Vila Geraldo Severo De Souza Ara Jo Lu S Cl Udio Lopes De (13)
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10 Funções trigonométricas

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 278 — #278

Cap´ıtulo 10

Vamos tratar agora das fun¸c˜oes trigonom´etricas, de importˆancia fundamental em muitas aplica¸c˜oes e na pr´opria Matem´atica. A trigonometria ´e uma parte da Matem´atica elementar que costuma ser vista pelos iniciantes como disciplina muito complicada e dif´ıcil. Isso acontece quando o aluno ´e exposto logo de in´ıcio a uma grande quantidade de identidades e equa¸c˜oes trigonom´etricas. Mas isso ´e desnecess´ario; bastam umas poucas identidades b´asicas para se desenvolver tudo o que

´ exatamente isso que faremos neste cap´ıtulo.

´e essencial nessa disciplina. E

10.1

Como preliminar `a discuss˜ao das fun¸c˜oes trigonom´etricas, vamos considerar o problema da medi¸c˜ao de ˆangulos. Sejam um ˆangulo α e v´arios c´ırculos, todos centrados no v´ertice desse ˆangulo. Ent˜ao, os lados do ˆangulo determinam

⌢ nesses c´ırculos os arcos A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 etc. Em Geometria Elementar, aprendemos que a raz˜ao do arco pelo raio do c´ırculo correspondente ´e constante

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1 Funções, equações e gráficos

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 1 — #1

Cap´ıtulo 1

O C´alculo fundamenta-se em dois pilares b´asicos, que s˜ao a derivada e a integral.

No entanto, subjacente a eles est´a o conceito de fun¸c˜ ao, com o qual o leitor com certeza j´a adquiriu alguma familiaridade em seus estudos no ensino m´edio. N˜ao obstante isso, ´e conveniente que dediquemos este cap´ıtulo inicial a um apanhado sobre fun¸c˜oes e gr´aficos. E para bem entender as ideias relacionadas a fun¸c˜oes n˜ao ´e necess´ario todo aquele formalismo de conjuntos e muitas defini¸c˜oes como ainda se costuma fazer no ensino m´edio. Os conceitos devem ser introduzidos aos

´ poucos, somente quando s˜ao realmente necess´arios `a apresenta¸c˜ao das ideias. E essa a orienta¸c˜ao que adotamos aqui.

1.1

O conceito de fun¸c˜ ao vem de s´eculos atr´ as, mas foi s´ o em meados do s´eculo XVII que ele come¸cou a se desenvolver mais intensamente; e isso aconteceu por causa das necessidades que iam surgindo com o desenvolvimento do

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7 Logaritmo natural

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 209 — #209

Cap´ıtulo 7

Os logaritmos foram inventados no in´ıcio dos anos 1600 com o objetivo de facilitar c´alculos num´ericos. Naquela ´epoca, havia necessidade de realizar c´alculos trabalhosos, na elabora¸c˜ao de cartas n´auticas, mapas e no pr´oprio com´ercio. E os logaritmos realmente ajudaram muito, permitindo que opera¸c˜oes mais complexas, como multiplica¸c˜ao e divis˜ao, pudessem ser substitu´ıdas por adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao, que s˜ao bem mais simples. Essa utilidade dos logaritmos perdurou at´e aproximadamente 1960, quando os grandes computadores come¸caram a se tornar populares nas universidades e grandes empresas. Mas, a partir de ent˜ao, os logaritmos foram rapidamente caindo em desuso; mais ainda depois de 1980, quando come¸caram a surgir as calculadoras manuais e os microcomputadores. N˜ao obstante isso, a fun¸c˜ao “logaritmo natural” tem enorme importˆancia no C´alculo e em v´arios ramos da Matem´atica e outras ´areas cient´ıficas. E ´e interessante observar desde j´a que o logaritmo de um n´umero em qualquer base ´e sempre o produto de uma constante pelo logaritmo natural desse n´umero. Da´ı a importˆancia de estudarmos esse logaritmo.

