Lógica - O Cálculo Sentencial - Cálculo de Predicados e Cálculo com Igualdade, 3ª edição

Visualizações: 657
Classificação: (0)

A obra Lógica, de Leônidas Hegenberg, agora reeditada, chega ao público em um único volume, em vez de dois, conforme originariamente lançada. A primeira parte compõe-se de um estudo cuidadoso visando a introduzir, com o máximo rigor e clareza, as técnicas dedutivas do cálculo sentencial, ao desenvolver algumas observações preliminares, de conteúdo básico para o entendimento da matéria.m seguida, após um relato histórico sobre as peculiaridades da Lógica, o autor estuda as tabelas de valores, dos conectivos e das tautologias, aplicados ao exame dos argumentos, além de outros tópicos importantes.sta primeira parte atém-se, principalmente, ao capítulo sobre a teoria da demonstração. Na segunda parte da obra, sobre o estudo do cálculo de predicados, são ressaltadas as questões de simbolização da linguagem e das técnicas dedutivas.egenberg discorre também sobre a interpretação, destinada a identificar as verdades lógicas, as regras de inferência e os axiomas necessários para que as demonstrações e deduções sejam efetuadas. Toda a obra apresenta inúmeros exercícios práticos, viabilizando assim a possibilidade de um melhor aproveitamento de tudo que o autor disponibilizou para o estudo efetivo da matéria.

FORMATOS DISPONíVEIS

15 capítulos

Formato Comprar item avulso Adicionar à Pasta

Parte I. Capítulo 1. Preâmbulo de Caráter Filosófico

PDF Criptografado

Capítulo 1

^

Preâmbulo de Caráter Filosófico

Sumário

Aqui se apresentam ideias gerais: o “alicerce” sobre que se coloca a lógica, a espécie de contexto mais amplo da pesquisa. São examinados temas como o da justificação de asserções, o da formulação dos argumentos, o da verdade e legitimidade dos argumentos. Salienta-se a distinção a estabelecer entre verdade e legitimidade e se mostra que

é possível considerar a questão da legitimidade sem cogitar da questão da verdade.

1.1. Justificação de asserções

Em suas tentativas de ajustar-se ao contorno, o homem pensa, raciocina, infere. Vê-se a braços com várias crenças, sustenta algumas opiniões e adquire certos conhecimentos. Pensamentos, raciocínios, inferências, opiniões, crenças e conhecimentos, enquanto “propriedade individual”, isto é, enquanto processos psicológicos, que se passam na mente do indivíduo não podem ser objeto de investigação.

O que se pode investigar são os frutos de tais processos, ou seja, expressões linguísticas: a formulação, em uma linguagem particular, das crenças, das opiniões e dos conhecimentos.

 

Parte I. Capítulo 2. Escorço Histórico

PDF Criptografado

Capítulo 2

^

Escorço Histórico

Sumário

Depois de um breve introito (em que se fala da diferença a estabelecer entre uso e menção), faz-se rápido exame da história da lógica. As contribuições de Aristóteles são destacadas, dando-se particular atenção aos argumentos silogísticos (Sec. 2.4.). O leitor pode omitir o capítulo, se o desejar, mas seria oportuno que lesse as seções

2.1. e 2.4.

2.1. Introito

Algumas observações iniciais merecem explícita menção.

Comecemos notando que é possível usar um objeto ou mencioná-lo. Essa distinção não parece difícil de fazer quando os objetos são materiais (coisas concretas, como os paus e pedras da experiência cotidiana), mas é mais sutil quando os objetos são símbolos de uma linguagem. Na sentença

Santos fica em São Paulo, usamos o vocábulo Santos para fazer alusão à cidade de Santos (que o vocábulo designa). Mas sempre mencionamos um símbolo para falar dele; em

Santos tem seis letras, mencionamos o vocábulo Santos, para falar do próprio vocábulo.

