Eletromagnetismo - Teoria e Aplicações

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Da eletrostática à eletrodinâmica relativística. O livro Eletromagnetismo – Teoria e Aplicações aborda a experiência de Nilson de Oliveira como professor e pesquisador com foco nos problemas da física da matéria condensada e suas aplicações tecnológicas.

Com exercícios resolvidos e complementares e escrito de forma simples e objetiva, o livro introduz tópicos de física moderna, como: monopolos magnéticos, ondas eletromagnéticas em cristais anisotrópicos, efeito Doppler relativístico, efeito fotoelétrico e princípios básicos de aceleradores de partículas. Dessa forma, consegue se aprofundar na importância do eletromagnetismo com relação aos tempos modernos.

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Capítulo 1 Introdução à Matemática

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Neste capítulo, é feita uma breve introdução sobre alguns tópicos de matemática, que são fundamentais para a formulação da teoria eletromagnética. Os sistemas de eixos coordenados retangulares, cilíndricos e esféricos para a representação de um ponto no espaço tridimensional; derivadas e integrais de funções escalares e vetoriais; os operadores diferenciais como gradiente, divergente, rotacional e laplaciano; a função delta de Dirac e a série de Fourier são os principais pontos discutidos. Para uma abordagem mais detalhada sobre esses temas, recomendamos a leitura de livros específicos sobre cálculo e métodos matemáticos aplicados à Física.

Grandezas escalares são aquelas que podem ser completamente determinadas por um número. O volume de um sólido, a massa e a carga de uma partícula, a corrente elétrica e o potencial elétrico são exemplos de grandezas escalares. Grandezas vetoriais são aquelas em que há a necessidade do conhecimento do módulo, direção e sentido para determinálas completamente. Por exemplo, a velocidade e a aceleração de uma partícula, os campos elétrico e magnético são grandezas vetoriais.

 

Capítulo 2 Eletrostática no Vácuo

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No modelo atômico de Bohr,1 os átomos são constituídos de elétrons, prótons e nêutrons. Os prótons com carga elétrica positiva e os nêutrons sem carga elétrica formam o núcleo do átomo, enquanto os elétrons com carga elétrica negativa descrevem órbitas em torno deste núcleo. Um material sólido cristalino com dimensões macroscópicas é constituído de vários átomos distribuídos em uma estrutura geométrica e mantidos próximos por algum tipo de ligação química.

Para carregar eletricamente um material, é necessário produzir um desequilíbrio entre o número de elétrons e prótons. Do ponto de vista energético, é muito mais fácil retirar ou colocar elétrons do que prótons, uma vez que os prótons estão ligados no núcleo atômico pela força nuclear, que é muito maior que a força elétrica que atua sobre os elétrons. A retirada (ou inserção) de elétrons de um material pode ser feita mediante um processo de eletrização como atrito, contato e indução.

Um material carregado eletricamente gera ao seu redor um campo elétrico. Neste capítulo, estudaremos os campos elétricos gerados por distribuições de cargas elétricas estáticas no vácuo. Os campos elétricos gerados por cargas elétricas de polarização, presente nos materiais não condutores, serão tratados no Capítulo 4. Os campos elétricos gerados por cargas elétricas em movimento serão discutidos no Capítulo 14.

 

Capítulo 3 Problemas de Contorno em Eletrostática

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No Capítulo 2, estudamos o potencial e o campo elétrico gerados por distribuições discretas e contínuas de cargas elétricas colocadas no vácuo. Nos problemas envolvendo cargas elétricas distribuídas em meios materiais condutores ou isolantes, o potencial elétrico deve satisfazer determinadas condições de contorno sobre suas superfícies. Neste capítulo, discutiremos problemas eletrostáticos envolvendo condições de contorno, utilizando o método das imagens, o método das funções de Green e a solução da equação de Laplace nos sistemas de coordenadas retangulares, esféricas e cilíndricas.