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2 Derivadas

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 59 — #59

Cap´ıtulo 2

A derivada surgiu no s´eculo XVII, em conex˜ao com o problema de tra¸car a reta tangente a uma curva. Mas h´a uma outra motiva¸c˜ao da derivada, n˜ao menos importante que a da reta tangente: trata-se da ideia de taxa de varia¸c˜ao, como no caso da velocidade de um m´ovel, da taxa de decaimento de um material radioativo, da taxa de crescimento de uma cultura de bact´erias etc. Vamos considerar esses dois aspectos da derivada, sempre come¸cando com as situa¸c˜oes mais simples, evoluindo gradualmente para os casos mais complexos.

2.1

Vamos considerar o problema de tra¸car a reta tangente a uma dada curva num de seus pontos. No caso de uma circunferˆencia, sabemos que a tangente num ponto P ´e a reta que passa por P , perpendicularmente ao raio por esse ponto; ou ainda, dito de maneira equivalente, ´e a reta que toca a circunferˆencia somente nesse ponto (Fig. 2.1).

No caso de uma curva qualquer, o tra¸cado da reta tangente requer outro tratamento, como explicaremos agora. Suponhamos que a curva seja o gr´afico de uma certa fun¸c˜ao f , e sejam a e f (a) as coordenadas do ponto P , onde desejamos tra¸car a tangente (Fig. 2.2).

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11 Métodos de Integração

ÁVILA, Geraldo Severo de Souza; ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de Grupo Gen PDF Criptografado

“Calculo1” — 2012/5/8 — 9:25 — page 298 — #298

Cap´ıtulo 11

Este cap´ıtulo final trata dos “m´etodos de integra¸c˜ao”, tamb´em conhecidos como

“regras de integra¸c˜ao”. S˜ao recursos que permitem encontrar primitivas de determinadas fun¸c˜oes. Dois desses m´etodos s˜ao da maior importˆancia, e n˜ao podem ser omitidos em nenhum curso de C´alculo. S˜ao eles o m´etodo de integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao e o m´etodo de integra¸c˜ao por partes, apresentados logo a seguir.

Esses dois m´etodos de integra¸c˜ao s˜ao importantes, n˜ao apenas para calcular efetivamente primitivas de certas fun¸c˜oes; mais do que isso, eles s˜ao instrumentos poderosos para o desenvolvimento de v´arios m´etodos e t´ecnicas do pr´oprio C´alculo bem como de outras disciplinas matem´aticas.

No passado, os m´etodos de integra¸c˜ao em geral eram muito usados para encontrar primitivas, at´e que, por volta de 1980, come¸caram a surgir softwares de computa¸c˜ao que permitiram calcular primitivas com bastante facilidade, bastando

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Adalberto Ayjara Dornelles Filho (9)
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Capítulo 2 - Erros e aritmética computacional

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Erros e aritmética computacional

2

Ao contrário do que julga o senso comum, o computador não é uma máquina de calcular perfeita. Os cálculos efetuados no computador estão sujeitos a erros (em maior ou menor magnitude). A compreensão da natureza desses erros permite estabelecer estratégias (algoritmos) para a resolução de problemas.

Neste capítulo, abordaremos a forma como os números são armazenados pelo computador e como os erros aparecem. Veremos também uma estratégia geral de abordagem dos algoritmos numéricos: os refinamentos sucessivos.

2.1

Resolução de problemas numéricos

Nas ciências e engenharias, o computador cumpre um papel importante no processo de resolução de problemas, especialmente quando cálculos aritméticos são muito utilizados. O processo de resolução de problemas, muitas vezes, envolve algum artifício e engenhosidade. Embora não se possa estabelecer uma regra única, podemos dizer que, de um modo geral, a resolução de problemas segue os seguintes passos:

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Capítulo 8 - Equações diferenciais ordinárias

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Equações diferenciais ordinárias

8.1

8

Definição do problema

Equações diferenciais combinam uma função incógnita u e suas derivadas: u′, u″,…, u(k). Se a função incógnita é dependente de apenas uma variável, a equação é dita ordinária. A ordem de uma equação diferencial é dada por sua derivada de mais alta ordem. As equações diferenciais podem ser definidas em um intervalo I ⊆ Rn e restritas a condições de contorno (ou iniciais) nas bordas do intervalo. Resolver uma equação diferencial implica determinar a função incógnita u que satisfaz a equação e suas condições de contorno.

