Teoria das funções da variável complexa

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Teoria das Funções de Variável Complexa tem como objetivo proporcionar uma introdução ao tema a estudantes universitários de graduação e de pós-graduação, já familiarizados com a teoria e o cálculo de funções de uma e várias variáveis reais.Começando pelas propriedades de funções complexas análogas às das funções de variáveis reais, seu conteúdo inclui limites e continuidade, séries de potências e integrais de uma função complexa. Ao longo dos capítulos são consideradas as propriedades essenciais características das funções complexas, partindo de sua diferenciabilidade, regularidade e do conceito de prolongamento analítico. Na sequência, o conteúdo passa à análise de pontos singulares e séries de Laurent, estudo de resíduos e suas aplicações e finaliza com a análise das transformações conformes e propriedades de mapeamento de funções complexas elementares. Os problemas e exercícios que acompanham os tópicos servem para ilustrar a teoria e desenvolver a habilidade de utilizar os resultados estudados.O cuidado de apresentar uma sequência lógica da exposição dos assuntos – cobrindo todos os tópicos de modo mais direto, sem perder o rigor matemático – e a interligação entre teoria e aplicações por meio de problemas e exercícios de níveis diferenciados fazem com que Teoria das Funções de Variável Complexa seja uma obra de referência na área.

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1 Introdução

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Introdução

1.1 Números complexos e operações com números complexos

Definição. Um número complexo z é um par ordenado de números reais z = (x, y) que satisfaz às seguintes operações:

1) Equivalência de dois números complexos:

 x =x

1

2 z1 = z2 , se, e somente se,

 y1 = y2

;

2) Adição de dois números complexos:

se z1 = (x1 , y1 ) , z2 = (x2 , y2 ) , então z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 );

3) Multiplicação de um número complexo por uma constante real: az = a · (x, y) = (ax, ay) ,

∀a ∈ R;

4) Multiplicação de dois números complexos: z1 · z2 = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ) .

Observação. Nas fórmulas acima e ao longo do texto a seguir, utilizamos a indexação natural dos números complexos na forma zi = (xi , yi ), i = 1, 2, . . . .

1

 

2 Funções regulares e suas propriedades

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Funções regulares e suas propriedades

2.1 Funções diferenciáveis e regulares

Definição 1. Seja f (z) definida em uma vizinhança do ponto z0 . A função f (z) é chamada diferenciável no ponto z0 se existe o limite finito f (z0 + ∆z) − f (z0 )

= f ′ (z0 )

∆z→0

∆z lim

(2.1)

chamado de derivada da função f (z) no ponto z0 .

Observação 1. Como foi mencionado no item 1.4 do Capítulo 1, o limite da função complexa possui todas as propriedades do limite da função real. Por isso, a definição de função diferenciável pode ser expressa, usando as propriedades dos limites, da seguinte maneira: f (z0 + ∆z) − f (z0 ) f (z0 + ∆z) − f (z0 )

= f ′ (z0 ) ⇔

= f ′ (z0 ) + α(∆z),

∆z→0

∆z

∆z lim

onde α(∆z) → 0, isto é, α(∆z) é uma função infinitésima em relação a ∆z; daqui

∆z→0

conseguimos mais uma forma equivalente da definição de função diferenciável no ponto z0 :

 

3 Pontos singulares, série de Laurent, resíduos

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Pontos singulares, série de

Laurent, resíduos

3.1 Ponto singular na fronteira de um círculo de convergência

Vimos, no item anterior, que, se não podemos prolongar uma função f (z) até o ponto z0 ∈ ∂D, esse ponto é chamado singular; não existe elemento regular da função f (z) neste ponto. Agora consideraremos os pontos singulares mais detalhadamente.

Definição. Seja uma função f (z) regular na região D, z0 ∈ ∂D. O ponto z0

é chamado ponto singular de fronteira de f (z) se a função f (z) não pode ser prolongada analiticamente nesse ponto ou a função não está definida em z0 .

