E-Book - Matemática Superior para Engenharia - Vol. 3

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Por mais de cinco décadas, Matemática Superior para Engenharia tem contribuído para o desenvolvimento da disciplina, tanto no meio acadêmico quanto como a conhecemos hoje. Esta nova edição ganha agora uma abordagem mais moderna e atualizada, fornecendo aos estudantes, além de uma base sólida, ferramentas de aprendizagem necessárias para aprofundarem seus estudos e ingressarem, com sucesso, na vida profissional._x000D_
Seus três volumes estão distribuídos em sete partes, e os capítulos foram pensados para funcionar de forma independente. Nesta 10a edição, o Volume 1 continua sendo publicado nos formatos impresso e digital, enquanto os Volumes 2 e 3 encontram-se disponíveis somente em e-book._x000D_
Como novidades importantes, os problemas propostos foram revistos, o conteúdo reorganizado e alguns trechos reescritos. O grau de dificuldade dos assuntos abordados foi aumentado no transcorrer do livro, de forma gradual, de modo a possibilitar uma agradável e efetiva experiência de aprendizagem._x000D_
Além disso, o Student Solutions Manual and Study Guide, material suplementar disponível no GEN-IO, ambiente virtual de aprendizagem do GEN | Grupo Editorial Nacional, mediante cadastro, foi ampliado, com respostas e explicações mais detalhadas._x000D_
Trata-se, portanto, de uma bibliografia indispensável para o ensino e a aprendizagem da matemática avançada voltada para Engenharia, Física, Matemática, Ciência da Computação e outros cursos de Ciências Exatas, além de um aliado para o ingresso e para a atuação desses futuros profissionais no mercado de trabalho

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Capítulo 19 Métodos Numéricos em Geral

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Análise numérica, ou abreviadamente numérico, tem um sabor distinto, diferentemente daquele do cálculo básico, ou daquele da resolução de EDOs algebricamente, ou ainda de outras áreas (não numéricas). Enquanto no Cálculo e em EDOs havia pouquíssimas escolhas sobre como resolver o problema, e sua resposta era uma resposta algébrica, você terá agora em numérico muito mais escolhas e suas respostas serão dadas como tabelas de valores (números) ou gráficos. Você precisa fazer criteriosas escolhas, quanto a qual método numérico ou algoritmo você quer usar, de quanta exatidão você necessita no seu resultado, a partir de qual valor (valor inicial) você quer iniciar seu cálculo, entre outras escolhas. Este capítulo é projetado para fornecer uma boa transição, a partir da matemática do tipo algébrico para a matemática do tipo numérico.

Vamos começar com os conceitos gerais, tais como ponto flutuante, erros de arredondamento e erros numéricos gerais e sua propagação. Isso é seguido na Seção 19.2 pelo importante tópico de resolver equações do tipo f(x) = 0 por vários métodos numéricos, inclusive o famoso método de Newton. A Seção 19.3 apresenta métodos de interpolação. Estes são métodos que constroem valores para uma nova (incógnita) função, a partir de valores de uma função conhecida. O conhecimento ganho na Seção 19.3 é aplicado na interpolação por spline (Seção 19.4) e é útil para compreender a integração e a derivação numéricas estudadas na última seção.

 

Capítulo 20 Álgebra Linear Numérica

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Este capítulo trata de dois tópicos principais. O primeiro tópico é como resolver numericamente sistemas lineares de equações. Começamos com a eliminação de Gauss, que pode ser familiar para alguns leitores, mas desta vez em um enfoque algorítmico com pivotamento parcial. Variantes desse método (Doolittle, Crout, Cholesky, Gauss-Jordan) serão discutidas na Seção 20.2. Todos esses métodos são métodos diretos, isto é, métodos numéricos em que sabemos de antemão quantos passos levarão até chegar a uma solução. Entretanto, pivôs pequenos e ampliação de erros de arredondamento podem produzir resultados sem sentido, tais como no método de Gauss. Uma mudança ocorre na Seção 20.3, na qual discutiremos métodos de iteração numérica ou métodos indiretos para abordar nosso primeiro tópico. Aqui não podemos estar totalmente seguros a respeito do número de passos que serão necessários para se chegar em uma boa resposta. Vários fatores − tais como o quão distante é o valor de partida com relação à nossa solução inicial, como é que a estrutura do problema influencia a rapidez de convergência, quão acurado gostaríamos de ter no nosso resultado − determinarão o efeito desses métodos. Além disso, nosso ciclo de computação pode não convergir. A iteração de Gauss-Seidel e a iteração de Jacobi serão discutidas na Seção 20.3. A Seção 20.4 tem por objetivo abordar as armadilhas da álgebra linear numérica. Lida com problemas mal condicionados. Aprendemos a estimar quão “ruim” está o problema calculando o número de condição da sua matriz.

