Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno

Visualizações: 92
Classificação: (0)

Um estudo claro, abrangente e intuitivo das equações diferenciais. Com 1.600 exercícios, esta 11ª edição de Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno fornece conteúdo customizado, referência à tecnologia e figuras redesenhadas. Preocupados em preservar e melhorar a qualidade do conteúdo, William Boyce, Richard Diprima e Douglas Meade indicam a combinação de métodos analíticos, gráficos e numéricos. Como destaque, muitos dos problemas apresentados são aplicados, ou seja, envolvem modelagem para a formulação de uma equação e servem para que o estudante adquira a experiência prática na dedução de equações diferenciais. Além disso, o conteúdo pode ser customizado pelo professor, que não precisa trabalhar em ordem direta, e, embora os autores façam muitas referências tecnológicas, o professor pode ou não usar esses recursos. Este livro traz, ainda, materiais suplementares atualizados, como videoaulas exclusivas para acompanhar capítulos selecionados. ?

FORMATOS DISPONíVEIS

11 capítulos

Formato Comprar item avulso Adicionar à Pasta

1 Introdução

ePub Criptografado

Neste primeiro capítulo, forneceremos os fundamentos para seu estudo de equações diferenciais de diversas maneiras diferentes. Primeiro, vamos usar dois problemas para ilustrar algumas das ideias básicas a que retornaremos com frequência e que serão aprofundadas ao longo deste livro. Com o objetivo de fornecer uma estrutura organizacional para o livro, indicamos, mais adiante, diversos modos de classificar equações.

O estudo das equações diferenciais atraiu a atenção dos maiores matemáticos do mundo durante os três últimos séculos. Por outro lado, é importante reconhecer que equações diferenciais continuam sendo uma área de pesquisa dinâmica hoje em dia, com muitas questões interessantes em aberto. Esboçamos algumas das tendências mais importantes no desenvolvimento histórico deste assunto e mencionamos alguns dos matemáticos brilhantes que contribuíram para a área. Informações bibliográficas adicionais sobre alguns deles serão mencionadas nos lugares apropriados nos capítulos a seguir.

 

2 Equações Diferenciais de Primeira Ordem

ePub Criptografado

Este capítulo trata de equações diferenciais de primeira ordem,

em que f é uma função dada de duas variáveis. Qualquer função diferenciável y = ϕ (t) que satisfaz essa equação para todo t em algum intervalo é chamada de uma solução. Nosso objetivo é determinar se tal função existe e, nesse caso, desenvolver métodos para encontrá-la. Infelizmente, não existe método geral para resolver a equação em termos de funções elementares para uma função arbitrária f. Em vez disso, descreveremos diversos métodos, cada um deles aplicável a determinada subclasse de equações de primeira ordem.

As mais importantes dessas são as equações lineares (Seção 2.1), as equações separáveis (Seção 2.2) e as equações exatas (Seção 2.6). Outras seções deste capítulo descrevem algumas das aplicações importantes de equações diferenciais de primeira ordem, introduzem a ideia de aproximar uma solução por cálculos numéricos e discutem algumas questões teóricas relacionadas com a existência e a unicidade de soluções. A última seção inclui um exemplo de soluções caóticas no contexto de equações de diferenças finitas de primeira ordem, que têm alguns pontos importantes de semelhança com equações diferenciais e são mais simples de investigar.

 

3 Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

ePub Criptografado

Equações lineares de segunda ordem têm uma importância crucial no estudo de equações diferenciais, por duas razões principais. A primeira é que equações lineares têm uma estrutura teórica rica, subjacente a diversos métodos sistemáticos de resolução. Além disso, uma parte substancial dessa estrutura e desses métodos é compreensível em um nível matemático relativamente elementar. Para apresentar as ideias fundamentais em um contexto o mais simples possível, vamos descrevê-las neste capítulo para equações de segunda ordem. A segunda razão para estudar equações lineares de segunda ordem é que elas são essenciais para qualquer investigação séria das áreas clássicas da Física-Matemática. Não se pode progredir muito no estudo de mecânica dos fluidos, condução de calor, movimento ondulatório ou fenômenos eletromagnéticos sem esbarrar na necessidade de resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem. Vamos ilustrar isso no final deste capítulo com uma discussão de oscilações de alguns sistemas mecânicos e elétricos básicos.

