Equações diferenciais (3a. ed.)

Autor(es): Bronson, Richard
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37 capítulos

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1 Conceitos Básicos

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16

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Exemplo 1.3 A equação (1.1) é uma equação diferencial de primeira ordem; as equações (1.2), (1.4) e (1.5) são equações diferenciais de segunda ordem. [Note que a derivada de maior ordem da equação (1.4) é dois.] A equação (1.3) é uma equação diferencial de terceira ordem.

NOTAÇÃO

As expressões y′, y″, y′′′, y(4),..., y(n) geralmente são utilizadas para representar as derivadas primeira, segunda, terceira, quarta,..., enésima de y em relação à variável independente considerada. Assim, y″ representa d2y/dx2 se a variável independente for x, mas representa d2y/dp2 se a variável independente for p. Observe o uso dos parênteses em y(n) para distingui-la da enésima potência, yn. Se a variável independente for o tempo, usualmente denotada por t, as linhas são, em geral, substituídas por pontos. Assim, y , ÿ e y representam dy/dt, d2y/dt2 e d3y/dt3, respectivamente.

SOLUÇÕES

Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x no intervalo função y(x) que satisfaz a equação diferencial identicamente para todo x em .

 

2 Uma Introdução à Modelagem e aos Métodos Qualitativos

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Capítulo 2

Uma Introdução

à Modelagem e aos

Métodos Qualitativos

MODELOS MATEMÁTICOS

Modelos matemáticos podem ser imaginados como equações. Neste capítulo e em outras partes deste livro (ver

Capítulos 7, 14 e 31, por exemplo), consideraremos equações que modelam determinadas situações práticas.

Por exemplo, quando consideramos um circuito elétrico simples de corrente contínua, a equação V=RI modela a queda de tensão (medida em volts) através do resistor (medido em ohms), onde I é a corrente (medida em ampères). Essa equação é conhecida como Lei de Ohm, nomeada em homenagem a G. S. Ohm (1787 – 1854), físico alemão.

Uma vez projetado, alguns modelos podem ser aplicados para predizer diversas situações físicas. Por exemplo, a previsão do tempo, o crescimento de um tumor ou o resultado de um jogo de roleta podem estar associados a alguma forma de modelagem matemática.

Neste capítulo, consideramos variáveis que sejam contínuas, além de investigarmos como as equações diferenciais podem ser aplicadas em modelagens. O Capítulo 34 introduz o conceito de equações de diferença. Estas são equações que consideram variáveis discretas; isto é, variáveis que podem assumir apenas determinados valores, como números inteiros. Com poucas modificações, todos os conceitos apresentados sobre modelagem com equações diferenciais também são válidos para modelagem utilizando equações de diferença.

 

3 Classificações de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Capítulo 3

Classificações de

Equações Diferenciais de Primeira Ordem

FORMA PADRÃO E FORMA DIFERENCIAL

A forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem na função incógnita y(x) é

(3.1)

onde a derivada y′ aparece apenas no membro esquerdo de (3.1). Muitas (porém não todas) equações diferenciais de primeira ordem podem ser escritas na forma padrão por meio da solução algébrica em relação a y′, e igualando f(x, y) ao membro direito da equação resultante.

O membro direito de (3.1) pode ser sempre escrito como o quociente de duas outras funções M(x,y) e – N(x,y).

Assim, (3.1) se torna dy/dx = M(x,y) / – N(x,y), que equivale à forma diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

(3.2)

EQUAÇÕES LINEARES

Considere uma equação diferencial na forma padrão (3.1). Se f(x,y) puder ser escrita como f(x,y) = –p(x)y + q(x)

(ou seja, como uma função de x vezes y, mais outra função de x), então a equação diferencial é linear. Equações diferenciais de primeira ordem podem sempre ser expressas como y′ + p(x)y = q(x)

O Capítulo 6 trata da resolução das equações lineares.

 

4 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Separáveis

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Capítulo 4

Equações Diferenciais de

Primeira Ordem Separáveis

SOLUÇÃO GERAL

A solução de uma equação diferencial de primeira ordem separável (ver Capítulo 3)

é

A(x) dx + B(y) dy = 0

(4.1)

∫ A ( x) dx + ∫ B ( y) dy = c

(4.2)

onde c representa uma constante arbitrária.