 

Capítulo 21 Métodos Numéricos para EDOs e EDPs

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Equações diferenciais ordinárias (EDOs) e equações diferenciais parciais (EDPs) desempenham um papel central na modelagem de problemas de Engenharia, Matemática, Física, Aeronáutica, Astronomia, dinâmica, elasticidade, Biologia, Medicina, Química, ciências ambientais, Economia e várias outras áreas. Os Capítulos 1−6 e 12 apresentaram as abordagens principais para resolver EDOs e EDPs analiticamente. Na sua carreira, entretanto, seja como engenheiro, ou matemático aplicado ou físico, você encontrará EDOs e EDPs que não podem ser resolvidas por aqueles métodos analíticos, ou cujas resoluções são tão difíceis que outras abordagens são necessárias. É precisamente nesses projetos do mundo real que os métodos numéricos para EDOs e EDPs são utilizados, frequentemente como parte de um pacote de software. De fato, software numérico tem-se tornado uma ferramenta indispensável para o engenheiro.

Este capítulo é igualmente dividido entre métodos numéricos para EDOs e métodos numéricos para EDPs. Iremos começar com EDOs e discutir, na Seção 21.1, métodos para EDOs de primeira ordem. A ideia inicial principal é a de que podemos obter aproximações para a solução de uma EDO em pontos que distam h entre si, utilizando os dois primeiros termos da fórmula de Taylor do cálculo. Com estas aproximações, vamos construir a fórmula de iteração para um método conhecido como método de Euler. Enquanto este método é bastante instável e de pouca utilidade prática, ele serve como uma ferramenta pedagógica e um ponto de partida para compreender métodos mais sofisticados, tais como Runge-Kutta e sua variante, o método de Runge-Kutta-Fehlberg (RKF), que são populares e úteis na prática. Como é usual em Matemática, tendemos a generalizar ideias matemáticas. Os métodos da Seção 21.1 são métodos de passo único, isto é, a aproximação atual utiliza apenas a aproximação do passo anterior. Métodos de passos múltiplos, como os de Adams-Bashforth e Adams-Moulton, utilizam valores calculados em vários passos anteriores. Concluiremos os métodos numéricos para EDOs aplicando métodos de Runge-Kutta-Nyström e outros métodos a EDOs de ordem mais alta e a sistemas de EDOs.

 

Capítulo 22 Otimização sem Restrições. Programação Linear

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Otimização é um termo geral utilizado para descrever tipos de problemas e técnicas de resolução que se referem à melhor (“ótima”) alocação de recursos limitados em projetos. Os problemas são denominados problemas de otimização e os métodos são denominados métodos de otimização. Problemas típicos referem-se a planejamento e tomada de decisões, tais como selecionar um plano de produção ótimo. Uma empresa precisa decidir quantas unidades de cada produto, a partir de uma escolha de produtos (distintos), ela deve produzir. O objetivo da empresa pode ser maximizar o lucro total, quando os diferentes produtos levam a lucros individuais diferentes. Além disso, a empresa é sujeita a certos limites (restrições). Ela pode ter um certo número de máquinas, ela leva um certo tempo e o uso destas máquinas para fazer um produto requer um certo número de trabalhadores para manipular as máquinas, e outros critérios possíveis. Para resolver este tipo de problema, você atribuirá a primeira variável ao número de unidades a serem produzidas do primeiro produto, a segunda variável ao segundo produto, até esgotar o número de produtos diferentes (distintos) que a empresa produz. Quando você multiplicar estas variáveis pelo preço, por exemplo, você obterá uma função linear, denominada a função objetivo. Você pode expressar as restrições em termos destas variáveis, obtendo, assim, várias desigualdades, denominadas as restrições. Como as variáveis envolvidas na função objetivo também ocorrem nas restrições, a função objetivo e as restrições são amarradas matematicamente entre si e você estabeleceu um problema de otimização linear, também denominado um problema de programação linear.

 

Capítulo 23 Grafos. Otimização Combinatória

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Muitos problemas em Engenharia Elétrica, Engenharia Civil, Pesquisa Operacional, Engenharia Industrial, Administração, Logística, Marketing e Economia podem ser modelados por meio de grafos e grafos orientados, denominados digrafos. Isto não é surpreendente, visto que eles permitem modelar redes, tais como estradas e cabos, cujos nós podem ser cidades ou computadores. A tarefa então é determinar o caminho mais curto pela rede, ou a melhor forma de conectar computadores. De fato, muitos pesquisadores que contribuíram para a otimização combinatória e grafos, e que deram seus nomes a algoritmos fundamentais neste capítulo, tais como Fulkerson, Kruskal, Moore e Prim, trabalharam todos na Bell Laboratories em New Jersey, as principais instalações de Pesquisa e Desenvolvimento da grande empresa de telefonia e telecomunicações AT&T. Assim, eles estavam interessados em métodos para otimizar a construção de redes de computadores e de telefonia. O campo tem progredido na busca de algoritmos cada vez mais eficientes para problemas de grande dimensão.

