Matemática comercial e financeira e fundamentos de estatística

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Por intermédio de exemplos e exercícios práticos, esta obra faz uma revisão básica de teoria dos conjuntos, operações, álgebra e funções lineares, exponenciais e logarítmicas.
Traz estudos sobre razão, proporção, porcentagem, regra de três e progressões com itens da Matemática Comercial, além de ferramentas básicas da Matemática Financeira, como juros simples e compostos, porcentagens, taxas, descontos, séries de pagamentos, amortizações e financiamentos.
Apresenta as bases da Estatística e alguns conceitos, como medidas de dispersão, regressão linear, probabilidade e distribuições.
O conteúdo pode ser aplicado para cursos técnicos em Administração, Agronegócio, Contabilidade, Comércio, Comércio Exterior, Contabilidade, Cooperativismo, Finanças, Gerência em Saúde, Marketing, Meteorologia, Metrologia, Qualidade, Registros e Informação de Saúde, Serviços em Condomínio, Serviços Públicos, Transações Imobiliárias, Vendas, Vigilância em Saúde, entre outros.

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1.1 Conjuntos

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1

Matemática

Geral

Para começar

O ponto de partida é uma revisão de certos conceitos básicos da matemática, de forma a auxiliar o estudante a compreender melhor os assuntos estudados neste livro e sanar suas dúvidas.

Desta forma, começamos com a teoria dos conjuntos e as operações, passando pela álgebra e chegando ao conceito de funções.

1.1  Conjuntos

1.1.1  Conjunto dos números naturais

Ao contrário do que muitos pensam, a matemática não surge como uma ciência organizada por pensadores, mas sim da necessidade do dia a dia. Foram os problemas do cotidiano que compeliram a humanidade a desenvolver técnicas que permitissem a contagem e manipulação dos números, evoluindo para situações em que fosse possível efetuar previsões acerca do resultado antecipado de determinadas ações.

A própria “criação” dos algarismos baseou-se na operação da soma, ou seja, partindo da unidade (01), a simples soma desta com outra unidade implica em novo algarismo (02) e assim por diante. A soma seria a operação primitiva, a partir da qual surgiram os números e as demais operações.

 

1.2 Propriedade distributiva

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1.2  Propriedade distributiva

Dentre as diversas propriedades na matemática, a propriedade distributiva aparece frequentemente nas operações, porém sua aplicação extrapola a manipulação matemática e pode ser aplicada em várias situações como facilitadora de cálculos aritméticos.

De maneira geral, podemos entender essa propriedade da seguinte forma: suponha três números quaisquer a, b e c, dos quais b e c devem, em princípio, ser somados/subtraídos antes de multiplicarmos por a; usando a propriedade distributiva, podemos multiplicar b e c por a e depois efetuar a soma/subtração que o resultado é o mesmo, ou seja, a . (b ± c) = a . b ± a . c

Vejamos a seguinte situação: como obter rapidamente o resultado da multiplicação 23 . 4? Se tentarmos resolver mentalmente, a melhor forma de calcular é usando o fato de que o número 23 pode ser descrito como a soma 20 + 3, de forma que a multiplicação pelo número 4 fornece, com base na propriedade distributiva, 4 . 20 + 4 . 3 = 80 + 12, cujo resultado é 92.

 

1.3 Produtos notáveis

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1.2  Propriedade distributiva

Dentre as diversas propriedades na matemática, a propriedade distributiva aparece frequentemente nas operações, porém sua aplicação extrapola a manipulação matemática e pode ser aplicada em várias situações como facilitadora de cálculos aritméticos.

De maneira geral, podemos entender essa propriedade da seguinte forma: suponha três números quaisquer a, b e c, dos quais b e c devem, em princípio, ser somados/subtraídos antes de multiplicarmos por a; usando a propriedade distributiva, podemos multiplicar b e c por a e depois efetuar a soma/subtração que o resultado é o mesmo, ou seja, a . (b ± c) = a . b ± a . c

Vejamos a seguinte situação: como obter rapidamente o resultado da multiplicação 23 . 4? Se tentarmos resolver mentalmente, a melhor forma de calcular é usando o fato de que o número 23 pode ser descrito como a soma 20 + 3, de forma que a multiplicação pelo número 4 fornece, com base na propriedade distributiva, 4 . 20 + 4 . 3 = 80 + 12, cujo resultado é 92.