 

Parte I. Capítulo 3. Tabelas de Valores – Tautologias

PDF Criptografado

Capítulo 3

^

Tabelas de Valores – Tautologias

Sumário

Inicia-se, aqui, o estudo do cálculo sentencial. São apresentados os conectivos e as regras que permitem construir sentenças “complexas”

(moleculares) a partir de sentenças “simples” (atômicas) previamente dadas. São elaboradas as tabelas de valores, que permitem determinar o valor, verdade ou falsidade (V ou F) de sentenças moleculares, quando conhecidos os valores (V ou F) dos átomos constituintes. As tabelas são utilizadas para discutir a legitimidade dos argumentos.

Este capítulo é indispensável para uma boa assimilação do que segue. É particularmente importante para os leitores que desejam conhecer a lógica e utilizá-la como instrumento – sem aprofundar o assunto ou examinar as minúcias de alguns capítulos posteriores.

3.1. Preliminares

A lógica tem como um de seus objetivos a formulação de critérios que permitam uma análise da legitimidade dos argumentos – distinguindo argumentos legítimos e ilegítimos. Estudar lógica, portanto, parece um tanto paradoxal, no seguinte sentido: não se pode, aparentemente, estudar Lógica sem usá-la. Para construir uma “ciência do pensamento correto” é preciso pensar corretamente: se o estudo não caminhar sob a orientação da lógica, pode carecer de fundamento, transformando-se em algo arbitrário ou incoerente. A lógica, em certa medida, precede a si mesma.

 

Parte I. Capítulo 4. Complementos

PDF Criptografado

Capítulo 4

^

Complementos

Sumário

Este capítulo contém algumas informações complementares que podem ser desprezadas pelo principiante. Talvez fosse oportuno apenas tomar conhecimento do fato de que o número de conectivos pode ser reduzido: em vez dos cinco utilizados, é possível empregar dois

(ou mesmo um, convenientemente definido). As demais questões tratadas (o problema de Post, da determinação de uma fórmula, dada a tabela de valores, e o da forma “normal”) não são de interesse geral, destinando-se mais especificamente aos que terão de usar a lógica sentencial em certas áreas restritas.

4.1. O problema de Post

Considere-se o seguinte problema. Imagine-se dado um quadro de valores com as colunas constituídas pelos átomos e todas as atribuições de valores possíveis, e uma coluna com valores arbitrariamente colocados (correspondentes a cada uma das atribuições). Pergunta-se se será possível obter um composto (com os átomos dados) cujos valores sejam exatamente os propostos.

 

Parte I. Capítulo 5. Cálculo Sentencial – Resultados Notáveis

PDF Criptografado

Capítulo 5

^

Cálculo Sentencial – Resultados Notáveis

Sumário

Este capítulo é de caráter mais técnico. Encerra alguns teoremas importantes que devem ser conhecidos pelos leitores desejosos de aprofundar seus estudos de lógica. Em especial, são incluídos os teoremas da substituição (de átomos por fórmulas) e da reposição (que permite substituir uma “parte” de certa fórmula por outra parte que lhe seja equivalente); examina-se a questão da dualidade; e apresentase a noção de consequência lógica (no cálculo sentencial). O leitor que não está interessado em levar avante seus estudos pode limitar-se a ler os enunciados dos teoremas 1, 3, 4, 5 e 12 – compreendendo o seu alcance. O teorema 1, em especial, justifica a formulação “geral” das tautologias, de acordo com a nota que acompanha a lista das principais tautologias, apresentada na Seção 3.5.