Existem inúmeras maneiras de construir equações diferenciais e as técnicas de resolução dependem da classificação da equação (Boyce; DiPrima, 2002).

Um Problema de Valor Inicial (PVI) se constitui em uma equação diferencial ordinária cuja solução u(t) está definida em um intervalo fechado [a, b] e restrita a assumir um valor especificado no início do intervalo:

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Capítulo 4 - Sistemas lineares

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Sistemas lineares

4.1

4

Definição do problema

O sistema representado a seguir é chamado de sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear com m equações e n incógnitas

Pode ser representado pela equação matricial Ax = b, sendo

Quanto à quantidade de equações (m) e incógnitas (n), um sistema linear pode ser classificado como:

• subdeterminado: se m < n;

• determinado: se m = n;

• sobredeterminado: se m > n.

Ele pode ser consistente (se existe solução, sendo que pode haver uma

única solução ou uma infinidade de soluções) ou inconsistente (se não existe solução).

O problema em questão é resolver um sistema linear. Os métodos de resolução de sistema linear podem ser classificados em:

• diretos: escalonamento (Gauss), inversão, determinantes (Cramer), fatoração LU, etc.

• iterativos: Gauss-Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente conjugado, etc.

Neste capítulo, estudaremos alguns métodos para a resolução de sistemas lineares determinados (m = n) com solução única. A resolução de sistemas sobredeterminados ou subdeterminados ou com infinitas soluções pode ser encontrado em Golub e Loan (1996).

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Capítulo 6 - Ajuste de funções

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Ajuste de funções

6

6.1 Definição do problema

Considere um conjunto de n nodos (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) e uma função de ajuste fβ : R → R determinada por um conjunto de parâmetros β = {β0,

β1,…, βm}. O problema do ajuste de funções consiste em determinar os valores dos parâmetros β que fazem com que a curva definida pela função de ajuste f passe “o mais perto possível” dos nodos. Por exemplo, desejamos determinar os valores β0, β1 e β2 que fazem com que a curva dada pela função f(x)= β2x2+ β1x + β0 (uma parábola) passe “o mais perto possível” de um conjunto de 20 nodos como mostra a Figura 6.1. O problema do ajuste de funções também é denominado ajuste de curvas ou simplesmente ajuste.

A motivação para esse problema geralmente provém da análise de observações experimentais na qual desejamos ajustar uma curva teórica a dados experimentais (observados) que, devido a erros de medida e a perturbações externas, oscilam em torno de valores previstos (esperados). O método de ajuste mais popular, denominado método dos quadrados mínimos, foi pioneiramente desenvolvido por Legendre1 e Gauss2.

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Capítulo 1 - Introdução ao MATLAB

Adalberto Ayjara Dornelles Filho Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Introdução ao MATLAB

1

Neste capítulo, estudaremos brevemente algumas características e funcionalidades do MATLAB.

O MATLAB (acrônimo de MATrix LABoratory) é um software que permite ao usuário efetuar cálculos via digitação direta de comandos e construir programas que automatizem procedimentos de cálculo mais complexos. O

MATLAB é uma ferramenta muito utilizada tanto no ambiente acadêmico

(ensino, pesquisa, etc.) quanto no profissional (desenvolvimento de produtos, análise de problemas, etc.). Ele tem uma interface simples e intuitiva, e constitui ferramenta indispensável para o estudante de ciências exatas e engenharia. Existem várias e boas referências para o estudante interessado.

Por exemplo, MATLAB com aplicações em engenharia, de Amos Gilat (2012) e Essential MATLAB for engineers and scientists, de Brian D. Hahn e Daniel

T. Valentine (2007).

1.1

Obtendo ajuda

A primeira questão prática que o estudante necessita saber é como obter auxílio com o MATLAB. Basicamente, existem três níveis de ajuda:

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Adriana Miorelli Adami Adalberto Ayjara Dornelles Filho Magda Mantovani Lorandi (10)
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Medium 9788582603208

Apêndice B - Respostas aos Problemas

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Apêndice

B

Respostas aos Problemas

Capítulo 1

1.1 (a) (– ∞, 0) ∪ (0, +∞) (b) (0, +∞)

(c) (–∞, 0) (d) [0, +∞) (e) (–∞, 0]