Novamente consideremos o desenvolvimento da função f (z) em série de potências. Lembramos que, para funções reais, o raio de convergênçia da série de potências não está ligado, de modo geral, às propriedades da função para a qual

1 construímos essa série. Por exemplo, se desenvolvemos a função f (x) = 1+x

 

4 Transformações conformes

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Transformações conformes

4.1 Interpretação geométrica do módulo e do argumento da derivada. Conceito de transformação conforme

Seja w = f (z) uma função regular em uma região D. Denotamos por G a imagem da região D na transformação f : G = f (D) (depois, mostraremos que G é uma região também).

Definição 1. A função f (z) é chamada univalente em uma região D se ∀z1 , z2 ∈

D, z1 = z2 , segue que f (z1 ) = f (z2 ), isto é, quaisquer pontos diferentes de uma região D se transformam em pontos diferentes do plano complexo w que contém a imagem G; isso significa que a transformação f (z) é biunívoca.

Definição 2. A função f (z) é chamada univalente no ponto z0 ∈ D, se ela é univalente em alguma vizinhança desse ponto.

Suponhamos que f ′ (z0 ) = 0 em algum ponto z0 ∈ D. Traçamos na região D alguma curva suave γ passando através do ponto z0 ; γ : z = z (t) , t ∈ [a, b]. Seja ao ponto z0 corresponde valor de parâmetro t0 ∈ [a, b], z0 = z (t0 ). Por definição de curva suave, existe a tangente contínua em qualquer ponto da curva γ, isto é, existe a função contínua z ′ (t) tal que z ′ (t) = 0, ∀t ∈ [a, b], particularmente, z ′ (t0 ) = 0.

 

5 Princípios básicos de transformações conformes. Transformação de polígonos

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Princípios básicos de transformações conformes.

Transformação de polígonos

5.1 Critério de univalência local

No item 4.1 do Capítulo 4 introduzimos o conceito de univalência de uma função em uma região e em um ponto. Lembremos essas definições.

Definição 1. A função w = f (z) é chamada univalente na região D se ∀z1 , z2 ∈

D, z1 = z2 , temos que f (z1 ) = f (z2 ).

Definição 2. A função é chamada univalente no ponto z0 se ela é univalente em alguma vizinhança desse ponto, ou seja, existe r > 0 tal que f (z) é função univalente no círculo |z − z0 | < r.

Das definições 1 e 2, é claro que se a função w = f (z) é univalente em uma região D, então ela é univalente em cada ponto dessa região. A afirmação inversa não é verdadeira de modo geral. Por exemplo, já demonstramos que a função w = ez

é univalente em cada ponto do plano Cz , embora não o seja nessa região (plano

 

Resolução de exercícios selecionados

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Bourchtein — Prova  — // — Maluhy&Co. — página (local )

Resolução de exercícios selecionados

Exercícios do Capítulo 1

1. Calcular os números complexos, efetuando as operações indicadas:

1)

2 + i5

1 + i19

2

.

Lembremos que i1 = i , i2 = −1 , i3 = −i , i4 = 1 , i5 = i , . . ., então,

4 i5 = i4 · i = i , i19 = i16 · i3 = (i4 ) · i3 = −i, por isso,

2 + i5

1 + i19

2

=

2+i

1−i

2

=

4 + 4i − 1

3 + 4i

3

=

= −2 + i.

1 − 2i − 1

−2i

2

2. Calcular todas as raízes do número dado:

5

3) − 3 + i.

Antes de tudo, representemos o número − 3 + i na forma exponencial:

√ 2

− 3 + i = reiϕ , onde r =

− 3 + 12 = 2 , tan ϕ = −1

3; como

− 3 = Re − 3 + i < 0, então, ϕ = − arctan √13 + π = π − π6 = 56 π.

Assim, temos cinco raízes diferentes do número dado:

 

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