Adalberto Ayjara Dornelles Filho (9)
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Capítulo 6 - Ajuste de funções

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CAPÍTULO

Ajuste de funções

6

6.1 Definição do problema

Considere um conjunto de n nodos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) e uma função de ajuste fβ : R → R determinada por um conjunto de parâmetros β = {β0,

β1,…, βm}. O problema do ajuste de funções consiste em determinar os valores dos parâmetros β que fazem com que a curva definida pela função de ajuste f passe “o mais perto possível” dos nodos. Por exemplo, desejamos determinar os valores β0, β1 e β2 que fazem com que a curva dada pela função f(x)= β2x2+ β1x + β0 (uma parábola) passe “o mais perto possível” de um conjunto de 20 nodos como mostra a Figura 6.1. O problema do ajuste de funções também é denominado ajuste de curvas ou simplesmente ajuste.

A motivação para esse problema geralmente provém da análise de observações experimentais na qual desejamos ajustar uma curva teórica a dados experimentais (observados) que, devido a erros de medida e a perturbações externas, oscilam em torno de valores previstos (esperados). O método de ajuste mais popular, denominado método dos quadrados mínimos, foi pioneiramente desenvolvido por Legendre1 e Gauss2.

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Capítulo 8 - Equações diferenciais ordinárias

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CAPÍTULO

Equações diferenciais ordinárias

8.1

8

Definição do problema

Equações diferenciais combinam uma função incógnita u e suas derivadas: u′, u″,…, u(k). Se a função incógnita é dependente de apenas uma variável, a equação é dita ordinária. A ordem de uma equação diferencial é dada por sua derivada de mais alta ordem. As equações diferenciais podem ser definidas em um intervalo I ⊆ Rn e restritas a condições de contorno (ou iniciais) nas bordas do intervalo. Resolver uma equação diferencial implica determinar a função incógnita u que satisfaz a equação e suas condições de contorno.

Existem inúmeras maneiras de construir equações diferenciais e as técnicas de resolução dependem da classificação da equação (Boyce; DiPrima, 2002).

Um Problema de Valor Inicial (PVI) se constitui em uma equação diferencial ordinária cuja solução u(t) está definida em um intervalo fechado [a, b] e restrita a assumir um valor especificado no início do intervalo:

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Apêndice A - Respostas para problemas selecionados

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APÊNDICE

Respostas para problemas selecionados

A

Capítulo 1

1.1. a = 2ˆ5, b = sqrt(7)

1.3. a = cosd(60), b = tan(pi/4)

1.5. a = abs(-5), b = factorial(9)

1.7. x = [6 2 0 5], y = [6 2 0 5]'

1.9. z = zeros(1,20)

1.11. A = [1 7; -4 3]

1.13. a = -18.3333. Verifique a ordem de precedência dos operadores: \, *, +, -.

1.15. e = 5.3948. O comando log(y) determina o logaritmo natural de y.

1.17. w = 1.5708, e = 1. Observe que ecos(π/2) = e0 = 1.

1.19. O comando ln não existe. O correto é usar a = log(5).

1.21. A vírgula é separador de elementos. O correto é t = cos(3.1416).

1.23. O polinômio é 3,3x 2 + 174,2x – 6627,7. Observe o fator 103 multiplicando os elementos do vetor.

1.25. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -3 : 0.01 : 3; y = exp(-x) - 1; plot(x, y) grid on legend('g(x) = exp(-x) - 1') xlabel('x') ylabel('g(x)') title('Problema 1.25')

1.27. Um script pode ser escrito assim: clear clc clf x = -1 : 0.01 : 3; y = (x + 1)./(x - 1); plot(x,y) grid on legend('i(x) = (x + 1)/(x - 1)') xlabel('x') ylabel('i(x)') title('Problema 1.27')

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Capítulo 5 - Interpolação

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CAPÍTULO

Interpolação

5.1

5

Definição do problema

Seja f : R → R uma função conhecida “apenas” por um conjunto finito de valores, isto é, y1 = f(x1),

y2 = f(x2),

yn = f(xn),

…,

onde x1 < x2 < … < xn. O problema da interpolação consiste em determinar a expressão algébrica de uma função de interpolação g tal que g(x1) = f(x1),

g(x2) = f(x2),

…,

g(xn) = f(xn).

Em geral, a função de interpolação é usada para estimar o valor de v = f(u) ≈ g(u) quando u ∉ {x1, x2, …, xn} e x1 < u < xn. A Figura 5.1 mostra os pontos

(x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) ditos nodos de interpolação, uma curva (polinomial) de interpolação e um ponto interpolado.

