Matemática Superior para Engenharia - Vol. 1

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Por mais de cinco décadas, Matemática Superior para Engenharia tem contribuído para o desenvolvimento da disciplina, tanto no meio acadêmico quanto como a conhecemos hoje. Esta nova edição ganha agora uma abordagem mais moderna e atualizada, fornecendo aos estudantes, além de uma base sólida, ferramentas de aprendizagem necessárias para aprofundarem seus estudos e ingressarem, com sucesso, na vida profissional._x000D_
Seus três volumes estão distribuídos em sete partes, e os capítulos foram pensados para funcionar de forma independente. Nesta 10a edição, o Volume 1 continua sendo publicado nos formatos impresso e digital, enquanto os Volumes 2 e 3 encontram-se disponíveis somente em e-book._x000D_
Como novidades importantes, os problemas propostos foram revistos, o conteúdo reorganizado e alguns trechos reescritos. O grau de dificuldade dos assuntos abordados foi aumentado no transcorrer do livro, de forma gradual, de modo a possibilitar uma agradável e efetiva experiência de aprendizagem._x000D_
Além disso, o Student Solutions Manual and Study Guide, material suplementar disponível no GEN-IO, ambiente virtual de aprendizagem do GEN | Grupo Editorial Nacional, mediante cadastro, foi ampliado, com respostas e explicações mais detalhadas._x000D_
Trata-se, portanto, de uma bibliografia indispensável para o ensino e a aprendizagem da matemática avançada voltada para Engenharia, Física, Matemática, Ciência da Computação e outros cursos de Ciências Exatas, além de um aliado para o ingresso e para a atuação desses futuros profissionais no mercado de trabalho

 

13 capítulos

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Capítulo 1 EDOs de Primeira Ordem

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O Capítulo 1 introduz o estudo de equações diferenciais ordinárias (EDOs), obtendo-as a partir de problemas físicos ou de outra natureza (modelagem), resolvendo-as por meio de métodos matemáticos convencionais e interpretando soluções e seus gráficos em termos de algum dado problema. As EDOs mais simples a serem discutidas são EDOs de primeira ordem, porque envolvem apenas a derivada de primeira ordem da função incógnita e nenhuma derivada de ordem mais alta. Essas funções incógnitas serão usualmente representadas por y(x) ou y(t) quando a variável independente representar o tempo t. Na Seção 1.7, o capítulo termina com um estudo da existência e unicidade de soluções de EDOs.

Para entender os conteúdos básicos das EDOs, é necessário resolver problemas a mão (lápis e papel, ou digitando em seu computador, inicialmente sem a ajuda de um SAC). Fazendo isso, você ganhará uma importante compreensão conceitual e entenderá os termos básicos, tais como EDOs, campo de direções e problema de valor inicial. Se desejar, poderá usar seu Sistema de Álgebra Computacional (SAC) para verificar soluções.

 

Capítulo 2 EDOs Lineares de Segunda Ordem

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Nas Seções 2.4, 2.8 e 2.9, será mostrado que muitas aplicações importantes em Engenharia Mecânica e Elétrica são modeladas por equações diferenciais ordinárias lineares (EDOs lineares) de segunda ordem. Sua teoria é típica de todas as EDOs lineares, como pode ser visto comparando com as EDOs lineares de ordem três e superior, respectivamente. Entretanto, as fórmulas de solução para EDOs lineares de segunda ordem são mais simples que aquelas de ordem mais alta, e assim, é uma evolução natural começar por estudar as EDOs de segunda ordem, neste capítulo, e depois, as de ordem mais alta, no Capítulo 3.

Embora equações diferenciais ordinárias (EDOs) possam ser classificadas em EDOs lineares e não lineares, as EDOs não lineares são difíceis de resolver, diferentemente das EDOs lineares, para as quais existem vários métodos convencionais.

O Capítulo 2 inclui a obtenção de soluções gerais e particulares, sendo estas últimas relacionadas com problemas de valor inicial.

