Adalberto Ayjara Dornelles Filho (9)
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Medium 9788582603840

Capítulo 2 - Erros e aritmética computacional

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Erros e aritmética computacional

2

Ao contrário do que julga o senso comum, o computador não é uma máquina de calcular perfeita. Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros (em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

Neste capítulo, abordaremos a forma como os números são armazenados pelo computador e como os erros aparecem. Veremos também uma estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os refinamentos sucessivos.

2.1

Resolução de problemas numéricos

Nas ciências e engenharias, o computador cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, especialmente quando cálculos aritméticos são muito utilizados. O processo de resolução de problemas, muitas vezes, envolve algum artifício e engenhosidade. Embora não se possa estabelecer uma regra única, podemos dizer que, de um modo geral, a resolução de problemas segue os seguintes passos:

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Capítulo 5 - Interpolação

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Interpolação

5.1

5

Definição do problema

Seja f : R → R uma função conhecida “apenas” por um conjunto finito de valores, isto é, y1 = f(x1),

y2 = f(x2),

yn = f(xn),

…,

onde x1 < x2 < … < xn. O problema da interpolação consiste em determinar a expressão algébrica de uma função de interpolação g tal que g(x1) = f(x1),

g(x2) = f(x2),

…,

g(xn) = f(xn).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de v = f(u) ≈ g(u) quando u ∉ {x1, x2, …, xn} e x1 < u < xn. A Figura 5.1 mostra os pontos

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ditos nodos de interpolação, uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado.

4 nodos

3,5

curva de interpolação ponto interpolado

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 5.1 A curva de interpolação passa sobre os nodos de interpolação.

7

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Capítulo 3 - Zeros de funções

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Zeros de funções

3

3.1 Definição do problema

Seja f : R → R. Um número z é dito zero de f se, e somente se, f(z) = 0.

O problema que estudaremos consiste em encontrar os zeros de uma função, isto é, determinar os valores de z, se existirem, tais que z seja zero de f.

EXEMPLO 3.1 Verifique que z1 = 1, z2 = 1,465571231876768 e z3 =

0,588532743981861 são, respectivamente, zeros de f(x) = x3 – x2,

SOLUÇÃO

g(x) = x3 – x2 – 1

e

h(x) = e–x – sen(x).

Inicialmente, verifiquemos que, trivialmente,

f(1) = 13 – 12 = 1 – 1 = 0.

Já para g e h a verificação requer um pouco mais de trabalho. No

MATLAB:

>> z2 = 1.465571231876768; g = z2^3 - z2^2 - 1 g = -4.4409e-16

>> z3 = 0.588532743981861; h = exp(-z3) - sin(z3) h = 1.1102e-16

Observe que os valores calculados de g(z2) e h(z3) não são exatamente zero, mas estão muito próximos de zero, isto é, muito próximos da precisão da máquina. Para efeitos computacionais, podem ser considerados efetivamente zeros.

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Capítulo 4 - Sistemas lineares

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Sistemas lineares

4.1

4

Definição do problema

O sistema representado a seguir é chamado de sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear com m equações e n incógnitas

Pode ser representado pela equação matricial Ax = b, sendo

Quanto à quantidade de equações (m) e incógnitas (n), um sistema linear pode ser classificado como:

• subdeterminado: se m < n;

• determinado: se m = n;

• sobredeterminado: se m > n.

Ele pode ser consistente (se existe solução, sendo que pode haver uma

única solução ou uma infinidade de soluções) ou inconsistente (se não existe solução).

O problema em questão é resolver um sistema linear. Os métodos de resolução de sistema linear podem ser classificados em:

• diretos: escalonamento (Gauss), inversão, determinantes (Cramer), fatoração LU, etc.

• iterativos: Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente conjugado, etc.

Neste capítulo, estudaremos alguns métodos para a resolução de sistemas lineares determinados (m = n) com solução única. A resolução de sistemas sobredeterminados ou subdeterminados ou com infinitas soluções pode ser encontrado em Golub e Loan (1996).