4 nodos

3,5

curva de interpolação ponto interpolado

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–1

0

1

2

3

4

5

6

FIGURA 5.1 A curva de interpolação passa sobre os nodos de interpolação.

7

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Capítulo 7 - Integração numérica

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CAPÍTULO

Integração numérica

7.1

7

Definição do problema

Considere a integral definida dada por

(7.1)

O problema da integração numérica consiste na avaliação de (7.1) por métodos numéricos. Note que, sendo a integral definida, Q é um resultado numérico. O problema da integração algébrica é mais complicado e está além do escopo deste livro.

A integração numérica é especialmente indicada quando:

1. É conhecida uma expressão algébrica para f, mas sua primitiva F é de difícil obtenção, isto é, não é conhecida uma expressão para F em termos de funções elementares.

2. A função f é conhecida em apenas um conjunto discreto de valores.

Estudaremos dois métodos de integração numérica: os métodos de

Newton-Cotes, que são indicados para problemas do tipo 1, e o método dos splines, que é indicado para problemas do tipo 2.

7.2

Método de Newton-Cotes simples

O método de Newton1-Cotes2 de ordem n consiste em estimar o valor da integral (7.1) por meio da média ponderada

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Adriana Mioreli Adami Adalberto Ayjara Filho Dornelles Magda Mantovani Lorandil (10)
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Capítulo 1 - Matemática Básica

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

1

Matemática Básica

Neste capítulo, faremos uma breve revisão de alguns tópicos de Matemática

Básica necessários nas disciplinas de cálculo diferencial e integral. Os tópicos revisados neste capítulo são: conjuntos numéricos e intervalos, operações com frações, regras de potenciação e radiação e simplificação de expressões algébricas fracionárias. Ao começarmos nossos estudos é importante estabelecer um conjunto de ferramentas com as quais desenvolveremos conceitos mais elaborados. Na matemática, um conceito leva a outro; um conceito pressupõe outro mais elementar. Assim, descreveremos um conjunto básico de ferramentas que nos permitirá chegar ao nosso objetivo: entender as funções.

1.1 Conjuntos

Podemos classificar um número de acordo com os seguintes conjuntos:

Conjunto dos números naturais: N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Um asterisco colocado junto à letra que simboliza um conjunto significa que o zero foi excluído de tal conjunto. Desse modo, N* = {1, 2, 3, . . .}.

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Apêndice A - Fórmulas Úteis e de Emergência

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Apêndice

A

Fórmulas Úteis e de

Emergência

O Binômio de Newton

O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó – óóóóóó – óóó – óóóóóóó – óóóóóóóó

(O vento lá fora.)

Fernando Pessoa.

Segue uma brevíssima coleção de fórmulas que podem ser úteis na resolução de problemas. Uma coleção (muito) maior e abrangente pode ser obtida em

Manuais de Fórmulas, como Spiegel (1992).

A.1

Fórmulas de geometria plana e espacial

Para o quadrado:

Para o cubo:

166

Pré-Cálculo

A.2 Produtos especiais e fatoração

Esses produtos são casos especiais da fórmula binomial

(A.12) onde

(A.13) e n! = n · (n – 1) · (n – 2) · · · 3 · 2 · 1

(A.14)

Algumas fatorações especiais: x2 – y2 = (x – y)(x + y)

(A.15)

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

(A.16)

A.3 Propriedades dos expoentes e logaritmos

Nas expressões a seguir, b é um número real positivo, p e q são números reais e m e n são números inteiros positivos. O número b é denominado base, p é o expoente e bp é a p-ésima potência de b.

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Capítulo 6 - Função Racional

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

6

Função Racional

Neste capítulo, estudaremos as funções racionais, assim chamadas pois suas expressões algébricas são definidas pela razão (divisão) entre dois polinômios.

6.1 Definição e principais características

Definição 6.1 Uma função racional é dada por

onde p e q são funções polinomiais, com q(x) ≠ 0.

Por exemplo, as funções dadas por

(6.1) são exemplos de funções racionais. A Figura 6.1 mostra os gráficos dessas funções.

O domínio de uma função racional consiste de todos os valores de x para os quais q(x) ≠ 0. Por exemplo, o domínio da função f consiste de todos valores reais de x, exceto x = 4 e x = –4.