 

1.4 Equação de 1º grau

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1.3.4  Diferença de quadrados

O terceiro caso de produto notável envolve uma multiplicação antissimétrica entre dois elementos, ou seja:

(a + b) . (a – b)

Fique de olho!

Note que (a + b)2 é diferente de a2 + b2, assim como (a – b)2 é diferente de a2 – b2!

Usando a propriedade distributiva, vamos obter a diferença entre os quadrados dos termos:

( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ ( a − b ) + b ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + a ⋅ ( −b ) + b ⋅ a + b ⋅ ( −b ) ⇒

⇒ ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2

Exemplo

Efetue os seguintes cálculos: a) 12 . 20

b) 17 . 33

c) 8 . 13

Resolução

12 + 20 a) O valor de a é igual à média entre os dois números (

= 16), enquanto b é a diferença entre

2 o maior e a média (20 – 16 = 4). Logo, 12 . 20 = (16 – 4) . (16 + 4) = 162 – 42 = 256 – 16 = 240 b) 17 . 33 = (25 – 8) . (25 + 8) = 252 – 82 = 625 – 64 = 561 c) 8 . 13 = (10,5 – 2,5) . (10,5 – 2,5) = 10,52 – 2,52 = 110,25 – 6,25 = 104. Note que neste caso

 

1.5 Equação de 2º grau: completa e incompleta

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c) 3(2x – 4) + 33 = 129

Iniciamos subtraindo 33 de ambos os membros da equação:

3(2x – 4) + 33 = 129 ⇒ 3(2x – 4) + 33 – 33 = 129 – 33 ⇒ 3(2x – 4) = 96

Como temos parênteses na equação, devemos resolver primeiramente os elementos que estão fora dos parênteses, de forma que o próximo passo é anular o efeito do 3 que está multiplicando os parênteses. Isso é feito dividindo ambos os membros por 3:

3 ( 2 x − 4 ) = 96 ⇒

3 ( 2x − 4 )

3

=

96

⇒ ( 2 x − 4 ) = 32 ⇒ 2 x − 4 = 32

3

Note que, quando temos apenas os elementos dos parênteses num dos membros da equação, podemos dispensar seu uso. A equação obtida deve ter seus membros somados com o número 4 para anular o termo –4:

2x – 4 = 32 ⇒ 2x – 4 + 4 = 32 + 4 ⇒ 2x = 36

Agora dividimos ambos os membros por 2:

2 x = 36 ⇒

2 x 36

=

⇒ x = 18

2

2

Logo, o conjunto solução da equação é S = {18}.

Amplie seus conhecimentos

Uma parábola é sempre simétrica, ou seja, possui um “espelhamento” em relação a uma reta vertical.

 

1.6 Funções

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1.6  Funções

1.6.1  Introdução

Nesta seção vamos apresentar um resumo do estudo das principais funções utilizadas neste livro.

Suponha a seguinte situação: certa variável, a qual vamos chamar genericamente de “x”, pode assumir qualquer um dos valores de um conjunto não vazio denominado “A”, enquanto outra variável, chamada de “y”, pode assumir valores de um conjunto não vazio denominado “B”.

Se para cada elemento do conjunto A houver uma, e apenas uma, equivalência no conjunto B, dizemos que y é uma FUNÇÃO de x, ou seja, y varia de forma dependente de x, ou ainda: y = f(x) em que x será chamada de variável independente e y de variável dependente.

Assim, podemos dizer que FUNÇÃO é a associação entre os conjuntos A e B, não vazios, desde que todo elemento do conjunto A tenha sempre uma, e somente uma, correspondência no conjunto B, de forma que o conjunto A será chamado de domínio e o conjunto B, de imagem.

Para determinar o domínio, precisamos verificar se existe alguma restrição para a variável x, ou seja, se existem valores que x não pode assumir. Vejamos algumas situações de restrição: a) Variável no denominador: o denominador deve ser diferente de zero. b) Variável sob raiz de ordem par: o termo sob raiz deve ser positivo. c) Variável no logaritmo: o termo dentro do logaritmo deve ser positivo e diferente de zero.

 

Agora é com você!

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c) y = f(x) = 2 . 3–0,5x

A = 2

a = 3

 b = −0, 5

Imagem: A > 0 I = {y Î R / y ³ 0}

Gráfico:

Vamos recapitular?

Podemos, de forma sucinta, dizer que temos três conjuntos de operações: soma/subtração; multiplicação/divisão; e potenciação/radiciação, em que a prioridade de execução é da última para a primeira, exceto nos casos em que temos parênteses, chaves e/ou colchetes.

