Introdução À Álgebra Linear Com Aplicações

Autor(es): Kolman, Hill
Visualizações: 725
Classificação: (0)

Introdução à Álgebra Linear com Aplicações aborda a parte essencial da álgebra linear (incluindo autovalores e autovetores), mostrando como o computador é utilizado e explorar algumas aplicações de álgebra linear.om suas inúmeras aplicações em outras áreas da matemática, física, biologia, química, engenharia, estatística, economia, finanças, psicologia e sociologia, a álgebra linear representa o curso de graduação com maior impacto na vida dos estudantes. ênfase está nos aspectos computacionais e geométricos do assunto, mantendo a abstração em um nível mínimo.s demonstrações incluídas são apresentadas em um nível adequado ao estudante.

FORMATOS DISPONíVEIS

eBook

Disponível no modelo assinatura da Minha Biblioteca

16 capítulos

Formato Comprar item avulso Adicionar à Pasta

1 - Equações Lineares e Matrizes

PDF Criptografado

CAPÍTULO

1

EQUAÇÕES LINEARES

E MATRIZES

1.1 SISTEMAS LINEARES

Muitos dos problemas das ciências naturais e sociais, assim como de engenharia e das ciências físicas, lidam com equações que relacionam dois conjuntos de variáveis. Uma equação do tipo

que expressa a variável b em função da variável x e da constante a, é chamada equação linear. A palavra linear é utilizada aqui pois o gráfico da equação anterior é uma linha reta.

Da mesma forma, a equação

que expressa b em função das variáveis x1, x2, …, xn e das constantes conhecidas a1, a2, …, an é chamada equação linear. Em várias aplicações, fornecemos b e as constantes a1, a2, …, an e devemos encontrar os números x1, x2, …, xn chamados de incógnitas, que satisfazem

(1).

Uma solução de uma equação linear (1) é uma seqüência de n números s1, s2, …, sn que têm como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x1 ϭ s1, x2 ϭ s2, …, xn ϭ sn são substituídas nessa expressão.

Então, x1 ϭ 2, x2 ϭ 3 e x3 ϭ Ϫ4 é uma solução para a equação linear

 

2 - Aplicações de Equações Lineares e Matrizes (Opcional)

PDF Criptografado

CAPÍTULO

2

APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES

LINEARES E MATRIZES

(OPCIONAL)

2.1 UMA INTRODUÇÃO À CODIFICAÇÃO

Pré-requisito. O material sobre bits do Capítulo 1.

Na atual sociedade globalizada, a comunicação é de extrema importância para os negócios, governo, pesquisa e educação. Os dados são transmitidos de um local a outro ou gravados de várias maneiras representando imagens de vídeo, sons ou combinações de ambos. Independentemente da distância que a comunicação percorre, o processo básico é o mesmo. Os dados devem ser enviados e recebidos, com a possibilidade da ocorrência de distorções. Os dados recebidos devem ser verificados de alguma maneira (espera-se) que detecte os erros.

A codificação representa a marca da teoria da comunicação e da informação que desenvolve técnicas para auxiliar na detecção e, algumas vezes, na correção de erros. Ela utiliza quantidades substanciais de várias áreas de matemática, como por exemplo, álgebra linear,

álgebra abstrata, teoria dos números, probabilidade e estatística, e análise combinatória.

 

3 - Determinantes

PDF Criptografado

CAPÍTULO

3

DETERMINANTES

3.1 DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES

Nesta seção, definimos a noção de determinante e estudamos algumas de suas propriedades. Os determinantes aparecem primeiro na resolução de sistemas lineares. Embora o método fornecido no Capítulo 1 para resolução destes sistemas seja muito mais eficiente do que os que envolvem determinantes, eles são úteis em outros aspectos da álgebra linear; algumas destas áreas serão abordadas no Capítulo 8. Primeiro, tratamos brevemente das permutações, que são usadas em nossa definição de determinantes. Neste capítulo, utilizamos somente as matrizes quadradas.

DEFINIÇÃO

Seja S ϭ {1, 2, …, n} o conjunto de números inteiros de 1 a n, arranjados em ordem crescente. Uma reordenação j1j2 иии jn dos elementos de S é chamada permutação de S.