Os zeros de uma função racional consistem de todos os valores de x no seu domínio para os quais p(x) = 0. Por exemplo, o zero da função g é x = 0.

Exemplo 6.1 Determine o domínio e os zeros (se existirem) das funções racionais dadas em (6.1).

Solução: O domínio da função f é Dom(f) = R –{±4}, já que q(x) = 0 se x = ±4. A função f não tem zeros.

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Capítulo 3 - Função Afim e Função Linear

Adriana Mioreli Adami, Adalberto Ayjara, Filho Dornelles, Magda Mantovani Lorandil Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

3

Função Afim e Função Linear

Quando utilizamos a Matemática para descrever um fenômeno real, tal como o tamanho de uma população, a velocidade de um objeto e a concentração de um produto em uma reação química, vários tipos de funções podem ser utilizados para modelar as relações observadas no mundo real.

Neste capítulo, estudaremos a função afim e a função linear. A principal característica dessas funções é que elas variam a uma taxa constante.

Entre as aplicações desse tipo de função, pode-se citar:

• O movimento retilíneo uniforme.

• O salário mensal de um vendedor que recebe um valor fixo adicionado de uma comissão de vendas.

• A fórmula para conversão de unidades de medida de temperatura Celsius e Fahrenheit.

• O modelo do ajuste linear nos problemas de modelagem matemática.

3.1 Definições e principais características

Vejamos como a função afim e a função linear são definidas.

Definição 3.1 Chama-se função afim a função dada por f (x) = mx + b,

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Capítulo 7 - Função Exponencial e Função Logarítmica

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Capítulo

7

Função Exponencial e

Função Logarítmica

As funções exponenciais e logarítmicas desempenham um papel importante não apenas na Matemática, mas também na Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras áreas. Essas funções constituem modelos ideais para descrever matematicamente vários fenômenos na natureza, como o crescimento de seres vivos microscópicos, a desintegração radioativa, o crescimento populacional, o nível de intensidade sonora, a medida do pH de substâncias e a magnitude de um terremoto, e também são úteis em assuntos relacionados a finanças, como o funcionamento de juros compostos.

7.1 Função exponencial

Definição 7.1 Dado um número real b, com b > 0 e b ≠ 1, denominamos função exponencial de base b a função f (x) = bx.

O domínio da função exponencial consiste em todos os números reais, isto

é, Dom(f) = R. E sua imagem consiste em todos os reais positivos, isto é,

= (0, +∞).

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Alexandre Assaf Neto (10)
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Medium 9788597013122

3 - Juros Compostos

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3

Juros Compostos

O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante (capital mais juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte, formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores), e assim por diante.

Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores.

Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples, principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos, conforme foi introduzido no capítulo anterior. No critério composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando melhor a realidade das operações que o regime linear.

3.1 Fórmulas de juros compostos

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5 - Matemática Financeira, Inflação e Taxa Over de Juros

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5

Matemática Financeira,

Inflação e Taxa Over de Juros

Em ambientes inflacionários é indispensável, para o correto uso das técnicas da Matemática

Financeira, ressaltar, nas várias taxas de juros nominais praticadas na economia, o componente devido à inflação e aquele declarado como real. A parte real é aquela obtida livre das influências da taxa de depreciação monetária verificada, isto é, adicionalmente à inflação.

De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.

Em sentido contrário, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido por deflação.

Tradicionalmente, o desenvolvimento da economia brasileira tem-se caracterizado pela presença marcante da inflação, apresentando taxas, na maior parte do tempo, em níveis relevantes.

É importante acrescentar, ainda, que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação, o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira. Nestas condições, mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo, alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado.

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1 - Conceitos Gerais de Matemática Financeira

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1

Conceitos Gerais de

Matemática Financeira

A Matemática Financeira trata, em essência, da avaliação do valor do dinheiro no tempo através da aplicação de uma série de técnicas e conceitos de matemática. O objetivo é o de efetuar comparações e análises dos vários fluxos de entradas e saídas de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos.

Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa. Em princípio, uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã. Postergar uma entrada de caixa (recebimento) por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros. Dessa forma, são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo, permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia.

A Matemática Financeira é extremamente útil na análise de diversas operações financeiras de investimentos e financiamentos, e em diversos outros ambientes econômicos que demandam comparações do dinheiro no tempo. As diversas situações do dia a dia também requerem o conhecimento de Matemática Financeira, exigindo uma melhor educação financeira das pessoas.