5.1. Substituições

Adotaremos o símbolo |= 1 para indicar o caráter tautológico de uma dada fórmula. Escrever, pois,

 

Parte I. Capítulo 6. Dedução – Aspectos Intuitivos

PDF Criptografado

Capítulo 6

^

Dedução – Aspectos Intuitivos

Sumário

Este capítulo destina-se a apresentar, de modo intuitivo, simples e direito, as noções importantes em que se assenta o trabalho dedutivo. O tema será retomado nos dois capítulos seguintes, recebendo, então, tratamento mais rigoroso. São examinadas, de maneira elementar, as noções de dedução a partir de premissas dadas (com as regras de inferências usuais), de demonstração condicional e de demonstração por absurdo (ou indireta). O leitor notará que não há uniformidade nas abreviações, passando-se, por exemplo, de “modus ponens” para “mod. pon.” – antes de chegar à abreviação definitiva

“MP”. Essa falta de uniformidade foi intencional. Desejou-se fazer com que o leitor se familiarizasse gradualmente com as abreviações costumeiras (introduzidas posteriormente), evitando, ainda, uma possível confusão, a esta altura, entre “demonstração condicional” e “dilema construtivo”.

6.1. Preliminares

Quando se consideram argumentos com mais de dois ou três constituintes simples, é trabalhoso e enfadonho o emprego de quadros de valores para constatar sua validade. Mais conveniente se torna deduzir a conclusão das premissas, usando argumentos simples, já de validez previamente assentada.

 

Parte I. Capítulo 7. Teoria da Demonstração

PDF Criptografado

Capítulo 7

^

Teoria da Demonstração

7.1. Teoria formal (Cf. Sumário do Cap. 6)

De modo geral, uma teoria formal T fica definida quando se conhecem os seus símbolos, as expressões “bem-formadas” que podem ser construídas com tais símbolos, os axiomas (um subconjunto das expressões bem-formadas) e as “regras de inferência” que permitem

“operar” com as expressões bem-formadas.

Desejamos apresentar o cálculo sentencial como teoria formal.

Introduzimos, pois, de início, os símbolos necessários:

P1, P2, ..., Pn, ...

~ . v → ↔ sinais de pontuação (os parênteses).1

Define-se expressão como sendo qualquer sequência finita de símbolos. Assim,

→ P1 (v P2

P1 v P2

P2 → (P1 v P2)

P1 ~ P2

serão expressões do cálculo sentencial.

Naturalmente, apenas algumas dessas expressões são “bemformadas” (Intuitivamente, a primeira expressão é “malformada”, ao

1

Como já o se tem feito, as letras sentenciais P1, P2, etc. poderão ser substituídas por outras letras (P, Q, etc., ou mesmo “letras sugestivas”). De outra parte, os sinais de pontuação poderão ser, ainda, as chaves e os colchetes.

 

Parte I. Capítulo 8. A Dedução Natural

PDF Criptografado

Capítulo 8

^

A Dedução Natural

Sumário

A dedução foi examinada, de maneira intuitiva, no capítulo 6.

Fez-se, ali, um exame do que se poderia chamar “dedução natural”, isto

é, da dedução tal como se processa, com naturalidade, usando “regras de inferência” a que nos habituamos, no trato diário com a questão. O tema é retomado, agora, de modo mais rigoroso, mostrando-se que tais

“regras” naturais são, de fato, empregadas de modo justificado. A única regra MP é, portanto, substituída por um bom número de regras “secundárias”, que facilitam sobremaneira o trabalho dedutivo.

8.1. Introdução e eliminação de conectivos

O leitor poderá recordar, ligeiramente, o que foi dito no capítulo

6, a propósito dos “argumentos básicos”. A intenção, aqui, é a de justificar a aplicação de tais argumentos, na forma de regras de inferência auxiliares, que se colocarão ao lado da regra modus ponens para simplificar o trabalho de dedução e demonstração.

 

Parte I. Capítulo 9. Informações Adicionais e Exercícios

PDF Criptografado

Capítulo 9

^

Informações Adicionais e Exercícios

Sumário

Este capítulo contém algumas informações adicionais, de relativo interesse. Apresenta-se a chamada “notação polonesa” (sem parênteses), fala-se rapidamente das falácias, comenta-se alguma coisa das chamadas lógicas “não clássicas” (polivalentes e modais) e reserva-se uma seção para exercícios de revisão, abrangendo praticamente toda a matéria exposta.

