Geometria analítica

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1. Coordenadas Cartesianas

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30  Geometria Analítica

Um produto cartesiano particularmente importante ocorre quando

(o conjunto dos números reais*), isto é, o Produto Cartesiano

A =B =

× = 2, dado pelo conjunto de todos os pares de números reais:

Também importante, de nosso interesse futuro, é o produto cartesiano

× × = 3, dado pelo conjunto de todas as triplas, ou ternos, de números reais:

1.2 Coordenadas cartesianas na reta

Uma reta orientada é uma reta qualquer na qual tomamos um sentido positivo de percurso, denotado por uma flecha. Um sistema de coordenadas na reta pode ser obtido da seguinte maneira: sobre uma reta orientada tomamos um ponto arbitrário O, denominado origem do sistema de coordenadas, ao qual associamos o número real zero. No sentido positivo de orientação da reta, tomamos outro ponto arbitrário U, ao qual associamos o número real 1, de modo que o comprimento do segmento OU seja a unidade de comprimento do sistema de coordenadas, conforme ilustrado na Figura 1.1.

Figura 1.1 Sistema de coordenadas cartesianas na reta.

 

2. Estudo da Reta

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Capítulo 2 – Estudo da Reta  43

• A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação na forma pontocoeficiente: y − 3 = 2(x − 1).

• Finalmente, isolamos a variável y para obter sua forma reduzida: y =

2x + 1. Salientamos que essa reta tem coeficiente angular a = 2 e coeficiente linear b = 1.

No Exemplo 2.1 poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2,

5), em vez do ponto (1, 3). Nesse caso, a equação da reta na forma pontocoeficiente seria: y − 5 = 2(x − 2), e a forma reduzida: y = 2x + 1.

Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeficiente não é

única: mudando o ponto usado, muda a equação. Por outro lado, a forma reduzida é única, independentemente de qual ponto é usado para escrever a equação da reta.

O que queremos dizer com equação de uma reta?

Dizer que y = 2x + 1 é a equação de uma dada reta significa que todo ponto da reta tem coordenadas que satisfazem sua equação. Reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta.

Exemplo 2.2 Considerando a reta y = 2x + 1 e a Figura 2.2 do Exemplo

 

3. Lugares Geométricos

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3 Lugares

Geométricos

3.1 Lugar geométrico

Um lugar geométrico é um conjunto de pontos que satisfaz uma ou mais propriedades geométricas. Conceitualmente, a geometria analítica lida com o estudo de lugares geométricos (pontos, retas, circunferências, parábolas, regiões etc.) por meio de suas representações algébricas (pares ordenados, equações, sistemas de equações etc.). Segundo Kindle (1959), fundamentalmente ela lida com dois tipos de problemas:

(i) dada uma representação algébrica, determinar o lugar geométrico correspondente;

(ii) dado um lugar geométrico, cujos pontos satisfazem certas condições, determinar sua representação algébrica.

Nesse momento abordaremos o segundo problema: determinar a representação algébrica de um lugar geométrico que satisfaz certas condições estabelecidas. Nossas principais ferramentas serão as fórmulas da distância entre dois pontos, Equação 1.1 (p. 34), e da distância de um ponto a uma reta, Equação

2.9 (p. 48).

Exemplo 3.1 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes dos pontos A(3, 0) e B(0, 3).

 

4. Seções Cônicas

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62  Geometria Analítica

A circunferência é a curva obtida pela interseção da superfície cônica com um plano secante perpendicular ao eixo, como ilustrado na Figura 4.2(a). Se tal plano intercepta a superfície cônica sobre seu vértice temos um único ponto, que é a degeneração da circunferência.

Se o plano secante é paralelo a uma geratriz a curva obtida é uma parábola, como ilustrado na Figura 4.2(b). Se tal plano for tangente a uma geratriz temos uma única reta, que é a degeneração da parábola.

Caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo, nem paralelo a uma geratriz e intercepte uma única folha da superfície cônica obtemos uma elipse, ilustrada na Figura 4.2(c). Aqui, novamente, se o plano secante intercepta a superfície cônica sobre seu vértice temos um único ponto, que também é a degeneração da elipse.