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Capítulo 6 - Ajuste de funções

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Ajuste de funções

6

6.1 Definição do problema

Considere um conjunto de n nodos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) e uma função de ajuste fβ : R → R determinada por um conjunto de parâmetros β = {β0,

β1,…, βm}. O problema do ajuste de funções consiste em determinar os valores dos parâmetros β que fazem com que a curva definida pela função de ajuste f passe “o mais perto possível” dos nodos. Por exemplo, desejamos determinar os valores β0, β1 e β2 que fazem com que a curva dada pela função f(x)= β2x2+ β1x + β0 (uma parábola) passe “o mais perto possível” de um conjunto de 20 nodos como mostra a Figura 6.1. O problema do ajuste de funções também é denominado ajuste de curvas ou simplesmente ajuste.

A motivação para esse problema geralmente provém da análise de observações experimentais na qual desejamos ajustar uma curva teórica a dados experimentais (observados) que, devido a erros de medida e a perturbações externas, oscilam em torno de valores previstos (esperados). O método de ajuste mais popular, denominado método dos quadrados mínimos, foi pioneiramente desenvolvido por Legendre1 e Gauss2.

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Alcir Garcia Reis (22)
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Medium 9788582602362

Capítulo 20 - Esfera

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

capítulo 20

Esfera

Neste capítulo, veremos diversos conceitos relacionados à esfera, como polos, equador, paralelos e meridianos, distância polar, cunha esférica e fusos esféricos.

Começamos com seus principais elementos e prosseguimos até chegar às fórmulas para calcular área e volume.

Objetivos de aprendizagem

Identificar os diversos elementos de uma esfera, estabelecendo relações para chegar às fórmulas para o cálculo de área e volume.

Realizar cálculos envolvendo as informações dadas (ou exigidas) nos enunciados com base nas fórmulas demonstradas.

Seja O um ponto do espaço e um segmento de comprimento R > 0, a esfera é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é menor ou igual a R.

Elementos de uma esfera

Centro. É o ponto O do espaço.

Superfície esférica. É o conjunto de pontos cuja distância ao ponto O é igual a R.

Raio. É a distância R do centro à superfície esférica.

R

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

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Capítulo 16 - Prisma

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capítulo 16

Prisma

Neste capítulo, é apresentado o prisma, com seus elementos e sua classificação, bem como suas principais medidas.

Objetivos de aprendizagem

Identificar os elementos de um prisma e diferenciar seus tipos de acordo com a sua base.

Estabelecer as medidas mais importantes de um prisma, como

área e volume, reconhecê-las pelas fórmulas e fixá-las por meio de exercícios.

Prisma é um sólido geométrico compreendido entre dois polígonos congruentes situados em planos paralelos, denominados bases, com faces planas, que são paralelogramos.

B'

β

A'

C'

h

α

B

A

C

Elementos de um prisma

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

Os elementos que compõem o prisma são:

190

•• Bases. As bases são polígonos quaisquer: triângulos, quadriláteros, pentágonos, etc. No exemplo anterior, as bases são triangulares: ABC e A’B’C’.

•• Arestas das bases. Os lados dos polígonos das bases: AB, BC, AC, A’B, B’C e A’C.

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Capítulo 4 - Polígono

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capítulo 4

Polígono

Neste capítulo, analisamos os polígonos, definidos e classificados de acordo com seu número de lados. Agora que já estamos familiarizados com os ângulos e as retas, ficará mais fácil entender esses conceitos e relações ao aplicá-los no estudo dos polígonos.

Objetivos de aprendizagem

Definir e classificar os polígonos.

Calcular o perímetro de um polígono, bem como seu número de diagonais.

Realizar operações envolvendo os ângulos externo, interno e de deflexão de um polígono.

Linha poligonal

Para definir polígonos, é necessário definir linha poligonal.

Uma linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos, sendo que dois desses segmentos, nunca serão colineares.

IMPORTANTE

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

Quando mencionarmos linha poligonal, estaremos nos referindo à linha poligonal plana. Ou seja, todos os segmentos pertencem ao mesmo plano.

36

As linhas poligonais podem ser:

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Capítulo 15 - Áreas planas

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

capítulo 15

Áreas planas

Neste capítulo, apresentamos as fórmulas para o cálculo das áreas de algumas superfícies limitadas.