1.2 (a) Todos os números reais menores ou iguais a 3

(e) {x ∈ R : –2 ≤ x < 2}

1.4 (a) 7/10 (b) –0,5 (c) 360 (d) 720

1.5 (a)

(g)

(b)

(h)

(c)

(i)

(d)

(e)

(f)

1.6 (a) 4 (b) –3

(b) Todos os números reais entre –2 e

4, incluindo –2 e excluindo 4

1.7 (a) x = 4 (b) x = 3

1.8 (a)

(c) Todos os números reais menores ou iguais a 5

(d) Todos os números reais maiores que –3

(e) Todos os números reais menores que 0

(b)

2 3

(b) –a b m 2 (c)

(e) a 2m

1.9 (a)

(d)

1.10 (a) x 17 + x (b) 4x 12 (c)

(e) –x (f) a 17/6b 3/4 (g)

1.11 (a)

(b)

1.14 (a)

(d) 2x 8/5

(b)

(c)

(d)

(b)

1.16 40

1.18 (a)

(b) {x ∈ R : x ≥ 5}

1.19 10

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Capítulo 8 - Trigonometria e Funções Trigonométricas

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

8

Trigonometria e Funções

Trigonométricas

A Trigonometria é uma área da Matemática bastante importante no Cálculo Diferencial e Integral. Os primeiros estudos sobre Trigonometria (do grego trigonon, triângulo, e metria, medição) tiveram origem nas relações entre lados e ângulos no triângulo e datam de muito tempo. Nosso objetivo principalneste capítulo é o estudo de funções trigonométricas. Podemos defini-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sanguínea em nosso sistema circulatório, a corrente elétrica alternada, a posição das moléculas de ar transmitindo uma nota musical. Em todos esses fenômenos, uma grandeza oscila com regularidade e pode ser representada por funções trigonométricas. Neste capítulo, faremos primeiramente uma revisão de alguns conceitos básicos da Trigonometria necessários para o estudo das funções trigonométricas e suas inversas.

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Apêndice A - Fórmulas Úteis e de Emergência

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Apêndice

A

Fórmulas Úteis e de

Emergência

O Binômio de Newton

O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó – óóóóóó – óóó – óóóóóóó – óóóóóóóó

(O vento lá fora.)

Fernando Pessoa.

Segue uma brevíssima coleção de fórmulas que podem ser úteis na resolução de problemas. Uma coleção (muito) maior e abrangente pode ser obtida em

Manuais de Fórmulas, como Spiegel (1992).

A.1

Fórmulas de geometria plana e espacial

Para o quadrado:

Para o cubo:

166

Pré-Cálculo

A.2 Produtos especiais e fatoração

Esses produtos são casos especiais da fórmula binomial

(A.12) onde

(A.13) e n! = n · (n – 1) · (n – 2) · · · 3 · 2 · 1

(A.14)

Algumas fatorações especiais: x2 – y2 = (x – y)(x + y)

(A.15)

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

(A.16)

A.3 Propriedades dos expoentes e logaritmos

Nas expressões a seguir, b é um número real positivo, p e q são números reais e m e n são números inteiros positivos. O número b é denominado base, p é o expoente e bp é a p-ésima potência de b.

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Capítulo 6 - Função Racional

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

6

Função Racional

Neste capítulo, estudaremos as funções racionais, assim chamadas pois suas expressões algébricas são definidas pela razão (divisão) entre dois polinômios.

6.1 Definição e principais características

Definição 6.1 Uma função racional é dada por

onde p e q são funções polinomiais, com q(x) ≠ 0.

Por exemplo, as funções dadas por

(6.1) são exemplos de funções racionais. A Figura 6.1 mostra os gráficos dessas funções.

O domínio de uma função racional consiste de todos os valores de x para os quais q(x) ≠ 0. Por exemplo, o domínio da função f consiste de todos valores reais de x, exceto x = 4 e x = –4.

Os zeros de uma função racional consistem de todos os valores de x no seu domínio para os quais p(x) = 0. Por exemplo, o zero da função g é x = 0.

Exemplo 6.1 Determine o domínio e os zeros (se existirem) das funções racionais dadas em (6.1).

Solução: O domínio da função f é Dom(f) = R –{±4}, já que q(x) = 0 se x = ±4. A função f não tem zeros.