Para ilustrar a definição anterior, faça S ϭ {1, 2, 3, 4}. Então, 4132 é uma permutação de

S. Isso corresponde à função f: S Ǟ S definida por

Podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na primeira posição, qualquer um dos outros n Ϫ 1 elementos na segunda posição, qualquer um dos outros n Ϫ 2 elementos na terceira posição, e assim por diante, até a n-ésima posição poder ser preenchida apenas pelo

 

4 - Vetores em Rn

PDF Criptografado

CAPÍTULO

4

VETORES EM Rn

4.1 VETORES NO PLANO

SISTEMAS DE COORDENADAS

Em várias aplicações, tratamos com quantidades mensuráveis, como pressão, massa e velocidade escalar, que podem ser completamente descritas por meio de seu valor numérico. Há, além dessas, várias outras quantidades mensuráveis, como velocidade, força e aceleração, que, para serem descritas, necessitam não somente de seu valor numérico, mas também de uma direção. Estes são os chamados vetores, e seu estudo constitui o objetivo deste capítulo. Os vetores serão representados por letras minúsculas em negrito como u, v, w, x, y e z. Os números reais serão chamados de escalares e representados por letras minúsculas em itálico.

Lembramos que o sistema de números reais pode ser visualizado como uma linha reta L, normalmente colocada na posição horizontal. Um ponto O, chamado de origem, é escolhido em L; O corresponde ao número 0. Um ponto A é escolhido à direita de O, fixando, assim, o comprimento de OA como 1 e especificando uma direção positiva. Assim, os números reais positivos se encontram à direita de O; os números reais negativos se encontram à esquerda de O (Figura 4.1).

 

5 - Aplicações dos Vetores em R2 e R3 (Opcional)

PDF Criptografado

CAPÍTULO

5

APLICAÇÕES DOS VETORES

EM R2 E R3 (OPCIONAL)

5.1 PRODUTO VETORIAL EM R3

Pré-requisitos. Seção 4.1, Vetores no Plano. Capítulo 3.

Nesta seção, discutimos uma operação que só faz sentido em R3. Apesar desta limitação, ela apresenta várias aplicações importantes em muitas situações diferentes. Vamos considerar diversas destas aplicações nesta seção.

DEFINIÇÃO

Se

são dois vetores em R3, então seu produto vetorial é o vetor u ؋ v definido por

O produto vetorial u ؋ v pode também ser escrito como um “determinante”,

O lado direito da igualdade de (2) não é realmente um determinante, mas é conveniente pensar no cálculo dessa maneira. Se expandirmos (2) em relação à primeira linha, obtemos

que é o lado direito da igualdade de (1). Observe que o produto vetorial u ؋ v é um vetor, enquanto o produto escalar u ؒ v é um número.

EXEMPLO 1

Sejam u ϭ 2i ϩ j ϩ 2k e v ϭ 3i Ϫ j Ϫ 3k. Expandindo em relação à primeira linha, temos

 

6 - Espaços Vetoriais Reais

PDF Criptografado

CAPÍTULO

6

ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

6.1 ESPAÇOS VETORIAIS

Já definimos o Rn e examinamos algumas de suas propriedades básicas no Teorema 4.2.

Devemos agora estudar a estrutura fundamental do Rn. Em várias aplicações matemáticas, nas ciências e na engenharia surge a noção de um espaço vetorial. Este conceito consiste simplesmente em uma generalização do Rn construída de maneira cuidadosa. Ao estudar as propriedades e a estrutura de um espaço vetorial, podemos estudar não somente o Rn, mas vários outros espaços vetoriais importantes. Nesta seção, definimos a noção geral de um espaço vetorial e, nas seções seguintes, estudamos sua estrutura.

DEFINIÇÃO 1*

Um espaço vetorial real é um conjunto V de elementos juntamente com duas operações � e ᭪ que satisfazem as seguintes propriedades:

(␣) Se u e v são quaisquer elementos de V, então u � v está em V (i. e., V é fechado em relação à operação �).

(a) u � v ϭ v � u, para u e v em V.

 

7 - Aplicações de Espaços Vetoriais Reais (Opcional)

PDF Criptografado

CAPÍTULO

7

APLICAÇÕES DE ESPAÇOS

VETORIAIS REAIS

(OPCIONAL)

7.1 FATORAÇÃO QR

Pré-requisito. Seção 6.8, Bases Ortonormais em Rn.