Objetivos de aprendizagem

Calcular as áreas de paralelogramos, retângulos, quadrados, triângulos, losangos, trapézios e círculos (e do setor circular), bem como de outros polígonos de n lados e regulares.

Realizar cálculos que demandem esse tipo de informação para diversos propósitos.

Área do paralelogramo

A área do paralelogramo é definida como o produto da base pela altura.

h

ÁREA: S = b ? h

b

Área do retângulo

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

Como todo retângulo é um paralelogramo, sua área também será o produto da base pela altura.

162

h

ÁREA: S = b ? h

b

Área do quadrado

O quadrado é um retângulo com a base e a altura congruentes. Assim, sua área será o quadrado de seu lado.

ÁREA: �S = b ? h

2

S=ℓ

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Apêndice A

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

Apêndice A

Neste apêndice, apresentamos o cálculo de área por coordenadas, mostrando como chegar aos resultados.

Objetivos de aprendizagem

Encontrar a área de diversas figuras por meio de seus vértices.

Realizar cálculos que fornecem ou requerem esse tipo de informação.

Cálculo de área por coordenadas

Outra forma de calcular a área de um polígono é por meio das coordenadas de seus vértices.

Suponha o quadrilátero mostrado no plano cartesiano a seguir: y

A

D

B

C xd

xa

xc

x

xb

Para calcular a área do quadrilátero ABCD, vamos considerar as coordenadas dos pontos A(xa, ya), B(xb, yb), C(xc, yc) e D(xd, yd). Veja a figura a seguir. Nela, vamos calcular a área dos trapézios S1 e S2: y

A

D

yd

S1

ya

B

S2

yb

IMPORTANTE

Usamos a fórmula

S = (B + b ) h para o

2 cálculo de área do trapézio.

xa – xd

xb – xa

As áreas dos trapézios são:

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Augusto Massashi Horiguti Juliane Donadel (26)
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Medium 9788536507965

2.4 Juros e capitalizações simples

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.4  Juros e capitalizações simples

2.4.1  Definições

Dizemos que estamos no regime de juros simples quando a taxa de juros incidir apenas sobre o valor principal, de forma que não há incidência de juros sobre os juros gerados a cada período.

Usaremos as seguintes definições:

»»

Taxa de juros em certo período: i;

»»

Quantidade ou número de períodos: n;

»»

Juro: J;

»»

Capital (ou Valor Principal): C;

»»

Montante: M.

Dessa forma, definimos juros como sendo o produto entre capital, taxa e quantidade de períodos:

J=C.i.n

O montante de um determinado período será a soma do capital com o juro, isto é:

M = C + J, ou M = C + C . i . n ⇒ M = C(1 + i . n)

Vale a pena ressaltar que o montante nada mais é do que uma soma de termos de uma progressão aritmética, visto que o juro simples sempre fornece um incremento somativo, isto é, a cada mês uma nova parcela de juros é adicionada de forma linear. O capital C funciona como o primeiro elemento da PA, a quantidade de períodos n equivale à quantidade de termos da progressão e a taxa i é a variação.

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Medium 9788536507965

2.1 Razão, proporção e porcentagem

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.1  Razão, proporção e porcentagem

2.1.1  Razão

A razão surge como uma forma de relacionar partes de certa grandeza com o seu todo, ou seja,

é uma forma de saber a proporção de uma parte em relação ao todo.

É bastante comum ouvir as seguintes expressões “de cada 20 habitantes cinco são analfabetos”,

“de cada dez alunos dois gostam de matemática”, “um dia de sol para cada dois de chuva”. Em cada uma destas frases há sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso destacam-se 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado Razão, isto é, a razão entre dois números a e b, com b ¹ 0, é o quociente

ou a : b ou ainda a / b.

Vejamos as seguintes razões:

»»

De cada 10 alunos, 6 gostam de matemática: razão =

»»

De cada 100 parafusos, 1 sai com defeito: razão =

»»

6

;

10

1

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Medium 9788536507965

2.7 Descontos simples e composto

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

2.7  Descontos simples e composto

2.7.1  Definições

Em algumas situações não queremos calcular o montante após certo prazo, porém queremos saber, com base no valor nominal que vai ser recebido ou pago em uma data futura, qual seria este valor na data presente. Logicamente o valor a ser pago na data atual será menor do que o da data futura, visto que ele vai sofrer um desconto.