O metódo das imagens é utilizado para encontrar o potencial elétrico em alguns problemas com simetria. Este método consiste no mapeamento do problema original em um problema auxiliar (ou imagem), cuja solução matemática é equivalente. Para apresentar o método, vamos considerar uma determinada região no espaço em que um material (condutor ou isolante) está em presença de uma distribuição de cargas elétricas conhecida. Neste cenário, o potencial elétrico gerado em todos os pontos do espaço será dado por:

 

Capítulo 4 Eletrostática em Meios Materiais

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Nos Capítulos 2 e 3, estudamos os potenciais e os campos elétricos gerados por distribuições de cargas elétricas livres no vácuo e em materiais condutores. Neste capítulo, estudaremos os potenciais e os campos elétricos gerados por cargas elétricas localizadas em materiais não condutores. Para essa finalidade, estenderemos o formalismo matemático desenvolvido no Capítulo 2 para incluir cargas elétricas de polarização. Em seguida, discutiremos os problemas de valores de contorno envolvendo materiais não condutores.

Nos materiais não condutores, os elétrons estão fortemente ligados ao núcleo atômico. Dependendo da distribuição espacial das cargas elétricas negativas e positivas, elas podem formar momentos de dipolos elétricos. Em um material, o momento de dipolo elétrico resultante pode ser nulo ou ter um valor finito, dependendo da orientação dos momentos de dipolos elétricos locais.

A polarização elétrica é definida matematicamente como a média dos momentos de dipolos elétricos por unidade de volume, isto é:

 

Capítulo 5 Campo Magnético Gerado por Corrente Elétrica

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No Capítulo 2 estudamos os campos elétricos gerados por densidades de cargas eletrostáticas. Cargas elétricas em movimento, além do campo elétrico, também geram campo magnético. Em um material condutor, o movimento das cargas elétricas origina a corrente elétrica, que, por sua vez, gera o campo magnético. O campo magnético também pode ser gerado por ímãs ou por uma variação temporal do campo elétrico.

Neste capítulo, apresentaremos a formulação matemática para descrever o campo magnético gerado por corrente elétrica estacionária. O campo magnético gerado por ímãs será discutido no próximo capítulo.

Antes de iniciar o estudo sobre campo magnético, vamos fazer uma introdução sobre corrente elétrica. Ao aplicar um campo elétrico estático em um material condutor, os elétrons ficam sujeitos à força elétrica, , e se movem em um sentido contrário ao campo aplicado. Esse movimento ordenado das cargas elétricas no interior de um condutor gera uma corrente elétrica.1

 

Capítulo 6 Campo Magnético Gerado por Ímãs

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No capítulo anterior, discutimos o campo magnético gerado por correntes elétricas fluindo por fios condutores. Neste capítulo, o foco será o campo magnético gerado por materiais magnetizados, usualmente chamados de ímãs ou magnetos. Nesses materiais, a fonte do campo magnético não é uma corrente elétrica, produzida por uma fonte externa, mas a magnetização que aparece devido ao ordenamento dos momentos magnéticos atômicos.

Para fazer a formulação teórica capaz de descrever o campo magnético gerado por ímãs, é necessário uma discussão inicial sobre a formação dos momentos magnéticos atômicos e da magnetização. Nas duas próximas seções, será feita uma descrição dessas grandezas sob o ponto de vista da física clássica. Para o leitor interessado em uma descrição quântica, que não está no escopo deste livro, recomendamos a leitura de referências específicas sobre magnetismo. Algumas sugestões estão citadas na bibliografia.

O momento de dipolo magnético eletrônico tem duas contribuições: uma devido ao movimento orbital dos elétrons e a outra devido ao seu spin. Fazendo uma analogia entre uma órbita eletrônica e uma espira circular percorrida por uma corrente elétrica, podemos associar à orbita do elétron uma corrente dada por I = Δq / Δt, em que Δq = –e representa a carga do elétron e Δt = 2π/ω é o período de revolução, sendo ω a frequência angular. Logo, podemos escrever que I = –eω/2π. Usando a definição de momento de dipolo magnético podemos associar ao movimento orbital do elétron um momento de dipolo magnético dado por:

 

Capítulo 7 Indução Eletromagnética

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Uma corrente elétrica e uma força eletromotriz (fem) são induzidas sobre uma espira, quando há uma variação de fluxo magnético sobre ela. Esse fenômeno, conhecido como indução eletromagnética, tem importantes aplicações tecnológicas, tais como: produção de energia elétrica, transformadores de tensão, motores elétricos, forno de indução, frenagem magnética, levitação magnética etc. Neste capítulo, discutiremos os conceitos físicos e a formulação matemática envolvidos na indução eletromagnética.