As integrais apresentadas na Eq. (4.2) nem sempre podem ser calculadas efetivamente. Nesses casos, técnicas numéricas (ver Capítulos 18, 19, 20) são aplicadas para se obter uma solução aproximada. Mesmo que seja possível efetuar as integrações indicadas em (4.2), nem sempre se pode resolver algebricamente em relação a y em termos de x. Nesse caso, a solução é deixada em forma implícita.

SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL

A solução para o problema de valor inicial

A(x) dx + B(y) dy = 0;

y(x0) = y0

(4.3)

pode ser obtida, usualmente, primeiro utilizando a Eq. (4.2) para resolver a equação diferencial e depois aplicando a condição inicial diretamente para determinar c.

Alternativamente, a solução para Eq. (4.3) pode ser obtida a partir de

x

x0

 

5 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas

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CAPÍTULO 5 • EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM EXATAS

47

Se M = yf(xy) e N = xg(xy), então

(5.10)

Em geral, é difícil descobrir os fatores integrantes. Se uma equação diferencial não apresenta uma das formas indicadas acima, é provável que a procura de um fator integrante não dê resultado, sendo recomendado, então, a utilização de outros métodos de solução.

Problemas Resolvidos

5.1 Determine se a equação diferencial 2xy dx + (1 + x2)dy = 0 é exata.

Essa equação tem a forma da Eq. (5.1) com M(x, y) = 2xy e N(x, y) = 1 + x2. Como ∂M/∂y = ∂N/∂x = 2x, a equação diferencial é exata.

5.2 Resolva a equação diferencial dada no Problema 5.1.

Já vimos que essa equação é exata. Devemos agora determinar uma função g(x, y) que satisfaça as Eqs. (5.4) e

(5.5). Substituindo M(x, y) = 2xy em (5.4), obtemos ∂g/∂x = 2xy. Integrando ambos os membros dessa equação em relação a x, temos

ou

(1)

Note que ao integrar em relação a x, a constante (em relação a x) de integração pode depender de y.

Determinemos agora h(y). Diferenciando (1) em relação a y, obtemos ∂g/∂y = x2 + h′(y). Substituindo essa equação, juntamente com N(x, y) = 1 + x2, em (5.5), temos ou

 

6 Equações Diferenciais de Primeira Ordem Lineares

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CAPÍTULO 6 • EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM LINEARES

57

transforma (6.4) em uma equação diferencial linear na função incógnita z(x).

Problemas Resolvidos

6.1 Determine um fator integrante para y′ – 3y = 6.

A equação diferencial tem a forma da Eq. (6.1), com p(x) = – 3 e q(x) = 6, e é linear. Neste caso,

de forma que (6.2) se torna

(1)

6.2 Resolva a equação diferencial do problema anterior.

Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante definido por (1) do Problema 6.1, obtemos ou

Integrando ambos os membros da última equação em relação a x, temos

6.3 Determine um fator integrante para y′ – 2xy = x.

A equação diferencial tem a forma da Eq. (6.1), com p(x) = – 2x e q(x) = x, e é linear. Neste caso,

de forma que (6.2) se torna

(1)

6.4 Resolva a equação diferencial do problema anterior.

Multiplicando a equação diferencial pelo fator integrante definido por (1) do Problema 6.3, obtemos ou

Integrando ambos os membros da última equação em relação a x, temos

6.5 Determine um fator integrante para y′ + (4/x)y = x4.

 

7 Aplicações das Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Capítulo 7

Aplicações das Equações

Diferenciais de Primeira Ordem

PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAIMENTO

Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaimento. Admitindo que dN/dt, a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à quantidade de substância inicial, então dN/dt = kN, ou dN

− KN = 0 dt

(7.1)

onde k é a constante de proporcionalidade (ver Problemas 7.1 – 7.7).

Estamos assumindo que N(t) seja uma função de tempo, diferenciável e, portanto, contínua. Para problemas de população nos quais N(t) é discreta e só admite valores inteiros, tal suposição é incorreta. Apesar disso, ainda assim

(7.1) constitui uma boa aproximação das leis físicas que regem tais sistemas (ver Problema 7.5).

