Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica

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Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica oferece uma abordagem didática e detalhada das teorias e problemas clássicos da disciplina. A obra oferece ao estudante a possibilidade de percorrer todo o seu conteúdo através de um processo de reconstrução destas teorias por meio da elaboração de hipóteses fundamentais baseadas em seus conceitos básicos.Dividida em 10 módulos e uma seção de apêndices, Introdução aos Princípios de Mecânica Clássica trata de temas como Mecânica do Movimento Unidimensional, Cálculo Diferencial e Integral, Geometria Analítica e Equações Diferenciais. Também conta uma grande quantidade de problemas relacionados aos conteúdos abordados, para que o estudante possa estabelecer uma relação pragmática – e não só teórica – com a disciplina.

 

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Capítulo 1. Princípios da Mecânica Clássica

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Capítulo

2012/9/17

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#1

1

Princípios da Mecânica Clássica

1.1

Introdução

O objeto de estudo da mecânica é, em termos gerais, a investigação dos movimentos e dos agentes que os provocam.

Mesmo não tendo definido formalmente esses termos, todos têm alguma ideia do que significa movimento e de como provocar ou controlar movimentos, afinal as pessoas sabem de época imemorial: locomover-se, o que significa estar parado, jogar um objeto para atingir um alvo, etc. Se isso é bom por vários aspectos, também pode ser perigoso; uma vez que, enquanto se convive com a fenomenologia da mecânica desde a mais tenra idade, guardam-se e desenvolvem-se muitos preconceitos, preconceitos perigosos quando se pretende entender com mais profundidade e método esse assunto. Devemos estar sempre muito atentos para perceber esses preconceitos, o que não é tarefa fácil, requer esforço e empenho. Mas não se assuste, usaremos o conhecimento dos fenômenos mecânicos a nosso favor.

 

Capítulo 2. Dinâmica da Partícula

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2

Dinâmica da Partícula

Este capítulo tratará da formulação e interpretação das leis fundamentais para a dinâmica; os seguintes tratarão de suas consequências e de técnicas para situações específicas.

Desenvolvemos no Capítulo anterior a cinemática, linguagem básica para manejar formalmente o movimento de uma partícula, ou mesmo do movimento de um sistema mecânico que se considera localizável por meio de um ponto único. Essa linguagem é bastante eficiente, porém, no estágio atual, estamos ainda em fase contemplativa dos fenômenos da mecânica; por mais independentes que tenhamos ficado de curvas-suportes para trajetórias, não adquirimos ainda conhecimento, com fundamento em bases experimentais e teóricas bem colocadas, para controlar, provocar ou mesmo prever determinado movimento. Pretendemos agora formular leis de caráter geral para o movimento de uma partícula, de tal maneira que essas leis possam ser verificadas experimentalmente por meio de suas consequências, a ponto de delimitar o seu domínio de aplicabilidade.

 

Capítulo 3. Movimento de uma Partícula em uma Dimensão

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3

Movimento de uma Partícula em uma Dimensão

3.1

Introdução

Em linhas gerais, já desenvolvemos os aspectos fundamentais da Mecânica da Partícula, quanto a seus princípios, seus conceitos e suas leis. Faltam-nos algumas técnicas, o desenvolvimento de outros conceitos (como energia, momentum angular e momento de força, por exemplo) e estudar consequências de caráter geral obtidas diretamente das leis de movimento.

Neste capítulo (e no Cap. 4) nos preparamos para estudo mais sistemático da mecânica da partícula no espaço físico (i.e., no R3 , ou melhor, no E3 ), abordando a dinâmica de uma partícula que se movimenta sobre uma reta-suporte previamente conhecida em relação a um observador inercial. A mecânica de uma (1) partícula no R3 será tratada posteriormente, nos Caps. 5, 6 e 7; enquanto a mecânica de sistemas de partículas será tratada nos Caps. 8 e 9. Nessa preparação, apresentaremos técnicas que são utilizadas em toda a Física, uma vez que sua importância transcende à própria Mecânica; além dessas técnicas, definiremos novos conceitos que serão fundamentais para a análise dos sistemas mecânicos e, até mesmo, dos sistemas não mecânicos. Um desses conceitos fundamentais é o de energia.