Figura 4.2 Seções cônicas.

Finalmente, caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo, nem paralelo a uma geratriz e intercepte ambas as folhas da superfície cônica obtemos uma hipérbole, ilustrada na Figura 4.2(d). Nesse caso, se o plano secante intercepta ambas as folhas e passa pelo vértice, temos um par de retas concorrentes, que é a degeneração da hipérbole.

 

5. Translação e Rotação

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5 Translação e Rotação

5.1 Introdução

No capítulo anterior estudamos as seções cônicas convenientemente posicionadas no sistema de coordenadas cartesianas. O leitor se recordará que os vértices das parábolas e os centros das circunferências, elipses e hipérboles sempre se localizavam na origem.

Entretanto, nem sempre é assim. Podemos estudar parábolas com vértices localizados em qualquer ponto do sistema de eixos, e o mesmo pode ocorrer com os centros das demais seções cônicas. Veremos agora como as equações das seções cônicas se alteram quando as localizamos em posições diferentes daquelas vistas anteriormente. Para isto, utilizaremos o conceito de translação de eixos, discutido a seguir.

5.2 Translação de eixos

Uma translação de eixos consiste em substituir um dado sistema de coordenadas por um outro sistema, mantendo as respectivas direções dos eixos dados*, cuja origem se localiza em um ponto de nossa conveniência.

A Figura 5.1(a) ilustra o sistema de coordenadas uv com origem no ponto

(x0, y0) do sistema de coordenadas xy. Na Figura 5.1(b) assinalamos um ponto P qualquer do plano: no sistema uv as cordenadas de P são P (u, v), e no sistema xy suas coordenadas são P (x, y). Nessa figura podemos observar que as relações entre as coordenadas do sistema xy e as coordenadas do sistema uv são dadas por:

 

6. Coordenadas Polares

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112  Geometria Analítica

Figura 6.2 Exemplos de pontos no sistema de coordenadas polares.

A coordenada polar ␪ deve ser expressa em radianos. Caso seja positiva, o ângulo é tomado no sentido trigonométrico (anti-horário), caso seja negativa, o ângulo é tomado no sentido antitrigonométrico (horário),

Figura 6.3(a).

A coordenada polar r também pode assumir valores negativos, daí a denominação distância orientada. Nesse caso, o ponto tem direção oposta

àquela indicada pela coordenada polar ␪, isto é, as cordenadas polares (−r,

␪) e (r, ␪ ± ␲) representam o mesmo ponto do plano. A Figura 6.3(b) ilustra esse fato.

A partir das observações anteriores, notamos que todo ponto do plano pode ser representado por infinitos pares de coordenadas polares. As coordenadas polares (r, ␪), (−r, ␪ ± ␲) e (r, ␪ +2k␲), k ∈ Z, representam o mesmo ponto, conforme ilustrado na Figura 6.3(c).

Concluímos então que, diferentemente do sistema de coordenadas cartesianas, o sistema de coordenadas polares não estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais, uma vez que um dado ponto pode ser representado por infinitas coordenadas polares distintas*. Apesar disto, um par de coordenadas polares representa um único ponto, sem qualquer ambiguidade.

 

7. Curvas Paramétricas

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7 Curvas

Paramétricas

7.1 Curvas paramétricas

Até aqui abordamos as curvas planas como lugares geométricos de pontos que satisfazem uma equação cartesiana da forma F (x, y) = 0 ou uma equação polar da forma F (r, ␪) = 0. Em muitos problemas aplicados, uma curva plana

é a trajetória de um ponto móvel. Em tais situações é mais conveniente descrever a curva por meio de equações paramétricas.

Definição 6 (Curva paramétrica) Uma curva paramétrica no plano é um par de funções:

Na Definição 6, a abscissa x e a ordenada y de cada ponto da curva são dadas em função da variável real t, denominada parâmetro, que varia de um valor inicial ti a um valor final tf, isto é, sobre um intervalo real ti ≤ t ≤ tf, que pode se estender para todos os números reais, isto é, −ϱ < t < ϱ.

