E-Book - Matemática Superior para Engenharia - Vol. 2

Visualizações: 157
Classificação: (0)

Por mais de cinco décadas, Matemática Superior para Engenharia tem contribuído para o desenvolvimento da disciplina, tanto no meio acadêmico quanto como a conhecemos hoje. Esta nova edição ganha agora uma abordagem mais moderna e atualizada, fornecendo aos estudantes, além de uma base sólida, ferramentas de aprendizagem necessárias para aprofundarem seus estudos e ingressarem, com sucesso, na vida profissional._x000D_
Seus três volumes estão distribuídos em sete partes, e os capítulos foram pensados para funcionar de forma independente. Nesta 10a edição, o Volume 1 continua sendo publicado nos formatos impresso e digital, enquanto os Volumes 2 e 3 encontram-se disponíveis somente em e-book._x000D_
Como novidades importantes, os problemas propostos foram revistos, o conteúdo reorganizado e alguns trechos reescritos. O grau de dificuldade dos assuntos abordados foi aumentado no transcorrer do livro, de forma gradual, de modo a possibilitar uma agradável e efetiva experiência de aprendizagem._x000D_
Além disso, o Student Solutions Manual and Study Guide, material suplementar disponível no GEN-IO, ambiente virtual de aprendizagem do GEN | Grupo Editorial Nacional, mediante cadastro, foi ampliado, com respostas e explicações mais detalhadas._x000D_
Trata-se, portanto, de uma bibliografia indispensável para o ensino e a aprendizagem da matemática avançada voltada para Engenharia, Física, Matemática, Ciência da Computação e outros cursos de Ciências Exatas, além de um aliado para o ingresso e para a atuação desses futuros profissionais no mercado de trabalho

FORMATOS DISPONíVEIS

eBook

13 capítulos

Formato Comprar item avulso Adicionar à Pasta

Capítulo 11 Análise de Fourier

ePub Criptografado

Este capítulo abrange três amplas áreas: séries de Fourier, nas Seções 11.1–11.4, séries ortonormais mais gerais, denominadas expansões de Sturm-Liouville nas Seções 11.5 e 11.6, e integrais e transformadas de Fourier nas Seções 11.7–11.9.

O ponto de partida central da análise de Fourier é constituído pelas séries de Fourier. São séries infinitas designadas para representar séries periódicas gerais em termos de funções periódicas simples, a saber, senos e cossenos. Esse sistema trigonométrico é ortogonal, permitindo o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, usando as conhecidas fórmulas de Euler, como será apresentado na Seção 11.1. As séries de Fourier são muito importantes para o engenheiro e para o físico, porque elas possibilitam a resolução de EDOs em conexão com oscilações forçadas (Seção 11.3), bem como a aproximação de funções periódicas (Seção 11.4). Além disso, aplicações da análise de Fourier a EDPs serão apresentadas no Capítulo 12. Em certo sentido, as séries de Fourier são mais universais que a familiar série de Taylor do cálculo, porque várias funções periódicas descontínuas envolvidas em aplicações podem ser desenvolvidas em séries de Fourier, mas não possuem expansões em séries de Taylor.

 

Capítulo 12 Equaç es Diferenciais Parciais (EDPs)

ePub Criptografado

Uma EDP é uma equação que contém uma ou mais derivadas parciais de uma função desconhecida que depende, no mínimo, de duas variáveis. Usualmente uma destas é o tempo t e as demais referem-se ao espaço (variável(is) espacial(is)). As EDPs mais importantes são as equações da onda, que podem modelar a corda vibrante (Seções 12.2, 12.3, 12.4, 12.12) e a membrana vibrante (Seções 12.8, 12.9, 12.10), a equação do calor para a temperatura em uma barra ou em um fio (Seções 12.5, 12.6) e a equação de Laplace para potenciais eletrostáticos (Seções 12.6, 12.10, 12.11). As EDPs são muito importantes em dinâmica, elasticidade, transferência do calor, teoria eletromagnética e mecânica quântica. Suas aplicações possuem uma extensão muito maior do que as EDOs, que podem modelar apenas os sistemas físicos mais simples. As EDPs constituem, portanto, assunto de muitas pesquisas e projetos de desenvolvimento em andamento.

Considerando que a modelagem com EDPs é mais abrangente que a modelagem com EDOs, iremos seguir uma abordagem gradual e bem planejada para a modelagem com EDPs. Para isso, vamos deduzir cuidadosamente a EDP que modela o fenômeno, tal como a equação da onda unidimensional para uma corda elástica vibrante (uma corda de violino, digamos) na Seção 12.2, e depois resolver a EDP em uma seção separada, isto é, na Seção 12.3. Na mesma linha, deduzimos a equação do calor na Seção 12.5 para, depois, resolvê-la e generalizá-la na Seção 12.6.