Para aqueles interessados em métodos de resolução das equações de Legendre, Bessel e hipergeométricas, consultem o Capítulo 5; e para problemas de Sturm-Liouville, o Capítulo 11.

 

Capítulo 3 EDOs Lineares de Ordem Superior

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Os conceitos e métodos de resolução das EDOs lineares de ordem n = 2 estendem-se satisfatoriamente para EDOs lineares de ordem superior, isto é, n = 3, 4 etc. Assim, a teoria exposta no Capítulo 2 para EDOs lineares de segunda ordem é interessante, porque ela pode ser estendida de forma direta para n arbitrário. Faremos isso neste capítulo e iremos observar que as fórmulas irão se tornar mais complicadas, a variedade de raízes da equação característica (Seção 3.2) será muito maior à medida que n aumenta e o wronskiano exercerá um papel mais proeminente.

Os conceitos e métodos de resolução das EDOs lineares de segunda ordem estendem-se facilmente para EDOs lineares de ordem superior.

Este capítulo dá continuidade ao Capítulo 2, pois os resultados do Capítulo 2 podem ser facilmente estendidos para os do Capítulo 3.

Pré-requisito: Seções 2.1, 2.2, 2.6, 2.7 e 2.10.

Referências e Respostas dos Problemas: Parte A do Apêndice 1 e Apêndice 2.

 

Capítulo 4 Sistemas de EDOs. Plano de Fase. Métodos Qualitativos

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Compondo com o Capítulo 3, iremos apresentar na Seção 4.1 outro método para resolver EDOs de ordem superior. A partir deste método, iremos converter uma EDO de ordem n em um sistema de n EDOs de primeira ordem. Vamos mostrar também algumas aplicações. Além disso, na mesma seção, iremos resolver sistemas de EDOs de primeira ordem que ocorrem diretamente em aplicações, isto é, que não decorreram de uma EDO de ordem n, mas sim da própria aplicação, como, por exemplo, dois tanques em problemas de mistura e dois circuitos em redes elétricas. (Na Seção 4.0, revisaremos os aspectos elementares de vetores e matrizes, necessários neste capítulo, provavelmente familiares à maioria dos estudantes.)

Na Seção 4.3, vamos apresentar uma maneira totalmente diferente de interpretar sistemas de EDOs. O método consiste em examinar o comportamento geral de famílias inteiras de soluções de EDOs no plano de fase e, por isso, denominado método do plano de fase. Este método fornece informação a respeito da estabilidade de soluções. (A estabilidade de um sistema físico é desejável e, grosso modo, significa que uma pequena alteração em algum instante causa apenas uma pequena alteração no comportamento do sistema em tempos posteriores.) Essa abordagem para sistemas de EDOs é um método qualitativo porque depende apenas da natureza das EDOs e não exige que conheçamos as suas soluções. Isso pode ser muito útil, porque, com frequência, é difícil ou até mesmo impossível resolver sistemas de EDOs. Em contraste, a abordagem de realmente resolver um sistema é conhecida como um método quantitativo.

 

Capítulo 5 Soluções de EDOs por Séries. Funções Especiais

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Nos capítulos anteriores, vimos que EDOs lineares com coeficientes constantes podem ser resolvidas por métodos algébricos, e que suas soluções são funções elementares conhecidas do cálculo. Para EDOs com coeficientes variáveis, a situação é mais complicada e suas soluções podem ser funções não elementares. As equações de Legendre, de Bessel e hipergeométricas são EDOs importantes desse tipo. Como essas EDOs e suas soluções, os polinômios de Legendre, as funções de Bessel e as funções hipergeométricas exercem um papel importante em modelagem de Engenharia, iremos considerar os dois métodos-padrão para resolver essas EDOs.

O primeiro método é denominado método da série de potências, porque leva a soluções sob a forma de séries de potências a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … .

 

Capítulo 6 Transformadas de Laplace

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Transformadas de Laplace constituem ferramentas matemáticas de grande valor para qualquer engenheiro que queira tornar muito mais fácil a tarefa de resolver EDOs lineares e problemas de valor inicial relacionados com essas equações, bem como sistemas de EDOs lineares. São inúmeras as suas aplicações: circuitos elétricos, molas, problemas de mistura, processamento de sinais, e outras áreas de Engenharia e de Física.