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Capítulo 7 - Função Exponencial e Função Logarítmica

Adriana Miorelli Adami; Adalberto Ayjara Dornelles Filho; Magda Mantovani Lorandi Grupo A PDF Criptografado

Capítulo

7

Função Exponencial e

Função Logarítmica

As funções exponenciais e logarítmicas desempenham um papel importante não apenas na Matemática, mas também na Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras áreas. Essas funções constituem modelos ideais para descrever matematicamente vários fenômenos na natureza, como o crescimento de seres vivos microscópicos, a desintegração radioativa, o crescimento populacional, o nível de intensidade sonora, a medida do pH de substâncias e a magnitude de um terremoto, e também são úteis em assuntos relacionados a finanças, como o funcionamento de juros compostos.

7.1 Função exponencial

Definição 7.1 Dado um número real b, com b > 0 e b ≠ 1, denominamos função exponencial de base b a função f (x) = bx.

O domínio da função exponencial consiste em todos os números reais, isto

é, Dom(f) = R. E sua imagem consiste em todos os reais positivos, isto é,

= (0, +∞).

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Alcir Garcia Reis (22)
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Medium 9788582602355

Capítulo 7 - Quadriláteros

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capítulo 7

Quadriláteros

Neste capítulo, vamos abordar os quadriláteros, isto é, os polígonos de quatro lados.

Os quadriláteros notáveis são classificados como paralelogramos e trapézios.

A exemplo dos triângulos, os quadriláteros possuem suas propriedades e relações, que serão devidamente apresentadas.

Objetivos de aprendizagem

Diferenciar os diversos tipos de quadriláteros com base em suas propriedades.

Calcular as diferentes medidas de ângulos e segmentos em quadriláteros.

Dominar a resolução de exercícios envolvendo quadriláteros e suas aplicações.

Paralelogramos

São quadriláteros cujos lados opostos são paralelos. Esses quadriláteros têm as seguintes propriedades:

•• Os ângulos opostos são congruentes.

•• Os lados opostos são congruentes.

D

C

B

A

•• As diagonais se intersectam no ponto médio.

D

C

B

A

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

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Medium 9788582602355

Apêndice B

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Apêndice B

Neste apêndice, você encontrará a resolução dos exercícios mais complexos apresentados ao longo do livro.

Resolução do Exercício 1.6

Vamos mostrar que

OA + OB

é igual a MO. Para isso, temos duas situações distintas.

2

i. No primeiro caso, temos:

M

A

   Partindo de

B

O

OA + OB

, sabemos que:

2

OA = AM + MB + OB    Substituindo OA na expressão acima, temos:

OA + OB AM + MB + OB + OB

=

2

2

Como AM = MB, temos

MB + MB + OB + OB

2

2MB + 2OB

         =

2

2 (MB + 2OB)

=

= MB + OB = MO

2

       =

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

ii. No segundo caso, temos:

236

O

    Partindo também de

A

M

B

OA + OB

, sabemos que:

2

OB = OA + AM + MB    Substituindo OB na expressão acima, temos:

OA + OB OA + OA + AM + MB

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Capítulo 2 -Ângulos

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capítulo 2

Ângulos

Neste capítulo, a partir da definição de ângulo, identificamos suas diversas aplicações geométricas no dia a dia, mostrando conceitos importantes. Além disso, propomos problemas relacionados e como resolvê-los.

Objetivos de aprendizagem

Definir e diferenciar os tipos de ângulos e usar a devida notação para identificá-los.

Converter unidades em grau sexagesimal e decimal e vice-versa.

Realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com medidas de grau sexagesimal.

Ângulo

Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de mesma origem. Normalmente, representamos os ângulos por letras ou números, como mostram os exemplos a seguir.

EXEMPLOS i.

Podemos representar o ângulo ao lado como:

A

O

Ô

 letra do vértice do ângulo, com acento circunflexo;

AÔB ou BÔA  as três letras que expressam o ângulo são A e B, que pertencem aos lados, e O, com acento circunflexo, que representa o vértice;

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Capítulo 10 - Teorema de Tales

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capítulo 10

Teorema de Tales

Neste capítulo, abordamos a aplicação do Teorema de Tales, atribuído a Tales de

Mileto, filósofo que viveu na Grécia Antiga, por volta de 630 a.C.