 

4 Equações Diferenciais Lineares de Ordem Mais Alta

ePub Criptografado

A estrutura teórica e os métodos de resolução desenvolvidos no capítulo precedente para equações lineares de segunda ordem podem ser estendidos, diretamente, para equações lineares de terceira ordem e de ordem mais alta. Neste capítulo, vamos rever rapidamente essa generalização, apontando, em especial, os casos particulares em que aparecem fenômenos novos, em razão da grande variedade de situações que podem ocorrer para equações de ordem mais alta.

Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma

Supomos que as funções P0, …, Pn e G são funções reais e contínuas definidas em algum intervalo I: α < t < β, e que P0 nunca se anula nesse intervalo. Então, dividindo a Eq. (1) por P0(t), obtemos

O operador diferencial linear L de ordem n definido pela Eq. (2) é semelhante ao operador de segunda ordem definido no Capítulo 3. A teoria matemática associada à Eq. (2) é inteiramente análoga à teoria para equações lineares de segunda ordem; por essa razão, apenas enunciaremos os resultados para o problema de ordem n. As demonstrações da maioria dos resultados também são semelhantes às das equações de segunda ordem e, em geral, deixadas como exercício.

 

5 Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem

ePub Criptografado

Encontrar a solução geral de uma equação diferencial linear depende da determinação de um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea. Até agora, só vimos um procedimento sistemático para a construção de soluções fundamentais quando a equação tem coeficientes constantes. Para tratar a classe muito maior de equações com coeficientes variáveis, é necessário estender nossa procura de soluções além das funções elementares usuais do Cálculo. A ferramenta principal é a representação de uma função dada em série de potências. A ideia básica é semelhante ao método dos coeficientes indeterminados: supomos que a solução de uma equação diferencial dada tem expansão em série de potências e, depois, tentamos determinar os coeficientes de modo a satisfazer a equação diferencial.

Neste capítulo, vamos discutir a utilização de séries de potências para construir conjuntos fundamentais de soluções para equações diferenciais lineares de segunda ordem cujos coeficientes são funções da variável independente. Começamos resumindo, muito rapidamente, os resultados pertinentes sobre séries de potências que precisaremos. Os leitores familiares com séries de potências podem ir diretamente para a Seção 5.2. Os que precisarem de mais detalhes do que os contidos aqui devem consultar um livro de Cálculo.

 

6 A Transformada de Laplace

ePub Criptografado

Muitos problemas práticos de Engenharia envolvem sistemas mecânicos ou elétricos sob a ação de forças externas descontínuas ou de impulsos. Os métodos descritos no Capítulo 3 são, muitas vezes, complicados de usar em tais problemas. Outro método particularmente adequado para esses problemas, embora possa ser usado de maneira mais geral, baseia-se na transformada de Laplace. Vamos descrever, neste capítulo, como este importante método funciona, enfatizando problemas típicos que aparecem nas aplicações de Engenharia.

Integrais Impróprias. Como a transformada de Laplace envolve uma integral de zero a infinito, é necessário conhecimento sobre integrais impróprias desse tipo para apreciar o desenvolvimento subsequente das propriedades da transformada. Vamos fornecer aqui uma revisão rápida de tais integrais impróprias. Se você já estiver familiarizado com integrais impróprias, pode querer pular essa revisão. Por outro lado, se uma integral imprópria é novidade para você, então deveria, provavelmente, consultar um livro de Cálculo, no qual encontrará muito mais detalhes e exemplos.

 

7 Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem

ePub Criptografado

Existem muitos problemas físicos que envolvem diversos elementos separados, mas associados de alguma forma. Por exemplo, a corrente e a voltagem em um circuito elétrico, cada massa em um sistema mecânico, cada elemento (ou composto) em um sistema químico ou cada espécie em um sistema biológico têm essa característica. Nesses e em casos semelhantes, o problema matemático correspondente consiste em um sistema de duas ou mais equações diferenciais, que sempre podem ser escritas como equações diferenciais de primeira ordem. Vamos estudar, neste capítulo, sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, em particular equações diferenciais com coeficientes constantes, utilizando alguns aspectos elementares da álgebra linear para unificar a apresentação. Em muitos aspectos, este capítulo segue a mesma linha que o tratamento dado às equações lineares de segunda ordem no Capítulo 3.

Sistemas de equações diferenciais ordinárias simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma delas sendo função da mesma variável independente única. Vamos denotar a variável independente por t e as variáveis dependentes, que são funções de t, por x1, x2, x3, … A diferenciação1 em relação a t será denotada por uma linha; por exemplo, ou x1.