9.1. A notação polonesa

Os parênteses eram indispensáveis para a caracterização das fórmulas – escritas da maneira por que o foram nesta apresentação. Sem embargo, é possível caracterizar as fórmulas de modo a evitar-se por completo o uso dos parênteses. Isso se consegue por meio da “notação polonesa”, preferida por alguns autores (entre os quais, p. ex., está Prior). Torna-se oportuno, em consequência, ganhar uma ideia acerca desta outra maneira de apresentar as fórmulas.

Os parênteses podem ser eliminados quando a definição de fórmula é assim colocada:

 

Parte II. Capítulo 1. Uma Nova Linguagem

PDF Criptografado

Capítulo 1

^

Uma Nova Linguagem

Sumário

Salientada a insuficiência dos recursos do cálculo sentencial, uma nova linguagem é introduzida para a análise da legitimidade de argumentos. Estuda-se uma linguagem L que permite o exame da “estrutura interna” das sentenças, definindo-se fórmula de L e sentença de L. A simbolização de sentenças e a tradução (para o português) são ilustradas com numerosos exemplos. Em seguida, uma linguagem mais geral, Ln, é considerada, para efetuar a simbolização de sentenças complexas, em que surgem relações (sentido amplo) entre dois ou mais objetos.

1.1. Preliminares

Estão aí, na circunstância que nos rodeia, as pessoas, os animais, as plantas, os artefatos. Esses objetos têm qualidades e mantêm, uns com os outros, vários tipos de relações. Pode-se dizer, por exemplo, que são belos ou assustadores, úteis ou inúteis, grandes ou pequenos.

Pode-se dizer que um está ao lado do outro ou que um é mais veloz do que o outro. E pode-se dizer que um está entre dois outros ou que quatro se combinam para equilibrar um quinto.

 

Parte II. Capítulo 2. A Linguagem do Cálculo de Predicados e sua Interpretação

PDF Criptografado

Capítulo 2

^

A Linguagem do Cálculo de Predicados e sua

Interpretação

Sumário

Conhecida, de modo intuitivo, a linguagem do cálculo de predicados, as noções serão agora reapresentadas de modo geral e abstrato.

A fim de dar sentido preciso à noção de sentença verdadeira, fala-se nas interpretações e se define “sentença verdadeira em uma interpretação”. Em correspondência, tem-se a noção de um aberto “satisfeito” por determinados objetos. A satisfatoriedade é objeto de exame no final do capítulo. A maioria dos teoremas é citada sem demonstração, esperando-se que o leitor possa compreender seu alcance, embora não os demonstre. Prepara-se o terreno para introduzir, em seguida, a noção de “verdade lógica”, a ser investigada no próximo capítulo.

2.1. Símbolos, fórmulas e sentenças

Apresentando a questão de modo geral, pretendemos falar dos objetos de um conjunto A, não vazio, com certos elementos especificados, a1, a2, etc., entre os quais se estabelecem certas relações R1, R2, etc.

 

Parte II. Capítulo 3. Verdades Lógicas

PDF Criptografado

Capítulo 3

^

Verdades Lógicas

Sumário

O assunto do capítulo são as verdades lógicas – que correspondem, no cálculo de predicados, às tautologias do cálculo sentencial.

Quinze verdades lógicas de particular interesse são discutidas e a geração de novas verdades, a partir dessas, é examinada – mediante substituições apropriadas. Ressalta-se o paralelismo que há entre os teoremas relativos às tautologias e os teoremas relativos às verdades lógicas.

3.1. Preliminares

As tautologias são fórmulas do cálculo sentencial que assumem sempre o valor “Verdade”, independentemente das atribuições de valores para os átomos presentes na fórmula. Correspondentemente, há várias fórmulas do cálculo de predicados que também são invariavelmente verdadeiras, isto é, verdadeiras em qualquer interpretação.

Diz-se, pois, que:

Uma sentença é uma verdade lógica (é logicamente verdadeira,

é logicamente válida, ou, simplesmente, é valida no cálculo de predicados) se é verdadeira em qualquer interpretação.