Objetivos de aprendizagem

Enunciar o Teorema de Tales e aplicá-lo a situações do cotidiano.

Resolver cálculos empregando esse teorema.

Introdução

Em um plano, definimos como feixe de paralelas um conjunto de retas paralelas. Uma reta que concorre com todas essas paralelas é chamada de transversal.

Segmentos correspondentes de duas transversais são segmentos dessas transversais que estão compreendidos entre duas paralelas do feixe.

Teorema

A razão entre dois segmentos quaisquer de uma reta transversal é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra, em um feixe de paralelas. u

r

DICA

a

As propriedades da proporção nos permitem reescrever essas relações de várias formas diferentes:

b = b' ou a = b a a' a' b' entre outras.

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Capítulo 15 - Áreas planas

Alcir Garcia Reis Grupo A PDF Criptografado

capítulo 15

Áreas planas

Neste capítulo, apresentamos as fórmulas para o cálculo das áreas de algumas superfícies limitadas.

Objetivos de aprendizagem

Calcular as áreas de paralelogramos, retângulos, quadrados, triângulos, losangos, trapézios e círculos (e do setor circular), bem como de outros polígonos de n lados e regulares.

Realizar cálculos que demandem esse tipo de informação para diversos propósitos.

Área do paralelogramo

A área do paralelogramo é definida como o produto da base pela altura.

h

ÁREA: S = b ? h

b

Área do retângulo

Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura

Como todo retângulo é um paralelogramo, sua área também será o produto da base pela altura.

162

h

ÁREA: S = b ? h

b

Área do quadrado

O quadrado é um retângulo com a base e a altura congruentes. Assim, sua área será o quadrado de seu lado.

ÁREA: �S = b ? h

2

S=ℓ

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Anton Howard (11)
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4. Determinantes

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CAPÍTULO

Os determinantes são importantes na Geometria e na teoria da Álgebra Linear. Os determinantes também fornecem uma maneira de distinguir entre orientação positiva e orientação negativa em espaços de dimensões superiores.

4

Determinantes

Seção 4.1

Determinantes; Expansão em

Co-Fatores

Na Seção 3.2, introduzimos o conceito de determinante como uma maneira conveniente de escrever uma fórmula geral para a inversa de uma matriz 2 × 2 invertível. Nesta seção, estenderemos o conceito de determinante de tal modo que será possível obter fórmulas para inversas de matrizes invertíveis de ordens superiores, bem como fórmulas para a solução de certos sistemas lineares.

DETERMINANTES

DE MATRIZES

2×2E3×3

Recorde que na Seção 3.2 definimos o determinante de uma matriz 2 × 2

A=

a b c d

como o produto das entradas na diagonal principal menos o produto das entradas fora da diagonal principal, ou seja, (A) = ad – bc. Também podemos escrever o determinante como a b

= ad − bc c d

(1)

Historicamente, os determinantes apareceram primeiro no contexto de resolução de sistemas de equações lineares para um conjunto de variáveis em termos de um outro conjunto de variáveis. Por exemplo, no Exemplo 7 da Seção 3.2, mostramos que se a matriz de coeficientes do sistema u = ax + by v = cx + dy

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9. Espaços Vetoriais Arbitrários

Anton, Howard Grupo A PDF Criptografado

CAPÍTULO

Os espaços vetoriais arbitrários e, em especial, os espaços vetoriais de funções, são utilizados na análise do formato de ondas e no novo campo de wavelets. As aplicações incluem, por exemplo, a predição de terremotos, a síntese musical, a dinâmica dos fluidos, o reconhecimento facial e vocal e a prospecção de petróleo.

9

Espaços Vetoriais Arbitrários

Seção 9.1

Axiomas de Espaço Vetorial

O conceito de espaço vetorial foi generalizado várias vezes ao longo deste texto. Começamos vendo vetores como quantidades com comprimento, direção e sentido, depois como setas em duas ou três dimensões, daí como pares ou ternos ordenados de números reais e então como ênuplas de números reais. Várias vezes também indicamos que existem outras generalizações úteis do conceito de espaço vetorial. Nesta seção, vamos discutir essas generalizações. Em alguns exemplos, será necessário algum conhecimento de Cálculo.