Se o parâmetro t representa o tempo, então as equações paramétricas da curva nos dão a localização de um ponto móvel em cada instante, e a curva é a própria trajetória do ponto móvel. Também é importante ressaltar que as equações paramétricas de uma curva lhe conferem uma orientação de

 

8. Vetores

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Capítulo 8 – Vetores  137

Geralmente a notação com flecha sobrescrita é utilizada em textos manuscritos e a notação em negrito em textos impressos.

Ainda do ponto de vista geométrico, a direção de um vetor é dada pela reta suporte do segmento orientado que o representa, e seu sentido é indicado por uma

flecha. Sua magnitude é indicada pelo comprimento do segmento orientado.

Dado um vetor v, denotaremos sua magnitude (comprimento ou módulo) por |v|. Em particular, se |v| = 1 dizemos que v é um vetor unitário e se

|v| = 0 dizemos que v é o vetor nulo, denotado v = 0.

Segmentos orientados com o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são ditos equivalentes. Segmentos equivalentes representam o mesmo vetor, independente de sua localização espacial, uma vez que todos eles representam a mesma magnitude, a mesma direção e o mesmo sentido. A

Figura 8.1(b) apresenta vários segmentos orientados equivalentes, todos representando o mesmo vetor.

8.2 Operações com vetores geométricos

Duas operações definidas para os vetores geométricos são a multiplicação de um vetor por um escalar (número real) e a adição de vetores.

 

9. Produtos de Vetores

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9 Produtos de Vetores

9.1 Introdução

No capítulo anterior definimos duas operações com vetores: a multiplicação de escalar por vetor e a adição de vetores. Abordaremos agora os produtos de vetores: o produto escalar, o produto vetorial e o produto misto*.

O produto escalar ocorre em problemas envolvendo projeções, ângulos, trabalho realizado por uma força, fluxo de campos vetoriais, entre outros. O produto vetorial ocorre em problemas geométricos tridimensionais, torque, campos de forças conservativos, entre outros.

9.2 Produto escalar

Definição 7 (Produto escalar) O produto escalar (também denominado produto interno euclidiano) dos vetores u = (u1, u2, ..., un) e v = (v1, v2, ..., vn) do Rn, denotado u · v (lê-se u escalar v), é definido como

(9.1)

A denominação produto escalar deve-se ao fato de se tratar de um produto entre dois vetores que resulta em um escalar (nesse caso, um número real).

Exemplo 9.1 O produto escalar de u = (1, −3, 5) e v = (7, 2, 1) é:

Exemplo 9.2 (Cálculo dos dígitos verificadores do CPF) No Brasil, cada pessoa física possui um único e definitivo número de inscrição no

 

10. Retas e Planos

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178  Geometria Analítica

Reescrevendo a Equação 10.1 em termos das coordenadas dos pontos P e

Q e do vetor v, temos:

e, pela igualdade dos vetores, obtemos:

(10.2) denominadas equações paramétricas da reta r, que passam pelo ponto

Q(x0, y0, z0) e tem direção dada pelo vetor v = (a, b, c). São denominadas equações paramétricas porque as coordenadas (x, y, z) de cada ponto da reta são dadas em função da variável t, denominada parâmetro.

Exemplo 10.1 Determine as equações paramétricas da reta r que passa por

Q(1, −3, 2) e tem direção dada pelo vetor v = (−4, 3, 2).

Substituindo as coordenadas do ponto e do vetor na Equação 10.2 obtemos:

Dadas as equações paramétricas de uma reta, para cada valor do parâmetro t obtemos um ponto da reta, e, reciprocamente, cada ponto da reta corresponde a um valor do parâmetro t. Assim, quando o parâmetro t varia no intervalo real −ϱ < t < ϱ, as equações paramétricas nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da reta. Deste ponto em diante, omitiremos o intervalo de variação do parâmetro ao escrevermos a equação de uma reta*.

 

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