O processo de resolver uma EDO usando o método da transformada de Laplace consiste em três etapas, apresentadas esquematicamente na Figura 113.

Etapa 1. A EDO dada é transformada em uma equação algébrica, denominada a equação subsidiária.

Etapa 2. A equação subsidiária é resolvida por meio de manipulações puramente algébricas.

Etapa 3. A solução da Etapa 2 é transformada de volta, resultando na solução do problema dado.

Figura 113 Resolução de um PVI por transformadas de Laplace.

 

Capítulo 7 Álgebra Linear: Matrizes, Vetores, Determinantes. Sistemas Lineares

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A álgebra linear é um assunto bastante extenso, que abrange vetores e matrizes, determinantes, sistemas de equações lineares, espaços vetoriais e transformações lineares, problemas de autovalores e outros tópicos. Como área de estudo, ela tem um grande apelo, visto ter muitas aplicações em Engenharia, Física, Geometria, Ciência da Computação, Economia e outras áreas. Ela também contribui para uma compreensão mais profunda da própria matemática.

As ferramentas principais da álgebra linear são as matrizes – arranjos retangulares de números ou funções – e os vetores. As matrizes são importantes porque elas nos permitem expressar grandes quantidades de dados e funções, de uma forma concisa e organizada. Além disso, como matrizes são objetos únicos, podemos representá-las por letras únicas e efetuar cálculos diretamente com elas. Todas essas características levaram as matrizes a serem amplamente utilizadas para expressar ideias matemáticas e científicas.

 

Capítulo 8 Álgebra Linear: Problemas de Autovalores de Matrizes

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Um problema de autovalores de matrizes considera a equação vetorial

Aqui, A é uma matriz quadrada dada, λ é um escalar incógnita e x é um vetor incógnito. Em um problema de autovalores de matrizes, a tarefa é determinar λ’s e x’s que satisfaçam (1). Como x = 0 é sempre uma solução para qualquer λ e isso não nos interessa, vamos admitir apenas soluções com x ≠ 0.

As soluções de (1) são denominadas como a seguir: Os λ’s que satisfazem (1) são denominados autovalores de A e as correspondentes x’s não nulas que também satisfazem (1) são denominadas autovetores de A.

A partir dessa equação vetorial com uma aparência tão simplória, flui uma quantidade surpreendente de teoria relevante e uma incrível riqueza de aplicações. De fato, problemas de autovalores aparecem a toda hora em engenharia, física, geometria, cálculo numérico, matemática teórica, biologia, ciência ambiental, planejamento urbano, economia, psicologia e outras áreas. Provavelmente, na sua trajetória profissional, você encontrará problemas de autovalores.

 

Capítulo 9 Cálculo Diferencial Vetorial. Grad, Div, Rot

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Engenharia, Física e Ciência da Computação, em geral, mas particularmente mecânica dos sólidos, aerodinâmica, aeronáutica, escoamento de fluidos, fluxo de calor, eletrostática, física quântica, tecnologia com laser, robótica, bem como outras áreas, possuem aplicações que requerem conhecimentos de cálculo vetorial. Este campo inclui cálculo diferencial vetorial e cálculo integral vetorial. De fato, o engenheiro, o físico e o matemático necessitam de uma boa base nessas áreas, como apresentado no material cuidadosamente escolhido para os Capítulos 9 e 10.

Forças, velocidades e várias outras quantidades podem ser pensadas como vetores. Vetores aparecem frequentemente nas aplicações citadas anteriormente e também nas ciências biológicas e sociais, e, assim, é natural modelar problemas no espaço 3D. Este é o espaço tridimensional com a medida usual de distância, dada pelo teorema de Pitágoras. Dentro deste domínio, o espaço 2D (o plano) é um caso especial. Para trabalhar no espaço 3D, precisamos estender o cálculo diferencial comum para o cálculo diferencial vetorial, isto é, o cálculo que lida com funções vetoriais e campos vetoriais, como vamos explicar neste capítulo.