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Apêndices A, B e C

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

Apêndice A

Operações Básicas de Matemática

A.1 REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS a) Na soma de dois números com o mesmo sinal, efetua-se a operação e atribui-se ao resultado da soma o mesmo sinal.

Exemplos:

18 + (+35) = 18 + 35 = 53

–60 + (–30) = – 60 – 30 = –(60 + 30) = –90 b) Na soma de dois números com sinais desiguais, subtrai-se do maior o de menor valor absoluto e atribui-se à diferença encontrada o sinal presente no de maior valor absoluto.

Exemplos:

120 + (–70) = 120 – 70 = 50

40 + (–100) = 40 – 100 = –60

–80 + (+50) = –80 + 50 = –30 c) Na subtração de um número negativo, o sinal é alterado e os valores somados.

Exemplos:

120 – (–90) = 120 + 90 = 210

–150 – (–100) = –150 + 100 = –50

–200 – (–500) = –200 + 500 = 300 d) Na multiplicação ou divisão de dois números valem as seguintes regras:

• se os dois números tiverem o mesmo sinal, atribui-se ao resultado da operação sinal positivo;

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6 - Fluxos de Caixa

Alexandre Assaf Neto Grupo Gen PDF Criptografado

6

Fluxos de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo.

É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de investimentos empresariais, de dividendos etc.

Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferentes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis).

Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa, como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira, o assunto será tratado separadamente. A primeira parte do capítulo dedica-se ao estudo do fluxo de caixa uniforme, o qual apresenta uma característica de formação-padrão. É entendido como o modelo-padrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos. A sequência do capítulo dedica-se às demais classificações dos fluxos de caixa, definidas como não convencionais.

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Alexandre Da Silva Carissimi Juergen Rochol Lisandro Zambenedetti Granville (8)
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5 nível de rede

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

208

Redes de Computadores

Este é o principal objetivo da camada de rede e, para atingi-lo, cria-se a abstração de uma rede lógica única e a noção de roteamento. Este capítulo tem por objetivo discutir os principais conceitos, técnicas e algoritmos envolvidos no nível ou na camada.

Para ilustrar na prática a aplicação desses tópicos, é feita a análise, como estudo de caso, do Internet Protocol (IP).

No capítulo 1 definimos, de forma abrangente, rede de informação como “um conjunto de sistemas de processamento interligados através de um meio de comunicação de forma a permitir a troca de informações entre si”. A generalização desse conceito é a interconexão de diferentes redes formando uma única rede denominada de inter-rede, do inglês internet1. A camada de rede é a responsável pela criação da abstração inter-rede, fornecendo uma visão lógica de uma rede única e provendo o encaminhamento de informações de uma origem a um destino. Para melhor compreender esses conceitos, é necessário entender seu contexto de aplicação e a sua terminologia.

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2 o modelo de referência OSI da ISO

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

62

Redes de Computadores

Logo ficou evidente que, para melhor utilizar o imenso potencial por trás da tecnologia de redes, era necessário que fossem estabelecidos rapidamente padrões internacionais que assegurassem a interoperabilidade entre os computadores e equipamentos dessas redes. Em 1978, a International Organization for Standarization (ISO) criou um comitê técnico (TC97) de processamento de informação, reconhecendo que era urgente a necessidade de criar padrões para a interconexão de sistemas heterogêneos (computadores e roteadores, por exemplo). No mesmo ano, o TC97 criou um subcomitê (SC16) para tratar da interconexão de sistemas abertos ou OSI

(open system interconnection).

A estratégia básica adotada pelo SC16 para definir um modelo de arquitetura aberto, isto é, capaz de interoperar (trocar informação) com um outro sistema de arquitetura aberta, foi dividir a complexidade desta interconexão em conjuntos de funções afins

1 agrupados em camadas (layers ISO) ou níveis (levels ITU-T). A ideia é poder projetar uma rede, ou seja, interconectar diferentes equipamentos (sistemas) e assim facilitar a troca de informações (interoperabilidade) entre eles. Dessa forma, o projeto global da interconexão de equipamentos heterogêneos em uma rede fica reduzido ao projeto das funções e serviços oferecidos em cada uma das camadas definidas para essa rede. O projeto de uma camada é restrito ao contexto dessa camada e supõe que os problemas fora desse contexto (camada) já estejam devidamente resolvidos. Cada camada utiliza os serviços providos pela camada imediatamente inferior para oferecer um serviço de melhor qualidade àquela imediatamente superior.