Na Seção 1.8, discutimos sobre a fatoração LU de uma matriz e mostramos como ela conduz a um método muito eficiente para a resolução de um sistema linear. Discutimos agora outro tipo de fatoração de uma matriz A, chamada fatoração QR de A. Esse tipo de fatoração

é muito utilizado em programas de computador para encontrar os autovalores de uma matriz (Capítulo 8), para resolver sistemas lineares e para encontrar as aproximações por mínimos quadrados (veja Seção 7.2 para ler a respeito de mínimos quadrados).

TEOREMA 7.1

Se A é uma matriz m ϫ n com colunas linearmente independentes, então A pode ser fatorada como A ϭ QR, onde Q é uma matriz m ϫ n cujas colunas formam uma base ortonormal para o espaço coluna de A e R é uma matriz n ϫ n triangular superior invertível.

Demonstração

Representamos por u1, u2, …, un as colunas linearmente independentes de A que formam uma base para o espaço coluna de A. Utilizando o processo de Gram–Schmidt (veja Teorema 6.18 da Seção 6.8), podemos obter uma base ortonormal w1, w2, …, wn para o espaço coluna de A. Lembre-se de como esta base ortonormal foi obtida. Primeiro, construímos uma base ortogonal v1, v2, …, vn como a seguir: v1 ϭ u1 e, então, para i ϭ 2, 3, …, n temos

 

8 - Autovalores, Autovetores e Diagonalização

PDF Criptografado

CAPÍTULO

8

AUTOVALORES,

AUTOVETORES E

DIAGONALIZAÇÃO

Nos primeiros sete capítulos deste livro, utilizamos números reais como coeficientes das matrizes e como escalares. Da mesma maneira, tratamos apenas com espaços vetoriais reais e com o espaço vetorial Bn, onde os escalares e os elementos em um vetor são os bits 0 e 1.

Neste capítulo, lidamos com matrizes que têm coeficientes complexos e com espaços vetoriais complexos. Você pode consultar o Apêndice A para obter uma introdução aos números complexos e à álgebra linear com números complexos.

8.1 AUTOVALORES E AUTOVETORES

Toda matriz considerada neste capítulo é quadrada. Seja A uma matriz n ϫ n. Então, como vimos nas Seções 1.5 e 4.3, a função L: Rn → Rn definida por L(x) ϭ Ax, para x em Rn, é uma transformação linear. Uma questão muito importante em uma grande quantidade de problemas aplicados é a determinação dos vetores x, se houver algum, tais que x e Ax são paralelos (veja Exemplos 1 e 2). Essas questões surgem em todas as aplicações que envolvem vibrações; elas aparecem em aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química, biologia, equações diferenciais e outros. Nesta seção, formularemos precisamente esse problema; definiremos, também, a terminologia pertinente. Na próxima seção, resolveremos esse problema para matrizes simétricas e discutiremos rapidamente a situação no caso geral.

 

9 - Aplicações de Autovalores e Autovetores (Opcional)

PDF Criptografado

CAPÍTULO

9

APLICAÇÕES DE

AUTOVALORES E

AUTOVETORES (OPCIONAL)

9.1 A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI

Pré-requisito. Seção 8.2, Diagonalização.

Em 1202, Leonardo de Pisa, também chamado Fibonacci*, escreveu um livro sobre matemática no qual propôs o problema a seguir: Um casal de coelhos recém-nascidos começou a cruzar com a idade de 1 mês e, a partir de então, produz um casal de coelhos por mês.

Suponha que iniciemos com um casal de coelhos recém-nascidos e que nenhum dos coelhos que nasceram a partir desse casal morreu. Quantos casais de coelhos haverá no início de cada mês?

O padrão de cruzamento dos coelhos é mostrado na Figura 9.1, onde uma flecha indica os filhos de um casal. No início do mês 0, temos apenas o casal de coelhos recém-nascidos

P1. No início do mês 1, ainda temos somente o casal de coelhos P1, que ainda não teve filhotes. No início do mês 2, temos o casal original P1 e seu primeiro casal de filhotes, P2. No início do mês 3, temos o casal original P1, seu primeiro casal de filhotes P2 nascidos no início do mês 2 e seu segundo casal de filhotes, P3. No início do mês 4 temos P1, P2 e P3; P4, os filhotes de P1; e P5, os filhotes de P2. Vamos representar por un o número de casais de coelhos no início do mês n. Vimos que

 

10 - Transformações Lineares e Matrizes

PDF Criptografado

CAPÍTULO

10

TRANSFORMAÇÕES

LINEARES E MATRIZES

Na Seção 4.3, fornecemos a definição, as propriedades básicas e alguns exemplos de transformações lineares que levam Rn em Rm. Neste capítulo, consideraremos as transformações lineares que levam um espaço vetorial V em um espaço vetorial W.