Uma força eletromotriz, que pode ser detectada por uma medida de corrente elétrica ou diferença de potencial, é induzida em uma espira sempre que houver variação de fluxo magnético sobre ela. O fluxo magnético sobre uma espira rígida pode ser variado, afastando ou aproximando uma fonte de campo magnético (por exemplo um ímã), conforme mostra a Figura 7.1. Um mecanismo equivalente é manter fixa a fonte de campo magnético e aproximar ou afastar a espira.

A variação do fluxo magnético sobre uma espira também pode ser produzida por outros mecanismos como: (1) colocá-la em presença de um campo magnético dependente do tempo e (2) deformá-la em presença de campo constante. Neste capítulo, vamos considerar somente os casos envolvendo circuitos rígidos.

 

Capítulo 8 Equações de Maxwell

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Os fenômenos eletromagnéticos são governados por três leis empíricas: (1) a lei de Coulomb, que descreve a interação entre partículas carregadas e, consequentemente, o campo elétrico gerado por densidades de cargas elétricas, (2) a lei de Biot-Savart, que descreve o campo magnético gerado por densidades de correntes elétricas e (3) a lei de Faraday, que descreve a força eletromotriz gerada pela variação do fluxo do campo magnético.

O conjunto das equações matemáticas formado pela divergência e o rotacional dos campos eletromagnéticos, ou o conjunto de equações equivalentes envolvendo as integrais de linha e superfície dos campos eletromagnéticos, constitui as equações de Maxwell.1 Neste capítulo faremos uma síntese das equações de Maxwell e suas implicações físicas para a teoria eletromagnética. As consequências práticas dessas equações na propagação de ondas eletromagnéticas serão discutidas nos capítulos seguintes.

No sistema internacional de unidades, as equações de Maxwell na forma diferencial e integral são:

 

Capítulo 9 Propagação de Ondas Eletromagnéticas

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Este capítulo é dedicado ao estudo da propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meios materiais. Este estudo será feito a partir das soluções das equações de onda para os campos eletromagnéticos, na aproximação de ondas planas. Primeiramente, consideraremos a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e, em seguida, discutiremos o caso dos materiais não condutores, condutores e metamateriais.

No vácuo, em que condutividade elétrica, a permissividade elétrica e a permeabilidade magnética são, respectivamente, σ = 0, ε = ε0 e µ, = µ0, a equação de onda para o campo elétrico é dada por [veja a equação (8.28)]:

Note que esta é uma equação vetorial, cuja solução não é fácil de ser obtida. Para resolvê-la vamos utilizar, por simplicidade, o sistema de coordenadas retangulares, no qual o campo elétrico é . Com essa consideração, podemos escrever a equação de onda na forma:

Para que esta equação seja sempre verdadeira, é necessário que cada componente satisfaça a uma equação de onda, isto é, , em que Ei representa as componentes Ex, Ey ou Ez.

 

Capítulo 10 Reflexão e Refração de Ondas Eletromagnéticas

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Quando uma onda eletromagnética incide sobre a superfície de separação entre dois meios, ela pode ser refletida e/ou transmitida (refratada). Esses são os fenômenos da reflexão e refração (transmissão) de ondas eletromagnéticas que serão discutidos neste capítulo. Este estudo será feito considerando os seguintes casos: (1) interface não condutor/não condutor. (2) interface não condutor/condutor e (3) interface não condutor/metamaterial.

Nesta seção, estudaremos os fenômenos da reflexão e refração de ondas eletromagnéticas em uma interface separando dois meios não condutores. Vamos tratar separadamente os casos de incidência normal e incidência oblíqua.

Por simplicidade, consideraremos somente meios materiais não condutores, nos quais o índice de refração é real e independente da frequência da onda incidente. Uma discussão para os casos em que o índice de refração é complexo ou depende da frequência está proposta nos Exercícios Complementares 1 e 2.

Vamos considerar uma onda eletromagnética plana monocromática, que se propaga na direção z em um meio material com índice de refração ni. Ao incidir perpendicularmente sobre a interface de separação com outro meio material de índice de refração nt, parte da energia será refletida e outra parte será refratada.