A introdução da álgebra (uso de incógnitas, como o “x”) é uma ferramenta valiosíssima para diversos ramos do conhecimento, em particular nas ciências exatas.

As funções permitem a correlação entre duas ou mais variáveis, e sua utilização na forma gráfica facilita a visualização dessa interação.

Agora é com você!

Divisão e operações com frações

1) Calcule o resultado das seguintes somas/subtrações: a) b) c)

42

1 9 5

+ +

4 4 4

3 1

5 6

4 5 1

+ −

5 6 3

d) e)

8 15

 

2.1 Razão, proporção e porcentagem

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2.1  Razão, proporção e porcentagem

2.1.1  Razão

A razão surge como uma forma de relacionar partes de certa grandeza com o seu todo, ou seja,

é uma forma de saber a proporção de uma parte em relação ao todo.

É bastante comum ouvir as seguintes expressões “de cada 20 habitantes cinco são analfabetos”,

“de cada dez alunos dois gostam de matemática”, “um dia de sol para cada dois de chuva”. Em cada uma destas frases há sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso destacam-se 5 entre 20, no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2.

Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado Razão, isto é, a razão entre dois números a e b, com b ¹ 0, é o quociente

ou a : b ou ainda a / b.

Vejamos as seguintes razões:

»»

De cada 10 alunos, 6 gostam de matemática: razão =

»»

De cada 100 parafusos, 1 sai com defeito: razão =

»»

6

;

10

1

 

2.2 Regra de três simples e composta

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2.1.3  Porcentagem

A porcentagem nada mais é do que a proporção da razão entre a parte que se quer analisar e o valor total, comparada com um todo fictício igual a um cento (100), originando daí o nome porcentagem (por cento), ou ainda é a proporção que a parte representa do todo.

Como o próprio nome diz, a porcentagem sempre relaciona a parte com o todo, considerando que o todo corresponde a um cento (100%), sendo a parte uma proporção de certo valor por cento: porcentagem =

valor da parte

100% valor do todo

Exemplo 1

Qual a porcentagem se considerarmos R$ 15,00 com relação a R$ 100,00?

Resolução

=

Basta usarmos a equação anterior: porcentagem

15

=

100% 15% .

100

Exemplo 2

Sabe-se que, em média, 10% dos eleitores dos municípios de um certo estado da federação costumam não comparecer no dia das eleições. Se certo município tiver 125340 eleitores, qual deve ser o número esperado de ausentes numa eleição?

 

2.3 Progressões aritméticas e geométricas

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2.2.2  Regra de três composta

Chamamos de regra de três composta aquela que possui mais de quatro elementos que influenciam no sistema, isto é, temos agora mais elementos que vão compor a proporção, visto que temos mais do que duas grandezas envolvidas. No final continuaremos a ter uma proporção, só que a quantidade de elementos será maior do que na regra de três simples, mas ainda com apenas um elemento a ser determinado.

Exemplo

Sabe-se que dez operários gastam seis horas para confeccionar 200 peças. Qual a quantidade de operários que será necessário para produzir 120 peças em quatro horas?

Resolução

10 operários

6 horas

200 peças

x operários ↓

4 horas ↑

120 peças ↓

Diminuindo o número de horas de trabalho, devemos aumentar o número de operários, de forma que esta relação é inversamente proporcional (setas invertidas entre a 1ª e a 2ª colunas).

Diminuindo o número de peças, podemos diminuir o número de operários, de forma que esta relação é diretamente proporcional (setas com mesmo sentido entre a 1ª e a 3ª colunas). Devemos igualar o sentido das setas, o que implica em inverter os termos da segunda coluna:

 

2.4 Juros e capitalizações simples

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2.4  Juros e capitalizações simples

2.4.1  Definições

Dizemos que estamos no regime de juros simples quando a taxa de juros incidir apenas sobre o valor principal, de forma que não há incidência de juros sobre os juros gerados a cada período.

Usaremos as seguintes definições:

»»

Taxa de juros em certo período: i;

»»

Quantidade ou número de períodos: n;

»»

Juro: J;

»»

Capital (ou Valor Principal): C;

»»

Montante: M.