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6 nível de transporte

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

266

6.1

Redes de Computadores

o papel do nível de transporte

As redes de computadores, como observado anteriormente, são utilizadas como mecanismo para a troca de dados entre processos que rodam nos computadores interconectados. As redes são normalmente complexas porque são formadas por uma grande diversidade e quantidade de dispositivos (por exemplo, roteadores, pontes e firewalls). Além da heterogeneidade e do número de equipamentos, as redes são também complexas pelo número de enlaces que interligam tais equipamentos e pelas tecnologias utilizadas na implementação da comunicação nesses enlaces.

Não é interessante que um processo em um computador tenha que se preocupar com a complexidade da rede utilizada, por exemplo, pensando qual caminho na rede deve utilizar para entregar um dado a um computador que abriga o processo de destino.

Desse ambiente de redes complexas é que surge a necessidade do nível de transporte, cuja função é justamente a de tornar a complexidade das redes transparente aos processos, de forma que esses não tenham que se preocupar, durante as comunicações, com tal complexidade. Para isso, o nível de transporte faz a intermediação no acesso dos processos à rede de computadores utilizada, implementando uma visão menos complexa da rede originalmente complexa.

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8 segurança

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344

Redes de Computadores

As diferentes maneiras de garantir segurança da informação e proteger redes de computadores estão baseadas na aplicação de técnicas de criptografia. Este capítulo é dedicado justamente a esse assunto, abordando inicialmente os principais conceitos de criptografia para posteriormente discutir o seu emprego em protocolos seguros na

Internet (IPsec, SSL e TLS).

Nos últimos anos, é possível observar um crescimento no uso de meios de comunicação, em especial da Internet, para acessar os mais diferentes serviços dos mais distintos locais. Hoje em dia, é possível consultar extratos bancários, realizar depósitos e transferências de dinheiro, efetuar compras com cartões de créditos a partir de um computador, ou mesmo de um telefone celular conectado a Internet.

Da mesma forma, em busca de agilidade e de economia, as empresas utilizam a

Internet como uma ferramenta fundamental para o envio e recebimento de informações, comunicação entre filiais etc. A consequência imediata disso é que, cada vez mais, informações sensíveis e confidenciais são armazenadas em computadores e transmitidas pela Internet, o que os torna um alvo em potencial para uma nova modalidade de crime, o cibernético.

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7 nível de aplicação

Alexandre da Silva Carissimi, Juergen Rochol, Lisandro Zambenedetti Granville Grupo A PDF Criptografado

306

Redes de Computadores

O nível de aplicação é responsável por interagir com os níveis “inferiores” de uma arquitetura de protocolos de forma a disponibilizar aos usuários humanos uma visão mais simples da rede de computadores. Outras simplificações dessa visão já são oferecidas em outros níveis (como no nível de transporte, apresentado anteriormente), mas é no nível de aplicação que a visão final apresentada aos usuários é formada.

Quanto mais abstrata for a visão de rede, mais simples tende a ser aos usuários a rede de computadores utilizada.

No modelo de referência OSI, entre o nível de transporte e o nível de aplicação, existem ainda os níveis de sessão e apresentação. Como sabemos, a arquitetura OSI não possui representantes relevantes nas modernas redes de computadores, sendo que a arquitetura TCP/IP acabou se tornando a arquitetura dominante ao longo dos últimos

20 anos. Nem por isso os níveis de sessão e apresentação OSI deixaram de ser considerados. Na verdade, os serviços originalmente definidos nos níveis de sessão e apresentação são, com frequência, efetivamente implementados nas aplicações Internet.

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Autoras Maria Adelaide De Castro Bonilha Sonia Maria Pereira Vidigal (4)
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Capítulo 02 - O recurso problemateca

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

O recurso problemateca

Uma coletânea de problemas não convencionais é o que denominamos problemateca.

Como o objetivo é oferecer aos alunos a possibilidade de resolverem problemas que exigem a elaboração de estratégias não convencionais para sua resolução, a problemateca pode ser utilizada de duas formas.

Como um arquivo de problemas do professor, há pelo menos três formas diferentes de organização dos alunos para a utilização dos problemas da problemateca.

A primeira delas é a seleção pelo professor de um ou dois problemas para serem resolvidos por todos os alunos em uma aula. Individualmente ou em duplas, os alunos têm um tempo para pensar e resolver os problemas e, em seguida, há uma aula coletiva em que todos podem apresentar e debater as resoluções.