 

Capítulo 11 Guias de Ondas

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No Capítulo 9 estudamos a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meios materiais infinitos. Neste capítulo, estudaremos a propagação de ondas eletromagnéticas em regiões confinadas. Iniciaremos este estudo pela propagação de ondas eletromagnéticas entre placas paralelas condutoras e, em seguida, discutiremos os guias de ondas com geometria retangular e cilíndrica. No final do capítulo discutiremos a propagação de ondas eletromagnéticas em cavidades metálicas ressonantes.

Nesta seção, estudaremos a propagação de ondas eletromagnéticas em uma região delimitada por placas paralelas condutoras. Para isso, vamos considerar duas placas metálicas paralelas ao plano yz, localizadas em x = 0 e x = a, conforme mostra a Figura 11.1. Por simplicidade, vamos supor uma onda eletromagnética plana com campo elétrico oscilando ao longo do eixo y e que se propaga em uma direção que faz um ângulo α com o eixo x. Esta onda incide obliquamente sobre uma das placas condutoras com um ângulo θi, sendo refletida segundo um ângulo θr.

 

Capítulo 12 Interferência e Difração

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Interferência é o fenômeno que ocorre por causa da superposição de duas ou mais ondas que atingem um determinado ponto no espaço. A difração é, basicamente, o espalhamento das ondas por objetos ou oríficios, cujas dimensões são comparáveis ao comprimento de onda. Os fenômenos de interferência e difração são inerentes ao movimento ondulatório, não sendo restritos às ondas eletromagnéticas. Neste capítulo, apresentamos uma discussão introdutória sobre esses fenômenos, segundo o ponto de vista da teoria eletromagnética. Para uma discussão mais detalhada sobre este tema, recomendamos a leitura de livros específicos sobre óptica. Algumas sugestões são dadas na bibliografia.

Para discutir o fenômeno de interferência, vamos considerar duas fontes separadas por uma distância d, emitindo ondas eletromagnéticas com a mesma frequência. Por simplicidade, vamos supor ondas planas que se propagam ao longo do eixo z, com campos elétricos dados por:

em que ϕ1 e ϕ2 representam fases adicionais. A energia eletromagnética que chega em um ponto qualquer do espaço é a soma da energia transportada por cada onda. Assim, podemos considerar que, em um determinado ponto do espaço, existe uma onda eletromagnética que é formada pela superposição (ou interferência) das ondas emitidas por cada uma das fontes. Portanto, o campo elétrico associado a essa onda eletromagnética resultante é dado pela superposição dos campos elétricos . Assim, temos:

 

Capítulo 13 Radiação Eletromagnética

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No Capítulo 9, discutimos a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo e em meio materiais, sem levar em consideração a fonte geradora da onda eletromagnética. Neste capítulo, estudaremos o campo eletromagnético e, consequentemente, as ondas eletromagnéticas, geradas por densidades de cargas e correntes elétricas dependentes do tempo. Em particular, discutiremos o campo eletromagnético gerado por distribuições clássicas como o dipolo elétrico, dipolo magnético e antenas lineares. O campo eletromagnético de cargas elétricas pontuais será tratado no próximo capítulo.

Para calcular os campos eletromagnéticos gerados por densidades de cargas elétricas e correntes elétricas dependentes do tempo, é preciso resolver as equações de onda para os potenciais escalar elétrico e vetor magnético. Na Seção 8.7, foi mostrado que o potencial escalar elétrico satisfaz à seguinte equação de onda não homogênea:

Para encontrar a solução desta equação, vamos propor que o potencial escalar elétrico tem a forma:

 

Capítulo 14 Radiação de Cargas Elétricas em Movimento

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No Capítulo 13, estudamos o campo eletromagnético e a radiação eletromagnética emitida por densidades de cargas elétricas e correntes elétricas variáveis no tempo. Neste capítulo, estudaremos o campo eletromagnético gerado por cargas elétricas pontuais em movimento. Mostraremos que a radiação eletromagnética emitida (isto é, a energia que se desprende da carga e se propaga no espaço) pela carga elétrica está diretamente relacionada com a sua aceleração.

O desenvolvimento matemático deste capítulo é extremamente entediante. Com a finalidade de facilitar a leitura e permitir uma melhor compreensão dos princípios físicos envolvidos na radiação eletromagnética emitida por uma carga elétrica, muitos detalhes dos cálculos matemáticos foram omitidos no texto principal e apresentados em forma de exercícios resolvidos no final do capítulo.