PROBLEMAS DE TEMPERATURA

A lei do resfriamento de Newton, igualmente aplicável ao aquecimento, determina que a taxa de variação temporal da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio circundante. Seja T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante. Então, a taxa de variação da temperatura do corpo em relação ao tempo é dT/dt, e a lei do resfriamento de Newton pode ser formulada como dT/dt = –k(T – Tm), ou dT

 

8 Equações Diferenciais Lineares: Teoria das Soluções

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Capítulo 8

Equações Diferenciais

Lineares: Teoria das Soluções

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES

Uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma

(8.1)

onde g(x) e os coeficientes bj (x) (j = 0, 1, 2,..., n) dependem apenas da variável x. Em outras palavras, não dependem de y ou qualquer derivada de y.

Se g(x) ≡ 0, então a Eq. (8.1) é homogênea; caso contrário, é não-homogênea. Uma equação diferencial linear possui coeficientes constantes se todos os coeficientes bj (x) em (8.1) forem constantes; se um ou mais desses coeficientes não forem constantes, (8.1) possui coeficientes variáveis.

Teorema 8.1 iniciais

Considere o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear (8.1) e n condições

(8.2)

Se g(x) e bj (x) (j = 0, 1, 2,..., n) são contínuas em um intervalo contendo x0 e se bn(x) ≠ 0 em , então o problema de valor inicial dado por (8.1) e (8.2) possui uma única (e apenas uma) solução definida para todo o intervalo .

Quando as condições sobre bn(x) no Teorema 8.1 se verificam, podemos dividir a Eq. (8.1) por bn(x), obtendo

 

9 Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Segunda Ordem com Coefi cientes Constantes

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98

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Obtém-se de maneira análoga as equações características de equações diferenciais em outras variáveis depenj dentes que não y substituindo a j-ésima derivada da variável dependente por λ (j = 0, 1, 2).

(9.3)

A SOLUÇÃO GERAL

A solução geral de (9.1) é obtida diretamente a partir das raízes de (9.3). Existem três casos a serem considerados.

Caso 1

1

e

2

são ambas reais e distintas.

eλ1x e eλ 2 x são duas soluções linearmente independentes, e a

solução geral é (Teorema 8.2)

(9.4)

Para o caso especial λ2 = – λ1, a solução (9.4) pode ser reescrita como y = k1 cosh λ1x + k2 senh λ1x.

Como a1 e a0 em (9.1) e (9.2) são assumidas reais, as raízes de

1 = a + ib, um número complexo.

(a + ib)x

(a – ib)x

(9.2) devem aparecer em pares conjugados; assim, a outra raiz é λ2 = a – ib. e ee são duas soluções linearmente independentes, e a solução geral complexa é

Caso 2

(9.5)

que é algebricamente equivalente a (ver Problema 9.16)

(9.6)

Caso 3

1

=

2

.

eλ1x e xeλ1x são duas soluções linearmente independentes, e a solução geral é

 

10 Equações Diferenciais Homogêneas Lineares de Ordem n com Coeficientes Constantes

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104

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A SOLUÇÃO GERAL

As raízes da equação característica determinam a solução de (10.1). Se as raízes λ1, λ2,..., λn forem todas reais e distintas, a solução é

(10.3)

Se as raízes forem distintas, mas se algumas delas forem complexas, a solução é ainda dada por (10.3). Assim como no Capítulo 9, aqueles termos envolvendo exponenciais complexas podem ser combinados de modo a origip nar termos em senos e co-senos. Se λk for uma raiz de multiplicidade p [isto é, se (λ – λk) é um fator da equação p+1 característica, mas (λ – λk) não o é], então existirão p soluções linearmente independentes associadas a λk dadas por

. Essas soluções são combinadas de maneira usual com as soluções associadas às outras raízes, para formar a solução completa.

Teoricamente, sempre é possível fatorar a equação característica, mas, na prática, isto pode tornar-se extremamente difícil, especialmente no caso de equações diferenciais de ordem elevada. Em tais casos, devemos utilizar técnicas numéricas para obter soluções aproximadas. Veja os Capítulos 18, 19 e 20.