Da mesma forma que o cálculo do montante, o desconto pode ser determinado da forma simples ou composta.

Chamamos de valor nominal (N) a quantia a ser paga/recebida numa data futura. No caso de o valor ser resgatado antes da data prevista, ele sofrerá um desconto (D), que nada mais é do que a dedução devido à antecipação do compromisso. O valor recebido antecipadamente

é chamado de valor atual (A), de forma que este é o resultado da diferença dos termos anteriores, isto é, A = N – D.

2.7.2  Desconto racional simples

O desconto racional simples (DRS) é calculado pela relação entre o valor atual (A) e o valor nominal (N), usando como base a relação do montante de juros simples, M = C(1 + i . n), em que substituímos o montante (M) pelo valor nominal (N) e o capital (C) pelo valor atual (A):

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Medium 9788536507965

1.3 Produtos notáveis

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

1.2  Propriedade distributiva

Dentre as diversas propriedades na matemática, a propriedade distributiva aparece frequentemente nas operações, porém sua aplicação extrapola a manipulação matemática e pode ser aplicada em várias situações como facilitadora de cálculos aritméticos.

De maneira geral, podemos entender essa propriedade da seguinte forma: suponha três números quaisquer a, b e c, dos quais b e c devem, em princípio, ser somados/subtraídos antes de multiplicarmos por a; usando a propriedade distributiva, podemos multiplicar b e c por a e depois efetuar a soma/subtração que o resultado é o mesmo, ou seja, a . (b ± c) = a . b ± a . c

Vejamos a seguinte situação: como obter rapidamente o resultado da multiplicação 23 . 4? Se tentarmos resolver mentalmente, a melhor forma de calcular é usando o fato de que o número 23 pode ser descrito como a soma 20 + 3, de forma que a multiplicação pelo número 4 fornece, com base na propriedade distributiva, 4 . 20 + 4 . 3 = 80 + 12, cujo resultado é 92.

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Agora é com você!

Augusto Massashi Horiguti, Juliane Donadel Editora Saraiva PDF Criptografado

c) y = f(x) = 2 . 3–0,5x

A = 2

a = 3

 b = −0, 5

Imagem: A > 0 I = {y Î R / y ³ 0}

Gráfico:

Vamos recapitular?

Podemos, de forma sucinta, dizer que temos três conjuntos de operações: soma/subtração; multiplicação/divisão; e potenciação/radiciação, em que a prioridade de execução é da última para a primeira, exceto nos casos em que temos parênteses, chaves e/ou colchetes.

A introdução da álgebra (uso de incógnitas, como o “x”) é uma ferramenta valiosíssima para diversos ramos do conhecimento, em particular nas ciências exatas.

As funções permitem a correlação entre duas ou mais variáveis, e sua utilização na forma gráfica facilita a visualização dessa interação.

Agora é com você!

Divisão e operações com frações

1) Calcule o resultado das seguintes somas/subtrações: a) b) c)

42

1 9 5

+ +

4 4 4

3 1

5 6

4 5 1

+ −

5 6 3

d) e)

8 15

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Carlos Daniel Paulino Julio M Singer (14)
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Medium 8521203926

Capítulo 11 - Metodologia de Mínimos Quadrados Generalizados

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 11

Metodologia de Mı́nimos

Quadrados Generalizados

Embora a utilização da metodologia de mı́nimos quadrados generalizados (MQG) tenha uma extensa história para análise estatı́stica de dados contı́nuos, seu emprego em problemas com dados categorizados só teve ı́mpeto a partir do trabalho de Grizzle et al. (1969). Alicerçados em resultados de Bhapkar (1966), esse autores propuseram uma interessante alternativa à metodologia MV (discutida nos Capı́tulos 7, 8,

9 e 10) para análise de dados categorizados. Desde a publicação desse trabalho, a metodologia MQG vem sendo aplicada em diferentes situações como o demonstram