 

Capítulo 10 Cálculo Integral Vetorial. Teoremas Integrais

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O cálculo integral vetorial pode ser visto como uma generalização do cálculo integral comum. Você pode querer rever integração. (Para refrescar a sua memória, existe uma seção de revisão opcional em integrais duplas; veja a Seção 10.3.)

De fato, o cálculo integral vetorial estende integrais conhecidas do cálculo comum para integrais sobre curvas, denominadas integrais de linha (Seções 10.1 e 10.2), integrais sobre superfícies, denominadas integrais de superfície (Seção 10.6) e integrais sobre sólidos, denominadas integrais triplas (Seção 10.7). A beleza do cálculo integral vetorial está no fato de que podemos transformar essas diversas integrais uma na outra. Você usa isso para simplificar cálculos, visto que um tipo de integral pode ser mais simples de resolver que outro, tal como em teoria do potencial (Seção 10.8). Mais especificamente, o teorema de Green no plano nos permite transformar integrais de linha para integrais duplas ou, de maneira recíproca, integrais duplas para integrais de linha, como mostrado na Seção 10.4. O teorema da divergência de Gauss (Seção 10.7) converte integrais de superfície para integrais triplas, e vice-versa, e o teorema de Stokes converte integrais de linha para integrais de superfície e vice-versa.

 

Apêndice 1 Referências

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[GenRef1] Abramowitz, M. and I. A. Stegun (eds.), Handbook of Mathematical Functions. 10th printing, with corrections. Washington, DC: National Bureau of Standards. 1972 (also New York: Dover, 1965). Veja também [W1]

[GenRef2] Cajori, F., History of Mathematics. 5th ed. Reprinted. Providence, RI: American Mathematical Society, 2002.

[GenRef3] Courant, R. and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1989.

[GenRef4] Courant, R., Differential and Integral Calculus. 2 vols. Hoboken, NJ: Wiley, 1988.

[GenRef5] Graham, R. L. et al., Concrete Mathematics. 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1994.

[GenRef6] Ito, K. (ed.), Encyclopedic Dictionary of

Mathematics. 4 vols. 2nd ed. Cambridge, MA: MIT Press, 1993.

[GenRef7] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley, 1989.

[GenRef8] Kreyszig, E., Differential Geometry. Mineola, NY: Dover, 1991.

[GenRef9] Kreyszig, E. Introduction to Differential Geometry and Riemannian Geometry. Toronto: University of Toronto Press, 1975.

 

Apêndice 2 Respostas aos Problemas de Numeração Ímpar

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25. Experimento com SAC. A escolha de ω necessita de experimentação, inspeção das curvas obtidas, e depois, variações numa base de tentativa e erro. É interessante ver como, no caso de batimentos, o período fica cada vez mais longo e a amplitude máxima cada vez maior na medida em que ω/(2π) se aproxima da frequência de ressonância.

  9. Linearmente independentes

11. Linearmente independentes

13. Linearmente independentes

15. Linearmente dependentes

1. Hipérboles

3. Retas paralelas (planos paralelos no espaço)

5. Circunferências, centros sobre o eixo y

7. Elipses

9. Planos paralelos

11. Cilindros elípticos

13. Paraboloides

  

 

Apêndice 5 Tabelas

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Para Tabelas das Transformadas de Laplace, veja as Seções 6.8 e 6.9. Para Tabelas das Transformadas de Fourier, veja a Seção 11.10.

Se você tiver um Sistema de Álgebra Computacional (SAC), você pode não necessitar destas tabelas, mas você ainda as considerará úteis de vez em quando.

Tabela A1 Funções de Bessel

Para tabelas mais extensivas, veja a Ref. [GenRef1] no Apêndice 1.

Tabela A2 Função Gamma [veja (24) no Apêndice A3.1]

Tabela A3 Função Fatorial e Seus Logaritmos com Base 10

Tabela A4 Função Erro, Integrais Seno e Cosseno [veja (35), (40), (42) no Apêndice A3.1]

 

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