 

11 O Método dos Coeficientes Indeterminados

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Capítulo 11

O Método dos Coeficientes

Indeterminados

A solução geral de uma equação diferencial linear L(y) = φ (x) é dada pelo Teorema 8.4 como y = yh + yp, onde yp denota uma solução da equação diferencial e yh é a solução geral da equação homogênea associada L(y) = 0. Métodos para obtenção de yh , quando a equação diferencial possui coeficientes constantes, constituem os Capítulos 9 e 10. Neste e no próximo capítulo, serão apresentados métodos para obtenção de uma solução particular yp quando yh é conhecida.

FORMA SIMPLES DO MÉTODO

O método dos coeficientes indeterminados é aplicável apenas se φ (x) e todas as suas derivadas puderem ser escritas em termos do mesmo conjunto finito de funções linearmente independentes, as quais denotamos por {y1(x), y2(x),..., yn(x)}. Inicia-se o método assumindo-se uma solução particular da forma

onde A1, A2,...,An representam constantes multiplicativas arbitrárias. Essas constantes arbitrárias são calculadas substituindo-se a solução proposta na equação diferencial dada e igualando-se os coeficientes nos termos semelhantes.

 

12 Variação dos Parâmetros

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118

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Integramos então cada v′i para obtermos vi, desconsiderando todas as constantes de integração. Isso é permitido pois estamos interessados em apenas uma solução particular.

Exemplo 12.1 Para o caso especial n = 3, as Eqs. (12.4) se reduzem para

(12.5)

Para o caso n = 2, as Eqs. (12.4) se escrevem como

(12.6)

e para o caso n = 1, obtemos a equação única

(12.7)

Como y1(x), y2(x),..., yn(x) são n soluções linearmente independentes da mesma equação L(y) = 0, seu Wronskiano não é zero (Teorema 8.3). Isso significa que o sistema (12.4) tem um determinante não-nulo e pode ser resolvido de modo único em relação à v′1(x), v′2(x),..., v′n(x).

OBJETIVO DO MÉTODO

O método de variação dos parâmetros pode ser aplicado para todas as equações diferenciais lineares. É, assim, mais poderoso que o método dos coeficientes indeterminados, que se restringe a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e formas particulares de φ (x). Apesar disso, para aqueles casos em que ambos os métodos são aplicáveis, o método dos coeficientes indeterminados é mais eficiente, devendo, assim, ser preferido.

 

13 Problemas de Valor Inicial para Equações Diferenciais Lineares

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14 Aplicações das Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

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CAPÍTULO 14 • APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM

129

Lei de Hooke: A força F de uma mola é igual e oposta às forças aplicadas a essa mola e é proporcional à distenção (contração) l da mola resultante da força aplicada; ou seja F = – kl, onde k representa uma constante de proporcionalidade, geralmente denominada constante da mola.

Exemplo 14.1 Uma bola de aço de 570 N de peso está suspensa por uma mola, causando nesta uma distensão de 0,6 m em relação ao seu comprimento original. A força aplicada responsável pelo deslocamento (distensão) de 0,6 m é o peso da bola, 570 N. Assim, F = – 570 N. Então, pela lei de Hooke, –570 = – k(0,6) ou k = 950 N/m.

Por questão de conveniência, escolhemos a direção “para baixo” como sendo a direção positiva e adotamos como origem o centro da massa na posição de equilíbrio. Assumimos que a massa da mola possa ser desprezada e que a resistência do ar, quando presente, seja proporcional à velocidade da massa. Assim, para qualquer instante de tempo t, existem três forças atuando sobre o sistema: (1) F(t), medida na direção positiva; (2) uma força restauradora dada segundo a lei de Hooke como Fs = –kx, k > 0; e (3) uma força devido à resistência do ar dada por

 

15 Matrizes

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Capítulo 15

Matrizes

MATRIZES E VETORES

Uma matriz (designada por uma letra maiúscula em negrito) consiste em um conjunto retangular de elementos dispostos em linhas horizontais e colunas verticais. Neste livro, os elementos das matrizes sempre serão números ou funções da variável t. Se todos os elementos forem números, então a matriz será denominada uma matriz constante.

As matrizes se mostrarão úteis em muitas situações. Por exemplo, podemos expressar equações diferenciais de ordem elevada em um sistema de equações diferenciais de primeira ordem utilizando matrizes (ver Capítulo 17).

A notação de matriz também permite uma forma compacta de apresentar as soluções de equações diferenciais (ver

Capítulo 16).