 

Parte II. Capítulo 4. A Dedução

PDF Criptografado

Capítulo 4

^

A Dedução

Sumário

A dedução e a demonstração, no cálculo de predicados, podem ser definidas de modo semelhante ao adotado no cálculo sentencial.

A novidade está em que existem novos axiomas e novas regras de inferência, destinados a tratar dos quantificadores. Os novos axiomas e as novas regras exigem certo cuidado, motivo por que são apresentados com minúcia. São lembradas as propriedades do símbolo

‘|–’ e o teorema da dedução é discutido (embora sem chegar aos detalhes). Faz-se alusão ao teorema da completude (que não é, porém, demonstrado) e as técnicas dedutivas são amplamente ilustradas. É absolutamente indispensável que o leitor domine o uso das regras de inferência do cálculo sentencial, sem o que muitas passagens ficarão ininteligíveis.

4.1. Introito

Argumentos simples, como:

Todos os homens são mortais

Sócrates é homem

Sócrates é mortal e

Todos os bons são sábios

Alguns homens são bons

Alguns homens são sábios

 

Parte II. Capítulo 5. Principais Teoremas

PDF Criptografado

Capítulo 5

^

Principais Teoremas

Sumário

Conhecidos os axiomas e as regras de inferência do cálculo de predicados, podem ser apresentados numerosos teoremas desse cálculo. Seria exagero organizar lista que contivesse todos os resultados que

(por algum motivo) poderiam ser de interesse. Sem embargo, é viável reunir cerca de 30 resultados considerados fundamentais. Os teoremas serão inicialmente apresentados em sua “forma simples”, com apenas um quantificador, empregando-se, para isso, a versão (Seção 4.3, capítulo anterior) usual do cálculo de predicados, isto é, a Versão 4. Em seguida, são apresentados teoremas com dois quantificadores, ainda segundo esta Versão 4. Resultados gerais são apresentados, enfim, mas já adotando a Versão 2, para variar um pouco a abordagem.

5.1. Observações gerais

No cálculo sentencial (como se recordará1), a “dedução natural” foi apresentada depois de falar da dedução “estrita”. Ao lado dos axiomas e da regra modus ponens foram, a seguir, introduzidos o teorema da dedução, a técnica de demonstração por absurdo e, enfim, todas as regras “derivadas”, como a do silogismo disjuntivo, do dilema construtivo, da simplificação, e assim por diante.

 

Parte II. Capítulo 6. O Cálculo com Igualdade

PDF Criptografado

Capítulo 6

^

O Cálculo com Igualdade

Sumário

Depois de breve comentário acerca da ambiguidade que cerca o uso de “é”, fixa-se atenção no “é” entendido como “equivale a”.

As leis da identidade são formuladas. Em apresentação preliminar, o cálculo com igualdade é introduzido a seguir, fazendo-se uso de axiomas intuitivamente adequados para deduzir consequências em argumentos formulados na linguagem comum. A questão da igualdade e das classes de equivalência (determinadas por qualquer relação de equivalência) é examinada. Todo o assunto é retomado, enfim, de modo mais minucioso e sistemático, fazendo-se alusão aos principais teoremas do cálculo com igualdade.

6.1. “É”

O vocábulo “é”, em português, pode ser utilizado de várias maneiras, como os exemplos seguintes ilustram

Deus é.

A baleia é um mamífero.

A rosa é bonita.

Dormir é sonhar.

Edson A. do Nascimento é Pelé.

Na primeira sentença, “é” tem o sentido de “existe”. Na segunda, indica pertença a uma classe. Na terceira, predicação. Na quarta, assemelha-se a uma espécie de relação causal. Na quinta, enfim, in-

 

Detalhes do Produto

Livro Impresso
Book
Capítulos

Formato
PDF
Criptografado
Sim
SKU
BPP0000205947
ISBN
9788530943547
Tamanho do arquivo
7,2 MB
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
Formato
PDF
Criptografado
Sim
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
SKU
Em metadados
ISBN
Em metadados
Tamanho do arquivo
Em metadados