Forthofer & Koch (1973), Freeman Jr. et al. (1976), Imrey et al. (1981, 1982), Koch,

Singer & Stokes (1992), entre outros. Em função da importante contribuição do trabalho pioneiro de Grizzle, Starmer e Koch, muitas vezes a metodologia é chamada de metodologia GSK em sua homenagem. As suas maiores vantagens estão centradas na simplicidade das expressões dos estimadores e estatı́sticas de teste nas quais está baseada e na ampla gama de problemas aos quais pode ser aplicada. Apesar disso, poucos textos lhe dedicam atenção, e quando o fazem, a abordagem é apenas superficial, à excepção de Koch et al. (1985) por motivos óbvios. A orientação desse texto é a que se adopta neste capı́tulo.

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Medium 8521203926

Capítulo 10 - Análise de modelos funcionais lineares

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 10

Análise de modelos funcionais lineares

Ao contrário do que ocorre com a metodologia de Mı́nimos Quadrados Generalizados

(MQG), a ser explorada no Capı́tulo 11, em que é possı́vel propor uma forma geral para os estimadores dos parâmetros de modelos do tipo F(π) = Xβ, definidos em

(6.19) desde que o vector de funções F satisfaça certas condições de regularidade, os estimadores de Máxima Verosimilhança (MV) precisam de ser obtidos ad hoc. Quando

F é linear ou log-linear, i.e., quando o modelo (6.19) pode ser escrito como Aπ = Xβ, com a especificação (3.18) ou Aln π = Xβ, com a especificação (6.1), a metodologia de estimação, ajustamento de modelos e testes de hipóteses é essencialmente aquela apresentada nos Capı́tulos 8 e 9, respectivamente. Aqui, consideram-se os casos particulares de modelos funcionais lineares tratados no Capı́tulo 6. Mais especificamente, na Secção 10.1 aplica-se a metodologia MV a modelos log-lineares generalizados, incluindo aı́ alguns casos especiais de modelos log-lineares ordinários e não ordinários; na Secção 10.2, consideram-se modelos funcionais lineares propriamente ditos, dentre os quais destacam-se os modelos lineares nos logitos de razões continuadas e os modelos lineares nos logitos cumulativos. Na Secção 10.3, tratam-se brevemente os modelos de concordância enquanto a Secção 10.4 dedica-se aos modelos lineares generalizados.

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Medium 8521203926

Capítulo 1 - Introdução

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 1

Introdução

1.1

Noções preliminares sobre dados categorizados e exemplos

Este livro debruça-se sobre métodos que foram desenvolvidos para análise de dados discretos relativos a uma ou, mais frequentemente, duas ou mais variáveis definidas qualitativamente através de um número finito de valores designados por nı́veis ou categorias. Daı́ as designações de variáveis categorizadas e de dados categorizados. Consoante o número de categorias for 2, 3 ou maior que 3, as variáveis se dizem dicotómicas (ou binárias), tricotómicas ou politómicas, respectivamente.

A Análise de Dados Categorizados é assim uma parte integrante da Análise

Multivariada, que visa evidenciar e interpretar a informação relevante que está contida em dados discretos provenientes de contagens de eventos ou de unidades (pessoas, lugares, objectos) possuindo certas caracterı́sticas ou atributos definidos pela combinação das categorias de duas ou mais variáveis de interesse (ou apenas categorias de uma variável). A análise de dados discretos univariados (e.g., gerados dos modelos binomial, hipergeométrico, binomial negativo, Poisson), descrita na larga maioria dos textos de Estatı́stica e de Inferência Estatı́stica, surge como uma particularização dos métodos multivariados que serão aqui abordados.