AXIOMAS DE

ESPAÇO VETORIAL

Nosso objetivo primário nesta seção é especificar os requerimentos que nos permitirão ver um conjunto arbitrário de objetos munido de duas operações como um espaço vetorial. A idéia básica é impor restrições adequadas às operações para garantir que os teoremas familiares sobre vetores continuem valendo. A idéia não é complicada, n pois, se traçarmos a genealogia dos teoremas algébricos sobre R e seus subespaços (excluindo os que envolvem produto escalar), veremos que a maioria desses resultados segue de um número reduzido de propriedades centrais:

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5. Modelos Matriciais

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CAPÍTULO

Os modelos matriciais são utilizados para estudar sistemas econômicos e ecológicos e para projetar redes de trânsito, processos químicos e circuitos elétricos.

5

Modelos Matriciais

Seção 5.1

Sistemas Dinâmicos e Cadeias de Markov

Nesta seção, mostraremos como os métodos matriciais podem ser usados para analisar o comportamento de sistemas físicos que evoluem com o passar do tempo. Os métodos que estudaremos aqui têm sido aplicados a problemas de

Administração, Ecologia, Demografia, Sociologia e da maioria das ciências físicas.

SISTEMAS

DINÂMICOS

Um sistema dinâmico é um conjunto finito de variáveis cujos valores mudam com o passar do tempo. O valor de uma variável num dado instante de tempo é denominado o estado da variável naquele instante de tempo e o vetor formado pelos estados é denominado o estado do sistema dinâmico naquele instante de tempo. Nosso principal objetivo nesta seção é analisar como o estado de um sistema dinâmico evolui com o tempo. Comecemos com um exemplo.

EXEMPLO 1

Suponhamos que cada um de dois canais de televisão, os canais 1 e 2, tenha 50% da audiência num dado instante de tempo inicial. Suponha que ao longo de cada período de um ano, o canal 1 atraia 10% da audiência do canal 2 e o canal 2 capture 20% da audiência do canal 1 (ver Figura 5.1.1). Qual é a audiência de cada canal ao final de um ano?

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2. Sistemas de Equações Lineares

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CAPÍTULO

Sistemas lineares com milhares de variáveis, ou até com milhões de variáveis, ocorrem nas engenharias, na análise econômica, nas imagens de ressonância magnética, na análise de fluxo de tráfego, na previsão do tempo e na formulação de decisões e de estratégias comerciais.

2

Sistemas de Equações Lineares

Seção 2.1

Introdução aos Sistemas de

Equações Lineares

Um dos principais tópicos da Álgebra Linear é o estudo de sistemas de equações lineares e suas soluções. Nesta seção introdutória, discutiremos algumas das maneiras pelas quais surgem os sistemas de equações lineares, o que significa resolvê-los, e como suas soluções podem ser interpretadas geometricamente. Nosso enfoque aqui será nas idéias gerais e, na próxima seção, discutiremos métodos computacionais de encontrar soluções.

SISTEMAS LINEARES

Lembre que uma reta em R2 pode ser representada por uma equação da forma a1 x + a2 y = b

(a1 , a2 não ambos nulos 0)

(1)

3

e que um plano em R pode ser representado por uma equação da forma a1 x + a 2 y + a 3 z = b

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6. Transformações Lineares

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CAPÍTULO

As transformações lineares são utilizadas no estudo de processos caóticos e no projeto de sistemas de controle na Engenharia. As transformações lineares também são importantes em aplicações como filtragem de ruído em sinais acústicos e elétricos e em computação gráfica.

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Transformações Lineares

Seção 6.1

Matrizes como Transformações

O nosso trabalho com matrizes, até aqui, foi no contexto de sistemas lineares. Nesta seção, consideraremos as matrizes de um ponto de vista operacional, ou seja, veremos como a multiplicação matricial afeta as relações algébricas e geométricas entre vetores.

UMA REVISÃO

DE FUNÇÕES

Comecemos com uma breve revisão de algumas idéias sobre funções. Em primeiro lugar, recorde que se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor permitido da variável x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x. Por exemplo, se x é qualquer número real, então a equação y = x2 define y como uma função de x, pois cada número real x tem um único quadrado y.

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