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Capítulo 21 Métodos Numéricos para EDOs e EDPs

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e equações diferenciais parciais (EDPs) desempenham um papel central na modelagem de problemas de Engenharia, Matemática, Física, Aeronáutica, Astronomia, dinâmica, elasticidade, Biologia, Medicina, Química, ciências ambientais, Economia e várias outras áreas. Os Capítulos 1−6 e 12 apresentaram as abordagens principais para resolver EDOs e EDPs analiticamente. Na sua carreira, entretanto, seja como engenheiro, ou matemático aplicado ou físico, você encontrará EDOs e EDPs que não podem ser resolvidas por aqueles métodos analíticos, ou cujas resoluções são tão difíceis que outras abordagens são necessárias. É precisamente nesses projetos do mundo real que os métodos numéricos para EDOs e EDPs são utilizados, frequentemente como parte de um pacote de software. De fato, software numérico tem-se tornado uma ferramenta indispensável para o engenheiro.

Este capítulo é igualmente dividido entre métodos numéricos para EDOs e métodos numéricos para EDPs. Iremos começar com EDOs e discutir, na Seção 21.1, métodos para EDOs de primeira ordem. A ideia inicial principal é a de que podemos obter aproximações para a solução de uma EDO em pontos que distam h entre si, utilizando os dois primeiros termos da fórmula de Taylor do cálculo. Com estas aproximações, vamos construir a fórmula de iteração para um método conhecido como método de Euler. Enquanto este método é bastante instável e de pouca utilidade prática, ele serve como uma ferramenta pedagógica e um ponto de partida para compreender métodos mais sofisticados, tais como Runge-Kutta e sua variante, o método de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF), que são populares e úteis na prática. Como é usual em Matemática, tendemos a generalizar ideias matemáticas. Os métodos da Seção 21.1 são métodos de passo único, isto é, a aproximação atual utiliza apenas a aproximação do passo anterior. Métodos de passos múltiplos, como os de Adams-Bashforth e Adams-Moulton, utilizam valores calculados em vários passos anteriores. Concluiremos os métodos numéricos para EDOs aplicando métodos de Runge-Kutta-Nyström e outros métodos a EDOs de ordem mais alta e a sistemas de EDOs.

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Capítulo 25 Estatística Matemática

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

Em teoria da probabilidade, estabelecemos modelos matemáticos de processos que são influenciados pelo “acaso”. Em estatística matemática, ou simplesmente estatística, verificaremos estes modelos em comparação com a realidade observável. A esse procedimento denomina-se inferência estatística. Isso é feito por amostragem, isto é, coletando amostras aleatórias, denominadas amostras. Estes são conjuntos de valores coletados a partir de um conjunto muito maior de valores que poderiam ser estudados, denominado a população. Um exemplo é dez diâmetros de parafusos coletados a partir de um grande lote de parafusos. A amostragem é realizada para ver se um modelo da população é suficientemente preciso para propósitos práticos. Em caso afirmativo, o modelo poderá ser utilizado para previsões, decisões e ações, por exemplo, no planejamento de produção, na compra de equipamentos, nos investimentos em projetos de negócios, e assim por diante.

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Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

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Problemas Propostos 19.1, página 9

23. O algoritmo do Problema 22 repete 0011 infinitas vezes.

25. n = 26. O início é em 0,09375 (n = 1).

Problemas Propostos 19.2, página 18

 3. g = 0,5 cos x, x = 0,450184 (x10, acurácia 6S)

 5. Para todos os valores iniciais, ocorre convergência para 4,7.

 7. x = x/(ex sen x); 0,5; 0,63256; … converge para 0,58853 (acurácia 5S) em 14 passos.

 9. x = x4 − 0,12; x0 = 0, x3 = −0,119794 (acurácia 6S)

11. g = 4/x + x3/16 − x5/576; x0 = 2, xn = 2,39165 (n ≧ 6); 2,405 com acurácia 4S

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Capítulo 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial

KREYSZIG, Erwin et al. Grupo Gen ePub Criptografado

No Capítulo 17, desenvolvemos a abordagem geométrica do mapeamento conforme. Isso significa que, para uma função analítica complexa w = f(z), definida em um domínio D do plano z, associamos a cada ponto em D um ponto correspondente no plano w. Isso nos forneceu um mapeamento conforme (que preserva ângulos), exceto em pontos críticos em que f'(z) = 0.

Neste capítulo, vamos aplicar mapeamentos conformes a problemas do potencial. Isso nos levará a problemas de contorno e várias aplicações da Engenharia em eletrostática, fluxo de calor e escoamento de fluidos. Mais detalhes são como se segue.

Lembre-se de que a equação de Laplace ∇2Φ = 0 é uma das mais importantes EDPs em Matemática Aplicada à Engenharia, porque ela ocorre em gravitação (Seções 9.7, 12.11), eletrostática (Seção 9.7), condução do calor em estado estacionário (Seção 12.5), escoamento de fluido incompressível, entre outras áreas. A teoria desta equação é denominada teoria do potencial (embora “potencial” também seja usado, em um sentido mais geral, em conexão com gradientes [veja a Seção 9.7]). Considerando que queremos tratar esta equação com métodos de análise complexa, iremos restringir nossa discussão ao “caso bidimensional”. Assim, Φ depende apenas de duas coordenadas cartesianas x e y, e a equação de Laplace torna-se

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Capítulo 13 Números Complexos e Funções Complexas. Derivação Complexa

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Nossa transição de “cálculo real” para “cálculo complexo” começará com uma discussão de números complexos, e sua representação geométrica no plano complexo. Depois, na Seção 13.3, vamos progredir para funções analíticas. Queremos que funções sejam analíticas, porque elas são as “funções úteis” no sentido de que elas são deriváveis em algum domínio, e a elas podemos aplicar operações da análise complexa. As equações mais importantes são então as equações de Cauchy-Riemann, Seção 13.4, porque elas permitem um teste de analiticidade dessas funções. Além disso, mostraremos como as equações de Cauchy-Riemann se relacionam com a importante equação de Laplace.

As demais seções do capítulo serão dedicadas a funções complexas elementares (funções exponencial, trigonométrica e logarítmica). Estas generalizam as funções reais familiares do cálculo. Conhecê-las detalhadamente é de necessidade absoluta no trabalho prático, exatamente como a necessidade de se conhecer as suas correspondentes reais no cálculo.

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