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Medium 8521203926

Capítulo 6 - Modelos funcionais lineares

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 6

Modelos funcionais lineares

Neste capı́tulo considera-se uma ampla classe de modelos estruturais que engloba aqueles discutidos anteriormente. Inicia-se a exposição descrevendo-se alguns modelos log-lineares cujas particularidades não justificam a sua inclusão no Capı́tulo 5; além disso apresentam-se algumas extensões desses modelos denominadas modelos log-lineares generalizados. Aborda-se em seguida a classe dos modelos funcionais lineares, que essencialmente engloba todos aqueles descritos até aqui. Evidentemente focam-se apenas aquelas subclasses de modelos mais comuns, deixando para os exemplos dos demais capı́tulos a descrição de casos mais especı́ficos. Termina-se o capı́tulo com uma breve exposição sobre os chamados modelos lineares generalizados numa classe ainda mais abrangente (sob o ponto de vista estrutural) que tem atraı́do a atenção de inúmeros pesquisadores nas últimas duas décadas.

6.1

Modelos log-lineares generalizados

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Medium 8521203926

Capítulo 14 - Métodos de Inferência Condicional

Carlos Daniel Paulino, Julio M. Singer Editora Blucher PDF Criptografado

Capı́tulo 14

Métodos de Inferência

Condicional

A análise estatı́stica dos capı́tulos precedentes apoia-se pesadamente em aproximações para distribuições amostrais de estimadores e estatı́sticas de teste, válidas para grandes amostras. No entanto, não há orientações simples e incisivas em relação às condições de adequabilidade dessas aproximações. Sabe-se mesmo que, em tabelas com repartição desequilibrada pelas celas de um número grande de observações, os resultados de distintos métodos assintóticos podem ser bastante diferenciados. A fortiori, o panorama não é melhor quando se lida com tabelas esparsas, como é comum em estudos longitudinais, ou muito simplesmente, com tabelas de dimensão amostral reduzida. Daı́ a necessidade de recurso a métodos alternativos não baseados em aproximações para grandes amostras que, hoje em dia, vêem a sua aplicação facilitada devido à existência de meios computacionais potentes e de algoritmos eficientes e à disponibilidade de software estatı́stico. Entre eles estão os denominados métodos condicionais exactos, de estrutura frequencista, cuja descrição ocupará grande parte deste capı́tulo.

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Daltro J Nunes (12)
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Medium 9788540700789

Capítulo 2 - Reescrita de termos

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

2

reescrita de termos

■ ■

Neste capítulo, é mostrado como equações podem ser usadas para transformar termos. Na computação, uma transformação pode ser vista como uma maneira de “calcular” uma função, uma expressão (corpo da função), fornecendo um resultado, um valor, quando não há, na expressão, ocorrências de variáveis. Usando o mesmo exemplo apresentado na secção 1.6 – conceito de equação, o valor da função f(x, y) = (x + y)/x, quando aplicada aos valores 3.0 e 6.0, é igual a 3.0. Informalmente, o processo de obtenção desse resultado é bem conhecido.

Comparando o termo f(x, y) com o termo f(3.0, 6.0), o valor 3.0 ocupa o lugar de x, e o valor 6.0 ocupa o lugar de y.

Logo, as variáveis que ocorrem na expressão devem ser também ocupadas pelos respectivos valores: (3.0 + 6.0)/3.0. Este capítulo tem como objetivo mostrar formalmente o processo de “calcular” um termo, possibilitando, assim, que ferramentas possam ser construídas.

20

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Medium 9788540700789

Capítulo 10 - Especificação algébrica e linguagens de programação

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

10

especificação algébrica e linguagens de programação

Este capítulo mostra como dar semântica a linguagens de programação, usando especificação algébrica.

Operações semânticas estabelecem uma relação entre sortes, s1, ..., sn, s, chamados domínios semânticos, dependente da sintaxe da linguagem de programação, Stx, interpretada como um conjunto de strings.

■ ■

operacao-semantica : Stx

s1 ...

sn -> s .

Para um programa prog escrito segundo a sintaxe da linguagem de programação Stx, Maude reduz o programa prog a um valor do sorte s. Ou seja, o resultado da computação de um programa é um valor do sorte s:

Maude> reduce operacao-semantica (prog, v1, ..., vn) onde v1, ..., vn são valores dos sortes s1, ..., sn, respectivamente.

186

Introdução à Abstração de Dados

Uma das aplicações da linguagem algébrica é seu uso na semântica de linguagens de programação (Mosses, 1992; Watt; Thomas, 1991). A seguir, é apresentada uma “pitadinha” desta aplicação.