10.1 DEFINIÇÃO E EXEMPLOS

DEFINIÇÃO

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear L de V em W é uma função que atribui um único vetor L(u) em W a cada u em V tal que:

(a) L(u ϩ v) ϭ L(u) ϩ L(v), para todos u e v em V.

(b) L(ku) ϭ kL(u), para todo u em V e todo escalar k.

Na definição anterior, observe que em (a) o sinal de adição em u ϩ v no lado esquerdo da equação refere-se à operação de adição em V, enquanto o sinal de adição em L(u) ϩ L(v) no lado direito da equação refere-se à operação de adição em W. Da mesma maneira, em (b) o produto escalar ku está em V, enquanto o produto escalar kL(u) está em W.

Como na Seção 4.3, indicaremos o fato de que L leva V em W, mesmo que ela não seja uma transformação linear, como

 

11 - Programação Linear (Opcional)

PDF Criptografado

CAPÍTULO

11

PROGRAMAÇÃO LINEAR

(OPCIONAL)

PRÉ-REQUISITO: Seção 1.6, Soluções de Sistemas de

Equações Lineares.

Fornecemos, neste capítulo, uma introdução aos conceitos e técnicas de programação linear.

A programação linear é uma área recente da matemática aplicada, desenvolvida no final da década de 1940, para resolver vários problemas do governo federal dos Estados Unidos. Desde então, ela foi aplicada a uma grande quantidade de problemas em várias áreas. Ferramenta fundamental em administração e pesquisa operacional, sua aplicação tem resultado em uma enorme economia de dinheiro. Na primeira seção, fornecemos alguns exemplos de problemas de programação linear, formulamos seus modelos matemáticos e descrevemos um método geométrico para a solução. Na segunda seção, apresentamos um método algébrico para resolver os problemas de programação linear. Na terceira seção, que trata de dualidade, discutimos muitas interpretações de dois problemas relacionados de programação linear.

 

12 - MATLAB para Álgebra Linear

PDF Criptografado

CAPÍTULO

12

MATLAB PARA

ÁLGEBRA LINEAR

INTRODUÇÃO*

O MATLAB é um programa versátil para computadores que tem como recurso principal a

álgebra linear. O MATLAB pertence ao MATrix LABoratory. Ele incorpora partes de projetos de rotinas de computador muito bons, desenvolvidos profissionalmente para cálculos em álgebra linear. O código empregado pelo MATLAB é escrito na linguagem C. Muitas das rotinas/funções são escritas na linguagem MATLAB e aperfeiçoadas à medida que novas versões são lançadas. O MATLAB está disponível para Microsoft Windows e para Unix e estações de trabalho VMS.

O MATLAB possui uma grande variedade de recursos. Neste livro, usaremos somente uma pequena parte deles. Descobriremos que a estrutura de comandos do MATLAB é bastante semelhante à maneira como escrevemos expressões algébricas e operações de álgebra linear. Os nomes de vários comandos do MATLAB são semelhantes aos das operações e conceitos da álgebra linear. Fornecemos descrições dos comandos e recursos do MATLAB que estão diretamente relacionados a este curso. Uma discussão mais detalhada dos comandos do

 

APÊNDICE A - Números Complexos

PDF Criptografado

APÊNDICE

A

NÚMEROS COMPLEXOS

A.1 NÚMEROS COMPLEXOS

Os números complexos são normalmente abordados em disciplinas de álgebra para “completar” a solução de uma equação quadrática

Ao usar a fórmula para a resolução da equação quadrática

o caso em que b2 Ϫ 4ac Ͻ 0 não é resolvido a menos que possamos utilizar as raízes quadradas de números negativos. Os matemáticos e outros cientistas do século XVI justificavam esse “completamento” da solução de equações quadráticas intuitivamente. Naturalmente havia uma crescente controvérsia, com alguns matemáticos negando a existência destes números e outros utilizando-os juntamente com os números reais. O uso de números complexos não induzia a contradições e a idéia mostrou-se um importante marco para o desenvolvimento da matemática.

Um número complexo c é do tipo c ϭ a ϩ bi, onde a e b são números reais e i ϭ Ϫ1 ; a é chamado de parte real de c e b é chamado de parte imaginária de c. A expressão “parte imaginária” surgiu do misticismo que cercou o surgimento dos números complexos; entretanto, estes números são tão “reais” quanto os números reais.

