melhor compreender esses conceitos, é necessário entender seu contexto de aplicação e a sua terminologia.

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Medium 9788577804962

3 nível físico

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

96

Redes de Computadores

O canal físico, no caso, representa qualquer meio físico como, por exemplo, um par de fios, um cabo coaxial, mas também pode ser um canal de rádio frequência (RF) em sistemas sem fio, uma fibra óptica em sistemas ópticos ou qualquer canal tributário definido logicamente e fisicamente dentro de um agregado de multiplexação de uma hierarquia de multiplexação digital, como será visto no item 3.5.

3.1

serviços e funções do nível físico

Dentro das diversas funções elaboradas pelas entidades do nível físico (NF), podemos destacar as seguintes:

1 ativação e desativação de um enlace físico ;

2 concatenação de diversos enlaces físicos para obtenção de uma conexão física ; codificação e decodificação de canal; multiplexação/demultiplexação de canais lógicos em um meio físico; controle e sincronização da transmissão e recepção de dados (bits); supervisão, manutenção e controle de qualidade de enlaces físicos e conexões físicas.

A partir dessas funções, o NF elabora serviços que são oferecidos ao Nível de Enlace de dados (NE), entre eles destacamos:

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Autoras Maria Adelaide De Castro Bonilha Sonia Maria Pereira Vidigal (4)
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Medium 9788584290802

Capítulo 03 - A problemateca

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

A problemateca

Apresentamos a seguir um conjunto de problemas não convencionais que podem orientar o começo de uma problemateca. Para facilitar a consulta e utilização desses problemas em sala de aula, eles foram organizados em três grandes blocos e em cada bloco se apresentam com a indicação do ano escolar mais adequado para sua aplicação.

Os blocos estão identificados com ícones, conforme abaixo:

Lógica

Números e operações

Espaço e forma e Medidas

No primeiro grupo estão aqueles problemas não relacionados a qualquer conteúdo específico de matemática, cujo objetivo é desenvolver nos alunos seu raciocínio lógico-dedutivo.

No bloco de Números e operações estão problemas que apresentam esse tema como foco maior, mas que obviamente exigem dos alunos diferentes formas de raciocínio, inclusive o lógico-dedutivo.

O mesmo acontece no terceiro bloco, no qual apresentamos problemas que envolvem algum conteúdo de Espaço e Forma ou de

Grandezas e Medidas.

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Capítulo 02 - O recurso problemateca

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

O recurso problemateca

Uma coletânea de problemas não convencionais é o que denominamos problemateca.

Como o objetivo é oferecer aos alunos a possibilidade de resolverem problemas que exigem a elaboração de estratégias não convencionais para sua resolução, a problemateca pode ser utilizada de duas formas.

Como um arquivo de problemas do professor, há pelo menos três formas diferentes de organização dos alunos para a utilização dos problemas da problemateca.

A primeira delas é a seleção pelo professor de um ou dois problemas para serem resolvidos por todos os alunos em uma aula. Individualmente ou em duplas, os alunos têm um tempo para pensar e resolver os problemas e, em seguida, há uma aula coletiva em que todos podem apresentar e debater as resoluções.

A segunda forma de utilização é nos momentos de trabalho diversificado. Nesse caso, os problemas são organizados em uma caixa ou fichário com fichas numeradas contendo um problema em cada uma e a resposta no verso, para utilização direta dos alunos que terminaram suas tarefas coletivas, cada um em seu ritmo. Nessa segunda versão, os alunos podem procurar problemas para resolver ou utilizar aqueles indicados pelo professor, anotando no caderno o número da ficha, os dados do enunciado e a resolução. A resposta no verso da ficha facilita a autocorreção e favorece o trabalho independente.

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Capítulo 01 -Matemática e resoluçãode problemas

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

Matemática e resolução de problemas

Introdução

Matemática e resolução de problemas são duas ideias que sempre estão juntas. Não se concebe aprender matemática se não for para resolver problemas; por outro lado, resolver problemas necessariamente inclui alguma forma de pensar matemática. Mesmo os problemas diários ou profissionais exigem que os dados sejam analisados e que alguma estratégia seja pensada para sua resolução, que, depois de executada, precisa ser avaliada para verificação se, de fato, permitiu ou não chegar à solução da situação inicial.

Nas aulas de matemática, a resolução de problemas tem assumido ao longo do tempo diferentes papéis, dependendo da concepção que se tem de por que ensinar matemática e de como se acredita que seja ensinar e aprender.

Em uma dessas concepções, a resolução de problemas pode ser entendida como a meta do ensino de matemática. Nessa perspectiva, o ensino de matemática, seus conceitos, técnicas e procedimentos devem ser ensinados antes, para que depois o aluno possa resolver problemas. Tudo se passa como se o aluno precisasse possuir todas as informações e os conceitos envolvidos na situação-problema para depois poder enfrentá-la. Dito dessa forma, é possível perceber que, nessa concepção, a matemática é importante em si mesma, a resolução de problemas é uma consequência do saber matemático, e, ao resolver problemas, o aluno demonstra se de fato aprendeu ou não matemática. Essa foi a visão da resolução de problemas do denominado modelo tradicional de ensino e a forma predominante de ensino no Brasil até os anos 1960.

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Capítulo 04 - Respostas

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

PROBLEMATECA | RESPOSTAS

Respostas

12.

1. A: Rubens.

B: Paulo.

C: Luís.

2. Respostas: Tuco é o nome do peixe, o gato se chama Pituco, e o cão se chama Tico.

3. A: Vitória.

B: Carmem.

C: Marta

5. Luciana é dona da Babi.

Carina é dona da Lalá. Míriam é dona da

Tetê.

6.

A

D

IDADE

Cristina

11 anos

Marta

9 anos

Lúcia

6 anos

Edgar

4 anos

13. A peça vermelha será guardada na caixa 1.

A peça verde será guardada na caixa 2.

A peça azul será guardada na caixa 3.

4. Caixinha amarela: Roberto.

Caixinha verde: Carlos.

Caixinha vermelha: Eduardo

B

NOME

C

E

7. A: Marta.

B: Lúcia.

C: Cristina

14.  → 3.

→ 4.

→ 2.

15.

1O LUGAR

Totó

2O LUGAR

Bob

3O LUGAR

Caco

4O LUGAR

Fifi

5O LUGAR

Rex

8. Fernando.

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