 

Capítulo 4. Oscilador Harmônico Unidimensional por Meio de Equação Diferencial Linear

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C APÍTULO 4

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O SCILADOR H ARMÔNICO

ou, equivalentemente mx

¨ + b x˙ + k x = f (t) ,

(4.1)

que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear com coeficientes constantes, objeto da próxima seção.

Conforme veremos, os teoremas válidos para as equações diferenciais lineares levam a um método algébrico para a resolução de (4.1). Infelizmente nem todas as equações diferenciais da física são lineares,4 além do que, não se tem um conjunto de teoremas tão gerais para equações diferenciais não lineares. Dois exemplos ilustram sistemas que oscilam e que “não são lineares”:

Um fio ideal de comprimento que sustenta uma partícula de massa m numa região na qual a aceleração local da gravidade é g, tal sistema é conhecido como pêndulo circular. É fácil verificar que, sendo θ o ângulo medido no sentido trigonométrico entre a vertical e o fio, m θ¨ + m |g| sen(θ) = 0

 

Capítulo 5. Cinemática da Partícula no Espaço Físico

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2012/9/17

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5

Cinemática da Partícula no Espaço Físico

5.1

Introdução

Neste capítulo, em continuação dos conceitos cinemáticos tratados no Cap. 1, desenvolveremos alguns tópicos relativos à cinemática de uma partícula no R3 . Iniciaremos com um estudo mais aprofundado de algumas operações vetoriais importantes e das definições dos limites de funções vetoriais, bem como das derivadas dessas funções. Trataremos também as coordenadas curvilíneas (que contêm como casos particulares as coordenadas: cartesianas, polares, cilíndricas, esféricas, etc.). Durante a redação deste capítulo, preocupamo-nos com a compreensão dos fundamentos dos conceitos envolvidos para que as aplicações possam ser efetuadas de modo consciente e natural; afinal estamos estudando mecânica e não mecanismos de solução de problemas que caem em “prova de mecânica”.

5.2

Produto escalar e produto vetorial

 

Capítulo 6. Dinâmica da Partícula no Espaço Físico

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6

Dinâmica da Partícula no Espaço Físico

A partir das leis de Newton para o movimento de uma partícula, motivaremos neste capítulo a definição de algumas grandezas dinâmicas fundamentais que avaliam a competência de uma força, ou de um campo de forças, para causar alguns efeitos, como, por exemplo: mudar a norma da velocidade (ou a norma do momentum linear) de uma partícula, mudar a tendência de uma partícula girar em torno de um dado ponto ou de um determinado eixo. Exceto o momentum angular e o momento de força

(ou torque), todas as outras principais grandezas já foram introduzidas no longo do nosso estudo do movimento retilíneo. Por exemplo, quando resolvemos o oscilador harmônico simples, por integração direta, usamos o fato da energia mecânica ser constante de movimento para esses sistemas; isso facilitou encontrar a posição da partícula em função do tempo.

 

Capítulo 7. Movimento de uma Partícula sob a Ação de um Campo Central

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7

Movimento de uma Partícula sob a Ação de um Campo Central

(Fonte de campo fixa em referencial inercial)

7.1

Introdução

Neste capítulo, estudaremos o movimento de uma partícula de massa m sob a ação de um campo resultante central devido a uma fonte pontual fixa em relação a dado referencial inercial. Este problema possui características de grande importância, cujo conhecimento é imprescindível para qualquer profissional de áreas relacionadas com a Física. Listaremos alguns aspectos:1

Importância histórica A solução do movimento sob a ação de um campo central foi o primeiro grande feito da mecânica newtoniana. O uso das leis de movimento e a lei de gravitação (de Newton), permitiu demonstrar teoricamente as (já conhecidas empiricamente) leis de Kepler, leis matemáticas propostas por Kepler2 (1609) a partir de dados compilados de observações astronômicas diretas por

 

Capítulo 8. Mecânica do Sistema de Partículas

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8

Mecânica do Sistema de Partículas

8.1

Introdução

Com a Mecânica da Partícula, conforme medições realizadas de referencial inercial, estamos capacitados, ao menos em tese, para: descrever (cinematicamente); e prever, controlar e provocar (dinamicamente) qualquer movimento possível de uma partícula.1

É oportuno observar que para desenvolver a dinâmica da partícula usamos a terceira lei de Newton apenas para obter um processo para medição da massa de uma partícula por meios cinemáticos; focalizamos o movimento de uma partícula como ocorrendo em um campo de força, campo que supomos determinado de alguma forma, que pode transcender à própria mecânica, por exemplo: o campo eletromagnético como um campo componente de um campo resultante (por meio da força de Lorentz) na região em que se movimenta uma carga elétrica pontual.