 

Capítulo 24 Análise de Dados. Teoria da Probabilidade

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Mostraremos como se manipula dados numericamente ou em termos de gráficos, e como a partir deles extrair informação (tamanho médio, dispersão dos dados etc.). Se estes dados forem influenciados pelo “acaso”, por fatores cujo efeito não podemos prever exatamente (por exemplo, dados climáticos, preços de ações, vida útil de pneus etc.), precisamos confiar na teoria da probabilidade. Esta teoria originou-se em jogos de azar, tais como lançar moedas, jogar dados ou cartas de baralho. Atualmente, ela fornece modelos matemáticos para processos de acaso denominados experimentos aleatórios ou, simplesmente, experimentos. Nesses experimentos, observamos uma variável aleatória X, uma função cujos valores em uma tentativa (uma performance de um experimento) ocorrem “por acaso” (Seção 24.3) de acordo com uma distribuição de probabilidade, que fornece as probabilidades individuais com as quais possíveis valores de X podem ocorrer no longo prazo. (Por exemplo, cada uma das seis faces de um dado deve ocorrer com a mesma probabilidade, 1/6.) Ou podemos, simultaneamente, observar mais de uma variável aleatória, por exemplo, altura e peso de pessoas, ou dureza e tensão de ruptura do aço. Isso será discutido na Seção 24.9, na qual também vamos apresentar a base para a justificativa matemática dos modelos estatísticos do Capítulo 25.

 

Capítulo 25 Estatística Matemática

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Em teoria da probabilidade, estabelecemos modelos matemáticos de processos que são influenciados pelo “acaso”. Em estatística matemática, ou simplesmente estatística, verificaremos estes modelos em comparação com a realidade observável. A esse procedimento denomina-se inferência estatística. Isso é feito por amostragem, isto é, coletando amostras aleatórias, denominadas amostras. Estes são conjuntos de valores coletados a partir de um conjunto muito maior de valores que poderiam ser estudados, denominado a população. Um exemplo é dez diâmetros de parafusos coletados a partir de um grande lote de parafusos. A amostragem é realizada para ver se um modelo da população é suficientemente preciso para propósitos práticos. Em caso afirmativo, o modelo poderá ser utilizado para previsões, decisões e ações, por exemplo, no planejamento de produção, na compra de equipamentos, nos investimentos em projetos de negócios, e assim por diante.

 

Apêndice 1 Referências

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Referências Gerais

[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

 

Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

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Problemas Propostos 19.1, página 9

23. O algoritmo do Problema 22 repete 0011 infinitas vezes.

25. n = 26. O início é em 0,09375 (n = 1).

Problemas Propostos 19.2, página 18

 3. g = 0,5 cos x, x = 0,450184 (x10, acurácia 6S)

 5. Para todos os valores iniciais, ocorre convergência para 4,7.

 7. x = x/(ex sen x); 0,5; 0,63256; … converge para 0,58853 (acurácia 5S) em 14 passos.

 9. x = x4 − 0,12; x0 = 0, x3 = −0,119794 (acurácia 6S)

11. g = 4/x + x3/16 − x5/576; x0 = 2, xn = 2,39165 (n ≧ 6); 2,405 com acurácia 4S

 

Apêndice 3 Material Auxiliar

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Para tabelas de valores numéricos, veja o Apêndice 5.

Função exponencial ex (Figura 545)

Logaritmo natural (Figura 546)

ln x é a inversa de ex, e eln x = x, eln x = eln(1/x) = x, 10–logx = 1/x.

Logaritmos na base dez log10x ou simplesmente log x

log x é a inversa de 10x, e 10log x = x, 10–logx = 1/x, 1.

Funções seno e cosseno (Figuras 547, 548). No cálculo, ângulos são medidos em radianos, de modo que sen x e cos x possuem período 2π.

sen x é ímpar, sen (−x) = −sen x, e cos x é par, cos (−x) = cos x.

 

Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9.

Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A5 Distribuição Binomial

Função probabilidade f(x) [veja (2), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A6 Distribuição de Poisson

Função probabilidade f(x) [veja (5), Seção 24.7] e função distribuição F(x)

Tabela A7 Distribuição Normal

Valores da função distribuição Φ(z) [veja (3), Seção 24.8]. Φ(−z) = 1 − Φ(z)

Tabela A8 Distribuição Normal

Valores de z para valores dados de Φ(z) [veja (3), Seção 24.8] e D(z) = Φ(z) − Φ(−z)

 

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