 

Capítulo 13 Números Complexos e Funções Complexas. Derivação Complexa

ePub Criptografado

Nossa transição de “cálculo real” para “cálculo complexo” começará com uma discussão de números complexos, e sua representação geométrica no plano complexo. Depois, na Seção 13.3, vamos progredir para funções analíticas. Queremos que funções sejam analíticas, porque elas são as “funções úteis” no sentido de que elas são deriváveis em algum domínio, e a elas podemos aplicar operações da análise complexa. As equações mais importantes são então as equações de Cauchy-Riemann, Seção 13.4, porque elas permitem um teste de analiticidade dessas funções. Além disso, mostraremos como as equações de Cauchy-Riemann se relacionam com a importante equação de Laplace.

As demais seções do capítulo serão dedicadas a funções complexas elementares (funções exponencial, trigonométrica e logarítmica). Estas generalizam as funções reais familiares do cálculo. Conhecê-las detalhadamente é de necessidade absoluta no trabalho prático, exatamente como a necessidade de se conhecer as suas correspondentes reais no cálculo.

 

Capítulo 14 Integração Complexa

ePub Criptografado

O Capítulo 13 lançou as bases para o estudo de análise complexa, cobrindo números complexos no plano complexo, limites e derivação, e além disso, introduziu o conceito mais importante de analiticidade. Uma função complexa é analítica em algum domínio se ela for derivável naquele domínio. A análise complexa trata dessas funções e de suas aplicações. As equações de Cauchy-Riemann, na Seção 13.4, foram o centro do Capítulo 13 e proporcionaram um caminho para verificar se uma função é de fato analítica. Naquela seção, também vimos que funções analíticas satisfazem a equação de Laplace, a mais importante EDP na física.

Agora, iremos considerar a parte seguinte do cálculo complexo, isto é, discutir a primeira abordagem para a integração complexa. Este estudo é focado em torno do muito importante teorema integral de Cauchy (também denominado teorema de Cauchy-Goursat) na Seção 14.2. Este teorema é importante porque permite, a partir de sua indicada fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3, o cálculo de integrais cujo integrando é uma função analítica. Além disso, a fórmula integral de Cauchy mostra o resultado surpreendente de que funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens. Consequentemente, sob este aspecto, funções analíticas complexas comportam-se muito mais simplesmente que as funções reais de variáveis reais, que podem ter derivadas apenas até certa ordem.

 

Capítulo 15 Séries de Potências, Séries de Taylor

ePub Criptografado

No Capítulo 14, calculamos integrais complexas diretamente, por meio da fórmula integral de Cauchy, que foi deduzida a partir do famoso teorema integral de Cauchy. Iremos agora passar da abordagem de Cauchy e Goursat para outra abordagem de cálculo de integrais complexas, calculando-as pela integração por resíduos. Esta abordagem, que será discutida no Capítulo 16, requer uma prévia compreensão global de séries de potências e, em particular, da série de Taylor. (Para desenvolver a teoria da integração por resíduos, ainda vamos usar o teorema integral de Cauchy!)

Neste capítulo, iremos nos concentrar em séries de potências complexas e, em particular, na série de Taylor. São análogas às séries de potências reais e à série de Taylor real, da disciplina de cálculo. Na Seção 15.1, vamos discutir testes de convergência para séries complexas, que são bastante similares àqueles para séries reais. Assim, se você estiver familiarizado com os testes de convergência do cálculo, poderá fazer uso da Seção 15.1 como uma seção de referência. Os principais resultados deste capítulo são que séries de potências complexas representam funções analíticas, como será mostrado na Seção 15.3, e que, reciprocamente, toda função analítica pode ser representada por uma série de potências, denominada uma série de Taylor, como mostrado na Seção 15.4. A última seção (15.5) a respeito de convergência uniforme é opcional.

 

Capítulo 16 Séries de Laurent. Integração por Resíduos

ePub Criptografado

O propósito principal deste capítulo é aprender a respeito de outro método poderoso para calcular o valor de integrais complexas e algumas integrais reais. Este é o denominado integração por resíduos. Lembre-se de que o primeiro método para avaliar integrais complexas consistiu em aplicar diretamente a fórmula integral de Cauchy da Seção 14.3. Depois, aprendemos a respeito de série de Taylor (Capítulo 15) e agora iremos generalizar a série de Taylor. A beleza da integração por resíduos, que vem a ser o segundo método de integração, é que ele reúne muito do material anterior.

A série de Laurent generaliza a série de Taylor. De fato, enquanto os termos de uma série de Taylor são potências inteiras positivas (e um termo constante) e convergem em um disco, uma série de Laurent (Seção 16.1) é uma série de potências inteiras positivas e negativas de zz0 e convergem em um anel (um anel circular) com centro em z0. Consequentemente, podemos representar, por uma série de Laurent, uma dada função f(z) analítica em um anel e que pode ter singularidades do lado de fora do anel, bem como no “orifício” do anel.

 

Capítulo 17 Mapeamento Conforme

ePub Criptografado

Mapeamentos conformes, além de inestimáveis para o engenheiro e para o físico, auxiliam na resolução de problemas em teoria do potencial. Eles constituem um método-padrão para resolver problemas de contorno em teoria do potencial bidimensional e fornecem ricas aplicações em eletrostática, fluxo do calor, escoamento de fluidos, como veremos no Capítulo 18.