Estudaremos neste capítulo a dinâmica de um sistema de partículas. Nesse caso, além das forças devido ao campo externo que atua sobre cada partícula do sistema, ou devido a outras partículas que não participam do sistema, devem-se considerar as forças de interação entre cada par de partículas que constituem o próprio sistema. Observamos que consideramos formalmente que o sistema é formado por partículas (pontuais), possuindo uma distribuição discreta, como no caso de um sistema de n partículas, ou contínua, como no caso de um líquido ou de um corpo rígido, ou mesmo de um gás. As forças entre pares de partículas tornam o problema bastante complicado, pois a força sobre uma partícula qualquer do sistema pode depender da posição e velocidade instantâneas e do movimento de cada uma das outras partículas do sistema. O que se quer determinar é, justamente, o movimento de cada uma das partículas do sistema. O leitor deve refletir sobre a complexidade dessa situação: a solução do problema depende da própria solução do problema. . .

 

Capítulo 9. Problemas Envolvendo Sistemas de Partículas

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Capítulo

2012/9/17

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9

Problemas Envolvendo Sistemas de

Partículas

9.1

Centro de gravidade

Para o corpo rígido é oportuno discutir conceitos como o de centro de gravidade e o de sistema de forças equivalentes, principalmente para situações práticas.

Chamamos de centro de gravidade de um corpo rígido ao ponto no qual se pode considerar aplicada a força peso resultante do corpo rígido para efeito do momento de força total da distribuição de força peso do corpo rígido. Assim em regiões em que é viável considerar as forças peso paralelas, o teorema na pág. 212 garante que o centro de gravidade coincide com o centro de massa do sistema.

Problema Verifique diretamente por meio do momento de força que o centro de gravidade de um corpo rígido coincide com o seu centro de massa para situações em que a direção da força peso pode ser considerada constante.

 

Capítulo 10. Cinemática do Movimento Relativo e do Corpo Rígido

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2012/9/17

12:52

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#261

10

Cinemática do Movimento Relativo e do

Corpo Rígido

10.1

Introdução

Neste capítulo estudaremos como relacionar as medidas cinemáticas e dinâmicas realizadas por observadores em referenciais distintos; não, necessariamente, inerciais e que também podem apresentar movimento de rotação relativa, com eixo de rotação não fixo.

Para fixar ideia, suponhamos um observador pontual O que utiliza um sistema de coordenadas cartesianas s ≡ Oxyz, com origem em O, e outro observador, também pontual, O que utiliza um sistema de coordenadas cartesianas s ≡ O x y z , fixo no referencial de O e com origem em O ; consideraremos movimentos quaisquer entre os referenciais dos observadores O e O , ou seja, entre s e s , isso porque, além do vetor posição de O em relação a O, a orientação de s em relação a s pode variar com o tempo. Ao nos libertarmos da condição que nos restringia apenas ao trato com referenciais em movimento relativo quando ocorre apenas translação relativa, estaremos, pois, tratando do caso geral.

 

Apêndices

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Apêndice

2012/9/17

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A

Tópicos de Álgebra

Apresentamos neste apêndice algumas noções de Álgebra, tais como: relações (consideramos as relações de equivalência intimamente relacionadas com coordenadas curvilíneas e com coordenadas generalizadas), funções (cujo entendimento sublinha o conceito de trajetória), os aspectos algébricos de grupo e de corpo (com os quais demonstramos a obtenção de solução de algumas equações algébricas).

É oportuno algumas palavras sobre o que se entende por sistema algébrico: um conjunto de objetos munidos de algumas operações para combiná-los.

Não nos ocuparemos da teoria dos conjuntos, mas, sobre um conjunto de conjuntos, a reunião e a interseção de conjuntos ou, ainda, o produto cartesiano e o conjunto diferença de dois conjuntos são exemplos de sistemas algébricos.

A.1

Relação

Nosso objetivo mais imediato é definir e estudar função (Seção A.2), porém, como função é caso particular de relação, resolvemos principiar formalmente tratando relação.

 

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