Na Seção 13.2, foram apresentadas as soluções das equações de onda para os potenciais escalar elétrico e vetor magnético, no caso de distribuições contínuas de cargas elétricas. Nesta seção, vamos particularizar os resultados obtidos no capítulo anterior para o caso de uma carga elétrica pontual. Para essa finalidade, vamos considerar uma carga pontual em um meio de permissividade elétrica descrevendo com velocidade uma trajetória representada pelo vetor conforme mostra a Figura 14.1.

 

Capítulo 15 Eletrodinâmica Relativística

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No capítulo anterior, mostramos que os campos eletromagnéticos gerados por cargas elétricas pontuais dependem do termo em que é a velocidade da carga e v é a velocidade de propagação da onda eletromagnética emitida. Nos casos nos quais vp << v, temos que de modo que os campos elétrico e magnético podem ser calculados pelas lei de Coulomb e Biot-Savart, sem perda de generalidade. Entretanto, à medida que a velocidade da carga se aproxima da velocidade da luz, existe uma correção relativística para os campos eletromagnéticos que não está contemplada nas leis estáticas. Neste capítulo, vamos rediscutir as equações de Maxwell, levando em consideração a teoria da relatividade restrita de Einstein.1

Na mecânica clássica não relativística, as coordenadas medidas em dois referenciais inerciais (referencial em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme) são relacionadas pela transformação de Galileu,2 em que o tempo é considerado independente do referencial. Essa hipótese implica que o mesmo evento físico, visto por dois observadores em referenciais inerciais distintos, ocorre no mesmo tempo, mas em posições diferentes.

 

Capítulo 16 Movimento de Partículas em Campos Elétricos e Magnéticos

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Neste capítulo, estudaremos o movimento de partículas carregadas em presença de campos elétrico e magnético. Iniciaremos este estudo utilizando o conceito de força e a lei de Newton1 e, em seguida, faremos uma discussão utilizando o conceito de energia a partir da formulação lagrangiana. No final do capítulo, utilizaremos a formulação lagrangiana para descrever o campo eletromagnético.

Nesta seção, discutiremos o movimento de partículas carregadas em presença de um campo elétrico constante. Primeiramente, vamos considerar uma partícula com carga elétrica q com velocidade paralela ao campo elétrico, conforme mostra a Figura 16.1(a). Para carga elétrica positiva, a força elétrica tem o sentido do campo elétrico, enquanto para carga negativa a força elétrica tem sentido contrário.

De acordo com a segunda lei de Newton, a partícula descreve um movimento retilíneo, com aceleração dada por . Considerando o campo elétrico no sentido do eixo e integrando esta equação no tempo, obtemos a velocidade

 

Apêndice A Constantes Físicas

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Constantes Físicas

Nome

Símbolo

Valor (SI)

Carga do elétron

e

−1,602×10−19 C

Carga do próton

e

1,602×10−19 C

Constante de Boltzmann

kB

1,381×10−23 J/K

Constante gravitacional

G

6,673×10−11 Nm2/kg2

Constante de Planck

h

6,026×10−34 Js

Constante de Rydberg

R

1,097×107 m–1

Constante de Stefan-Boltzmann

σ

5,670×10−8 W/(m2K4)

Constante universal dos gases

R

8,314 J/(mol K)

Magneton de Bohr

μB

9,274×10−24 J/T

Massa do elétron

me

 

Apêndice B Sistemas de Coordenadas

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Constantes Físicas

Nome

Símbolo

Valor (SI)

Carga do elétron

e

−1,602×10−19 C

Carga do próton

e

1,602×10−19 C

Constante de Boltzmann

kB

1,381×10−23 J/K

Constante gravitacional

G

6,673×10−11 Nm2/kg2

Constante de Planck

h

6,026×10−34 Js

Constante de Rydberg

R

1,097×107 m–1

Constante de Stefan-Boltzmann

σ

5,670×10−8 W/(m2K4)

Constante universal dos gases

R

8,314 J/(mol K)

Magneton de Bohr

μB

9,274×10−24 J/T

Massa do elétron

me

 

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