Dessa forma, definimos juros como sendo o produto entre capital, taxa e quantidade de períodos:

J=C.i.n

O montante de um determinado período será a soma do capital com o juro, isto é:

M = C + J, ou M = C + C . i . n ⇒ M = C(1 + i . n)

Vale a pena ressaltar que o montante nada mais é do que uma soma de termos de uma progressão aritmética, visto que o juro simples sempre fornece um incremento somativo, isto é, a cada mês uma nova parcela de juros é adicionada de forma linear. O capital C funciona como o primeiro elemento da PA, a quantidade de períodos n equivale à quantidade de termos da progressão e a taxa i é a variação.

 

2.5 Juros, capitalizações compostos e equivalência de capitais

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k

∑ C ji j

Taxa média ( ):

j=1 k

i=

=

∑C j

C1i1 + C 2i2 + ... + C k i k

.

C1 + C 2 + ... + C k

j=1

k

∑ij

Para capitais iguais:

j=1

i=

k

=

i1 + i2 + ... + i k k

2.5  Juros, capitalizações compostos e

    equivalência de capitais

2.5.1  Definições

Ao contrário do que aprendemos em juros simples, o montante é calculado sobre o capital do período anterior (Cn-1) e não sobre o capital inicial (C1), de forma que o montante vai se comportar como a soma de termos de uma progressão geométrica. Podemos esquematizar da seguinte forma:

»»

Capital inicial: C1;

»»

Montante do primeiro período: M1;

»»

Capital do segundo período: C2;

»»

Montante do segundo período: M2;

»»

Capital do enésimo período: Cn;

»»

Montante do enésimo período: Mn.

Temos então que:

M1 = C1(1 + i)

O montante do primeiro período será identicamente igual ao capital do segundo período:

 

2.6 Taxas

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2.5.3.2  Convenção exponencial

Diferentemente da convenção linear, o processo de convenção exponencial baseia-se no uso da fração de tempo como expoente do termo  (1 + i), isto é:

M = C(1+i)m = C(1+i)n+t ⇒ M = C(1+i)n(1+i)t

Exemplo

Calcule o montante, pela convenção exponencial, para uma taxa de juros compostos de 10% a.m. para um capital de R$ 1.000,00 aplicado num período de dois meses e dez dias (ano comercial).

Resolução

A taxa efetiva é i = 0,1 e o capital C = 1000, sendo n = 2 e t = 10/30 (dez dias divididos pelo mês comercial).

Logo, M = 1000(1+0,1)2(1+0,1)10/13 = 1000(1,1)2(1,1)1/3 ⇒ M = 1249,06.

2.6  Taxas

2.6.1  Introdução

Conforme estudamos até agora, temos duas formas básicas de calcular o montante, sendo simples e composta, as quais são a base para o entendimento dos processos de financiamento e aplicação, que veremos mais adiante.

Logo, surge a grande questão: como se comportam as taxas de juros quando temos um período maior do que a unidade, ou seja, qual a taxa que está sendo anunciada e a realmente praticada?

 

2.7 Descontos simples e composto

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2.7  Descontos simples e composto

2.7.1  Definições

Em algumas situações não queremos calcular o montante após certo prazo, porém queremos saber, com base no valor nominal que vai ser recebido ou pago em uma data futura, qual seria este valor na data presente. Logicamente o valor a ser pago na data atual será menor do que o da data futura, visto que ele vai sofrer um desconto.

Da mesma forma que o cálculo do montante, o desconto pode ser determinado da forma simples ou composta.

Chamamos de valor nominal (N) a quantia a ser paga/recebida numa data futura. No caso de o valor ser resgatado antes da data prevista, ele sofrerá um desconto (D), que nada mais é do que a dedução devido à antecipação do compromisso. O valor recebido antecipadamente

é chamado de valor atual (A), de forma que este é o resultado da diferença dos termos anteriores, isto é, A = N – D.

2.7.2  Desconto racional simples

O desconto racional simples (DRS) é calculado pela relação entre o valor atual (A) e o valor nominal (N), usando como base a relação do montante de juros simples, M = C(1 + i . n), em que substituímos o montante (M) pelo valor nominal (N) e o capital (C) pelo valor atual (A):

 

2.8 Séries de pagamentos e rendas iguais

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Exemplo

Calcular o valor atual e o desconto, na forma composta racional e comercial, de um título de valor nominal igual a R$ 10.000,00, com antecipação de dez meses, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4% a.m.