 

8 Métodos Numéricos

ePub Criptografado

Até agora, discutimos métodos para resolver equações diferenciais usando técnicas analíticas como integração ou expansão em séries. Em geral, a ênfase era em encontrar uma expressão exata para a solução. Infelizmente, existem muitos problemas importantes em Engenharia e ciência, especialmente problemas não lineares, nos quais esses métodos ou não se aplicam, ou seu uso é muito complicado. Neste capítulo, adotaremos uma abordagem alternativa, a utilização de métodos numéricos aproximados para obtermos uma aproximação precisa da solução de um problema de valor inicial. Vamos apresentar esses métodos no contexto o mais simples possível, ou seja, uma única equação escalar de primeira ordem. No entanto, eles podem ser estendidos diretamente para sistemas de equações de primeira ordem, e isso está esquematizado brevemente na Seção 8.5. Os procedimentos aqui descritos podem ser executados facilmente em uma ampla variedade de dispositivos computacionais, desde celulares a supercomputadores.

 

9 Equações Diferenciais Não Lineares e Estabilidade

ePub Criptografado

Existem muitas equações diferenciais, especialmente não lineares, que não são suscetíveis à solução analítica de qualquer maneira razoavelmente conveniente. Métodos numéricos, como os discutidos no Capítulo 8, fornecem um modo de tratar essas equações. Outra abordagem, apresentada neste capítulo, tem caráter geométrico e nos leva a uma compreensão qualitativa do comportamento das soluções, em vez de uma informação quantitativa detalhada.

Como muitas equações diferenciais não podem ser resolvidas convenientemente por métodos analíticos, é importante considerar que informações qualitativas1 podem ser obtidas sobre suas soluções sem resolver, de fato, as equações. As questões que consideraremos neste capítulo estão relacionadas com a ideia de estabilidade de uma solução, e os métodos que empregaremos são, basicamente, geométricos. Tanto o conceito de estabilidade quanto a utilização de análise geométrica foram introduzidos no Capítulo 1 e usados na Seção 2.5 para equações autônomas de primeira ordem

 

10 Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier

ePub Criptografado

Em muitos problemas físicos importantes, existem duas ou mais variáveis independentes, de modo que o modelo matemático correspondente envolve equações diferenciais parciais, em vez de ordinárias. Este capítulo trata de um método importante para resolver equações diferenciais parciais, conhecido como método de separação de variáveis. Sua característica essencial é a substituição da equação diferencial parcial por um conjunto de equações diferenciais ordinárias, que têm que ser resolvidas sujeitas a condições iniciais ou de contorno. A primeira seção deste capítulo trata de algumas propriedades básicas de problemas de valores de contorno para equações diferenciais ordinárias. A solução desejada da equação diferencial parcial é expressa, então, como uma soma, em geral uma série infinita, formada por soluções das equações diferenciais ordinárias. Em muitos casos, acabaremos tendo que lidar com uma série em senos e/ou cossenos, de modo que parte deste capítulo é dedicada a uma discussão de tais séries, conhecidas como séries de Fourier. Após o estudo da base matemática necessária, ilustramos o uso do método de separação de variáveis em diversos problemas ligados à condução de calor, à propagação de ondas e à teoria do potencial.

 

11 Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville

ePub Criptografado

Depois de separar as variáveis em uma equação diferencial parcial no Capítulo 10, encontramos diversas vezes a equação diferencial

com as condições de contorno

Este problema de valores de contorno é o protótipo de uma classe grande de problemas importantes em Matemática aplicada, conhecidos como problemas de valores de contorno de Sturm-Liouville. Neste capítulo, vamos discutir as propriedades mais importantes dos problemas de Sturm-Liouville, inclusive existência e unicidade de soluções; no processo, seremos capazes de generalizar um pouco o método de separação de variáveis para equações diferenciais parciais.

No Capítulo 10, descrevemos o método de separação de variáveis como um modo de resolver alguns problemas envolvendo equações diferenciais parciais. O problema de condução de calor, consistindo na equação diferencial parcial

sujeita às condições de contorno

e à condição inicial

é um exemplo típico dos problemas considerados aqui. Uma parte crucial no processo de resolução de tais problemas é encontrar os autovalores e autofunções da equação diferencial

 

Detalhes do Produto

Livro Impresso
Book
Capítulos

Formato
ePub
Criptografado
Sim
SKU
BPDP000308675
ISBN
9788521637127
Tamanho do arquivo
28 MB
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
Formato
ePub
Criptografado
Sim
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
SKU
Em metadados
ISBN
Em metadados
Tamanho do arquivo
Em metadados