Exemplo 15.1

são todas matrizes. Em particular, a primeira matriz é uma matriz constante, enquanto as duas últimas não.

Uma matriz geral A com p linhas e n colunas é dada por

onde aij representa o elemento que aparece na i-ésima linha e j-ésima coluna. Uma matriz é quadrada se possui o mesmo número de linhas e colunas.

 

16 eAt

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CAPÍTULO 16 •

E

AT

155

Então, se λi for um autovalor de At,

(16.6)

Além disso, se λi for um autovalor de multiplicidade k, k > 1, então as seguintes equações também são válidas:

(16.7)

Note que o Teorema 16.2 envolve os autovalores de At; estes são iguais a t vezes os autovalores de A. Ao calcular as diversas derivadas em (16.7), pode-se primeiro calcular as derivadas apropriadas da expressão (16.5) em relação a λ, e então substituir λ = λi. O procedimento inverso, que consistiria em substituir primeiro λ = λi (uma função de t) em (16.5) e então calcular as derivadas em relação a t, pode conduzir a resultados errôneos.

Exemplo 16.2 Seja A uma matriz com quatro linhas e quatro colunas e sejam λ = 5t e λ = 2t autovalores de At de multiplicidade três e um, respectivamente. Então n = 4 e

Como λ = 5t é um autovalor de multiplicidade três, segue-se que e5t = r(5t), e5t = r′(5t), e5t = r″(5t). Assim,

Também, como λ = 2t é um autovalor de multiplicidade um, segue-se que e2t = r(2t), ou

Observe que agora temos quatro equações nas quatro incógnitas ␣’s.

 

17 Redução de Equações Diferenciais Lineares para um Sistema de Equações de Primeira Ordem

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CAPÍTULO 17 • REDUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES PARA UM SISTEMA DE EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM

163

Note que se x(0) = 5 e x(0) = –12 em (17.1), então estas condições iniciais são definidas como x(0) = 5, v(0) = –12.

REDUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE ORDEM N

Como para o caso da equação diferencial de segunda ordem, com condições iniciais associadas, podemos reorganizar problemas de valor inicial de ordem elevada em um sistema matricial de primeira ordem como o ilustrado abaixo:

(17.5)

(17.6)

Com bn(t) ≠ 0, pode ser reduzido para o sistema matricial de primeira ordem

(17.7)

onde A(t), f(t), c e o tempo inicial t0 são conhecidos. O método de redução é o seguinte. n n

Passo 1 Reescrever (17.5) de modo que d x/dt apareça isolada. Assim,

(17.8)

onde aj(t) = – bj(t)/bn(t) (j = 0, 1,..., n – 1) e f(t) = g(t)/bn(t).

Passo 2 Definir n variáveis novas (o mesmo número da ordem da equação diferencial original); x1(t), x2(t),..., xn(t), pelas equações

(17.9)

Essas novas variáveis são inter-relacionadas pelas equações

 

18 Métodos Gráficos e Numéricos para Solução de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

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Capítulo 18

Métodos Gráficos e Numéricos para Solução de Equações

Diferenciais de Primeira Ordem

MÉTODOS QUALITATIVOS

No Capítulo 2, abordamos o conceito de métodos qualitativos relacionados às equações diferenciais; ou seja, técnicas que são aplicadas quando soluções analíticas são difíceis ou virtualmente impossíveis de ser obtidas. Neste capítulo, e nos dois capítulos subseqüentes, introduzimos diversas abordagens qualitativas para trabalhar com equações diferenciais.

CAMPOS DE DIREÇÃO

Métodos gráficos permitem grafar soluções de equações diferenciais de primeira ordem da forma

(18.1)

onde a derivada aparece apenas no membro esquerdo da equação.

Exemplo 18.1 (a) Para o problema y′ = –y + x + 2, temos f(x, y) = –y + x + 2. (b) Para o problema y′ = y2 + 1, temos f(x, y) = y2 + 1 e (c) para o problema y′ = 3, temos f(x,y) ≡ 3. Observe que em um problema particular, f(x, y) pode ser independente de x, de y, ou de x e y.

A Equação (18.1) define o coeficiente angular da curva solução y(x) em um ponto arbitrário (x, y) do plano.

 

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