Resolução

Temos 10000 como valor nominal, taxa de 0,04 e antecipação de dez meses (n). Desta forma, o valor atual será:

A RC =

N

(1 + i )

n

=

10000

10

(1 + 0, 04 )

= 6755, 64

ACC = N(1 – i)n = 10000(1 – 0,04)10 = 6648,33

Já os descontos:

DRC = 10000 – 6755,64 = 3244,36

DCC = 10000 – 6648,33 = 3351,67

2.8  Séries de pagamentos e rendas iguais

2.8.1  Definições

Um dos estudos mais importantes na matemática financeira é o caso do capital que pode ser recebido ou pago em várias parcelas. Podemos dividir em duas possibilidades:

1º Capitalização: ocorre quando se quer constituir um capital em data futura, como o caso de uma poupança.

2º Amortização: ocorre quando existe uma dívida a ser paga, como o caso típico de uma compra parcelada.

 

2.9 Taxa interna de retorno e valor presente

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Exemplo 3

Exemplo 4

Um rapaz aplica R$ 2.000,00 por mês na caderneta de poupança. Qual será o valor que terá após dois anos, supondo uma taxa de juros de 1% a.m.?

Deseja-se obter R$ 30.000,00 ao longo de

50 meses. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., calcule o valor dos depósitos mensais.

Resolução

Resolução

Temos os seguintes dados:

P = 2.000,00 i = 1% a.m. n = 24 meses

F24¬1 = 26,973465

O valor futuro será:

S = 2.000 . 26,973465 ⇒ S = 53946,93

Temos os seguintes dados:

A = 30.000,00 i = 2% a.m. n = 50 meses a50¬2 = 84,579401 (valor tabelado)

Os valores das parcelas serão:

30000

A

P=

⇒P=

= 354, 70

84, 579401 a n¬ i

Amplie seus conhecimentos

Os valores de an¬i e Fn¬i podem ser encontrados em tabelas em diversos sites, além do apêndice deste livro.

2.9  Taxa interna de retorno e valor presente

2.9.1  Método do valor presente líquido (VPL)

 

2.10 Amortizações

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Para 9% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0, 09 )

+

6000

2

(1 + 0, 09 )

+

5000

(1 + 0, 09 )3

= 16250, 45

VPL1 = 16250,45 – 16000 = 250,45

Para 11% a.a.:

A=

8000

1

(1 + 0,11)

+

6000

2

(1 + 0,11)

+

5000

(1 + 0,11)3

= 15732, 90

VPL2 = 15732,90 – 16000 = 267,10

Interpolação linear

A TIR deve estar entre 9% e 11%, visto que tivemos resultados do VPL com sinais opostos. Logo,

VPL1

VPL2

250, 45 −267,10

=

=

⇒ 250, 45 ( TIR − 11) = −267,10 ( TIR − 9 ) ⇒

TIR − i1 TIR − i2

TIR − 9 TIR − 11

⇒ 250, 45 TIR − 2754, 95 = −267,10 TIR + 2403, 90 ⇒ 517, 55 TIR = 5158, 85 ⇒

⇒ TIR = 9, 97% a.a.

Como a TIR (9,97% a.a.) é menor que a taxa de atratividade (10% a.a.), o investimento não é atrativo.

2.10  Amortizações

2.10.1  Definições

Após o estudo da capitalização, seja simples ou composta, e da série de pagamentos, passamos agora às amortizações, que nada mais são do que formas de parcelar uma dívida por meio de processos práticos. O termo amortização refere-se ao pagamento efetivo do valor emprestado.

 

2.11 Operações financeiras (CDC e arrendamento mercantil)

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Parcela

Juros SFA

Juros SAC

Juros SAA

3

R$ 386,85

R$ 383,33

R$� 400,00

4

R$ 373,44

R$ 366,67

R$� 400,00

5

R$ 359,76

R$ 350,00

R$� 400,00

6

R$ 345,81

R$ 333,33

R$� 400,00

7

R$ 331,58

R$ 316,67

R$� 400,00

8

R$ 317,06

R$ 300,00

R$� 400,00

9

R$ 302,25

R$ 283,33

R$� 400,00

10

R$ 287,15

R$ 266,67

R$� 400,00

11

R$ 271,74

R$ 250,00

R$� 400,00

12

R$ 256,03

R$ 233,33

R$� 400,00

13

R$ 240,00

R$ 216,67

R$� 400,00

14

R$ 223,65

R$ 200,00

R$� 400,00

15

R$ 206,98

R$ 183,33

R$� 400,00

16

R$ 189,97

R$ 166,67

R$� 400,00

17

R$ 172,62

R$ 150,00

R$� 400,00

18

R$ 154,92

R$ 133,33

R$� 400,00

 

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