A segunda forma de utilização é nos momentos de trabalho diversificado. Nesse caso, os problemas são organizados em uma caixa ou fichário com fichas numeradas contendo um problema em cada uma e a resposta no verso, para utilização direta dos alunos que terminaram suas tarefas coletivas, cada um em seu ritmo. Nessa segunda versão, os alunos podem procurar problemas para resolver ou utilizar aqueles indicados pelo professor, anotando no caderno o número da ficha, os dados do enunciado e a resolução. A resposta no verso da ficha facilita a autocorreção e favorece o trabalho independente.

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Capítulo 04 - Respostas

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

PROBLEMATECA | RESPOSTAS

Respostas

12.

1. A: Rubens.

B: Paulo.

C: Luís.

2. Respostas: Tuco é o nome do peixe, o gato se chama Pituco, e o cão se chama Tico.

3. A: Vitória.

B: Carmem.

C: Marta

5. Luciana é dona da Babi.

Carina é dona da Lalá. Míriam é dona da

Tetê.

6.

A

D

IDADE

Cristina

11 anos

Marta

9 anos

Lúcia

6 anos

Edgar

4 anos

13. A peça vermelha será guardada na caixa 1.

A peça verde será guardada na caixa 2.

A peça azul será guardada na caixa 3.

4. Caixinha amarela: Roberto.

Caixinha verde: Carlos.

Caixinha vermelha: Eduardo

B

NOME

C

E

7. A: Marta.

B: Lúcia.

C: Cristina

14.  → 3.

→ 4.

→ 2.

15.

1O LUGAR

Totó

2O LUGAR

Bob

3O LUGAR

Caco

4O LUGAR

Fifi

5O LUGAR

Rex

8. Fernando.

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Capítulo 01 -Matemática e resoluçãode problemas

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

Matemática e resolução de problemas

Introdução

Matemática e resolução de problemas são duas ideias que sempre estão juntas. Não se concebe aprender matemática se não for para resolver problemas; por outro lado, resolver problemas necessariamente inclui alguma forma de pensar matemática. Mesmo os problemas diários ou profissionais exigem que os dados sejam analisados e que alguma estratégia seja pensada para sua resolução, que, depois de executada, precisa ser avaliada para verificação se, de fato, permitiu ou não chegar à solução da situação inicial.

Nas aulas de matemática, a resolução de problemas tem assumido ao longo do tempo diferentes papéis, dependendo da concepção que se tem de por que ensinar matemática e de como se acredita que seja ensinar e aprender.

Em uma dessas concepções, a resolução de problemas pode ser entendida como a meta do ensino de matemática. Nessa perspectiva, o ensino de matemática, seus conceitos, técnicas e procedimentos devem ser ensinados antes, para que depois o aluno possa resolver problemas. Tudo se passa como se o aluno precisasse possuir todas as informações e os conceitos envolvidos na situação-problema para depois poder enfrentá-la. Dito dessa forma, é possível perceber que, nessa concepção, a matemática é importante em si mesma, a resolução de problemas é uma consequência do saber matemático, e, ao resolver problemas, o aluno demonstra se de fato aprendeu ou não matemática. Essa foi a visão da resolução de problemas do denominado modelo tradicional de ensino e a forma predominante de ensino no Brasil até os anos 1960.

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Medium 9788584290802

Capítulo 03 - A problemateca

Autoras Maria Adelaide de Castro Bonilha, Sonia Maria Pereira Vidigal Grupo A PDF Criptografado

A problemateca

Apresentamos a seguir um conjunto de problemas não convencionais que podem orientar o começo de uma problemateca. Para facilitar a consulta e utilização desses problemas em sala de aula, eles foram organizados em três grandes blocos e em cada bloco se apresentam com a indicação do ano escolar mais adequado para sua aplicação.

Os blocos estão identificados com ícones, conforme abaixo:

Lógica

Números e operações

Espaço e forma e Medidas

No primeiro grupo estão aqueles problemas não relacionados a qualquer conteúdo específico de matemática, cujo objetivo é desenvolver nos alunos seu raciocínio lógico-dedutivo.

No bloco de Números e operações estão problemas que apresentam esse tema como foco maior, mas que obviamente exigem dos alunos diferentes formas de raciocínio, inclusive o lógico-dedutivo.

O mesmo acontece no terceiro bloco, no qual apresentamos problemas que envolvem algum conteúdo de Espaço e Forma ou de

Grandezas e Medidas.

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