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Medium 9788540700789

Capítulo 7 - Tipos parametrizados: termos como parâmetros

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

7

tipos parametrizados: termos como parâmetros

Termos podem, também, ser usados como parâmetros, potencializando as especificações de tipos parametrizados. Neste caso, uma teoria TH declara um operador f na forma

■ ■

op f : s1 ... si ... sn -> s .

e uma visão V que mapeia uma expressão f(..., x, ...), onde x é uma variável do sorte si,

em um termo t com ocorrências de variáveis x.

Uma especificação parametrizada pode ter ocorrências de um termo f(..., ti, ...), onde ti é um termo do sorte si.

O termo f(..., ti, ...) é, na instanciação, substituído por t[..., ti\x,...].

As especificações de P-STACK e SPARSE-ARRAY mostram a aplicação deste tipo de parâmetro.

140

Introdução à Abstração de Dados

Operadores formais op, declarados nas teorias TH, fth TH is

................. op op:..., si,... -> s.

................. endfth

onde si e s são sortes formais ou reais, podem ser mapeados, em uma visão V, para termos da assinatura de A-SPEC ou da assinatura de teorias,1 como mostrado na seguinte sintaxe: view 〈view-name〉

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Capítulo 1 - Especificação de tipos primitivos: tipo TRUTH-VALUES

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

1

especificação de tipos primitivos tipo TRUTH-VALUES

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A computação usa de forma recorrente o conceito matemático de álgebra1 para formalizar sua ciência: máquinas, gramática, autômatos, métodos formais, processos, banco de dados, software, hardware, etc. Entretanto, em vez de definir, na formalização, uma

álgebra diretamente, pode-se fazer uso de uma linguagem que a descreve. Os “programas” dessa linguagem são chamados de especificações algébricas.

Essa linguagem pode ser usada, também, com grandes vantagens para especificar tipos de dados, como visto na introdução, pois existe uma relação quase direta entre tipo de dado e álgebra.

Mais recentemente, tem-se usado também a teoria das categorias na modelagem.

2

Introdução à Abstração de Dados

A seguir, é visto o primeiro tipo de dado, o tipo TRUTH-VALUES2 (figura 1.1). A especificação algébrica começa pela palavra-chave3 fmod (módulo funcional), é seguida do nome do tipo que está sendo especificado, TRUTH-VALUES, e termina com a palavra chave endfm, sendo composta por duas partes: a primeira, chamada de assinatura, e a segunda, de sentenças4. Os conjuntos de valores5 são classificados em sortes e espécies6.

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Capítulo 12 - Prova de teoremas

Daltro J. Nunes Grupo A PDF Criptografado

capítulo

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prova de teoremas

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Este capítulo não é absolutamente necessário para especificar tipos de dados, mas responde a muitas perguntas quanto ao aprofundamento dos capítulos anteriores.

Genericamente, uma equação t1 = t2 é uma relação de igualdade entre dois termos em Ts. É indiferente qual termo está no lado esquerdo ou direito.

Como visto, t ≡ t' é o enunciado de um teorema, ou seja, t ≡ t' = true, se o par 〈t, t'〉 está na relação de congruência.

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Introdução à Abstração de Dados

Suponha uma especificação como TRUTH-VALUES, enriquecida com um conjunto de variáveis e sem nenhuma equação. Cada termo em Ts não possui qualquer relação com outro termo, exceto consigo mesmo (propriedade reflexiva). As classes de congruências (ver capítulo 11), neste caso, são formadas por cada termo em Ts.

Suponha que a especificação receba uma primeira equação not true = false

Seja t um termo em Ts com subtermos not true e false. Se t' é a reescrita de t, então t' está em Ts e tem false no lugar de um de seus subtermos not true ou not true no lugar de um de seus subtermos false. Tomando outros subtermos de t, pode-se obter, por reescrita, t", t'"... Conforme a definição da relação de congruência (ver capítulo 1), t ≡ t', t ≡ t", t ≡ t'"... O termo t' tem uma redução que, por hipótese, é o termo v, que está em Ts.

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