A principal característica dos mapeamentos conformes é que eles preservam os ângulos (exceto em alguns pontos críticos) e permitem uma abordagem geométrica para a análise complexa. Mais detalhes a seguir.

Considere uma função complexa w = f(z) definida em um domínio D do plano z; então, a cada ponto em D corresponde um ponto no plano w. Desta forma, obtemos um mapeamento de D sobre a distribuição de valores de f(z) no plano w. Na Seção 17.1, iremos mostrar que, se f(z) for uma função analítica, então o mapeamento dado por w = f(z) é um mapeamento conforme, isto é, preserva ângulos, exceto em pontos nos quais a derivada f'(z) é zero. (Estes pontos são denominados pontos críticos.)

 

Capítulo 18 Análise Complexa e Teoria do Potencial

ePub Criptografado

No Capítulo 17, desenvolvemos a abordagem geométrica do mapeamento conforme. Isso significa que, para uma função analítica complexa w = f(z), definida em um domínio D do plano z, associamos a cada ponto em D um ponto correspondente no plano w. Isso nos forneceu um mapeamento conforme (que preserva ângulos), exceto em pontos críticos em que f'(z) = 0.

Neste capítulo, vamos aplicar mapeamentos conformes a problemas do potencial. Isso nos levará a problemas de contorno e várias aplicações da Engenharia em eletrostática, fluxo de calor e escoamento de fluidos. Mais detalhes são como se segue.

Lembre-se de que a equação de Laplace ∇2Φ = 0 é uma das mais importantes EDPs em Matemática Aplicada à Engenharia, porque ela ocorre em gravitação (Seções 9.7, 12.11), eletrostática (Seção 9.7), condução do calor em estado estacionário (Seção 12.5), escoamento de fluido incompressível, entre outras áreas. A teoria desta equação é denominada teoria do potencial (embora “potencial” também seja usado, em um sentido mais geral, em conexão com gradientes [veja a Seção 9.7]). Considerando que queremos tratar esta equação com métodos de análise complexa, iremos restringir nossa discussão ao “caso bidimensional”. Assim, Φ depende apenas de duas coordenadas cartesianas x e y, e a equação de Laplace torna-se

 

Apêndice 1 Referências

ePub Criptografado

[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

 

Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

ePub Criptografado

 

Apêndice 3 Material Auxiliar

ePub Criptografado

Para tabelas de valores numéricos, veja o Apêndice 5.

Função exponencial ex (Figura 545)

Logaritmo natural (Figura 546)

ln x é a inversa de ex, e eln x = x, eln x = eln(1/x) = x, 10–logx = 1/x.

Logaritmos na base dez log10x ou simplesmente log x

log x é a inversa de 10x, e 10log x = x, 10–logx = 1/x, 1.

Funções seno e cosseno (Figuras 547, 548). No cálculo, ângulos são medidos em radianos, de modo que sen x e cos x possuem período 2.

sen x é ímpar, sen (–x) = –sen x, e cos x é par, cos (–x) = cos x.

 

Apêndice 4 Demonstrações Adicionais

ePub Criptografado

TEOREMA

Realidade dos Autovalores

Se p, q, r e p′ na equação de Sturm–Liouville (1) da Seção 11.5 assumirem valores reais e forem contínuas no intervalo a ≦ x ≦ b e r(x) > 0 ao longo daquele intervalo (ou r(x) < 0 ao longo daquele intervalo), então todos os autovalores do problema de Sturm–Liouville (1), (2), da Seção 11.5, são reais.

Seja λ = α + um autovalor do problema e seja

uma autofunção correspondente; aqui, α, β, u e v são reais. Substituindo isto em (1) da Seção 11.5, temos

Essa equação complexa é equivalente ao seguinte par de equações para as partes real e imaginária:

Multiplicando a primeira equação por v, a segunda por –u e adicionando, obtemos

A expressão entre colchetes é contínua em axb, por questões similares àquelas na demonstração do Teorema 1 da Seção 11.5. Integrando sobre x de a até b, obtemos então

 

Apêndice 5 Tabelas

ePub Criptografado

Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9. Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10.

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A1 Funções de Bessel

Para tabelas mais extensivas, veja a Ref. [GenRef1] no Apêndice 1.

Tabela A2 Função Gamma

[veja (24) no Apêndice A3.1]

Tabela A3 Função Fatorial e Seus Logaritmos com Base 10

Tabela A4 Função Erro, Integrais Seno e Cosseno

[veja (35), (40), (42) no Apêndice A3.1]

 

Detalhes do Produto

Livro Impresso
Book
Capítulos

Formato
ePub
Criptografado
Sim
SKU
BPE0000270695
ISBN
9788521636090
Tamanho do arquivo
22 MB
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
Formato
ePub
Criptografado
Sim
Impressão
Desabilitada
Cópia
Desabilitada
Vocalização de texto
Não
SKU
Em metadados
ISBN
Em metadados
Tamanho do arquivo
Em metadados