 

APÊNDICE B - Tópicos Adicionais

PDF Criptografado

APÊNDICE

B

TÓPICOS ADICIONAIS

B.1 ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO (NECESSITA CÁLCULO)

Nesta seção, usamos as propriedades do produto interno padrão, ou produto escalar em R3, relacionadas no Teorema 4.1 como base para generalizar a noção de produto interno para qualquer espaço vetorial real. Aqui, V é um espaço vetorial real qualquer, não necessariamente de dimensão finita.

DEFINIÇÃO

Seja V qualquer espaço vetorial real. Um produto interno em V é uma função que atribui a cada par ordenado de vetores u e v em V, um número real representado por (u, v) que satisfaz:

(a)

(b)

(c)

(d)

(u, u) Ն 0; (u, u) ϭ 0 se e somente se u ϭ 0V, onde 0V é o vetor nulo em V

(v, u) ϭ (u, v) quaisquer que sejam u e v em V

(u ϩ v, w) ϭ (u, w) ϩ (v, w) quaisquer que sejam u, v e w em V

(cu, v) ϭ c(u, v) para u e v em V e c um escalar real

A partir destas propriedades temos que (u, cv) ϭ c(u, v) pois (u, cv) ϭ (cv, u) ϭ c(v, u)

 

Glossário para Álgebra Linear

PDF Criptografado

GLOSSÁRIO PARA ÁLGEBRA

LINEAR

Adição de matrizes: Para as matrizes A ϭ [aij] e B ϭ [bij] m ϫ n, a adição de A e B é realizada pela adição dos elementos correspondentes; isto é, A ϩ B ϭ [aij] ϩ [bij]. Isto é chamado também de soma das matrizes A e B.

Adição de vetores: A soma de dois vetores é chamada de adição de vetores. Em Rn, a adição de componentes correspondentes dos vetores realiza a adição de vetores.

Adjunta: Para uma matriz A ϭ [aij] n ϫ n, a adjunta de A, representada por adj A é a transposta da matriz formada pela substituição de cada elemento por seu cofator Aij; isto é, adj A ϭ [Aij].

Ângulo entre vetores: Para vetores não-nulos u e v em Rn, o ângulo

␪ entre u e v é determinado pela expressão

Auto-espaço: O conjunto de todos os autovetores de uma matriz quadrada A associada a um autovalor ␭ específico, junto com o vetor nulo, é chamado de auto-espaço associado ao autovalor ␭.

Autovalor: Um autovalor de uma matriz A n ϫ n é um escalar ␭ para o qual existe um vetor de dimensão n não-nulo x tal que Ax ϭ ␭x. O vetor x é um autovetor associado ao autovalor ␭.

 

Respostas dos Exercícios Ímpares e dos Testes dos Capítulos

PDF Criptografado

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

ÍMPARES E DOS TESTES DOS

CAPÍTULOS

Capítulo 1

Seção 1.1

7. x ϭ Ϫ20, y ϭ

1

4

r ϩ 8, z ϭ r, onde r é qualquer número real.

9. Nenhuma solução.

11. x ϭ 5, y ϭ 1.

13. Nenhuma solução.

15. (a) t ϭ 10.

(b) Um valor é t ϭ 3.

(c) A escolha t ϭ 3 no item (b) foi arbitrária. Qualquer escolha para t, diferente de t ϭ 10, torna o sistema incompatível. Portanto, há infinitas maneiras de escolher um valor de t no item (b).

21. Um, zero, infinitos.

23. 20 toneladas de cada tipo de combustível.

25. 3,2 gramas de A; 4,2 gramas de B; 2,0 gramas de C.

Seção 1.2

ML.1. (a) Comandos: A(2,3), B(3,2), B(1,2).

(b) Para linha1(A), use o comando A(1,:).

Para coluna3(A), use o comando A(:,3).

Para linha2(B), use o comando B(2,:).

(Neste contexto, a vírgula significa “todos”.)

(c) A matriz B em format long é

Respostas1

630

09.07.10, 09:43

 

Detalhes do Produto

Livro Impresso
Book
Capítulos

Formato
PDF
Criptografado
Sim
SKU
BPP0000206933
ISBN
9788521625469
Tamanho do arquivo
15 MB
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
Formato
PDF
Criptografado
Sim
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
SKU
Em metadados
ISBN
Em metadados
Tamanho do arquivo
Em metadados